Pojem funkce. Funkční graf. Metody pro specifikaci funkcí. Pojem funkce jedné proměnné

Téma 4. Funkce jedné proměnné.

Čas: 2 hodiny

Účel přednášky: Aktualizovat koncept funkce; rozšířit dosavadní představy o funkci, představit hlavní charakteristiky funkce.

Osnova přednášky:

Pojem funkce.

Numerické funkce. Funkční graf. Metody pro specifikaci funkce.

Inverzní funkce.

Komplexní funkce.

Pojem funkce.

Pojem funkce je jedním ze základních v matematice. Je spojena se stanovením korespondence mezi prvky dvou množin.

Nechť jsou dány dvě neprázdné množiny X A Y. Korespondence F, která spojuje každý prvek s jedním a pouze jedním prvkem
, volal funkce a je zaznamenáno
nebo
. Také říkají, že funkce zobrazuje množinu X pro mnoho Y.

X

X

Y

Y

X

Y

Y

. .

X

Například zápasyF A G na obrázku jsou funkce a A u - Ne. Když  - ne každý prvek se shoduje
. KdyžA - není splněna podmínka jednoznačnosti.

Živel
, který odpovídá danému, se nazývá cesta živel X. Všechny prvky, kterým to odpovídá
, volal kompletní prototyp živel na.

hromada X volal doména definice funkcí F a je určeno D (F). Spousta všech
, pro který existuje inverzní obrázek v X, volal soubor významů funkcí F a je určeno E(F ).

Numerické funkce. Funkční graf. Způsoby zadání.

Nechť je funkce dána
. Pokud prvky množin X A Y jsou reálná čísla, pak se zavolá funkce numerická funkce . V budoucnu budeme studovat numerické funkce, budeme je nazývat jednoduše funkcemi a označovat
.

Variabilní X volal argument nebo nezávislé proměnné , A na ‒ funkce nebo závislá proměnná . Co se týče množství samotných X A naříkají, že jsou v funkční závislost .

Soukromá hodnota funkcí
na x=a zapsat
. Například pokud
, Že
,

G

M(X;na)

na

X

1

O

Například graf funkce
je horní půlkruh poloměru R= 1 se středem O(0;0).

Pro definici funkce je nutné definovat pravidlo, které umožňuje, vědět X, najděte odpovídající hodnotu funkce.

Nejběžnější tři způsoby, jak definovat funkci, jsou analytická, tabulková a grafická.

Analytická metoda : Funkce je specifikována ve formě jednoho nebo více vzorců nebo rovnic.

Pokud není uvedena doména funkce, předpokládá se, že se shoduje s množinou všech hodnot argumentu, pro které má odpovídající vzorec smysl. Tedy definiční obor funkce
je segment
.

Analytická metoda je nejpokročilejší, protože je doprovázena metodami matematické analýzy, které umožňují plně studovat funkci
.

Grafická metoda : je určen graf funkce; pomocí grafu najděte hodnotu odpovídající funkce daná hodnota argument a naopak. Výhody - viditelnost; nevýhody - nepřesnost.

Tabulková metoda používá se, když je vhodné specifikovat páry X A na převod.

Hlavní charakteristiky funkcí.

Funkce
, definované na sadě D, volal dokonce , Pokud
jsou splněny podmínky
A
; zvláštní , Pokud
jsou splněny podmínky
A
.

Graf sudé funkce je symetrický kolem osy OU, a liché - vzhledem k původu.

Například,
,
,
jsou dokonce funkce a
,
- liché funkce;
,
- funkce obecný pohled.

Nechte funkci
definované na sadě D nech to být
. Pokud pro jakékoli hodnoty argumentu
z nerovnosti
následuje následující nerovnost:

A)
, pak se zavolá funkce vzrůstající na sadě (větší hodnota argumentu odpovídá větší hodnotě funkce);

b)
, pak se zavolá funkce neklesající na sadě ;

PROTI)
, pak se zavolá funkce klesající na sadě (větší hodnota argumentu odpovídá menší hodnotě funkce);

G )
, pak se zavolá funkce nerostoucí na sadě .

