Excel'de Kendall korelasyon katsayısı. Kendall sıra korelasyon katsayısı. Çalışmanın konusunu, nesnesini, konusunu, amacını, amaçlarını ve hipotezlerini belirlerken nelerden yola çıkmalıyız?

Hizmetin amacı. Bu çevrimiçi hesap makinesini kullanarak hesaplayabilirsiniz Kendal sıra korelasyon katsayısı tüm temel formüllere göre ve önemine ilişkin bir değerlendirme.

Talimatlar. Veri miktarını belirtin (satır sayısı). Ortaya çıkan çözüm bir Word dosyasına kaydedilir.

Kendal'ın önerdiği katsayı, ölçekler oluşturulurken geçerliliği kanıtlanmış olan "çok-az" tipi ilişkilere dayanmaktadır.
Birkaç nesne seçelim ve bunların sıralamalarını bir özelliğine ve diğerine göre karşılaştıralım. Belirli bir karakteristik için sıralar doğrudan bir sıra oluşturuyorsa (yani doğal serinin sırası), bu durumda çifte +1, tersi ise -1 atanır. Seçilen çift için karşılık gelen artı ve eksi birimler (X niteliğine ve Y niteliğine göre) çarpılır. Sonuç açıkça +1'dir; Her iki özelliğin bir çiftinin sıraları aynı sırada yer alıyorsa ve ters sıradaysa –1.
Her iki özelliğin sıralaması tüm çiftler için aynıysa, o zaman tüm nesne çiftlerine atanan birimlerin toplamı maksimum olur ve çiftlerin sayısına eşittir. Tüm çiftlerin sıraları ters çevrilirse –C 2 N olur. Genel durumda, C 2 N = P + Q; burada P, her iki kriterdeki sıraları karşılaştırılırken çiftlere atanan pozitif birimlerin sayısı ve Q, negatif birimlerin sayısıdır.
Değere Kendall katsayısı denir.
Formülden, τ katsayısının, her iki durumda da sırası aynı olan (tüm çiftlerin sayısına göre) nesne çiftlerinin oranı ile sıraları çakışmayan nesne çiftlerinin oranı arasındaki farkı temsil ettiği açıktır.
Örneğin, 0,60 katsayı değeri, çiftlerin %80'inin aynı nesne sırasına sahip olduğu ve %20'sinin olmadığı anlamına gelir (%80 + %20 = %100; 0,80 – 0,20 = 0,60). Onlar. τ, rastgele seçilen bir nesne çifti için her iki özelliğin eşleşme ve eşleşmeme olasılıkları arasındaki fark olarak yorumlanabilir.
Genel durumda, 10 düzeyindeki N için bile τ'nin (daha kesin olarak P veya Q) hesaplanmasının külfetli olduğu ortaya çıkar.
Hesaplamaları nasıl basitleştireceğinizi size göstereceğiz.

Örnek. 2003 yılında Rusya Federasyonu'nun federal bölgelerinden birinin 10 bölgesi için endüstriyel üretim hacmi ile sabit sermaye yatırımı arasındaki ilişki aşağıdaki verilerle karakterize edilmektedir:

Çözüm. Y özelliğine ve X faktörüne dereceler atayalım.


Verileri X'e göre sıralayalım.
3'ün sağındaki Y satırında 3'ten büyük 7 sıra vardır, dolayısıyla 3, P'deki 7 terimini üretecektir.
1'in sağında 1'den büyük 8 sıra vardır (bunlar 2, 4, 6, 9, 5, 10, 7, 8'dir), yani. P 8 vb.yi içerecektir. Sonuç olarak P = 37 ve elimizdeki formülleri kullanarak:

Örnek. Kendi başımıza yaptığımız inşaat ve montaj işlerinin hacmine ve Rusya Federasyonu şehirlerinden birindeki 10 inşaat firmasındaki çalışan sayısına ilişkin verilere dayanarak, Kendel katsayısını kullanarak bu özellikler arasındaki ilişkiyi belirliyoruz.

