Genel faktörün parantezlerden çıkarılması 7. Genel faktörün parantezlerden çıkarılması - Bilgi Hipermarketi

Tanım 1

Öncelikle hatırlayalım Bir monomial ile bir monomial çarpma kuralları:

Bir monomluyu bir tek terimli ile çarpmak için, önce tek terimlilerin katsayılarını çarpmanız, ardından aynı tabanla kuvvetleri çarpma kuralını kullanarak tek terimlilerin içerdiği değişkenleri çarpmanız gerekir.

örnek 1

$(2x)^3y^2z$ ve $(\frac(3)(4)x)^2y^4$ tek terimlilerinin çarpımını bulun

Çözüm:

Öncelikle katsayıların çarpımını hesaplayalım

$2\cdot\frac(3)(4) =\frac(2\cdot 3)(4)$ bu görevde bir sayıyı kesirle çarpma kuralını kullandık - bir tam sayıyı kesirle çarpmak için yapmanız gerekenler sayıyı kesrin payı ile çarpmak ve paydayı değiştirmeden koymak

Şimdi bir kesrin temel özelliğini kullanalım - bir kesrin payı ve paydası $0$'dan farklı olarak aynı sayıya bölünebilir. Bu kesrin payını ve paydasını $2$'a bölelim, yani bu kesri $2$ $2\cdot\frac(3)(4)$ =$\frac(2\cdot 3)(4)=\\ frac(3 )(2)$

Ortaya çıkan sonucun uygunsuz bir kesir olduğu, yani payın paydadan büyük olduğu ortaya çıktı.

Parçanın tamamını izole ederek bu kesri dönüştürelim. Bir tam sayı kısmını yalnız bırakmak için, bölümden kalan kısmı kesirli kısmın payına, bölenin de paydaya yazılması gerektiğini hatırlayalım.

Gelecekteki çarpımın katsayısını bulduk.

Şimdi $x^3\cdot x^2=x^5$ değişkenlerini sırayla çarpacağız,

$y^2\cdot y^4 =y^6$. Burada aynı tabanla kuvvetleri çarpma kuralını kullandık: $a^m\cdot a^n=a^(m+n)$

O zaman tek terimlileri çarpmanın sonucu şöyle olacaktır:

$(2x)^3y^2z \cdot (\frac(3)(4)x)^2y^4=1\frac(1)(2)x^5y^6$.

Daha sonra dayalı bu kuralın aşağıdaki görevi gerçekleştirebilirsiniz:

Örnek 2

Belirli bir polinomu, bir polinom ile bir tek terimlinin çarpımı olarak temsil edin $(4x)^3y+8x^2$

Hem birinci hem de ikinci tek terimlilerin çarpanı olacak ortak bir tek terimliyi izole etmek için, polinomun içerdiği her bir tek terimliyi iki tek terimlinin çarpımı olarak temsil edelim.

Öncelikle ilk tek terimli $(4x)^3y$ ile başlayalım. Katsayısını basit çarpanlara ayıralım: $4=2\cdot 2$. Aynısını ikinci tek terimli $8=2\cdot 2 \cdot 2$'ın katsayısı için de yapacağız. Hem birinci hem de ikinci katsayılara iki faktörün $2\cdot 2$ dahil edildiğine dikkat edin; bu, $2\cdot 2=4$ anlamına gelir - bu sayı, genel monomiye bir katsayı olarak dahil edilecektir.

Şimdi ilk tek terimde $x^3$ olduğunu ve ikincisinde de aynı değişkenin $2:x^2$ üssü olduğunu not edelim. Bu, $x^3$ değişkenini şu şekilde temsil etmenin uygun olduğu anlamına gelir:

$y$ değişkeni polinomun yalnızca bir terimine dahil edilmiştir, bu da onun genel tek terime dahil edilemeyeceği anlamına gelir.

Polinomun içinde yer alan birinci ve ikinci tek terimliyi bir çarpım olarak düşünelim:

$(4x)^3y=4x^2\cdot xy$

$8x^2=4x^2\cdot 2$

Hem birinci hem de ikinci tek terimlide faktör olacak ortak tek terimlinin $4x^2$ olduğunu unutmayın.