‒2 O 1 3 4 X

na

Například funkce určená grafem na obrázku se v průběhu intervalu snižuje
, nesnižuje se o
, zvyšuje o
.

Funkce zvyšování, nezvyšování, snižování, neklesání na množině jsou nazývány monotónní na této sadě a rostoucí a klesající ‒ přísně monotónní . Volají se intervaly, ve kterých je funkce monotónní intervaly monotónnosti .

F

y=M

na

X

y= ‒M

Funkce definovaná na množině D volal omezený
to je pro všechny
platí nerovnost:
.

:

.

Z toho vyplývá, že graf omezená funkce leží mezi přímkami na=‒M A y=M.

Funkce
, definované na sadě D, volal periodické na této množině, pokud takové číslo existuje T >0 , to pro každého
význam
A
. V tomto případě číslo T volal období funkce . Li T je perioda funkce, pak její periody budou také čísla PT, Kde
Ano, pro
tečky budou čísla
Hlavní období (nejmenší kladné) je období
. Obecně platí, že za hlavní období se bere nejmenší kladné číslo T, splňující rovnost
.

Inverzní funkce.

Nechť je funkce dána
s doménou D a mnoho významů E. Pokud pro všechny
existuje pouze jeden prototyp D, pak můžeme prvky spárovat
Prvky
, tj. definovat funkci
s doménou E a mnoho významů D. Tato funkce
volal zvrátit fungovat
a je zaznamenáno
. O funkcích
A
říká se, že jsou vzájemně inverzní.. Všimněte si, že pro funkci střední argument komplexní funkce.

Například,
, dochází k superpozici dvou funkcí
A
. Složitá funkce může mít několik mezilehlých argumentů.

Základní definice a pojmy

Jedním ze základních pojmů matematiky je číslo. Volají se celá a zlomková čísla, kladná i záporná, spolu s číslem nula Racionálníčísla. Racionální čísla mohou být reprezentována jako konečné nebo nekonečné periodické zlomky. Čísla, která jsou reprezentována jako nekonečné, ale neperiodické zlomky, se nazývají iracionální.

Množina všech racionálních a iracionálních čísel se nazývá množina platný nebo nemovitýčísla. Reálná čísla mohou být reprezentována body na číselné ose. Číselná osa se nazývá nekonečná přímka, na které jsou vybrány následující:

1) nějaký bod O, nazývaný počátek;

2) kladný směr označený šipkou;

3) stupnice pro měření délek.

Mezi všemi reálnými čísly a všemi body na číselné ose existuje osobní korespondence, tj. Každé reálné číslo odpovídá bodu na číselné ose a naopak.

Absolutní hodnota(nebo modul) reálné číslo X se nazývá nezáporné reálné číslo P X P, definovaný takto: P X P = X, Pokud X? 0 a P X P = - X, Pokud X< 0.

Proměnná hodnota je veličina, která nabývá různých číselných hodnot. Volá se veličina, jejíž číselné hodnoty se nemění konstantní hodnotu.

spořádaný, pokud je známa oblast jeho změny a pro každou z jeho dvou hodnot lze říci, která z nich je předchozí a která je následující. Speciálním případem takové veličiny je číselná řada

Proměnná se nazývá vzrůstající(klesající), pokud je každá následující hodnota větší (menší) než předchozí. Nazývají se rostoucí a klesající proměnné monotónní. Proměnná se nazývá omezený, pokud existuje takové konstantní číslo M > 0, že všechny následující hodnoty proměnné, počínaje určitou, splňují podmínku:

M? X? M, tj. R X R? M.

Proměnná y se nazývá (jednohodnotová) funkce proměnná x, pokud každá hodnota proměnné x patřící do množiny reálných čísel X odpovídá jedné konkrétní reálné hodnotě proměnné y.

