Najděte původní funkci z obrázku. Jak najít podobný obrázek, fotografii, obrázek na internetu

Jak vyřešit diferenciální rovnici
metoda operačního počtu?

V této lekci bude podrobně probrán typický a rozšířený úkol komplexní analýzy - nalezení konkrétního řešení DE 2. řádu s konstantními koeficienty pomocí metody operačního počtu. Znovu a znovu vás zbavuji předsudku, že materiál je nepředstavitelně složitý a nepřístupný. Je to legrační, ale abyste zvládli příklady, možná nebudete schopni rozlišovat, integrovat a dokonce ani nevíte, co to je komplexní čísla. Vyžaduje se aplikační dovednost metoda neurčitých koeficientů, který je podrobně rozebrán v článku Integrace zlomkových racionálních funkcí. Ve skutečnosti jsou základním kamenem zadání jednoduché algebraické operace a jsem si jist, že materiál je přístupný i středoškolskému studentovi.

Nejprve stručné teoretické informace o uvažovaném úseku matematická analýza. Hlavní bod operační kalkul sestává z následujícího: funkce platný proměnná pomocí tzv Laplaceova transformace zobrazeno v funkce obsáhlý variabilní :

Terminologie a označení:
funkce se volá originál;
funkce se volá obraz;
velké písmeno označuje Laplaceova transformace.

Mluvení jednoduchým jazykem, musí být skutečná funkce (původní) podle určitých pravidel převedena na komplexní funkce(obraz). Šipka ukazuje přesně tuto transformaci. A samotná „určitá pravidla“ jsou Laplaceova transformace, který budeme uvažovat pouze formálně, což bude pro řešení problémů zcela postačovat.

Inverzní Laplaceova transformace je také možná, když je obraz transformován do originálu:

Proč je to všechno potřeba? V řadě vyšších matematických úloh může být velmi přínosné přejít od originálů k obrázkům, neboť v tomto případě je řešení úlohy výrazně zjednodušeno (jen žert). A my se budeme zabývat pouze jedním z těchto problémů. Pokud jste se dožili operativního počtu, pak by vám formulace měla být velmi známá:

Najděte konkrétní řešení nehomogenní rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty pro dané počáteční podmínky.

Poznámka: někdy může být diferenciální rovnice homogenní: , pro něj je ve výše uvedené formulaci rovněž použitelná metoda operačního počtu. Nicméně v praktických příkladech homogenní DE 2. řádu je extrémně vzácný a dále budeme hovořit o nehomogenních rovnicích.

A nyní bude řeč o třetí metodě – řešení diferenciálních rovnic pomocí operačního počtu. Ještě jednou zdůrazňuji skutečnost, že mluvíme o hledání konkrétního řešení, Kromě, počáteční podmínky mají striktně formu(„X“ se rovná nulám).

Mimochodem, o „X“. Rovnici lze přepsat takto:
, kde „x“ je nezávislá proměnná a „y“ je funkce. Není náhodou, že o tom mluvím, protože v uvažovaném problému se nejčastěji používají jiná písmena:

To znamená, že roli nezávislé proměnné hraje proměnná „te“ (místo „x“) a roli funkce hraje proměnná „x“ (místo „y“).

Chápu, že je to samozřejmě nepohodlné, ale je lepší držet se zápisů, které se nacházejí ve většině problémových knih a školicích příruček.

Náš problém s jinými písmeny je tedy napsán takto:

Najděte konkrétní řešení nehomogenní rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty pro dané počáteční podmínky .

Význam úkolu se vůbec nezměnil, změnila se pouze písmena.

Jak tento problém vyřešit pomocí metody operačního počtu?

V první řadě budete potřebovat tabulka originálů a obrázků. Toto je klíčový nástroj řešení a bez něj se neobejdete. Pokud je to možné, zkuste si vytisknout poskytnutý referenční materiál. Dovolte mi okamžitě vysvětlit, co znamená písmeno „pe“: komplexní proměnná (místo obvyklého „z“). Ačkoli tato skutečnost není pro řešení problémů nijak zvlášť důležitá, „pe“ je „pe“.

