پایه های اضافی در روش سیمپلکس به چه معناست؟ مسئله برنامه ریزی خطی را با روش سیمپلکس حل کنید

برنامه ریزی خطی یک تکنیک مدل‌سازی ریاضی است که برای بهینه‌سازی استفاده از منابع محدود طراحی شده است. LP با موفقیت در زمینه نظامی، صنعت، کشاورزی، صنعت حمل و نقل، اقتصاد، سیستم مراقبت های بهداشتی و حتی علوم اجتماعی. استفاده گسترده از این روش توسط الگوریتم های کامپیوتری بسیار کارآمد که این روش را پیاده سازی می کنند نیز پشتیبانی می شود. الگوریتم‌های بهینه‌سازی بر اساس الگوریتم‌های برنامه‌ریزی خطی برای انواع پیچیده‌تر مدل‌ها و مسائل تحقیق در عملیات (OR)، از جمله برنامه‌ریزی عدد صحیح، غیرخطی و تصادفی هستند.

مشکل بهینه سازی یک مسئله اقتصادی و ریاضی است که شامل یافتن مقدار بهینه (حداکثر یا حداقل) است تابع هدفو مقادیر متغیرها باید به محدوده خاصی از مقادیر قابل قبول تعلق داشته باشند.

در کلی ترین شکل، وظیفه برنامه ریزی خطیبه صورت ریاضی به صورت زیر نوشته می شود:

جایی که X = (x 1 ، ایکس 2 ، ... ، ایکس n ) ; دبلیو- محدوده مقادیر قابل قبول متغیرها ایکس 1 ، ایکس 2 ، ... ، ایکس n ;f (X)تابع هدف است.

برای حل یک مسئله بهینه سازی، کافی است راه حل بهینه آن را پیدا کنید، یعنی. نشان می دهد که در هر.

یک مسئله بهینه سازی اگر راه حل بهینه نداشته باشد غیرقابل حل است. به طور خاص، مشکل بیشینه سازی در صورت تابع هدف غیرقابل حل خواهد بود f (X)بدون محدودیت از بالا در مجموعه قابل قبول دبلیو.

روش های حل مسائل بهینه سازی هر دو به نوع تابع هدف بستگی دارد f (X)، و در ساختار مجموعه قابل قبول دبلیو. اگر تابع هدف در مسئله یک تابع باشد nمتغیرها، سپس روش های حل را روش های برنامه ریزی ریاضی می نامند.

ویژگی های مشخصه مسائل برنامه ریزی خطی به شرح زیر است:

شاخص بهینه بودن f (X)تابع خطی عناصر راه حل است X = (x 1 ، ایکس 2 ، ... ، ایکس n ) ;

شرایط محدود کننده ای که بر راه حل های ممکن تحمیل می شود به شکل برابری ها یا نابرابری های خطی است.

مشکل برنامه نویسی خطی به نام وظیفه تحقیق در عملیات، مدل ریاضیکه به نظر می رسد:

(2) (3)(4)(5)

در عین حال، سیستم معادلات خطی(3) و نابرابری ها (4)، (5)، که مجموعه قابل قبول راه حل های مسئله را تعیین می کند. دبلیو، نامیده میشود سیستم محدودیت ها مسائل برنامه ریزی خطی و یک تابع خطی f (X)تماس گرفت تابع هدف یا معیار بهینه بودن .

راه حل معتبر مجموعه ای از اعداد است طرح ) ایکس = (ایکس 1 , ایکس 2 , ... , ایکس n ) ارضای محدودیت های مسئله راه حل بهینه طرحی است که در آن تابع هدف حداکثر (حداقل) مقدار خود را می گیرد.

اگر مدل ریاضی مسئله برنامه ریزی خطی به شکل زیر باشد:

سپس می گویند که تکلیف در ارائه شده است شکل متعارف .

