Co je to matematická matice. Maticové řešení. Vysvětlete, jak řešit matice

Toto téma pokryje operace jako sčítání a odčítání matic, násobení matice číslem, násobení matice maticí, transpozice matice. Všechny symboly použité na této stránce jsou převzaty z předchozího tématu.

Sčítání a odčítání matic.

Součet $A+B$ matic $A_(m\krát n)=(a_(ij))$ a $B_(m\krát n)=(b_(ij))$ je matice $C_(m \times n) =(c_(ij))$, kde $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ pro všechny $i=\overline(1,m)$ a $j=\overline( 1,n) $.

Podobná definice je zavedena pro rozdíl matic:

Rozdíl $A-B$ matic $A_(m\krát n)=(a_(ij))$ a $B_(m\krát n)=(b_(ij))$ je matice $C_(m\krát n)=( c_(ij))$, kde $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ pro všechny $i=\overline(1,m)$ a $j=\overline(1, n) $.

Vysvětlení položky $i=\overline(1,m)$: show\hide

Záznam "$i=\overline(1,m)$" znamená, že se parametr $i$ změní z 1 na m. Například záznam $i=\overline(1,5)$ říká, že parametr $i$ nabývá hodnot 1, 2, 3, 4, 5.

Za zmínku stojí, že operace sčítání a odčítání jsou definovány pouze pro matice stejné velikosti. Obecně platí, že sčítání a odčítání matic jsou operace, které jsou intuitivně jasné, protože znamenají ve skutečnosti jen sčítání nebo odečítání odpovídajících prvků.

Příklad #1

Jsou uvedeny tři matice:

$$ A=\left(\begin(pole) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(pole) \right)\;\; B=\left(\begin(pole) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(pole) \right); \;\; F=\left(\begin(pole) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(pole) \right). $$

Je možné najít matici $A+F$? Najděte matice $C$ a $D$, pokud $C=A+B$ a $D=A-B$.

Matice $A$ obsahuje 2 řádky a 3 sloupce (jinými slovy, velikost matice $A$ je $2\krát 3$) a matice $F$ obsahuje 2 řádky a 2 sloupce. Rozměry matice $A$ a $F$ se neshodují, nemůžeme je tedy sčítat, tzn. operace $A+F$ pro tyto matice není definována.

Velikosti matic $A$ a $B$ jsou stejné, tzn. data matice obsahují stejný počet řádků a sloupců, takže operace sčítání se na ně vztahuje.

$$ C=A+B=\left(\začátek(pole) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(pole) \vpravo)+ \left(\začátek(pole ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(pole) \right)=\\= \left(\begin(pole) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(pole) \right)= \left(\begin(pole) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(pole) \vpravo) $$

Najděte matici $D=A-B$:

$$ D=A-B=\left(\begin(pole) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(pole) \right)- \left(\begin(pole) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(pole) \right)=\\= \left(\begin(pole) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(pole) \right)= \left(\begin(pole) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \end(pole) \vpravo) $$

Odpovědět: $C=\left(\begin(pole) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(pole) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(pole) \right)$.

Násobení matice číslem.

Součin matice $A_(m\krát n)=(a_(ij))$ a čísla $\alpha$ je matice $B_(m\krát n)=(b_(ij))$, kde $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ pro všechny $i=\overline(1,m)$ a $j=\overline(1,n)$.

Jednoduše řečeno, vynásobit matici nějakým číslem znamená vynásobit každý prvek dané matice tímto číslem.

Příklad č. 2

Je dána matice: $ A=\left(\begin(pole) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(pole) \right)$. Najděte matice $3\cdot A$, $-5\cdot A$ a $-A$.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(pole) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(pole) \right) =\left(\begin( pole) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(pole) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (pole) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(pole) \right) =\left(\begin(pole) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(pole) \right)= \left(\begin(pole) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(pole) \vpravo). $$

Zápis $-A$ je zkratkou pro $-1\cdot A$. To znamená, že abyste našli $-A$, musíte vynásobit všechny prvky matice $A$ číslem (-1). Ve skutečnosti to znamená, že znaménko všech prvků matice $A$ se změní na opak:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(pole) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(pole) \right)= \ left(\begin(pole) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$

Odpovědět: $3\cdot A=\left(\begin(pole) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(pole) \right);\; -5\cdot A=\left(\začátek(pole) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(pole) \vpravo);\; -A=\left(\begin(pole) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(pole) \right)$.