Çözüm hesap makinesi kullanarak bulun.
Y özelliğine ve X faktörüne dereceler atayalım.
Nesneleri, X'teki sıraları doğal seriyi temsil edecek şekilde düzenleyelim. Bu serinin her bir çiftine atanan tahminler pozitif olduğundan, P'nin içerdiği “+1” değerleri yalnızca Y'deki sıralamaları doğrudan bir sıra oluşturan çiftler tarafından üretilecektir.
Y satırındaki her nesnenin sırasını çelik olanlarla sırayla karşılaştırarak kolayca hesaplanabilirler.
Kendal katsayısı.

Genel durumda, 10 düzeyindeki N için bile τ'nin (daha kesin olarak P veya Q) hesaplanmasının külfetli olduğu ortaya çıkar. Hesaplamaları nasıl basitleştireceğinizi size göstereceğiz.

veya

Çözüm.
Verileri X'e göre sıralayalım.
2'nin sağındaki Y satırında 2'den büyük 8 sıra vardır, dolayısıyla 2, P'deki 8 terimini üretecektir.
4'ün sağında 4'ten büyük 6 sıra vardır (bunlar 7, 5, 6, 8, 9, 10'dur), yani. P, 6 vb.'yi içerecektir. Sonuç olarak P = 29 ve elimizdeki formülleri kullanarak:

Kendall korelasyon katsayısı, değişkenler iki sıralı ölçekte temsil edildiğinde, ilişkili sıraların olmaması koşuluyla kullanılır. Kendall katsayısının hesaplanması, eşleşme ve ters çevirme sayısının sayılmasını içerir. Önceki problemin örneğini kullanarak bu prosedürü ele alalım.

Sorunu çözmek için algoritma aşağıdaki gibidir:

Tablodaki verileri yeniden düzenliyoruz. 8,5 böylece satırlardan biri (bu durumda satır X i) sıralandığı ortaya çıktı. Başka bir deyişle çiftleri yeniden düzenleriz X Ve sen doğru sırayla ve Verileri tablonun 1 ve 2 numaralı sütunlarına giriyoruz. 8.6.

Tablo 8.6

2. 2. satırın “sıralama derecesini” belirleyin ( sen Ben). Bu prosedür aşağıdaki sırayla gerçekleştirilir:

a) Sıralanmamış “3” serisinin ilk değerini alın. Sıra sayısını sayma altında verilen sayı hangisi Daha değeri karşılaştırılmıştır. Bu tür 9 değer vardır (6, 7, 4, 9, 5, 11, 8, 12 ve 10 sayıları). "Eşleşmeler" sütununa 9 sayısını girin. Sonra değerlerin sayısını sayarız azüç. Bu tür 2 değer vardır (1. ve 2. sıralar); “Ters çevirme” sütununa 2 sayısını giriyoruz.

b) 3 sayısını atın (bununla daha önce çalıştık) ve prosedürü bir sonraki değer olan “6” için tekrarlayın: eşleşme sayısı 6'dır (7, 9, 11, 8, 12 ve 10. sıralar), ters çevirmeler 4'tür (sıralar 1, 2, 4 ve 5). “Tesadüf” sütununa 6 sayısını, “inversiyon” sütununa ise 4 sayısını giriyoruz.

c) prosedür sıranın sonuna kadar benzer şekilde tekrarlanır; her "işlenmiş" değerin daha fazla değerlendirmenin dışında tutulduğu unutulmamalıdır (yalnızca bu sayının altında kalan sıralar hesaplanır).

Not

Hesaplamalarda hata yapmamak için, her “adım” ile tesadüflerin ve tersinmelerin toplamının birer birer azaldığı unutulmamalıdır; Her defasında bir değerin değerlendirme dışı bırakıldığı göz önüne alındığında bu anlaşılabilir bir durumdur.

3. Maçların toplamı hesaplanır (R) ve ters çevirmelerin toplamı (Q); veriler Kendall katsayısı (8.10) için bir ve üç değiştirilebilir formüle girilir. İlgili hesaplamalar gerçekleştirilir.