Pomocí tabulky je třeba předlohy přeměnit na nějaké obrázky. Následuje řada typických akcí a je použita inverzní Laplaceova transformace (také v tabulce). Tak bude nalezeno požadované konkrétní řešení.

Všechny problémy, což je fajn, se řeší podle poměrně přísného algoritmu.

Příklad 1

, ,

Řešení: V prvním kroku přejdeme od originálů k odpovídajícím obrázkům. Používáme levá strana.

Pojďme se nejprve zabývat levou stranou původní rovnice. Pro Laplaceovu transformaci, pravidla linearity, takže ignorujeme všechny konstanty a pracujeme samostatně s funkcí a jejími derivacemi.

Podle tabulkového vzorce č. 1 transformujeme funkci:

Podle vzorce č.2 , s ohledem na počáteční podmínku , otočíme derivaci:

Podle vzorce č. 3, s ohledem na počáteční podmínky, otočíme druhou derivaci:

Nenechte se zmást znameními!

Uznávám, že je správnější říkat „transformace“ spíše než „vzorce“, ale pro jednoduchost čas od času nazvu obsah tabulky vzorcem.

Nyní se zabývejme pravá strana, který obsahuje polynom. Kvůli stejnému pravidla linearity Laplaceova transformace, pracujeme s každým termínem zvlášť.

Podívejme se na první člen: - toto je nezávislá proměnná „te“ násobená konstantou. Konstantu ignorujeme a pomocí bodu č. 4 tabulky provedeme transformaci:

Podívejme se na druhý termín: –5. Když je konstanta nalezena sama, nelze ji již přeskočit. S jedinou konstantou to dělají: pro jasnost ji lze reprezentovat jako součin: a transformaci lze aplikovat na jednotu:

Pro všechny prvky (originály) diferenciální rovnice byly tedy nalezeny odpovídající obrázky pomocí tabulky:

Dosadíme nalezené obrázky do původní rovnice:

Dalším úkolem je vyjádřit se operátorské řešení přes všechno ostatní, totiž přes jeden zlomek. V tomto případě je vhodné dodržet následující postup:

Nejprve otevřete závorky na levé straně:

Podobné termíny uvádíme na levé straně (pokud existují). V v tomto případě sečtěte čísla –2 a –3. Důrazně doporučuji, aby čajové konvice nechyběly tuto fázi:

Vlevo ponecháme výrazy, které obsahují , a zbývající výrazy přesuneme doprava se změnou znaménka:

Na levé straně vyjmeme operátorové řešení ze závorek, na pravé straně zmenšíme výraz na společného jmenovatele:

Polynom nalevo by měl být faktorizován (pokud je to možné). Řešení kvadratické rovnice:

Tím pádem:

Nastavíme se na jmenovatele pravé strany:

Cíle bylo dosaženo – operátorské řešení je vyjádřeno jedním zlomkem.

Akce dvě. Použitím metoda nejistých koeficientů, operátorové řešení rovnice by mělo být rozšířeno na součet elementárních zlomků:

Položme rovnítko mezi koeficienty u odpovídajících mocnin a vyřešme soustavu:

Pokud máte nějaké problémy s sledujte prosím články Integrace frakčně-racionální funkce A Jak vyřešit soustavu rovnic? To je velmi důležité, protože zlomky jsou v podstatě nejdůležitější částí problému.

Takže koeficienty jsou nalezeny: a operátorové řešení se před námi objeví v rozloženém tvaru:

Upozorňujeme, že konstanty se nezapisují v čitatelích zlomků. Tato forma záznamu je výnosnější než . A je to výhodnější, protože konečná akce proběhne bez zmatků a chyb:

Poslední fází problému je použití inverzní Laplaceovy transformace k přechodu od obrázků k odpovídajícím originálům. Pomocí pravého sloupce tabulky originálů a obrázků.