هر مشکل برنامه ریزی خطی را می توان به یک مسئله برنامه ریزی خطی تقلیل داد شکل متعارف. برای انجام این کار، در حالت کلی، باید بتوانید مشکل حداکثر سازی را به مشکل کمینه سازی کاهش دهید. از محدودیت های نابرابری به قیود برابری حرکت کنید و متغیرهایی را جایگزین کنید که از شرط غیر منفی تبعیت نمی کنند. بیشینه سازی برخی از تابع ها معادل کمینه سازی همان تابع است که با علامت مخالف گرفته می شود و بالعکس.

قانون کاهش یک مسئله برنامه ریزی خطی به شکل متعارف به شرح زیر است:

اگر در مسئله اصلی نیاز به تعیین حداکثر باشد تابع خطی، سپس باید علامت را تغییر دهید و به دنبال حداقل این تابع باشید.

در صورت محدود بودن قسمت راستمنفی است، پس این حد باید در -1 ضرب شود.

اگر بین محدودیت ها نابرابری وجود داشته باشد، با معرفی متغیرهای غیر منفی اضافی، آنها به برابری تبدیل می شوند.

اگر مقداری متغیر ایکس jهیچ محدودیت علامتی ندارد، سپس (در تابع هدف و در همه محدودیت ها) با تفاوت بین دو متغیر غیر منفی جدید جایگزین می شود: ایکس 3 = x 3 + -ایکس 3 - ، جایی که ایکس 3 + ، ایکس 3 - ≥ 0 .

مثال 1. کاهش به شکل متعارف یک مسئله برنامه ریزی خطی:

حداقل L = 2x 1 + x 2 - ایکس 3 ; 2 برابر 2 - ایکس 3 ≤ 5; ایکس 1 + x 2 - ایکس 3 ≥ -1؛ 2 برابر 1 - ایکس 2 ≤ -3; ایکس 1 ≤ 0; ایکس 2 ≥ 0; ایکس 3 ≥ 0.

اجازه دهید متغیرهای تساوی را در هر معادله سیستم محدودیت معرفی کنیم ایکس 4 ، ایکس 5 ، ایکس 6 . سیستم به صورت تساوی نوشته می شود و در معادلات اول و سوم سیستم محدودیت ها متغیرها ایکس 4 ، ایکس 6 معرفی شده است سمت چپبا علامت "+" و در معادله دوم متغیر ایکس 5 با علامت "-" وارد شده است.

2 برابر 2 - ایکس 3 + x 4 = 5; ایکس 1 + x 2 - ایکس 3 - ایکس 5 = -1; 2 برابر 1 - ایکس 2 + x 6 = -3; ایکس 4 ≥ 0; ایکس 5 ≥ 0; ایکس 6 ≥ 0.

عبارات آزاد در شکل متعارف باید مثبت باشند، برای این ما دو معادله آخر را در -1 ضرب می کنیم:

2 برابر 2 - ایکس 3 + x 4 = 5; -ایکس 1 - ایکس 2 + x 3 + x 5 = 1; -2x 1 + x 2 - ایکس 6 = 3.

روش ساده برای حل مسائل برنامه ریزی خطی.

الگوریتم روش سیمپلکس با در نظر گرفتن تعداد محدودی از راه حل های پایه معتبر، راه حل بهینه را پیدا می کند. الگوریتم روش سیمپلکس همیشه با چند راه حل اساسی امکان پذیر شروع می شود و سپس سعی می کند راه حل اساسی عملی دیگری را پیدا کند که مقدار تابع هدف را "بهبود" دهد. این تنها در صورتی امکان پذیر است که افزایش هر متغیر صفر (غیر پایه) منجر به بهبود مقدار تابع هدف شود. اما برای اینکه یک متغیر غیر پایه مثبت شود، باید یکی از متغیرهای پایه فعلی صفر شود، یعنی. تبدیل به غیر پایه این ضروری است تا راه حل جدید دقیقاً حاوی باشد مترمتغیرهای اساسی مطابق با اصطلاحات روش سیمپلکس، متغیر تهی انتخاب شده فراخوانی می شود معرفی کرد (به مبنا)، و متغیر پایه که باید حذف شود - مستثنی شده است (از پایه).