T (8.10)

Bizim durumumuzda:

Masada XIV Ek, bu numune için katsayının kritik değerlerini içerir: τ cr. = 0,45; 0.59. Ampirik olarak elde edilen değer tablodaki değerle karşılaştırılır.

Çözüm

τ = 0,55 > τ cr. = 0,45. Korelasyon istatistiksel olarak 1. seviyede anlamlıdır.

Not:

Gerekiyorsa (örneğin kritik değerler tablosu yoksa), istatistiksel anlamlılık T Kendall aşağıdaki formülle belirlenebilir:

(8.11)

Nerede S* = P – Q+ 1 eğer P< Q , Ve S* = P – Q – 1 eğer P>S.

Değerler z karşılık gelen anlamlılık düzeyi Pearson ölçümüne karşılık gelir ve ilgili tablolarda bulunur (ekte yer almamaktadır. Standart anlamlılık düzeyleri için) z kr = 1,96 (β 1 = 0,95 için) ve 2,58 (β 2 = 0,99 için). Kendall'ın korelasyon katsayısı aşağıdaki durumlarda istatistiksel olarak anlamlıdır: z > z cr

Bizim durumumuzda S* = P – Q– 1 = 35 ve z= 2,40, yani ilk sonuç doğrulandı: özellikler arasındaki korelasyon 1. anlamlılık düzeyi için istatistiksel olarak anlamlıdır.

Sıralama yaparken, uzmanın değerlendirilen unsurları tercihlerine göre artan (azalan) düzende düzenlemesi ve her birine doğal sayılar biçiminde sıralar ataması gerekir. Doğrudan sıralamada en çok tercih edilen öğenin sıralaması 1 (bazen 0), en az tercih edilen öğenin sıralaması ise m'dir.

Uzman, bazı unsurların tercih bakımından aynı olduğunu düşündüğü için kesin bir sıralama yapamıyorsa, bu tür unsurlara aynı derecelerin verilmesi caiz olur. Sıralamaların toplamının, sıralanmış öğelerin yerlerinin toplamına eşit olmasını sağlamak için standartlaştırılmış sıralamalar kullanılır. Standartlaştırılmış sıralama, sıralanmış bir serideki tercihleri ​​aynı olan eleman sayılarının aritmetik ortalamasıdır.

Örnek 2.6. Uzman altı maddeyi tercihlerine göre şu şekilde sıraladı:

Daha sonra bu unsurların standartlaştırılmış sıralamaları şu şekilde olacaktır:

Böylece elementlere atanan sıraların toplamı, doğal serideki sayıların toplamına eşit olacaktır.

Öğeleri sıralayarak tercihi ifade etmenin doğruluğu, önemli ölçüde sunum setinin gücüne bağlıdır. Sıralama prosedürü, değerlendirilen öğe sayısı 10'u geçmediğinde (ortaya çıkan tercih ile "doğru" arasındaki yakınlık derecesi açısından) en güvenilir sonuçları verir. Sunum setinin maksimum gücü 20'yi geçmemelidir.

Sıralamaların işlenmesi ve analizi, bireysel tercihlere dayalı bir grup tercih ilişkisi oluşturmak amacıyla gerçekleştirilir. Bu durumda, aşağıdaki görevler belirlenebilir: a) iki uzmanın bir dizi sunumun unsurlarına ilişkin sıralamaları arasındaki bağlantının yakınlığının belirlenmesi; b) grup üyelerinin bu unsurların çeşitli özelliklerine ilişkin bireysel görüşlerine göre iki unsur arasındaki ilişkinin belirlenmesi; c) İkiden fazla uzmanın bulunduğu bir grupta uzman görüşlerinin tutarlılığının değerlendirilmesi.

İlk iki durumda bağlantının yakınlığının bir ölçüsü olarak sıra korelasyon katsayısı kullanılır. Yalnızca katı veya katı olmayan sıralamaya izin verilmesine bağlı olarak Kendall'ın veya Spearman'ın sıra korelasyon katsayısı kullanılır.