V tomto případě se volá proměnná x argument nebo nezávislý variabilní a množina X je doména definice funkcí.

Záznam y = f(x) znamená, že y je funkce X. Hodnota funkce f(x) na x = a označený f(a).

Definiční obor funkce v nejjednodušších případech je: interval (otevřené rozpětí) (a, b), tj. soubor hodnot X, splňující podmínku A< x < b ; segment (úsečka nebo ZAVŘENO interval), tj. soubor hodnot X, splňující podmínku A? X? b; poloviční interval(ti. A< x ? b ) nebo (tj. A? X< b ); nekonečný interval (A,+ ?) (tj. A< x < + ?) или (- ?, b) (tj. - ?< X< b ) nebo (-?, +?) (tj. -?< X < + ?); совокупность нескольких интервалов или сегментов и т. п.

Plán funkcí y = f(x) je geometrické místo bodů v rovině xOy, jejichž souřadnice splňují rovnici y = f(x).

Funkce f(x) se volá, i když pro jakoukoli hodnotu X. Graf sudé funkce je umístěn symetricky kolem ordináty. Je volána funkce f(x). zvláštní, pokud za nějakou hodnotu X. Graf liché funkce je umístěn symetricky vzhledem k počátku.

Funkce f(x) volal periodické, pokud je volané kladné číslo T doba funkce, které pro jakoukoli hodnotu X rovnost je splněna.

Nejmenší stejný doba funkce je nejmenší kladné číslo, pro které f(x + ?) = f(x) na kterékoli X. To je třeba mít na paměti f(x + k?) = f(x), Kde k- libovolné celé číslo.

Funkce jsou specifikovány:

1) analyticky (ve formě vzorce), například;

2) graficky (ve formě grafu);

3) tabulkový (ve formě tabulky), například tabulka logaritmů.

Základní elementární funkce jsou následující, analyticky definované funkce:

1. Funkce napájení : , Kde? - reálné číslo.

2. Exponenciální funkce: , Kde A > 0, A ? 1.

3. Logaritmická funkce : , Kde A > 0, A ? 1.

4. Goniometrické funkce: y= hřích x, y= cos x, y= tg x, y=ctg X,

y= sek x, y= cosec X.

5. Reverzní goniometrické funkce :

y= arcsin x, y= arccos x, y= arktan x, y= arcctg x, y= arcsec X,

y= arccosec X.

Je-li y funkcí u, A u existuje funkce od X, pak y závisí také na X. Nechat y= F( u), u = ?(X). Pak y= F(?( X)). Poslední funkce je volána funkce z funkce nebo komplexní funkce. Například, y= hřích u, u= . Funkce y= sin() je komplexní funkcí X.

Elementární funkce je funkce, kterou lze zadat jediným vzorcem formuláře y = f(x), kde je výraz f(x) složený ze základních elementárních funkcí a konstant pomocí konečného počtu operací sčítání, odčítání, násobení, dělení a převzetí funkce funkce.

Například, y= P X P =; ; .

Příklad 1. Najdi jestli.

Řešení. Pojďme najít hodnoty této funkce, když x = a A x = b:

Pak dostaneme

Příklad 2. Určete, která z těchto funkcí je sudá nebo lichá:

Řešení. a) Od té doby

těch. f(- x) = - f(x). Proto je funkce lichá.

b) Máme, tzn.

f(- x) = f(x). Funkce je tedy sudá.

c) Zde, tzn.

f(- x) = f(x). Funkce je tedy sudá.

d) Zde. Funkce tedy není ani sudá, ani lichá.

Příklad 3

Řešení. Funkce definovaná, pokud 2 X- 1? 0, tzn. Li. Definiční obor funkce je tedy množinou dvou intervalů:

Příklad 4. Najděte definiční obor funkce.