$(4x)^3y+8x^2=4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2$

Şimdi çarpmanın dağılım yasasını uygularsak, elde edilen ifade iki faktörün çarpımı olarak gösterilebilir. Çarpanlardan biri toplam çarpan olacaktır: $4x^2$, diğeri ise kalan çarpanların toplamı olacaktır: $xy + 2$. Araç:

$(4x)^3y+8х^2 = 4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2 = 4x^2(xy+2)$

Bu yöntem denir çıkarma kullanarak çarpanlara ayırma ortak çarpan.

Ortak faktör bu durumda tek terimli $4x^2$ kullanıldı.

Algoritma

Not 1

Polinomun içerdiği tüm monomların katsayılarının en büyük ortak bölenini bulun - bu, parantez içine koyacağımız ortak monom faktörünün katsayısı olacaktır.

2. paragrafta bulunan katsayı ile 3. paragrafta bulunan değişkenlerden oluşan bir monom ortak çarpan olacaktır. ortak bir faktör olarak parantezlerden çıkarılabilir.

Örnek 3

$3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2$ ortak çarpanını çıkarın

Çözüm:

Katsayıların gcd'sini bulalım; bunun için katsayıları basit faktörlere ayıracağız

$45=3\cdot 3\cdot 5$

Ve her birinin genişlemesine dahil olanların çarpımını buluyoruz:

Her monomili oluşturan değişkenleri tanımlayın ve en küçük üslü değişkeni seçin

$a^3=a^2\cdot a$

$b$ değişkeni yalnızca ikinci ve üçüncü monomialde yer alır, bu da onun ortak faktöre dahil edilmeyeceği anlamına gelir.

2. adımda bulunan katsayı ve 3. adımda bulunan değişkenlerden oluşan bir monom oluşturalım, şunu elde ederiz: $3a$ - bu ortak faktör olacaktır. Daha sonra:

$3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2=3a(a^2-5ab+15b^2)$

Tanım 1

Öncelikle hatırlayalım Bir monomial ile bir monomial çarpma kuralları:

örnek 1

$(2x)^3y^2z$ ve $(\frac(3)(4)x)^2y^4$ tek terimlilerinin çarpımını bulun

Çözüm:

Öncelikle katsayıların çarpımını hesaplayalım

Ortaya çıkan sonucun uygunsuz bir kesir olduğu, yani payın paydadan büyük olduğu ortaya çıktı.

Gelecekteki çarpımın katsayısını bulduk.

Şimdi $x^3\cdot x^2=x^5$ değişkenlerini sırayla çarpacağız,

$y^2\cdot y^4 =y^6$. Burada aynı tabanla kuvvetleri çarpma kuralını kullandık: $a^m\cdot a^n=a^(m+n)$

O zaman tek terimlileri çarpmanın sonucu şöyle olacaktır:

$(2x)^3y^2z \cdot (\frac(3)(4)x)^2y^4=1\frac(1)(2)x^5y^6$.

Daha sonra bu kurala dayanarak aşağıdaki görevi gerçekleştirebilirsiniz:

Örnek 2

Belirli bir polinomu, bir polinom ile bir tek terimlinin çarpımı olarak temsil edin $(4x)^3y+8x^2$

Hem birinci hem de ikinci tek terimlilerin çarpanı olacak ortak bir tek terimliyi izole etmek için, polinomun içerdiği her bir tek terimliyi iki tek terimlinin çarpımı olarak temsil edelim.

Şimdi ilk tek terimde $x^3$ olduğunu ve ikincisinde de aynı değişkenin $2:x^2$ üssü olduğunu not edelim. Bu, $x^3$ değişkenini şu şekilde temsil etmenin uygun olduğu anlamına gelir:

$y$ değişkeni polinomun yalnızca bir terimine dahil edilmiştir, bu da onun genel tek terime dahil edilemeyeceği anlamına gelir.