Součin dvou matic.

Definice této operace je těžkopádná a na první pohled nesrozumitelná. Proto nejprve uvedu obecná definice, a následně si podrobně rozebereme, co to znamená a jak s tím pracovat.

Součin matice $A_(m\krát n)=(a_(ij))$ a matice $B_(n\krát k)=(b_(ij))$ je matice $C_(m\krát k )=(c_( ij))$, pro které se každý prvek $c_(ij)$ rovná součtu součinů odpovídajícího i-té prvkyřádky matice $A$ prvky j-tého sloupce matice $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_(p=1)^(n)a_(ip)b_(pj ), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Krok za krokem rozebereme násobení matic na příkladu. Měli byste však okamžitě věnovat pozornost tomu, že ne všechny matice lze násobit. Pokud chceme matici $A$ vynásobit maticí $B$, pak se nejprve musíme ujistit, že počet sloupců matice $A$ je roven počtu řádků matice $B$ (takové matice se často nazývají souhlasil). Například matici $A_(5\krát 4)$ (matice obsahuje 5 řádků a 4 sloupce) nelze násobit maticí $F_(9\krát 8)$ (9 řádků a 8 sloupců), protože počet sloupců matice $A $ není rovna počtu řádků matice $F$, tzn. $4\neq 9$. Je však možné vynásobit matici $A_(5\krát 4)$ maticí $B_(4\krát 9)$, protože počet sloupců matice $A$ je roven počtu řádků matice $B$. V tomto případě je výsledkem vynásobení matic $A_(5\krát 4)$ a $B_(4\krát 9)$ matice $C_(5\krát 9)$ obsahující 5 řádků a 9 sloupců:

Příklad #3

Dané matice: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (pole) \right)$ a $ B=\left(\begin(pole) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(pole) \right) $. Najděte matici $C=A\cdot B$.

Pro začátek rovnou určíme velikost matice $C$. Protože matice $A$ má velikost $3\krát 4$ a matice $B$ má velikost $4\krát 2$, velikost matice $C$ je $3\krát 2$:

Takže jako výsledek součinu matic $A$ a $B$ bychom měli dostat matici $C$, sestávající z tři řádky a dva sloupce: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_(11) & c_(12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \ konec(pole)\vpravo)$. Pokud označení prvků vyvolává otázky, pak se můžete podívat na předchozí téma: "Matice. Typy matic. Základní pojmy", na jehož začátku je vysvětleno označení prvků matice. Naším cílem je najít hodnoty všech prvků matice $C$.

Začněme prvkem $c_(11)$. Chcete-li získat prvek $c_(11)$, musíte najít součet součinů prvků prvního řádku matice $A$ a prvního sloupce matice $B$:

Pro nalezení samotného prvku $c_(11)$ je potřeba vynásobit prvky prvního řádku matice $A$ odpovídajícími prvky prvního sloupce matice $B$, tzn. první prvek na první, druhý na druhý, třetí na třetí, čtvrtý na čtvrtý. Shrneme získané výsledky:

$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

Pokračujme v řešení a najdeme $c_(12)$. Chcete-li to provést, musíte vynásobit prvky prvního řádku matice $A$ a druhého sloupce matice $B$:

Podobně jako u předchozího máme:

$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

Jsou nalezeny všechny prvky prvního řádku matice $C$. Přejdeme na druhý řádek, který začíná prvkem $c_(21)$. Chcete-li to najít, musíte vynásobit prvky druhého řádku matice $A$ a prvního sloupce matice $B$:

$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$

Další prvek $c_(22)$ se najde vynásobením prvků druhého řádku matice $A$ odpovídajícími prvky druhého sloupce matice $B$:

$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

Abychom našli $c_(31)$, vynásobíme prvky třetího řádku matice $A$ prvky prvního sloupce matice $B$:

$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

A konečně, abyste našli prvek $c_(32)$, musíte vynásobit prvky třetího řádku matice $A$ odpovídajícími prvky druhého sloupce matice $B$:

$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

Všechny prvky matice $C$ jsou nalezeny, zbývá pouze zapsat, že $C=\left(\begin(pole) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(pole ) \vpravo)$ . Nebo abych to napsal celý:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(pole) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(pole) \right)\cdot \left(\begin(pole) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(pole) \right) =\left(\begin(pole) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(pole) \right). $$

Odpovědět: $C=\left(\begin(pole) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(pole) \right)$.