Řešení. Funkce je definována if X- 1? 0 a 1+ X> 0, tzn. Li X? 1 a X> - 1. Definiční obor funkce je množina dvou intervalů: (- 1, 1) a (1, + ?).

Příklad 5. Najděte definiční obor funkce

Řešení. První člen nabývá reálných hodnot 1-2 X? 0 a druhý na. Pro nalezení definičního oboru dané funkce je tedy nutné vyřešit systém nerovnic: Získáme

Proto doménou definice bude segment

Funkce jedné proměnné

Funkce jedné proměnné.

Úvod

V matematice jsou základními pojmy pojem množiny, prvek množiny. Matematická analýza se zabývá především číselnými množinami.

V následujícím budeme používat následující symboliku:

N - množina přirozených čísel;

Z - množina celých čísel;

Q - množina racionálních čísel;

R - množina reálných čísel;

C – množina komplexních čísel;

Například symbolický zápis " X ON $ y ON: ( y> X Ú y< X) zní „pro libovolné přirozené číslo X existuje přirozené číslo na něco takového y> X nebo y< X».

Jak víte, každé reálné číslo je spojeno s jedním bodem na číselné ose. Proto se v budoucnu dohodneme na identifikaci pojmů „skutečné číslo“ a „bod“ číselné řady. Pro číselné intervaly budeme používat následující zápis:

[A; b] nebo A£ X £ b– uzavřená mezera popř úsečka počínaje bodem A a skončí v určitém bodě b;

(A; b) nebo A< X < b– otevřený prostor popř interval;

(A; b] nebo A< X £ b,

[A; b) nebo A£ X < b

– polootevřené prostory nebo poloviční intervaly;

[A; +¥) nebo X³ A , (–¥; b] nebo X £ b– paprsky;

(A; +¥) nebo X> A , (–¥ ; b) nebo X < b– otevřené paprsky;

(–¥ ; +¥) nebo –¥< X < +¥ – координатная прямая (множество R действительных чисел).

Ve vědě a praxi se musíme potýkat s různými druhy veličin. Některé z nich za určitých podmínek zůstávají neměnné (konstantní), jiné se mění (proměnné). Například objem publika a plechovek je konstantní, ale objem balónu je proměnlivý.

V matematická analýza nás bude zajímat pouze číselné vyjádření té či oné veličiny, nikoli její povaha, tzn. budeme zvažovat abstraktní množství. Konstantní hodnotou proto budeme nazývat hodnotu, která nabývá pevné, specifické (i neznámé) hodnoty. Označíme toto: X– konst. Nejčastěji se konstanty označují počátečními písmeny latinské abecedy: A, b, C, ... nebo řecké a, b, e, l, ... .

Za proměnnou považujeme takovou, která může nabývat libovolné číselné hodnoty z určité množiny čísel. Proměnné jsou nejčastěji označovány písmeny z konce latinské abecedy: X, na, z, t,... . Množina, ze které proměnná nabývá hodnot, se nazývá doména definice této proměnné a zapisuje se: XÎD.

Funkce jedné proměnné

Spolu s pojmem množina a prvek množiny patří mezi základní pojmy matematiky pojem korespondence. Určitý typ korespondence se nazývá funkce.

Nechť je dána množina X s prvky X a množina Y, sestávající z prvků na(množiny X a Y nejsou prázdné, jejich prvky mohou být libovolného charakteru).

Definice 1.1 Pokud každý prvek X ACH podle nějakého zákona(pravidlo) F je spárován jeden prvek naО У, pak říkají, že množina X je dána funkce y = F(X), XОХ nebo Zobrazit F: X → Y nastavte X do sady Y.

Byla přijata tato terminologie:

X– nezávislá proměnná nebo argument,

X je doména definice funkce a každého prvku XОХ – hodnota argumentu,

na– závislá proměnná nebo funkce argumentu X,

Y je rozsah hodnot funkce a každého prvku na OU je taková, že
y = F(X) pro některé XОХ se nazývá hodnota funkce.