دو قانون برای انتخاب متغیر ورودی و انحصاری در روش سیمپلکس فراخوانی می شود شرایط بهینه و شرط پذیرش . اجازه دهید این قوانین را فرموله کنیم، و همچنین دنباله اقدامات انجام شده در هنگام اجرای روش سیمپلکس را در نظر بگیریم.

شرایط بهینه. متغیر ورودی در مسئله بیشینه سازی (به حداقل رساندن) یک متغیر غیر پایه است که بیشترین ضریب منفی (مثبت) را در هدف-رشته اگر در هدف-line شامل چندین ضرایب از این دست است، سپس انتخاب متغیر ورودی به صورت دلخواه انجام می شود. راه حل بهینه زمانی حاصل می شود که هدف-خط، تمام ضرایب برای متغیرهای غیر پایه غیر منفی (غیر مثبت) خواهد بود.

شرط پذیرش هم در مسئله بیشینه سازی و هم در مسئله کمینه سازی، متغیر پایه به عنوان متغیر حذف شده انتخاب می شود که نسبت مقدار سمت راست محدودیت به ضریب مثبت ستون پیشرو حداقل است. اگر چندین متغیر اساسی با این ویژگی وجود داشته باشد، انتخاب متغیر حذف شده به صورت دلخواه انجام می شود.

ما الگوریتمی برای حل مسئله برنامه ریزی خطی یافتن حداکثر با استفاده از جداول سیمپلکس ارائه می دهیم.

F \u003d s 1 x 1 + s 2 x 2 + ... + s n x n  حداکثر

x 1 0، x 2 0،…، x n0.

مرحله 1. متغیرهای اضافی را معرفی می کنیم و سیستم معادلات حاصل و یک تابع خطی را در قالب یک سیستم توسعه یافته می نویسیم.

F–c 1 x 1 –c 2 x 2 –…–c n x n =0=c p.

مرحله 2.تابلوی سیمپلکس اولیه را می سازیم.

مرحله 3.ما تحقق معیار بهینه را بررسی می کنیم - حضور در خط آخرشانس منفی اگر هیچ کدام وجود نداشته باشد، جواب بهینه است و F * =co، متغیرهای پایه برابر با ضرایب مربوطه b j هستند، متغیرهای غیر پایه برابر با صفر هستند، یعنی X * =(b 1 ,b 2 ,…, b m , 0، …، 0).

مرحله 4. اگر معیار بهینگی برآورده نشود، بزرگترین ضریب منفی در قدر مطلق در آخرین ردیف (ارزیابی) ستون تفکیک s را تعیین می کند.

برای تعیین رشته مجاز، نسبت های تخمین زده شده را محاسبه می کنیم و ستون آخر جدول را پر کنید.

نسبت تخمینی خط i برابر است با

 اگر b i و a باشد نشانه های مختلف;

 اگر b i = 0 و a باشد<0;

 اگر a =0 باشد.

0 اگر b i = 0 و a > 0 باشد.

در ستون روابط برآورد شده حداقل عنصر min را پیدا می کنیم که رشته مجاز را تعریف می کند.

اگر مینیمم وجود نداشته باشد، مشکل I بهینه محدودی ندارد و غیر قابل حل است.

در تقاطع سطر و ستون مجاز، عنصر مجاز a gs قرار دارد.

گام پنجم. جدول زیر را می سازیم. برای این

بیایید به مرحله سوم برویم.