Mimochodem, často není důvod podrobně popisovat umístění každého prvku výsledné matice. Pro matice, jejichž velikost je malá, můžete provést následující:

Za zmínku také stojí, že maticové násobení je nekomutativní. To znamená, že obecně $A\cdot B\neq B\cdot A$. Pouze u některých typů matic, které jsou tzv permutační(nebo dojíždění), platí rovnost $A\cdot B=B\cdot A$. Právě na základě nekomutativnosti násobení je třeba přesně uvést, jak výraz násobíme tou či onou maticí: vpravo nebo vlevo. Například fráze „vynásobte obě strany rovnosti $3E-F=Y$ maticí $A$ vpravo“ znamená, že chcete získat následující rovnost: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.

Transponovaná vzhledem k matici $A_(m\krát n)=(a_(ij))$ je matice $A_(n\krát m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, pro prvky, kde $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

Jednoduše řečeno, abyste získali transponovanou matici $A^T$, musíte nahradit sloupce v původní matici $A$ odpovídajícími řádky podle tohoto principu: byl první řádek - první sloupec se stane; tam byl druhý řádek - druhý sloupec se stane; byl tam třetí řádek - bude tam třetí sloupec a tak dále. Například najdeme transponovanou matici na matici $A_(3\krát 5)$:

Pokud tedy původní matice měla velikost $3\krát 5$, pak transponovaná matice má velikost $5\krát 3$.

Některé vlastnosti operací s maticemi.

Zde se předpokládá, že $\alpha$, $\beta$ jsou nějaká čísla a $A$, $B$, $C$ jsou matice. U prvních čtyř vlastností jsem uvedl názvy, zbytek lze pojmenovat analogicky s prvními čtyřmi.

1. $A+B=B+A$ (komutativity sčítání)
2. $A+(B+C)=(A+B)+C$ (adiční asociativita)
3. $(\alpha+\beta)\cdot A=\alpha A+\beta A$ (distributivity násobení maticí s ohledem na sčítání čísel)
4. $\alpha\cdot(A+B)=\alpha A+\alpha B$ (distributivity násobení číslem s ohledem na sčítání matice)
5. $A(BC)=(AB)C$
6. $(\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)$
7. $A\cdot (B+C)=AB+AC$, $(B+C)\cdot A=BA+CA$.
8. $A\cdot E=A$, $E\cdot A=A$, kde $E$ je matice identity odpovídajícího řádu.
9. $A\cdot O=O$, $O\cdot A=O$, kde $O$ je nulová matice odpovídající velikosti.
10. $\left(A^T \right)^T=A$
11. $(A+B)^T=A^T+B^T$
12. $(AB)^T=B^T\cdot A^T$
13. $\left(\alpha A \right)^T=\alpha A^T$

V další části bude uvažována operace umocnění matice na nezápornou celočíselnou mocninu a budou řešeny příklady, ve kterých bude potřeba několik operací s maticemi.

Definice 1. Velikost matice Am n volal obdélníkový stůl z m řádků a n sloupců, sestávající z čísel nebo jiných matematických výrazů (nazývaných maticové prvky), i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

nebo

Definice 2. Dvě matrice
A
stejné velikosti se nazývají rovnat se, pokud se shodují prvek po prvku, tzn. =,i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

Pomocí matic lze snadno zapsat některé ekonomické závislosti, například tabulky rozdělení zdrojů pro určitá odvětví ekonomiky.

Definice 3. Pokud se počet řádků matice shoduje s počtem jejích sloupců, tzn. m = n, pak se zavolá matice čtvercové pořadín, v opačném případě obdélníkový.

Definice 4. Přechod z matice A na matici A m, ve které jsou řádky a sloupce prohozeny se zachováním pořadí, se nazývá transpozice matrice.

Typy matic: čtvercové (velikost 33) -
,

obdélníkový (velikost 25) -
,

úhlopříčka -
, svobodný -
, nula -
,

matice-řádek -
, matice-sloupec -.