V závislosti na množinách X a Y mají funkce specifické názvy a zápisy:

jestliže X, Y jsou podmnožiny množiny reálných čísel R, pak funkce na = F (X) se nazývá reálná funkce reálného argumentu nebo funkce jedné proměnné;

pokud ХÌR, УУС – komplexní funkce je označen skutečný argument z = F(X);

jestliže XOS, Y OS je komplexní funkcí komplexního argumentu, označovaného w = F(z);

je-li XÌN, UÌR funkcí přirozeného argumentu nebo posloupnosti y n = F(P);

pokud XÌR 2 (tj. množina bodů ( X, na) letadlo), УÌR, zОУ – reálná funkce dvou proměnných z = F(X, na);

pokud XÌR P (P-rozměrný aritmetický prostor), УÌR – reálná funkce P proměnné A =F(X 1 ,X 2 , …, x n). Tato a výše uvedené funkce se nazývají číselné funkce;

jestliže XМ R, УМ V 2 (množina geometrických vektorů v rovině) je vektorová funkce skalárního argumentu, ` r(t)= X(t) +y(t) ;

jestliže XÌ R 2, UÌ V 2 je vektorová funkce dvou skalárních argumentů, 'F(X, y) = P( X, y) + Q( X, y) ;

V matematické analýze se studují především numerické funkce. Uvažujme nejprve reálnou funkci jedné proměnné. Protože argument i funkce jsou skutečnou číselnou hodnotou, budeme je často používat v ženském rodě: nezávislá proměnná, závislá proměnná.

V tomto případě lze definici 1.1 přeformulovat takto:

Definice 1.2 Pokud každá proměnná hodnota X z číselné sady XÌR podle nějakého zákona f přiřazené konkrétnímu reálnému číslu na, pak říkají, že na sadě X je dána číselná funkce = F (X). V čem X volal nezávislý proměnná (argument), na – závislý proměnná (funkce), X je definiční obor funkce a značí se X = D( F) .

Mnoho hodnot, které to vyžaduje na, volal funkční rozsah a je označeno E( F). Dopis F symbolizuje pravidlo, podle kterého je mezi nimi navázána korespondence X A na. Spolu s dopisem F Používají se také další písmena: y = G(X), y = h(X), y = u(X). Funkci lze také označit z= j( t), X = F (z), s = S ( p) atd., tzn. nezávislá i závislá proměnná mohou být označeny libovolnými písmeny latinské abecedy.

Dvě funkce rovnat se právě tehdy, pokud mají stejnou definiční doménu a pro každou hodnotu argumentu mají stejnou hodnotu.

Definovat funkci znamená specifikovat pravidlo, s jehož pomocí lze pro každou hodnotu argumentu najít odpovídající hodnotu funkce.

Základní způsoby, jak určit funkci:

1) Analytická– například pomocí jednoho nebo více vzorců

y= hřích3 X + X 2 , ,

(poslední dvě funkce se někdy nazývají po částech analytické nebo krokové funkce). Pokud je funkce specifikována analyticky (vzorcem), pak se doménou definice rozumí množina hodnot argumentu X, pro které lze pomocí daného vzorce vypočítat odpovídající hodnotu na(tj. všechny operace uvedené ve vzorci jsou proveditelné).

Pokud je ve vzorci popisujícím funkci závislá proměnná vyjádřena prostřednictvím nezávislé proměnné, pak se taková funkce nazývá očividně daný. Výše uvedené funkce jsou výslovně uvedeny.

Pokud rovnost popisující funkci není vyřešena vzhledem k závislé proměnné, pak se funkce zavolá implicitně daný, Například

X 2 + 3xy – na 3 = 1 nebo ln( X+3y) = y 2 .