Problem için Kendall'ın sıra korelasyon katsayısı (a)

Nerede M- elemanların sayısı; r 1 ben –İlk uzman tarafından atanan rütbe Ben-'inci eleman; r 2 ben – aynısı ikinci uzman tarafından da yapılmıştır.

Problem (b) için, bileşenler (2.5) şu anlama gelir: m - değerlendirilen iki unsurun özelliklerinin sayısı; r 1 ben(r 2 i) - bir grup uzman tarafından belirlenen, birinci (ikinci) unsurun sıralamasında i-inci özelliğin sırası.

Kesin sıralama için sıra korelasyon katsayısı kullanılır R Mızrakçı:

bileşenleri (2.5)'teki ile aynı anlama sahiptir.

Korelasyon katsayıları (2,5), (2,6) -1 ile +1 arasında değişmektedir. Korelasyon katsayısı +1 ise sıralamaların aynı olduğu anlamına gelir; -1'e eşitse, o zaman - zıttır (sıralamalar birbirinin tersidir). Korelasyon katsayısının sıfır olması sıralamaların doğrusal olarak bağımsız (ilişkisiz) olduğu anlamına gelir.

Bu yaklaşımda (uzman rastgele hata yapan bir "ölçücüdür") bireysel sıralamalar rastgele kabul edildiğinden, görev, ortaya çıkan korelasyon katsayısının önemi hakkındaki hipotezin istatistiksel olarak test edilmesinden kaynaklanmaktadır. Bu durumda Neyman-Pearson kriteri kullanılır: α kriterinin anlamlılık düzeyi belirlenir ve korelasyon katsayısının dağılım yasalarını bilerek eşik değeri belirlenir. c α, korelasyon katsayısının elde edilen değeriyle karşılaştırılır. Kritik alan sağ taraftadır (pratikte, genellikle ilk olarak kriter değeri hesaplanır ve eşik seviyesiyle karşılaştırılan anlamlılık seviyesi bundan belirlenir.) α ).

m > 10 için Kendall sıra korelasyon katsayısı τ parametrelerle normale yakın bir dağılıma sahiptir:

burada M [τ] – matematiksel beklenti; D [τ] – dağılım.

Bu durumda standart normal dağılım fonksiyonunun tabloları kullanılır:

ve kritik bölgenin sınırı τ α denklemin kökü olarak tanımlanır

Katsayının hesaplanan değeri τ ≥ τ α ise sıralamaların gerçekten iyi bir uyum içinde olduğu kabul edilir. Tipik olarak α'nın değeri 0,01-0,05 aralığında seçilir. t ≤ 10 için t'nin dağılımı Tablo'da verilmiştir. 2.1.

İki sıralamanın tutarlılığının öneminin Spearman katsayısı ρ kullanılarak kontrol edilmesi, m > 10 için Öğrenci dağılım tabloları kullanılarak aynı sırada gerçekleştirilir.

Bu durumda değer

Öğrenci dağılımına iyi yaklaşan bir dağılıma sahiptir. M– 2 serbestlik derecesi. Şu tarihte: M> 30 ρ dağılımı normal olanla iyi uyum sağlar; M [ρ] = 0 ve D [ρ] = .

m ≤ 10 için ρ'nin önemi tablo kullanılarak kontrol edilir. 2.2.

Sıralamalar katı değilse Spearman katsayısı

burada ρ – (2.6)'ya göre hesaplanır;

burada k 1 , k 2 sırasıyla birinci ve ikinci sıralamadaki katı olmayan sıraların farklı gruplarının sayısıdır; ben i aynı sıraların sayısıdır Ben grup. Sıra korelasyon katsayıları ρ Spearman ve τ Kendall pratikte kullanılırken ρ katsayısının minimum varyans anlamında daha doğru sonuç verdiği unutulmamalıdır.

Tablo 2.1.Kendall'ın sıra korelasyon katsayısı dağılımı

Kısa teori

Kendall korelasyon katsayısı, değişkenler iki sıralı ölçekte temsil edildiğinde, ilişkili sıraların olmaması koşuluyla kullanılır. Kendall katsayısının hesaplanması, eşleşme ve ters çevirme sayısının sayılmasını içerir.