Možná ne každý chápe konverzi. Zde je použit vzorec bodu č. 5 tabulky: . Podrobněji: . Ve skutečnosti lze pro podobné případy vzorec upravit: . A všechny tabulkové vzorce bodu č. 5 lze velmi snadno přepsat podobným způsobem.

Po reverzním přechodu se na stříbrném podnose získá požadovaný částečný roztok DE:

bylo:

Stal se:

Odpovědět: soukromé řešení:

Pokud máte čas, je vždy vhodné provést kontrolu. Kontrola se provádí podle standardního schématu, které již bylo probráno ve třídě. Nehomogenní diferenciální rovnice 2. řádu. Zopakujme si:

Zkontrolujeme splnění počáteční podmínky:
- Hotovo.

Pojďme najít první derivaci:

Zkontrolujeme splnění druhé výchozí podmínky:
- Hotovo.

Pojďme najít druhou derivaci:

Pojďme nahradit , a dovnitř levá strana původní rovnice:

Získá se pravá strana původní rovnice.

Závěr: úkol byl splněn správně.

Malý příklad pro nezávislé rozhodnutí:

Příklad 2

Pomocí operačního počtu najděte konkrétní řešení diferenciální rovnice za daných počátečních podmínek.

Přibližná ukázka závěrečného zadání na konci lekce.

Nejčastějším hostem v diferenciálních rovnicích, jak si mnozí již dlouho všimli, jsou exponenciály, a tak se podívejme na několik příkladů s nimi, jejich příbuznými:

Příklad 3

, ,

Řešení: Pomocí Laplaceovy transformační tabulky (levá strana tabulky) přejdeme od originálů k odpovídajícím obrázkům.

Nejprve se podíváme na levou stranu rovnice. Neexistuje zde žádná první derivace. No a co? Skvělý. Méně práce. Vezmeme-li v úvahu počáteční podmínky, pomocí tabulkových vzorců č. 1, 3 najdeme obrázky:

Nyní se podívejte na pravou stranu: – součin dvou funkcí. Aby bylo možné využít vlastnosti linearity Laplaceova transformace, musíte otevřít závorky: . Jelikož jsou konstanty v součinech, zapomeneme na ně a pomocí skupiny tabulkových vzorců č. 5 najdeme obrázky:

Dosadíme nalezené obrázky do původní rovnice:

Připomínám, že dalším úkolem je vyjádřit operátorové řešení pomocí jediného zlomku.

Na levé straně ponecháme termíny, ve kterých je přítomen, zbývající termíny přeneseme na pravou stranu. Zároveň na pravé straně začneme pomalu přivádět zlomky ke společnému jmenovateli:

Vlevo vyjmeme ze závorek, vpravo výraz přivedeme ke společnému jmenovateli:

Na levé straně získáme polynom, který nelze faktorizovat. Pokud polynom nefaktorizuje, musí být on, chudák, okamžitě vržen na pravou stranu, když si zabetonoval nohy v míse. A v čitateli otevíráme závorky a uvádíme podobné pojmy:

Přišla nejpečlivější fáze: metoda neurčených koeficientů Rozšiřme operátorové řešení rovnice na součet elementárních zlomků:


Tím pádem:

Všimněte si, jak se zlomek rozkládá: , brzy vysvětlím, proč tomu tak je.

Dokončit: přejděte z obrázků na odpovídající originály, použijte pravý sloupec tabulky:

Ve dvou nižších transformacích byly použity vzorce č. 6 a 7 tabulky a zlomek byl předběžně rozšířen právě pro „přizpůsobení“ tabulkovým transformacím.

Výsledkem je konkrétní řešení:

Odpovědět: požadované konkrétní řešení:

Podobný příklad pro DIY řešení:

Příklad 4

Najděte konkrétní řešení diferenciální rovnice metodou operačního počtu.