روش M تصمیم PLPدر ماتریس ضرایب برای مجهولات سیستم محدودیت، هیچ ستون واحدی وجود ندارد که بتوان از آن ماتریس هویت تشکیل داد، یعنی. در انتخاب متغیرهای اساسی مشکل وجود دارد یا راه حل اولیه نامعتبر است. در چنین مواردی استفاده کنید روش پایه مصنوعی (M - روش).در تمام محدودیت هایی که هیچ متغیر اساسی وجود ندارد، ما معرفی می کنیم متغیرهای مصنوعی. متغیرهای مصنوعی با ضریب (- M) برای وظایف در حداکثر و با ضریب (+ M) برای وظایف در min وارد تابع هدف می شوند، که در آن M یک عدد مثبت به اندازه کافی بزرگ است.. سپس مشکل توسعه یافته طبق قوانین روش سیمپلکس حل می شود. اگر همه متغیرهای مصنوعی برابر با صفر باشند، یعنی. از مبنا حذف می شوند، سپس یا راه حل بهینه مسئله اصلی به دست می آید، یا مسئله اصلی بیشتر حل می شود و راه حل بهینه آن پیدا می شود یا حل نشدنی آن ثابت می شود. اگر حداقل یکی از متغیرهای مصنوعی با صفر متفاوت باشد، مشکل اصلی راه حلی ندارد.

در نظر گرفتن روش سیمپلکسبرای حل مسائل برنامه ریزی خطی (LP). این بر اساس انتقال از یک طرح مرجع به پلان دیگر است که در آن مقدار تابع هدف افزایش می یابد.

الگوریتم روش سیمپلکس به شرح زیر است:

1. با معرفی متغیرهای اضافی، مسئله اصلی را به شکل متعارف ترجمه می کنیم. برای نابرابری شکل ≤، متغیرهای اضافی با علامت (+) معرفی می شوند، اما اگر از شکل ≥ باشند، با علامت (-) معرفی می شوند. متغیرهای اضافی با علائم مربوطه با ضریب برابر به تابع هدف وارد می شوند 0 ، زیرا تابع هدف نباید معنای اقتصادی خود را تغییر دهد.
2. بردارها صادر می شود پیاز ضرایب متغیرها و ستون عبارات آزاد. این عمل تعداد بردارهای واحد را تعیین می کند. قاعده این است که باید به همان تعداد بردار واحد وجود داشته باشد که نابرابری در سیستم محدودیت وجود دارد.
3. پس از آن، داده های اولیه در جدول سیمپلکس وارد می شوند. بردارهای واحد به مبنا وارد می شوند و با حذف آنها از مبنا، راه حل بهینه پیدا می شود. ضرایب تابع هدف با علامت مخالف نوشته می شود.
4. معیار بهینه برای مسئله LP این است که راه حل بهینه باشد در صورت وجود f- ردیف همه ضرایب مثبت هستند. قانون یافتن ستون مجوز - مشاهده شد fیک رشته است و از بین عناصر منفی آن کوچکترین آنها انتخاب می شود. بردار پیحاوی آن مجاز می شود. قانون انتخاب یک عنصر حل کننده - نسبت عناصر مثبت ستون حل به عناصر بردار کامپایل شده است. P 0و عددی که کوچکترین نسبت را می دهد تبدیل به عنصر تفکیک کننده می شود که جدول سیمپلکس نسبت به آن مجدداً محاسبه می شود. رشته حاوی این عنصر را رشته فعال می گویند. اگر هیچ عنصر مثبتی در ستون وضوح وجود نداشته باشد، مشکل راه حلی ندارد. پس از تعیین عنصر تفکیک کننده، آنها به محاسبه مجدد جدول سیمپلکس جدید اقدام می کنند.
5. قوانین پر کردن یک جدول سیمپلکس جدید. به جای عنصر تفکیک کننده، یکی پایین می آید و بقیه عناصر برابر فرض می شوند 0 . بردار تفکیک کننده به پایه اضافه می شود که بردار صفر مربوطه از آن حذف می شود و بردارهای پایه باقی مانده بدون تغییر نوشته می شوند. عناصر خط مجاز با عنصر مجاز تقسیم می شوند و عناصر باقی مانده بر اساس قانون مستطیل ها مجدداً محاسبه می شوند.
6. این کار تا زمانی انجام می شود که f- تمام عناصر رشته مثبت نمی شوند.

حل مسئله را با استفاده از الگوریتم بالا در نظر بگیرید.
داده شده:

ما مسئله را به شکل متعارف می آوریم:

ما بردارها را می سازیم:

جدول سیمپلکس را پر کنید:

:
اولین عنصر بردار را دوباره محاسبه کنید P 0، که برای آن یک مستطیل از اعداد درست می کنیم: و می گیریم: .