Definice 5. Elementy čtvercová maticeřádu n se stejnými indexy se nazývají prvky hlavní diagonály, tzn. toto jsou prvky:
.

Definice 6. Prvky čtvercové matice řádu n se nazývají sekundární diagonální prvky, je-li součet jejich indexů roven n + 1, tzn. jedná se o prvky: .

1.2. Operace na matricích.

1 0 . součet dvě matrice
A
stejné velikosti se nazývá matice С = (с ij), jejíž prvky jsou určeny rovností s ij = a ij + b ij , (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2 ,3,…,n).

Vlastnosti operace sčítání matic.

Pro jakékoli matice A,B,C stejné velikosti jsou splněny následující rovnosti:

1) A + B = B + A (komutativity),

2) (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (asociativita).

2 0 . práce matrice
za číslo  tzv. matice
stejnou velikost jako matice A a b ij =  (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n).

Vlastnosti operace násobení matice číslem.

(А) = ()А (asociativnost násobení);

(А+В) = А+В (distributivity násobení s ohledem na sčítání matic);

(+)A = A+A (distributivity násobení s ohledem na sčítání čísel).

Definice 7. Lineární kombinace matic
A
stejné velikosti se nazývá výraz ve tvaru A + B, kde  a  jsou libovolná čísla.

3 0 . Produkt A  V matrice A a B o velikosti mn a nk se nazývá matice C o velikosti mk, takže prvek s ij je roven součtu součinů prvků i-tého řádku. matice A a j-tý sloupec matice B, tzn. s ij = a i 1 b 1 j +a i 2 b 2 j +…+a ik b kj .

Součin AB existuje pouze v případě, že počet sloupců matice A je stejný jako počet řádků matice B.

Vlastnosti operace násobení matic:

(АВ)С = А(ВС) (asociativnost);

(А+В)С = АС+ВС (distributivity s ohledem na sčítání matic);

А(В+С) = АВ+АС (distributivity s ohledem na sčítání matic);

АВ  ВА (nikoli komutativnost).

Definice 8. Matice A a B, pro které AB = BA, se nazývají dojíždění nebo permutace.

Vynásobením čtvercové matice libovolného řádu odpovídající maticí identity se matice nezmění.

Definice 9. Elementární transformace matice se nazývají následující operace:

Prohoďte dva řádky (sloupce).

Vynásobte každý prvek řádku (sloupce) nenulovým číslem.

Přidání odpovídajících prvků dalšího řádku (sloupce) k prvkům jednoho řádku (sloupce).

Definice 10. Matice B získaná z matice A pomocí elementárních transformací se nazývá ekvivalent(označeno BA).

Příklad 1.1. Nalézt lineární kombinace matice 2A–3B, pokud

,
.

,
,

.

Příklad 1.2. Najděte součin matic
, Pokud

.

Řešení: protože počet sloupců první matice je stejný jako počet řádků druhé matice, existuje maticový součin. V důsledku toho získáme novou matici
, Kde

V důsledku toho dostáváme
.

Přednáška 2. Determinanty. Výpočet determinantů druhého, třetího řádu. Vlastnosti kvalifikátorun-tý řád.

Návod

Počet sloupců a řádků je nastaven dimenze matrice. Např, dimenze yu 5x6 má 5 řádků a 6 sloupců. Obecně, dimenze matrice se zapisuje jako m×n, kde číslo m udává počet řádků, n - sloupců.

Pokud má pole dimenze m×n, lze jej vynásobit polem n×l. Nejprve počet sloupců matrice se musí rovnat počtu řádků druhého, jinak nebude operace násobení definována.

Dimenze matrice udává počet rovnic v systému a počet proměnných. Počet řádků odpovídá počtu rovnic a každý sloupec má svou vlastní proměnnou. Systémové řešení lineární rovnice„zaznamenáno“ v operacích na matrice. Díky matričnímu zápisu možný systém vysoké zakázky.

Pokud se počet řádků rovná počtu sloupců, matice je čtvercová. Obsahuje hlavní a vedlejší diagonály. Domov přichází zleva horní roh vpravo dole, boční - z pravého horního do levého dolního.