Polinomun içinde yer alan birinci ve ikinci tek terimliyi bir çarpım olarak düşünelim:

$(4x)^3y=4x^2\cdot xy$

$8x^2=4x^2\cdot 2$

Hem birinci hem de ikinci tek terimlide faktör olacak ortak tek terimlinin $4x^2$ olduğunu unutmayın.

$(4x)^3y+8x^2=4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2$

$(4x)^3y+8х^2 = 4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2 = 4x^2(xy+2)$

Bu yöntem denir ortak bir çarpan çıkarılarak çarpanlara ayırma işlemi yapılır.

Bu durumda ortak çarpan tek terimli $4x^2$ idi.

Algoritma

Not 1

Polinomun içerdiği tüm monomların katsayılarının en büyük ortak bölenini bulun - bu, parantez içine koyacağımız ortak monom faktörünün katsayısı olacaktır.

2. paragrafta bulunan katsayı ile 3. paragrafta bulunan değişkenlerden oluşan bir monom ortak çarpan olacaktır. ortak bir faktör olarak parantezlerden çıkarılabilir.

Örnek 3

$3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2$ ortak çarpanını çıkarın

Çözüm:

Katsayıların gcd'sini bulalım; bunun için katsayıları basit faktörlere ayıracağız

$45=3\cdot 3\cdot 5$

Ve her birinin genişlemesine dahil olanların çarpımını buluyoruz:

Her monomili oluşturan değişkenleri tanımlayın ve en küçük üslü değişkeni seçin

$a^3=a^2\cdot a$

$b$ değişkeni yalnızca ikinci ve üçüncü monomialde yer alır, bu da onun ortak faktöre dahil edilmeyeceği anlamına gelir.

2. adımda bulunan katsayı ve 3. adımda bulunan değişkenlerden oluşan bir monom oluşturalım, şunu elde ederiz: $3a$ - bu ortak faktör olacaktır. Daha sonra:

$3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2=3a(a^2-5ab+15b^2)$

7. sınıfta cebir dersi.

Konu: “Ortak çarpanı parantezlerin dışına çıkarmak.”

Ders Kitabı Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G. ve benzeri.

Dersin Hedefleri:

eğitici –

öğrencilerin çarpma ve bölme becerilerinin kullanımındaki bilgi ve beceri kompleksine hakimiyet düzeyini belirlemek;

ortak çarpanı parantezlerin dışına yerleştirerek bir polinomun çarpanlara ayrılmasını uygulama becerisini geliştirmek;

Denklemleri çözerken parantezlerden ortak çarpanın çıkarılması işlemini uygulayın.

Gelişimsel –

gözlemin gelişimini, analiz etme, karşılaştırma ve sonuç çıkarma yeteneğini teşvik etmek;

Görevleri yerine getirirken öz kontrol becerilerini geliştirin.

Eğitici -

sorumluluğu, aktiviteyi, bağımsızlığı ve nesnel özgüveni teşvik etmek.

Ders türü: birleştirildi.

Temel öğrenme çıktıları:

ortak çarpanı parantezlerden çıkarabilme;

başvurabilmek Bu method egzersizleri çözerken.

Taşınmakders.

1 modül (30 dk).

1. Zamanı organize etmek.

selamlar;

öğrencileri işe hazırlamak.

2. Sınav Ev ödevi.

Uygunluğu kontrol etmek (görevdeyken), ortaya çıkan sorunları tartışmak.

3 . Temel bilgilerin güncellenmesi.

N OBEB (15,6), (30,60), (24,8), (4,3), (20,55), (16, 12)'yi bulun.

GCD nedir?

Aynı esaslara göre kuvvetler ayrılığı nasıl yapılır?

Aynı tabanlara sahip kuvvetlerin çarpımı nasıl yapılır?

Bu dereceler için (c 3) 7 ,b 45 ,c 5 , a 21 , a 11 b 7 ,d 5 En küçük üslü, tabanları aynı, üsleri aynı olan dereceyi adlandırın

Çarpmanın dağılım yasasını tekrarlayalım. Bunu mektup şeklinde yazın

a (b + c) = ab + ac

* - çarpma işareti

Dağıtıcı özelliğin uygulanmasına ilişkin sözlü görevleri tamamlayın. (Tahtada hazırlanın).