ما محاسبات مشابهی را برای سایر عناصر جدول سیمپلکس انجام می دهیم:

در طرح دریافتی f- رشته حاوی یک عنصر منفی است - (-5/3)، بردارها P1. در ستون خود تنها عنصر مثبت وجود دارد که عنصر حل کننده خواهد بود. بیایید جدول را با توجه به این عنصر دوباره محاسبه کنیم:

عدم وجود عناصر منفی در f- رشته به معنای یافت شده است طرح بهینه:
F* = 36/5، X = (12/5، 14/5، 8، 0، 0).

• Ashmanov S. A. برنامه نویسی خطی، M: Nauka، 1998،
• Wentzel E.S. تحقیق در عملیات، M: رادیو شوروی، 2001،
• Kuznetsov Yu.N.، Kuzubov V.I.، Voloshenko A.B. برنامه نویسی ریاضی، م: دبیرستان، 1986

راه حل برنامه نویسی خطی سفارشی

شما می توانید هر گونه کار در این رشته را در وب سایت ما سفارش دهید. می توانید فایل ها را ضمیمه کنید و مهلت های زمانی را مشخص کنید

نمونه ای از حل مسئله به روش سیمپلکس و همچنین نمونه ای از حل در نظر گرفته شده است مشکل دوگانه.

وظیفه

برای اجرای سه گروه کالا، یک بنگاه تجاری دارای سه نوع منابع محدود مادی و پولی به مقدار b 1 = 240، b 2 = 200، b 3 = 160 واحد می باشد. در همان زمان، برای فروش 1 گروه کالا به قیمت 1000 روبل. گردش مالی، یک منبع از نوع اول به مقدار 11 = 2 واحد، یک منبع از نوع دوم به مقدار 21 = 4 واحد، یک منبع از نوع سوم به مقدار 31 = 4 مصرف می شود. واحدها برای فروش 2 و 3 گروه کالا به قیمت 1 هزار روبل. گردش مالی به ترتیب مصرف می شود، منبع نوع اول به مقدار 12 = 3، 13 = 6 واحد، منبع نوع دوم به مقدار 22 = 2، 23 = 4 واحد، منبع از نوع سوم به مقدار 32 = 6، 33 = 8 واحد. سود حاصل از فروش سه گروه کالا به مبلغ 1000 روبل. گردش مالی به ترتیب c 1 \u003d 4 ، c 2 \u003d 5 ، c 3 \u003d 4 (هزار روبل) است. حجم برنامه ریزی شده و ساختار گردش تجاری را تعیین کنید تا سود شرکت تجاری به حداکثر برسد.

به مشکل مستقیم برنامه ریزی گردش کالا، روش سیمپلکس قابل حل، ساختن مشکل دوگانهبرنامه ریزی خطی.
نصب جفت های مزدوج متغیرهامشکلات مستقیم و دوگانه
با توجه به جفت های مزدوج متغیرها، از حل مسئله مستقیم به دست می آید راه حل مشکل دوگانه، که در آن برآورد منابعصرف فروش کالا می شود.

حل مسئله سیمپلکس با روش

F = 4 x 1 + 5 x 2 + 4 x 3 -> حداکثر

0)))(~)" title="delim(lbrace)(ماتریس(4)(1)((2x_1 + 3x_2 + 6x_3= 0)))(~)">!}

سیمپلکس را با روش حل می کنیم.

ما متغیرهای اضافی x 4 ≥ 0، x 5 ≥ 0، x 6 ≥ 0 را برای تبدیل نابرابری ها به تساوی معرفی می کنیم.

به عنوان پایه، x 4 \u003d 240 را می گیریم. x5 = 200; x6 = 160.