Pole dimenze a m×1 nebo 1×n jsou vektory. Jako vektor můžete také reprezentovat libovolný řádek a libovolný sloupec libovolné tabulky. Pro takové matice jsou definovány všechny operace s vektory.

Při programování jsou obdélníkové tabulce uvedeny dva indexy, z nichž jeden prochází celým řádkem, druhý - délka sloupce. V tomto případě je cyklus pro jeden index umístěn uvnitř cyklu pro jiný, díky čemuž se sekvenční průchod celé dimenze matrice.

matrice- Tento účinná metoda reprezentace číselné informace. Řešení libovolné soustavy lineárních rovnic lze zapsat jako matici (obdélník složený z čísel). Schopnost násobit matice je jednou z nejdůležitějších dovedností vyučovaných v kurzu Lineární algebra na vysokých školách.

Budete potřebovat

• Kalkulačka

Návod

Pro kontrolu této podmínky je nejjednodušší použít následující algoritmus - zapište rozměr první matice jako (a*b). Další rozměr druhého - (c*d). Pokud jsou b=c - matice srovnatelné, lze je násobit.

Poté proveďte samotné násobení. Pamatujte - když vynásobíte dvě matice, dostanete matici. To znamená, že problém násobení je redukován na problém nalezení nového, s dimenzí (a * d). V SI vypadá problém násobení matic takto:
void matrixmult(int m1[n], int m1_row, int m1_col, int m2[n], int m2_row, int m2_col, int m3[n], int m3_row, int m3_col)
(pro (int i = 0; i< m3_row; i++)
for (int j = 0; j< m3_col; j++)
m3[i][j]=0;
for (int k = 0; k< m2_col; k++)
for (int i = 0; i< m1_row; i++)
for (int j = 0; j< m1_col; j++)
m3[i][k] += m1[i][j] * m2[j][k];
}

Jednoduše řečeno, nová matice je součtem součinů prvků řádku první matice a prvků sloupce druhé matice. Pokud jste prvkem třetí matice s číslem (1;2), měli byste jednoduše vynásobit první řádek první matice druhým sloupcem druhé. Chcete-li to provést, zvažte počáteční částku rovnou nule. Poté vynásobte první prvek prvního řádku prvním prvkem druhého sloupce, přidejte hodnotu k součtu. Uděláte to takto: vynásobte i-tý prvek prvního řádku i-tým prvkem druhého sloupce a výsledky přidejte k součtu, dokud řádek neskončí. Konečný součet bude požadovaným prvkem.

Až najdete všechny prvky třetí matice, zapište si ji. Našli jste práce matrice.

Prameny:

• Hlavní matematický portál Ruska v roce 2019
• jak najít součin matic v roce 2019

Matematická matice je uspořádaná tabulka prvků. Dimenze matrice je určen počtem jeho řádků m a sloupců n. Maticové řešení je chápáno jako soubor zobecňujících operací prováděných na maticích. Existuje několik typů matic, některé z nich nejsou použitelné pro řadu operací. Pro matice se stejným rozměrem existuje operace sčítání. Součin dvou matic je nalezen pouze v případě, že jsou kompatibilní. Pro jakékoli matrice je určen determinant. Matici lze také transponovat a určit minoritní z jejích prvků.

Návod

Zapište si úkoly. Určete jejich rozměry. Chcete-li to provést, spočítejte počet sloupců n a řádků m. Pokud pro jednoho matrice m = n, předpokládá se, že matice je čtvercová. Pokud všechny prvky matrice rovna nule, matice je nula. Určete hlavní úhlopříčku matic. Jeho prvky jsou umístěny z levého horního rohu matrice vpravo dole. Za druhé, obrácená úhlopříčka matrice je strana.

Proveďte maticovou transpozici. Chcete-li to provést, nahraďte prvky v každém řádku prvky sloupce vzhledem k hlavní diagonále. Z prvku a21 se stane prvek a12 matrice a naopak. V důsledku toho z každé iniciál matrice je získána nová transponovaná matice.

Přidejte dané matrice, pokud mají stejný rozměr m x n. Chcete-li to provést, vezměte první matrice a11 a přidejte jej se stejným prvkem b11 sekunda matrice. Výsledek sčítání zapište do nového na stejné místo. Poté přidejte prvky a12 a b12 obou matic. Vyplňte tedy všechny řádky a sloupce součtu matrice.