1) 2*(a + b) 4) (x – 6)*5

2) 3*(x – y) 5) -4*(y + 5)

3) a*(4 + x) 6) -2*(c – a)

Görevler kapalı bir tahtaya yazılır, çocuklar çözer ve sonucu tahtaya yazarlar. Bir monomunun bir polinomla çarpılmasıyla ilgili problemler.

Başlangıç olarak, size bir tek terimliyi bir polinomla çarpmanın bir örneğini sunuyorum:

2 x (x 2 +4 x y – 3) = 2x 3 + 8x 2 y – 6x Yıkamayın!

Bir tek terimliyi bir polinomla çarpma kuralını diyagram biçiminde yazın.

Tahtada bir not belirir:

Bu özelliği şu şekilde yazabilirim:

Bu formda kaydı zaten kullandık. basit yol ifade hesaplamaları.

a) 23 * 15 + 15 * 77 = (23 + 77) * 15 = 100 * 15 = 1500

Gerisi sözlüdür, cevapları kontrol edin:

e) 55*682 – 45*682 = 6820

g) 7300*3 + 730*70 = 73000

h) 500*38 – 50*80 = 15000

Hesaplamanın basit bir yolunu bulmanıza hangi yasa yardımcı oldu? (Dağıtım)

Aslında dağıtım yasası ifadelerin basitleştirilmesine yardımcı olur.

4 . Dersin amacını ve konusunu belirlemek. Sözlü sayma. Dersin konusunu tahmin edin.

Çiftler halinde çalışın.

Çiftler için kartlar.

Bir ifadeyi çarpanlara ayırmanın, bir monom ile bir polinomun terim terim çarpımının ters işlemi olduğu ortaya çıktı.

Öğrencinin çözdüğü örneğe ters sırayla bakalım. Faktoring, parantez içindeki ortak çarpanın çıkarılması anlamına gelir.

2 x 3 + 8 x 2 y – 6 x = 2 x (x 2 + 4 xy – 3).

Bugün dersimizde bir polinomu çarpanlara ayırma ve ortak çarpanı parantezlerden çıkarma kavramlarına bakacağız ve bu kavramları alıştırma yaparken uygulamayı öğreneceğiz.

Ortak çarpanı parantezlerden çıkarmak için algoritma

Katsayıların en büyük ortak böleni.

Aynı harf değişkenleri.

Kaldırılan değişkenlere en küçük dereceyi ekleyin.

Daha sonra polinomun geri kalan tek terimlileri parantez içinde yazılır.

En büyük ortak bölen alt sınıflarda bulunurken, ortak değişkenin en küçük dereceye kadar olduğu hemen görülebilmektedir. Parantez içinde kalan polinomu hızlı bir şekilde bulmak için 657 sayısını kullanarak pratik yapmanız gerekir.

5. Yüksek sesle konuşarak ilköğretim öğrenimi.

657 (1 sütun)

Modül 2 (30 dk).

1. İlk 30 dakikanın sonucu.

A) Bir polinomun çarpanlarına ayrılması adı verilen dönüşüm hangisidir?

B) Ortak çarpanın parantezlerden çıkarılmasına dayanan özellik hangisidir?

Soru) Parantezlerden ortak çarpan nasıl çıkarılır?

2. Birincil konsolidasyon.

İfadeler tahtaya yazılır. Bu eşitliklerde varsa hataları bulun ve düzeltin.

1) 2 x 3 – 3 x 2 – x = x (2 x 2 – 3 x).

2) 2 x + 6 = 2 (x + 3).

3) 8 x + 12 y = 4 (2 x - 3y).

4) a 6 – a 2 = a 2 (a 2 – 1).

5) 4 -2a = – 2 (2 – a).

3. Anlayışın ilk kontrolü.

Kendi kendine test ile çalışma. 2 kişi başına arka taraf

Ortak çarpanı parantezlerden çıkarın:

Çarpma yoluyla sözlü olarak kontrol edin.

4. Öğrencileri genel etkinliklere hazırlamak.

Parantez içindeki polinom faktörünü çıkaralım (öğretmenin açıklaması).