داده ها وارد می شود جدول سیمپلکس

میز سیمپلکس شماره 1

تابع هدف:

0 240 + 0 200 + 0 160 = 0

ما نمرات را طبق فرمول محاسبه می کنیم:

Δ 1 \u003d 0 2 + 0 4 + 0 4 - 4 \u003d - 4
Δ 2 \u003d 0 3 + 0 2 + 0 6 - 5 \u003d - 5
Δ 3 \u003d 0 6 + 0 4 + 0 8 - 4 \u003d - 4
Δ 4 \u003d 0 1 + 0 0 + 0 0 - 0 \u003d 0
Δ 5 \u003d 0 0 + 0 1 + 0 0 - 0 \u003d 0
Δ 6 \u003d 0 0 + 0 0 + 0 1 - 0 \u003d 0

از آنجایی که برآوردهای منفی وجود دارد، طرح بهینه نیست. کمترین رتبه:

متغیر x 2 را به پایه معرفی می کنیم.

ما یک متغیر را با خروج از پایه تعریف می کنیم. برای انجام این کار، کوچکترین نسبت غیر منفی را برای ستون x 2 پیدا می کنیم.

= 26.667

کوچکترین غیر منفی: Q 3 = 26.667. متغیر x 6 را از مبنا استخراج می کنیم

خط 3 را بر 6 تقسیم کنید.
از ردیف اول، ردیف سوم را در 3 کم کنید
از ردیف دوم، ردیف سوم را در 2 کم کنید

محاسبه می کنیم:

ما یک جدول جدید دریافت می کنیم:

میز سیمپلکس شماره 2

تابع هدف:

0 160 + 0 440/3 + 5 80/3 = 400/3

ما نمرات را طبق فرمول محاسبه می کنیم:

Δ 1 \u003d 0 0 + 0 8/3 + 5 2/3 - 4 \u003d - 2/3
Δ 2 \u003d 0 0 + 0 0 + 5 1 - 5 \u003d 0
Δ 3 \u003d 0 2 + 0 4/3 + 5 4/3 - 4 \u003d 8/3
Δ 4 \u003d 0 1 + 0 0 + 5 0 - 0 \u003d 0
Δ 5 \u003d 0 0 + 0 1 + 5 0 - 0 \u003d 0
Δ 6 \u003d 0 (-1) / 2 + 0 (-1) / 3 + 5 1/6 - 0 \u003d 5/6

از آنجایی که تخمین منفی Δ 1 = - 2/3 وجود دارد، طرح بهینه نیست.

متغیر x 1 را به پایه معرفی می کنیم.

ما یک متغیر را با خروج از پایه تعریف می کنیم. برای انجام این کار، کوچکترین نسبت غیر منفی را برای ستون x 1 پیدا می کنیم.

کوچکترین غیرمنفی: Q 3 \u003d 40. متغیر x 2 را از پایه استخراج می کنیم

ردیف سوم را بر 2/3 تقسیم کنید.
از ردیف دوم، ردیف سوم ضرب در 8/3 را کم کنید

محاسبه می کنیم:

ما یک جدول جدید دریافت می کنیم:

میز سیمپلکس شماره 3

تابع هدف:

0 160 + 0 40 + 4 40 = 160

ما نمرات را طبق فرمول محاسبه می کنیم:

Δ 1 \u003d 0 0 + 0 0 + 4 1 - 4 \u003d 0
Δ 2 \u003d 0 0 + 0 (-4) + 4 3/2 - 5 \u003d 1
Δ 3 \u003d 0 2 + 0 (-4) + 4 2 - 4 \u003d 4
Δ 4 \u003d 0 1 + 0 0 + 4 0 - 0 \u003d 0
Δ 5 \u003d 0 0 + 0 1 + 4 0 - 0 \u003d 0
Δ 6 \u003d 0 (-1) / 2 + 0 (-1) + 4 1/4 - 0 \u003d 1

از آنجایی که برآورد منفی وجود ندارد، طرح بهینه است.

راه حل مشکل:

پاسخ

یعنی لازم است کالاهای نوع اول را به مبلغ 40 هزار روبل بفروشید. کالاهای نوع 2 و 3 نیازی به فروش ندارند. در این مورد، حداکثر سود F max = 160 هزار روبل خواهد بود.