Určete, zda je dáno matrice souhlasil. Chcete-li to provést, porovnejte počet řádků n v prvním matrice a počet sloupců m sekund matrice. Pokud jsou stejné, proveďte maticový součin. Chcete-li to provést, vynásobte každý prvek prvního řádku ve dvojicích. matrice na odpovídající prvek druhého sloupce matrice. Poté najděte součet těchto produktů. Tedy první prvek výsledného matrice g11 = a11*b11 + a12*b21 + a13*b31 + ... + a1m*bn1. Proveďte násobení a sečtení všech produktů a vyplňte výslednou matici G.

Najděte determinant nebo determinant pro každý daný matrice. Pro matice druhé - o rozměrech 2 x 2 - je determinant nalezen jako součin prvků hlavní a vedlejší diagonály. matrice. Pro 3D matrice determinant: D \u003d a11 * a22 * a33 + a13 * a21 * a32 + a12 * a23 * a31 - a21 * a12 * a33 - a13 * a22 * a31 - a11 * a32 * a23.

Prameny:

• matice jak řešit

matrice jsou množinou řádků a sloupců, na jejichž průsečíku jsou prvky matice. matrice jsou široce používány k řešení různých rovnic. Jednou ze základních algebraických operací s maticemi je sčítání matic. Jak přidat matice?

Návod

Můžete přidat pouze jednorozměrné matice. Pokud má jedna matice m řádků a n sloupců, pak druhá matice musí mít také m řádků a n sloupců. Ujistěte se, že matice vrstvení jsou jednorozměrné.

Pokud jsou prezentované matice stejně velké, to znamená, že umožňují algebraickou operaci sčítání, pak for je matice stejné velikosti. Chcete-li to udělat, musíte sečíst ve dvojicích všechny prvky dvou, které jsou na stejných místech. Vezměte první matici umístěnou v prvním řádku a prvním sloupci. Přidejte jej k prvku druhé matice umístěné na stejném místě. Výsledek zadejte do prvku prvního řádku sloupce celkové matice. Udělejte to pro všechny prvky.

Přidání tří nebo více matic se redukuje na přidání dvou matic. Chcete-li například najít součet matic A + B + C, nejprve najděte součet matic A a B a poté přidejte výslednou matici k matici C.

Související videa

Na první pohled nepochopitelné, matrice vlastně nejsou tak složité. Nacházejí široké praktické využití v ekonomii a účetnictví. Matice vypadají jako tabulky, v každém sloupci a řádku obsahují číslo, funkci nebo jakoukoli jinou hodnotu. Existuje několik typů matric.

Návod

Abyste se naučili matici, seznamte se s jejími základními pojmy. Určujícími prvky matice jsou její úhlopříčky – a strana. Hlavní začíná od prvku v prvním řádku, prvním sloupci a pokračuje k prvku posledního sloupce, posledního řádku (to znamená, že jde zleva doprava). Boční diagonála začíná v první řadě v opačném směru, ale poslední sloupec a pokračuje k prvku, který má souřadnice prvního sloupce a posledního řádku (jde zprava doleva).

Chcete-li jít do následující definice a algebraické operace s maticemi, studium typů matic. Nejjednodušší z nich jsou čtvercové, jednotkové, nulové a inverzní. Ve stejném počtu sloupců a řádků. Transponovaná matice, nazvěme ji B, se získá z matice A nahrazením sloupců řádky. V jednotce jsou všechny prvky hlavní úhlopříčky jedničky a ostatní nuly. A v nule jsou i prvky úhlopříček nulové. Inverzní matice je ta, na které původní matice přechází do formy identity.

Také matice může být symetrická kolem hlavní nebo boční osy. To znamená, že prvek, který má souřadnice a(1;2), kde 1 je číslo řádku a 2 je číslo sloupce, je roven a(2;1). A(3;1)=A(1;3) a tak dále. Shodné matice jsou takové, kde počet sloupců jednoho je roven počtu řádků druhého (takové matice lze násobit).