Polinomu çarpanlarına ayırın.

Bu ifadede parantezlerin dışına alınabilecek tek ve aynı faktörün olduğunu görüyoruz. Yani şunu elde ederiz:

ve ifadeleri zıttır, dolayısıyla bazı durumlarda bu eşitliği kullanabilirsiniz. . İşareti iki kez değiştiriyoruz! Polinomu çarpanlara ayırın

Burada zıt ifadeler var ve önceki özdeşliği kullanarak şu girdiyi elde ediyoruz: .

Ve şimdi ortak faktörün parantezlerden çıkarılabileceğini görüyoruz.

Bu yazıda şunlara odaklanacağız: ortak çarpanı parantezlerden çıkarmak. Öncelikle bu ifade dönüşümünün nelerden oluştuğunu bulalım. Daha sonra, ortak faktörü parantezlerin dışına çıkarma kuralını sunacağız ve bunun uygulama örneklerini ayrıntılı olarak ele alacağız.

Sayfada gezinme.

Örneğin, 6 x + 4 y ifadesindeki terimlerin ortak çarpanı 2'dir ve bu açıkça yazılmaz. Ancak 6 sayısını 2·3'ün, 4 sayısını da 2·2'nin çarpımı olarak temsil ettikten sonra görülebilir. Bu yüzden, 6 x+4 y=2 3 x+2 2 y=2 (3 x+2 y). Başka bir örnek: x 3 +x 2 +3 x ifadesinde terimlerin ortak bir x çarpanı vardır; bu, x 3'ü x x 2 (bu durumda kullandık) ve x 2'yi x x ile değiştirdikten sonra açıkça görünür hale gelir. Parantezlerden çıkardıktan sonra x·(x 2 +x+3) elde ederiz.

Eksiyi parantez dışına çıkarma konusunu ayrı ayrı söyleyelim. Aslında eksiyi parantezlerin dışına çıkarmak, eksiyi parantezlerin dışına çıkarmak anlamına gelir. Örneğin, −5−12·x+4·x·y ifadesindeki eksiyi çıkaralım. Orijinal ifade şu şekilde yeniden yazılabilir: (−1) 5+(−1) 12 x−(−1) 4 x y, parantezlerden çıkardığımız ortak faktör −1'in açıkça görülebildiği yerden. Sonuç olarak, −1 katsayısının parantezlerin önündeki eksi ile değiştirildiği (−1)·(5+12·x−4·x·y) ifadesine ulaşırız, bunun sonucunda −( elde ederiz. 5+12·x−4·x·y) . Buradan eksi parantezlerden çıkarıldığında orijinal toplamın parantez içinde kaldığı ve tüm terimlerin işaretlerinin ters yönde değiştirildiği açıkça görülmektedir.

Bu makalenin sonunda ortak faktörün parantez içine alınmasının çok yaygın olarak kullanıldığını görüyoruz. Örneğin sayısal ifadelerin değerlerini daha verimli hesaplamak için kullanılabilir. Ayrıca, ortak bir faktörü parantezlerin dışına koymak, ifadeleri bir çarpım biçiminde temsil etmenize olanak tanır; özellikle bir polinomu çarpanlara ayırma yöntemlerinden biri, parantez içine almayı temel alır.

Kaynakça.

Matematik. 6. sınıf: eğitici. genel eğitim için kurumlar / [N. Ya Vilenkin ve diğerleri]. - 22. baskı, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: hasta. ISBN 978-5-346-00897-2.

Bu derste ortak bir çarpanı parantezlerin dışına çıkarmanın kurallarını öğreneceğiz ve bunu nasıl bulacağımızı öğreneceğiz. çeşitli örnekler ve ifadeler. Ortak faktörü parantezlerden çıkaran basit bir işlemin hesaplamaları nasıl basitleştirmenize olanak tanıdığından bahsedelim. Edinilen bilgi ve becerileri çeşitli karmaşıklık örneklerine bakarak pekiştireceğiz.

Ortak faktör nedir, neden aranır ve hangi amaçla parantezlerden çıkarılır? Basit bir örneğe bakarak bu sorulara cevap verelim.