حل مشکل دوگانه

مشکل دوگانه به نظر می رسد:

Z = 240 y 1 + 200 y 2 + 160 y 3 -> دقیقه

Title="delim(lbrace)(matrix(4)(1)((2y_1 + 4y_2 + 4y_3>=4) (3y_1 + 2y_2 + 6y_3>=5) (6y_1 + 4y_2 + 8y_3>=4) (y_1، y_2، y_3>= 0)))(~)">!}

ما متغیرهای اضافی y 4 ≥ 0، y 5 ≥ 0، y 6 ≥ 0 را برای تبدیل نابرابری ها به تساوی معرفی می کنیم.

جفت های مزدوج متغیرهای مسائل مستقیم و دوگانه به شکل زیر هستند:

از آخرین جدول سیمپلکس شماره 3 مسئله مستقیم، حل مسئله دوگانه را پیدا می کنیم:

Z min = F max = 160;
y 1 \u003d Δ 4 \u003d 0; y 2 \u003d Δ 5 \u003d 0; y 3 \u003d Δ 6 \u003d 1; y 4 \u003d Δ 1 \u003d 0; y 5 \u003d Δ 2 \u003d 1; y 6 \u003d Δ 3 \u003d 4;

ایده روش سیمپلکس این است که از یک پایه به پایه دیگر حرکت کنید و مقدار تابعی را بدست آورید که حداقل از مقدار موجود کمتر نباشد (هر پایه مربوط به یک مقدار تابع واحد است).
بدیهی است که تعداد پایه های ممکن برای هر مسئله محدود است (و نه خیلی زیاد).
بنابراین دیر یا زود جواب دریافت خواهد شد.

انتقال از یک پایه به پایه دیگر چگونه انجام می شود؟
راحت تر است که راه حل را در قالب جداول ثبت کنید. هر ردیف معادل معادله ای از سیستم است. خط انتخاب شده از ضرایب تابع تشکیل شده است (خودتان را مقایسه کنید). این به شما امکان می دهد هر بار متغیرها را بازنویسی نکنید، که باعث صرفه جویی در زمان می شود.
در خط انتخاب شده، بزرگترین ضریب مثبت را انتخاب کنید. این برای به دست آوردن مقدار تابع، حداقل نه کمتر از موجود، ضروری است.
ستون انتخاب شد.
برای ضرایب مثبت ستون انتخابی، نسبت Θ را محاسبه کرده و کوچکترین مقدار را انتخاب می کنیم. این امر ضروری است تا پس از تبدیل، ستون اعضای آزاد مثبت باقی بماند.
ردیف انتخاب شد.
بنابراین عنصری که مبنا خواهد بود تعریف می شود. بعد، حساب می کنیم.

یکی از روش های حل مسائل بهینه سازی ( معمولاً با یافتن حداقل یا حداکثر همراه است) برنامه ریزی خطی نامیده می شود. روش سیمپلکسشامل یک گروه کامل از الگوریتم ها و روش ها برای حل مسائل برنامه ریزی خطی است. یکی از این روش ها که شامل ثبت داده های اولیه و محاسبه مجدد آنها در یک جدول خاص است، نامیده می شود روش سیمپلکس جدولی.

الگوریتم روش سیمپلکس جدولی را در مثال حل در نظر بگیرید وظیفه تولید ، که به یافتن یک برنامه تولید که حداکثر سود را ارائه می دهد خلاصه می شود.

داده های اولیه مسئله برای روش سیمپلکس

این شرکت 4 نوع محصول تولید می کند و آنها را در 3 دستگاه پردازش می کند.

محدودیت‌های زمانی (حداقل/عدد) برای پردازش محصولات روی ماشین‌ها توسط ماتریس A آورده شده است:

صندوق زمان کار ماشین (حداقل) در ماتریس B آورده شده است:

سود حاصل از فروش هر واحد از محصول (روبل/قطعه) توسط ماتریس C داده می شود:

هدف از کار تولید

یک طرح تولیدی تهیه کنید که در آن سود شرکت به حداکثر برسد.