Implicitní funkce může být reprezentována ve formuláři

Kde t– parametr, který přebírá hodnoty z určité množiny. Tato funkce se nazývá parametricky definovaná funkce. Například,

, tО R definuje funkci y =(X –1) 2 ,

definuje funkci .

Parametrická specifikace funkce je široce používána v mechanice: if X = X(t) A na = na(t) zákony pro změnu souřadnic pohybujícího se bodu, pak definuji rovnice trajektorie pohyby.

2) Slovní. Například „celočíselná část čísla“ je největší celé číslo, které nepřesahuje X. Tato funkce je určena na = [X].

3) Tabelární. Například

Takto jsou specifikovány funkce, obvykle získané z výsledků zkušenosti, experimentu nebo výpočtu.

4) Grafický.

Definice 1.3. Funkční graf na = F (X) je geometrické místo bodů souřadnicové roviny XOU se souřadnicemi ( X, F(X)), kde XОD( F).

Obraz funkční závislosti ve formě čáry (grafu) je graficky specifikující funkci. Například hodnoty osciloskopu, elektrokardiogram atd. je grafické znázornění vztahu mezi zkoumanými veličinami.

Všimněte si, že u jednohodnotové funkce má její graf pouze jeden průsečík s libovolnou přímkou X = A, AО D( F).

Vlastnosti funkcí.

I. Funkce na = F (X), XÎD, volal omezený na množině D, pokud existují reálná čísla A, B taková, že " XОD podmínka A £ F(X) £ B. Graf takové funkce se nachází v některých vodorovný pruh mezi přímkami na= A a na= B (obr. 1a). Pokud taková čísla A a B neexistují, pak se říká, že funkce je na množině D neomezená.

Pokud " XÎD Þ F(X) £ B, pak funkci ohraničené výše(obr. 1 b).

Pokud " XÎD Þ F(X) ³ A, pak funkce ohraničené níže(obr. 1c).

Funkce jsou omezeny rozsahem jejich definice na= hřích X A y= cos X, protože pro všechny hodnoty X provedeno

– 1 £ hřích X£ 1 a –1 £ cos X 1 £

Funkce je shora omezena, protože pro všechny skutečné hodnoty X podmínka splněna na£ 1. Příkladem funkce omezené zdola je exponenciální funkce na= , protože > 0 pro všechny skutečné hodnoty X.

II. Funkce na = F (X), XÎD, volal vzrůstající, pokud pro jakékoli hodnoty argumentu X 1 , X 2 ОD takové, že X 1 < X 2, podmínka splněna F(X 1) < F(X 2) (tj. větší hodnota argumentu odpovídá větší hodnotě funkce, obr. 2a).

Funkce na = F (X), XÎD, volal klesající, Pokud " X 1 ,X 2 ОD takové, že X 1 < X 2, podmínka ( F(X 1) > F(X 2) (větší hodnota argumentu odpovídá menší hodnotě funkce, obr. 2b). Volají se zvětšovací a klesající funkce monotónní funkcí. Pokud jsou striktní nerovnosti nahrazeny nepřísnými, pak se funkce bude podle toho nazývat neklesající a nerostoucí.

III. Funkce na = F (X), XÎD, volal dokonce, Pokud

" XÎD Þ (– XÎD a F (–X) =F (X)).

Graf sudé funkce je symetrický vzhledem k ose operačního zesilovače (obr. 3a).

Funkce na = F (X), XÎD, volal zvláštní, Pokud

" XÎD Þ (– XÎD a F (–X) =F (X)).

Graf liché funkce je symetrický vzhledem k počátku (obr. 3b).

IV. Funkce na= F (X), XÎD, volal periodické, Pokud

$T > 0: " XÎD Þ ( X± ТÎD a F (X) = F (X± T)).

Zvažte dvě sady čísel X A Y. Pravidlo F, podle kterého každé číslo xI X odpovídá jednotnému číslu yI Y, volal numerická funkce, definované na sadě X a nabývá více významů Y.