Bu katsayı limitler dahilinde değişir ve aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

Hesaplama için tüm birimler; başka bir özelliğin bir satırına göre, her sıra için, verileni aşan sonraki sıraların sayısı (bunları ile gösteririz) ve verilenin altındaki sonraki sıraların sayısı (bunları ile gösteririz).

Bu gösterilebilir

ve Kendall'ın sıra korelasyon katsayısı şu şekilde yazılabilir:

Rakip bir hipotez altında genel Kendall sıra korelasyon katsayısının sıfıra eşit olduğu şeklindeki sıfır hipotezini anlamlılık düzeyinde test etmek için kritik noktanın hesaplanması gerekir:

örneklem büyüklüğü nerede; – Laplace fonksiyonu tablosundan eşitlikle bulunan iki taraflı kritik bölgenin kritik noktası

Eğer – sıfır hipotezini reddetmek için hiçbir neden yoksa. Özellikler arasındaki sıra korelasyonu önemsizdir.

Eğer – sıfır hipotezi reddedilir. Özellikler arasında anlamlı bir sıra korelasyonu vardır.

Sorun çözümü örneği

Görev

İşe alım sürecinde boş pozisyonlar için 7 adaya iki sınav uygulandı. Test sonuçları (puan cinsinden) tabloda gösterilmektedir:

İki testin test sonuçları arasındaki Kendall sıra korelasyon katsayısını hesaplayın ve düzeydeki önemini değerlendirin.

Sorunun çözümü

Kendall katsayısını hesaplayalım

Faktör karakteristiğinin sıraları kesinlikle artan sırada düzenlenir ve sonuç karakteristiğinin karşılık gelen sıraları paralel olarak kaydedilir. Her sıra için, onu takip eden sıraların sayısından, değer olarak kendisinden daha büyük olan sıraların sayısı (sütuna girilen) ve değer olarak daha küçük olan sıraların sayısı (sütuna girilen) sayılır.

Uzman değerlendirmelerinin sunumu ve ön işlenmesi

Uygulamada çeşitli değerlendirme türleri kullanılmaktadır:

- niteliksel (sıklıkla-nadiren, daha kötü-daha iyi, evet-hayır),

- ölçek derecelendirmeleri (değer aralıkları 50-75, 76-90, 91-120 vb.),

Belirli bir aralıktaki noktalar (2'den 5'e, 1 -10), karşılıklı olarak bağımsız,

Dereceli (nesneler uzman tarafından belirli bir sıraya göre düzenlenir ve her birine bir seri numarası verilir - rütbe),

Karşılaştırmalı, karşılaştırma yöntemlerinden biriyle elde edilir

sıralı karşılaştırma yöntemi

Faktörlerin ikili karşılaştırılması yöntemi.

Uzman görüşlerinin işlenmesinin bir sonraki adımında, değerlendirme yapılması gerekmektedir. bu görüşler arasındaki uyumun derecesi.

Uzmanlardan alınan derecelendirmeler, dağılımı uzmanların belirli bir olay (faktör) seçiminin olasılığı hakkındaki görüşlerini yansıtan rastgele bir değişken olarak değerlendirilebilir. Bu nedenle, uzman değerlendirmelerinin yayılmasını ve tutarlılığını analiz etmek için genelleştirilmiş istatistiksel özellikler kullanılır - ortalamalar ve yayılma ölçüleri:

Ortalama kare hatası,

Değişim aralığı min – max,

- varyasyon katsayısı V = ortalama kare sapma / aritme ortalama (her türlü değerlendirmeye uygundur)

V ben = σ ben / x ben ort

Oran için benzerlik önlemleri ve görüşler her bir uzman çiftiÇeşitli yöntemler kullanılabilir:

birliktelik katsayıları eşleşen ve eşleşmeyen cevapların sayısının dikkate alındığı,

tutarsızlık katsayıları uzman görüşleri,

Tüm bu ölçümler, iki uzmanın görüşlerini karşılaştırmak veya iki özelliğe ilişkin bir dizi değerlendirme arasındaki ilişkiyi analiz etmek için kullanılabilir.