Denklemi çözelim. Sol Taraf denklem benzer terimlerden oluşan bir polinomdur. Harf kısmı bu terimler için ortaktır, yani ortak çarpan olacaktır. Parantez dışına çıkaralım:

Bu durumda ortak çarpanı parantezlerden çıkarmak polinomu tek terimliye dönüştürmemize yardımcı oldu. Böylece polinomu basitleştirebildik ve dönüşümü denklemi çözmemize yardımcı oldu.

Ele alınan örnekte ortak faktör açıktı ancak bunu rastgele bir polinomda bulmak bu kadar kolay olur muydu?

İfadenin anlamını bulalım: .

İÇİNDE bu örnekte ortak faktörü parantezlerin dışına koymak hesaplamayı büyük ölçüde basitleştirdi.

Bir örnek daha çözelim. İfadelere bölünebilirliği kanıtlayalım.

Ortaya çıkan ifade, kanıtlanması gerektiği gibi, ile bölünebilir. Bir kez daha ortak çarpanı almak sorunu çözmemizi sağladı.

Bir örnek daha çözelim. İfadenin herhangi bir doğal sayı için bölünebileceğini kanıtlayalım: .

İfade iki bitişik doğal sayının çarpımıdır. İki sayıdan biri mutlaka çift olacaktır, yani ifade ile bölünebilir olacaktır.

Biz bunu çözdük farklı örnekler, ancak aynı çözüm yöntemini kullandılar: ortak çarpanı parantezlerden çıkardılar. Bu basit işlemin hesaplamaları büyük ölçüde kolaylaştırdığını görüyoruz. Bu özel durumlar için ortak bir faktör bulmak kolaydı, ancak genel durumda, keyfi bir polinom için ne yapılmalı?

Bir polinomun tek terimlilerin toplamı olduğunu hatırlayın.

Polinomu düşünün . Bu polinom iki tek terimlinin toplamıdır. Bir monom, bir sayının, bir katsayının ve bir harf kısmının çarpımıdır. Dolayısıyla bizim polinomumuzda her monom, bir sayının ve kuvvetlerin çarpımı olan faktörlerin çarpımı ile temsil edilir. Çarpanlar tüm monomiyaller için aynı olabilir. Belirlenmesi ve parantezden çıkarılması gereken bu faktörlerdir. Öncelikle tamsayı olan katsayıların ortak çarpanını buluyoruz.

Ortak faktörü bulmak kolaydı ama katsayıların gcd'sini tanımlayalım: .

Başka bir örneğe bakalım: .

Bu ifadenin ortak çarpanını belirlememizi sağlayacak olan'ı bulalım: .

Tamsayı katsayıları için bir kural türettik. Gcd'lerini bulup braketten çıkarmanız gerekiyor. Bir örnek daha çözerek bu kuralı pekiştirelim.

Tamsayı katsayılara ortak çarpan atama kuralını inceledik, şimdi harf kısmına geçelim. Öncelikle tüm tek terimlilerin içerdiği harfleri ararız, ardından tüm tek terimlilerin içerdiği harfin en yüksek derecesini belirleriz: .

Bu örnekte yalnızca bir ortak harf değişkeni vardı ancak aşağıdaki örnekte olduğu gibi birkaç tane de olabilir:

Tek terimlilerin sayısını artırarak örneği karmaşıklaştıralım:

Ortak çarpanı çıkardıktan sonra cebirsel toplamı bir çarpıma dönüştürdük.

Tamsayı katsayıları ve harf değişkenleri için çıkarma kurallarına ayrı ayrı baktık, ancak çoğu zaman örneği çözmek için bunları birlikte uygulamanız gerekir. Bir örneğe bakalım:

Bazen hangi ifadenin parantez içinde kaldığını belirlemek zor olabilir, göz önünde bulundurun kolay alım Bu sorunu hızlı bir şekilde çözmenize olanak tanıyacak.

Ortak faktör istenen değer de olabilir:

Ortak faktör yalnızca bir sayı veya tek terimli değil aynı zamanda aşağıdaki denklemde olduğu gibi herhangi bir ifade de olabilir.