حل مسئله به روش سیمپلکس جدولی

(1) اجازه دهید X1، X2، X3، X4 تعداد برنامه ریزی شده محصولات هر نوع را نشان دهد. سپس طرح مورد نظر: ( X1، X2، X3، X4)

(2) بیایید قیود پلان را به شکل یک سیستم معادلات بنویسیم:

(3) سپس سود هدف این است:

یعنی سود حاصل از اجرای طرح تولید حداکثر باشد.

(4) برای حل مشکل حدی شرطی حاصل، سیستم نابرابری ها را با یک سیستم معادلات خطی با وارد کردن متغیرهای غیر منفی اضافی در آن جایگزین می کنیم. X5، X6، X7).

(5) موارد زیر را قبول داریم طرح مرجع:

X1=0، X2=0، X3=0، X4=0، X5=252، X6=144، X7=80

(6) بیایید داده ها را وارد کنیم جدول سیمپلکس:

در خط آخر ضرایب تابع هدف و مقدار خود را با علامت مخالف وارد می کنیم.

(7) در خط آخر انتخاب کنید بزرگترین (مدول) یک عدد منفی

محاسبه کنید b = N / Elements_of_chosen_column

از بین مقادیر محاسبه شده b انتخاب می کنیم کمترین.

تقاطع ستون و سطر انتخاب شده به ما یک عنصر حل کننده می دهد. مبنا را به متغیری مطابق با عنصر فعال کننده تغییر می دهیم ( X5 تا X1).

• خود عنصر enable 1 می شود.
• برای عناصر خط مجاز - a ij (*) = a ij / RE ( یعنی هر عنصر را بر مقدار عنصر فعال کننده تقسیم می کنیم و داده های جدیدی به دست می آوریم).
• برای عناصر یک ستون حل، آنها به سادگی به صفر بازنشانی می شوند.
• عناصر باقیمانده جدول طبق قانون مستطیل مجدداً محاسبه می شوند.

a ij (*) = a ij - (A * B / RE)

همانطور که می بینید، سلول فعلی در حال محاسبه مجدد و سلول با عنصر enable را می گیریم. آنها گوشه های مخالف مستطیل را تشکیل می دهند. سپس مقادیر سلول های 2 گوشه دیگر این مستطیل را ضرب می کنیم. این کار ( آ * ب) تقسیم بر عنصر حل کننده ( RE). و از سلول محاسبه شده فعلی کم کنید ( aij) چی شد. ما یک ارزش جدید دریافت می کنیم - یک ij (*).

(9) دوباره خط آخر را بررسی کنید ( ج) بر وجود اعداد منفی. اگر هیچ کدام وجود نداشته باشد، طرح بهینه پیدا شده است، تا آخرین مرحله حل مشکل پیش می رویم. اگر وجود داشته باشد، طرح هنوز بهینه نیست و جدول سیمپلکس باید دوباره محاسبه شود.

از آنجایی که ما دوباره در آخرین خط داریم اعداد منفی، ما یک تکرار جدید از محاسبات را شروع می کنیم.

(10) از آنجایی که هیچ عنصر منفی در خط آخر وجود ندارد، این بدان معنی است که ما برنامه تولید بهینه را پیدا کرده ایم! یعنی: ما محصولاتی را تولید خواهیم کرد که به ستون "Basis" منتقل شده اند - X1 و X2. ما سود حاصل از تولید هر واحد خروجی را می دانیم ( ماتریس C). باقی مانده است که حجم یافت شده خروجی محصولات 1 و 2 را با سود در هر قطعه ضرب کنیم، نتیجه نهایی را می گیریم ( بیشترین! ) سود تحت یک برنامه تولید معین.

پاسخ:

X1=32pcs، X2=20pcs، X3=0pcs، X4=0pcs

P \u003d 48 * 32 + 33 * 20 \u003d 2196 روبل.

گالیاتدینوف R.R.

© کپی کردن مطالب فقط در صورتی مجاز است که یک لینک مستقیم به آن مشخص کنید