Spearman'ın eşleştirilmiş sıra korelasyon katsayısı:

burada n uzman sayısıdır,

c k – tüm T faktörleri için i. ve j. uzmanların tahminleri arasındaki fark

Kendall'ın sıra korelasyon katsayısı (uyum katsayısı), tüm uzmanların tüm faktörlere ilişkin görüşlerinin tutarlılığının genel bir değerlendirmesini verir, ancak yalnızca sıra tahminlerinin kullanıldığı durumlar için.

Tüm uzmanların tüm faktörlere ilişkin aynı değerlendirmeleri vermesi durumunda S değerinin maksimum değere eşit olduğu kanıtlanmıştır.

burada n faktörlerin sayısıdır,

m – uzman sayısı.

Uyum katsayısı orana eşittir

Üstelik W 1'e yakınsa tüm uzmanlar oldukça tutarlı tahminler vermiş demektir, aksi halde görüşleri tutarlı değildir.

S'yi hesaplama formülü aşağıda verilmiştir:

burada r ij, j'inci uzmanın i'inci faktöre ilişkin sıralama tahminleridir,

r avg, tüm değerlendirme matrisindeki ortalama sıralamadır ve şuna eşittir:

Dolayısıyla S'yi hesaplama formülü şu şekilde olabilir:

Bir uzmanın bireysel değerlendirmeleri örtüşüyorsa ve bunlar işlem sırasında standartlaştırılmışsa, uyum katsayısını hesaplamak için başka bir formül kullanılır:

burada T j, her uzman için (değerlendirmeleri farklı nesneler için tekrarlanmışsa) aşağıdaki kurallara göre tekrarlar dikkate alınarak hesaplanır:

burada t j, j'inci uzman için eşit dereceli grupların sayısıdır ve

hk, j'inci uzmanın ilgili sıralarının k'inci grubundaki eşit sıra sayısıdır.

ÖRNEK. Altı faktördeki 5 uzmanın Tablo 3'te gösterilen sıralamayı yanıtlamasını sağlayın:

Tablo 3 - Uzmanların cevapları

Kesin bir sıralama elde edemediğimiz için (uzmanların değerlendirmeleri tekrarlanıyor ve sıralamaların toplamı eşit değil), değerlendirmeleri dönüştüreceğiz ve ilgili sıralamaları elde edeceğiz (Tablo 4):

Tablo 4 – Uzman değerlendirmelerinin ilgili sıralamaları

Şimdi uyum katsayısını kullanarak uzman görüşleri arasındaki uyum derecesini belirleyelim. Sıralar ilişkili olduğundan W'yi (**) formülünü kullanarak hesaplayacağız.

O zaman r av =7*5/2=17,5

S = 10 2 +8 2 +4,5 2 +4,5 2 +6 2 +12 2 = 384,5

W hesaplamalarına geçelim. Bunun için T j değerlerini ayrı ayrı hesaplayalım. Örnekte, derecelendirmeler, her uzmanın tekrar eden derecelendirmeleri olacak şekilde özel olarak seçilmiştir: 1'incide iki, ikincide üç, üçüncüde iki derecelendirmeden oluşan iki grup ve dördüncü ve beşincide iki özdeş derecelendirme vardır. Buradan:

T 1 = 2 3 – 2 = 6 T 5 = 6

T 2 = 3 3 – 3 = 24

T 3 = 2 3 –2+ 2 3 –2 = 12 T 4 = 12

Uzman görüşlerinin tutarlılığının oldukça yüksek olduğunu görüyoruz ve çalışmanın bir sonraki aşaması olan uzmanların önerdiği çözüm alternatifinin gerekçelendirilmesi ve benimsenmesi aşamasına geçebiliriz.

Aksi halde 4-8. adımlara dönmeniz gerekir.