Hlavní akce, které lze s maticemi provádět, jsou sčítání, násobení a nalezení determinantu. Pokud jsou matice stejně velké, to znamená, že mají stejný počet řádků a sloupců, lze je přidat. Je nutné sečíst prvky, které jsou v maticích na stejných místech, to znamená sečíst a (m; n) s in (m; n), kde m a n jsou odpovídající souřadnice sloupce a řádku. Při sčítání matic platí hlavní pravidlo běžného aritmetického sčítání - při změně místa členů se součet nemění. Pokud tedy místo jednoduchého prvku a

Návod. Pro online řešení musíte zadat maticový výraz. Ve druhé fázi bude nutné objasnit rozměry matic.

Platné operace: násobení (*), sčítání (+), odčítání (-), inverze matice A^(-1) , umocňování (A^2 , B^3), transpozice matice (A^T).
Chcete-li provést seznam operací, použijte oddělovač středník (;). Chcete-li například provést tři operace:
a) 3A + 4B
b) AB-BA
c) (A-B)-1
bude třeba napsat takto: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

Matice je obdélníková numerická tabulka s m řádky a n sloupci, takže matici lze schematicky znázornit jako obdélník.
Nulová matice (nulová matice) se nazývá matice, jejíž všechny prvky jsou rovny nule a označují 0.
matice identity se nazývá čtvercová matice formuláře

Pojďme definovat základní operace s maticemi.

Přidání matice

Příklad 6. .
Operace sčítání matic se rozšiřuje na případ libovolného počtu členů. Je zřejmé, že A+0=A .
Ještě jednou zdůrazňujeme, že lze přidat pouze matice stejné velikosti; pro matriky různé velikosti operace sčítání není definována.

Odčítání matice

Maticové násobení

Příklad 7. Maticová data A . Najděte matice C = A·B a D = B·A.
Řešení. Nejprve si všimněte, že součin A B existuje, protože počet sloupců v A se rovná počtu řádků v B.

Příklad 8. Daná matrice . Najděte 3A 2 - 2A.
Řešení.

.
; .
.
Všimli jsme si následující zajímavé skutečnosti.
Jak víte, součin dvou nenulových čísel se nerovná nule. Pro matice taková okolnost nemusí nastat, to znamená, že součin nenulových matic může být roven matici nulové.

Matice v matematice jsou jedním z nejdůležitějších objektů aplikovaného významu. Exkurze do teorie matic často začíná slovy: „Matice je obdélníková tabulka ...“. Tento exkurz začneme z trochu jiného úhlu.

Telefonní seznamy libovolné velikosti as libovolným počtem účastnických dat nejsou nic jiného než matice. Tyto matice vypadají takto:

Je jasné, že takové matice všichni používáme téměř každý den. Tyto matice jsou dodávány s různým počtem řádků (liší se jako adresář vydaný telefonní společností, který může mít tisíce, stovky tisíc nebo dokonce miliony řádků, a nový, který jste právě založili Notebook, ve kterých je méně než deset řádků) a sloupce (adresář úředníků nějaké organizace, ve kterém mohou být sloupce jako pozice a číslo kanceláře, a totéž váš notebook, kde nesmí být žádné jiné údaje než jméno, a má tedy pouze dva sloupce – jméno a telefonní číslo).

Jakékoli matice lze sčítat a násobit, stejně jako s nimi lze provádět další operace, ale není třeba sčítat a násobit telefonní seznamy, není z toho žádný užitek, kromě toho můžete pohnout svou myslí.

Ale velmi mnoho matic lze a mělo by se sčítat a násobit a takto lze řešit různé naléhavé úkoly. Níže jsou uvedeny příklady takových matic.

Matice, ve kterých jsou sloupce produkce jednotek určitého typu produktu a řádky jsou roky, ve kterých je produkce tohoto produktu zaznamenána:

Můžete přidat matice tohoto druhu, které berou v úvahu výrobu podobných produktů různými podniky, abyste získali souhrnná data pro průmysl.

Nebo matice, sestávající například z jednoho sloupce, ve kterém jsou řádky průměrné náklady na konkrétní typ produktu:

Matice posledních dvou typů lze násobit a výsledkem je řádková matice obsahující náklady na všechny typy výrobků podle let.

Matice, základní definice

Obdélníková tabulka složená z čísel uspořádaných v m linky a n se nazývá sloupce mn-matice (nebo jednoduše matice ) a napsáno takto:

(1)

V matici (1) se čísla nazývají její Prvky (stejně jako v determinantu, první index znamená číslo řádku, druhý - sloupec, na jehož průsečíku je prvek; i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, n).