Krátké řešení a odpověď na konci lekce.

V příkladu 4 je jedna z počátečních podmínek nula. To jistě zjednodušuje řešení a nejvíce perfektní možnost, když jsou obě počáteční podmínky nulové: . V tomto případě jsou deriváty převedeny na obrázky bez ocasů:

Jak již bylo řečeno, nejtěžší technický bod problém je expanze zlomků metoda neurčených koeficientů, a mám k dispozici docela pracné příklady. Nicméně nebudu nikoho zastrašovat monstry, uvažujme o několika typičtějších variantách rovnice:

Příklad 5

Pomocí metody operačního počtu najděte konkrétní řešení diferenciální rovnice, které vyhovuje daným počátečním podmínkám.
, ,

Řešení: Pomocí Laplaceovy transformační tabulky přejdeme od originálů k odpovídajícím obrázkům. S ohledem na výchozí podmínky :

Problémy nejsou ani s pravou stranou:

(Nezapomeňte, že multiplikační konstanty jsou ignorovány)

Dosaďte výsledné obrázky do původní rovnice a proveďte standardní akce, které jste, doufám, již dobře zpracovali:

Konstantu ve jmenovateli vyjmeme mimo zlomek, co je nejdůležitější, pak na to nezapomeňte:

Přemýšlel jsem o tom, zda z čitatele vyjmout další dvojku, ale po odhadu jsem dospěl k závěru, že tento krok prakticky nezjednoduší další řešení.

Zvláštností úlohy je výsledný zlomek. Zdá se, že jeho rozklad bude dlouhý a náročný, ale zdání klame. Samozřejmě existují obtížné věci, ale v každém případě pokračujte bez strachu a pochyb:

Skutečnost, že se některé kurzy ukázaly jako zlomkové, by neměla být matoucí, tato situace není neobvyklá. Jen kdyby neselhala výpočetní technika. Navíc je vždy možnost si odpověď ověřit.

Výsledkem je, že řešení operátora:

Přejděme od obrázků k odpovídajícím originálům:

Tedy konkrétní řešení:

Problém je položen následovně: vzhledem k funkci F(p), musíme najít funkci /(<)>jehož obraz je F(p). Formulujme podmínky postačující k tomu, aby funkce F(p) komplexní proměnné p sloužila jako obraz. Věta 12. Jestliže funkce F(p) analytická v polorovině 1) inklinuje k nule pro libovolnou polorovinu Rep = a > s0 rovnoměrně vzhledem k arg Nalezení originálu z obrázku 2) integrál a-xu konverguje absolutně, pak F(p) je obraz nějaké původní funkce f(t). Úkoly*. Může funkce F(p) = ^ sloužit jako obraz nějaké původní funkce? Naznačíme několik způsobů, jak najít originál z obrázku. 3.1. Nalezení originálu pomocí obrazových tabulek Nejprve se vyplatí funkci F(p) převést do jednodušší, „tabulkové“ podoby. Například v případě, kdy F(p) je zlomková racionální funkce argumentu p, rozloží se na elementární zlomky a použijí se příslušné vlastnosti Laplaceovy transformace. Příklad 1. Najděte originál pro Funkci F(p) zapíšeme ve tvaru Pomocí věty o posunutí a vlastnosti linearity Laplaceovy transformace získáme Příklad 2. Najděte originál pro funkci M Zapíšeme F(p) v formulář Proto / 3.2. Použití věty o inverzi a jejích důsledků Věta 13 (inverze). /Gaucheova funkce fit) je původní funkce s růstovým exponentem s0 a F(p) je její obraz, pak je v libovolném bodě spojitosti funkce f(t) splněn vztah, kde je integrál vzat podél libovolné přímky a je chápáno ve smyslu hlavní hodnoty, tj. jako vzorec (1) se nazývá inverzní formule Laplaceovy transformace nebo Mellinova formule. Nechť je například f(t) po částech hladké na každém konečném segmentu)