Definovat funkci tedy znamená specifikovat tři objekty:

1 set X(doména definice funkce);

2) sada Y(funkční rozsah);

3) pravidlo shody F(samotná funkce).

Přiřaďme například každému číslu jeho kostku. Matematicky to lze zapsat jako y=x 3. V tomto případě pravidlo F je zvýšení čísla X do třetího stupně. Obecně, pokud všichni X podle pravidla F odpovídá jedinému y, Oni píší y = f(x). Tady " X" volání nezávislé proměnné nebo argument, A " y" -závislá proměnná(protože výraz jako x 3 nemá sám o sobě konkrétní číselnou hodnotu, dokud není hodnota specifikována X) nebo funkce z X. O množství X A yříká se, že spolu souvisí funkční závislostí. Znát všechny významy X a pravidlo F můžete najít všechny hodnoty na. Například pokud x=2, pak funkci f(x) = x 3 má hodnotu y = f(2)=23=8.

Existuje několik způsobů, jak určit funkci.

Analytická metoda. Funkce F je uveden jako vzorec y=f(x). Například, y=3cos(x)+2x 2. Tato metoda převládá v matematickém výzkumu a je podrobně probírána v klasickém kurzu matematiky. V geografických studiích korespondence mezi proměnnými X A y Ne vždy je možné to zapsat jako vzorec. V mnoha případech je vzorec neznámý. K vyjádření funkční závislosti se pak používají další metody.

Grafická metoda. Na meteorologických stanicích můžete v kteroukoli denní dobu sledovat provoz záznamníků, které zaznamenávají atmosférický tlak, teplotu vzduchu a vlhkost. Z výsledného grafu můžete kdykoli určit hodnoty těchto veličin. Funkční graf y=f(x) je množina všech bodů roviny se souřadnicemi ( x, f(x)). Graf obsahuje všechny informace o funkci. Když máme před sebou graf, zdá se, že „vidíme funkci“.

Tabulková metoda. Tato metoda je nejjednodušší. Všechny hodnoty argumentu (čísla) jsou zapsány v jednom řádku tabulky a ve druhém - hodnoty f(x), odpovídající každému X. Například závislost teploty vzduchu (T) na denní době (t) v určitý den lze znázornit v tabulce.

I přes plošné zavádění počítačů je většina funkcí, se kterými se musí geograf v každodenních činnostech vypořádat, stále prezentována formou tabulkového nebo grafického úkolu. Závislosti tabulky jsou získány jako výsledek registrace Experimentální výsledky, laboratorní rozbory, periodická měření atmosférických či jiných fyzikálních parametrů. Bohužel pomocí tabulky můžete najít pouze ty hodnoty funkcí, jejichž hodnoty argumentů jsou v tabulce k dispozici. Zároveň se často objevují problémy, které vyžadují nalezení hodnoty funkce pro hodnotu argumentu, který není obsažen v tabulce. Navíc tato metoda neposkytuje dostatečně jasnou představu o povaze změny funkce se změnou nezávislé proměnné. Grafy získané jako výsledek práce nemají tento nedostatek automatická zařízení, ale grafický úkol nemusí vždy stačit pro další výzkum. Taková funkce musí být například někdy, aby bylo možné studovat průběh přirozeného procesu, podrobena některým matematickým operacím, včetně derivace nebo integrace. V mnoha případech je tedy důležité znát analytickou specifikaci funkce. Protože neexistuje přesná analytická specifikace funkce získané jako výsledek experimentální práce, používá se pro účely studie následující technika: funkce specifikovaná v tabulce (funkci specifikovanou graficky lze vždy prezentovat v tabulkové formě) nahrazena na určitém segmentu jinou funkcí, která je jednodušší, v určitém smyslu bližší dané a mající analytické vyjádření. Existují dva hlavní způsoby takového nahrazení - interpolace a aproximace tabulkové funkce.