Matice se nazývá obdélníkový , Pokud .

Li m = n, pak se zavolá matice náměstí a číslo n je jeho v pořádku .

Determinant čtvercové matice A se nazývá determinant, jehož prvky jsou prvky matice A. Označuje se symbolem | A|.

Čtvercová matice se nazývá nespeciální (nebo nedegenerované , nejednotné číslo ) pokud jeho determinant není roven nule a speciální (nebo degenerovat , jednotné číslo ), je-li jeho determinant nula.

Matice se nazývají rovnat se pokud mají stejný počet řádků a sloupců a všechny odpovídající prvky jsou stejné.

Matice se nazývá nula pokud jsou všechny jeho prvky rovny nule. Nulová matice bude označeno symbolem 0 nebo .

Například,

řádková matice (nebo malá písmena ) se nazývá 1 n- matice a sloupcová matice (nebo sloupovitý ) – m 1-matice.

Matice A“, který se získá z matice A prohození řádků a sloupců v něm se nazývá transponováno vzhledem k matici A. Pro matici (1) je tedy transponovaná matice

Přechod na maticový provoz A“, transponované s ohledem na matici A, se nazývá transpozice matice A. Pro mn-matice transponovaná je nm-matice.

Matice transponovaná vzhledem k matici je A, to je

(A")" = A .

Příklad 1 Najděte Matrix A“, transponované s ohledem na matici

a zjistit, zda jsou determinanty původní a transponované matice stejné.

hlavní úhlopříčka Čtvercová matice je pomyslná čára spojující její prvky, pro kterou jsou oba indexy stejné. Tyto prvky se nazývají úhlopříčka .

Říká se čtvercová matice, ve které jsou všechny prvky mimo hlavní úhlopříčku rovny nule úhlopříčka . Ne všechny diagonální prvky diagonální matice jsou nutně nenulové. Některé z nich se mohou rovnat nule.

Čtvercová matice, ve které se prvky na hlavní diagonále rovnají stejnému nenulovému číslu a všechny ostatní jsou rovny nule, se nazývá skalární matice .

matice identity se nazývá diagonální matice, ve které jsou všechny diagonální prvky rovny jedné. Například matice identity třetího řádu je matice

Příklad 2 Data matice:

Řešení. Vypočítejme determinanty těchto matic. Pomocí pravidla trojúhelníků najdeme

Maticový determinant B vypočítat podle vzorce

To snadno získáme

Proto matrice A a jsou nesingulární (nedegenerované, nesingulární), a matice B- zvláštní (degenerovaný, singulární).

Determinant matice identity jakéhokoli řádu je zjevně rovný jedné.

Vyřešte maticový problém sami a pak se podívejte na řešení

Příklad 3 Maticová data

,

,

Určete, které z nich jsou nesingulární (nedegenerované, nesingulární).

Aplikace matic v matematickém a ekonomickém modelování

Ve formě matic se jednoduše a pohodlně zapisují strukturovaná data o konkrétním objektu. Maticové modely jsou vytvářeny nejen pro ukládání těchto strukturovaných dat, ale také pro řešení různých problémů s těmito daty pomocí lineární algebry.

Známým maticovým modelem ekonomiky je tedy model „input-output“, který zavedl americký ekonom ruského původu Wassily Leontiev. Tento model je založen na předpokladu, že celý výrobní sektor ekonomiky je rozdělen na nčistý průmysl. Každé z odvětví vyrábí pouze jeden typ produktu a různá odvětví vyrábějí různé produkty. Kvůli této dělbě práce mezi odvětvími existují meziodvětvové vztahy, jejichž smyslem je, že část produkce každého odvětví se jako výrobní zdroj převádí do jiných odvětví.

Objem výroby i- odvětví (měřeno konkrétní měrnou jednotkou), které bylo vyrobeno během vykazovaného období, označuje se a nazývá se celkový výstup i odvětví. Problémy jsou pohodlně umístěny n-řada komponent matice.

Počet jednotek produktu i- odvětví, které má být vynaloženo j-té odvětví na výrobu jednotky jeho produkce, se označuje a nazývá se koeficient přímých nákladů.