وابستگی رشته خطی نظریه Slough

هر ردیف از ماتریس را A e i = (a i 1 a i 2 ...، a in) نشان می دهیم (به عنوان مثال،
e 1 = (a 11 a 12 ...، a 1 n)، e 2 = (a 21 a 22 ...، a 2 n) و غیره). هر یک از آنها یک ماتریس ردیفی است که می توان آن را در یک عدد ضرب کرد یا به سطر دیگر در آن اضافه کرد قوانین عمومیاقدامات با ماتریس

ترکیب خطیاز رشته ها e l , e 2 ,...e k مجموع حاصلضرب این رشته ها توسط اعداد واقعی دلخواه است:
e = l l e l + l 2 e 2 +...+ l k e k , که در آن l l , l 2 ,..., l k اعداد دلخواه هستند (ضرایب ترکیب خطی).

سطرهای ماتریسی e l , e 2 ,...e m نامیده می شوند وابسته به خطاگر اعداد l l , l 2 ,..., l m وجود داشته باشند که همزمان برابر با صفر نباشند، به طوری که ترکیب خطی ردیف های ماتریس برابر با ردیف صفر باشد:
l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0، که در آن 0 = (0 0...0).

وابستگی خطی سطرهای ماتریس به این معنی است که حداقل یک سطر از ماتریس ترکیب خطیبقیه در واقع، برای قطعیت، آخرین ضریب l m 1 0 را بگذارید. سپس، با تقسیم هر دو طرف تساوی بر l m، عبارتی برای خط آخر، به عنوان یک ترکیب خطی از ردیف های باقی مانده:
e m = (l l /l m)e l + (l 2 /l m)e 2 +...+ (l m-1 /l m)e m-1 .

اگر ترکیب خطی سطرها صفر باشد اگر و فقط اگر همه ضرایب صفر باشند، یعنی. l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0 Û l k = 0 "k، سپس خطوط نامیده می شوند مستقل خطی.

قضیه رتبه ماتریس. رتبه یک ماتریس برابر با حداکثر تعداد سطرها یا ستون های مستقل خطی آن است که می توان تمام سطرها یا ستون های دیگر آن را به صورت خطی بیان کرد.

بیایید این قضیه را ثابت کنیم. فرض کنید یک m x n ماتریس A دارای رتبه r (r(A) £ min (m; n)) باشد. بنابراین، یک مینور غیر صفر از مرتبه r وجود دارد. هر گونه خردسالی فراخوانی خواهد شد پایه ای. بگذارید این یک جزئی برای قطعیت باشد

ردیف های این مینور نیز فراخوانی خواهند شد پایه ای.

اجازه دهید ثابت کنیم که سطرهای ماتریس e l , e 2 ,...e r مستقل خطی هستند. برعکس را فرض کنید، یعنی. یکی از این ردیف ها، مثلاً ردیف r، ترکیبی خطی از بقیه است: e r = l l e l + l 2 e 2 +...+ l r-1 e r-1 = 0. سپس، اگر از آن کم کنیم المانها خط rthعناصر ردیف اول ضرب در l l، عناصر ردیف دوم ضرب در l 2 و غیره، در نهایت، عناصر ردیف (r-1)ام در l r-1 ضرب می شوند، سپس ردیف rصفر خواهد شد. در عین حال با توجه به خواص دترمینان، تعیین کننده فوق نباید تغییر کند و در عین حال باید برابر با صفر باشد. یک تناقض به دست می آید، استقلال خطی رشته ها ثابت می شود.

اجازه دهید ثابت کنیم که هر ردیف ماتریس (r+1) به صورت خطی وابسته است، یعنی. هر رشته ای را می توان در قالب رشته های اصلی بیان کرد.

بیایید جزئی را که قبلاً در نظر گرفته شده بود با یک ردیف دیگر (i-th) و یک ستون دیگر (j-th) تکمیل کنیم. در نتیجه یک مینور از مرتبه (r+1)ام بدست می آوریم که طبق تعریف رتبه برابر با صفر است.

اجازه دهید

ستون های ماتریس ابعاد. ترکیب خطی ستون های ماتریسیماتریس ستون نامیده می شود، در حالی که - برخی از اعداد واقعی یا مختلط، فراخوانی می شود ضرایب ترکیب خطی. اگر در یک ترکیب خطی همه ضرایب را برابر با صفر بگیریم، ترکیب خطی برابر با ماتریس ستون صفر است.

ستون های ماتریس نامیده می شوند مستقل خطی ، اگر ترکیب خطی آنها فقط زمانی برابر با صفر باشد که همه ضرایب ترکیب خطی برابر با صفر باشند. ستون های ماتریس نامیده می شوند وابسته به خط اگر مجموعه ای از اعداد وجود داشته باشد که حداقل یکی از آنها غیر صفر باشد و ترکیب خطی ستون ها با این ضرایب برابر با صفر باشد.

به همین ترتیب، می توان تعریف کرد وابستگی خطیو استقلال خطیردیف های ماتریسی در ادامه، تمام قضایا برای ستون های ماتریس فرموله شده است.

قضیه 5

اگر بین ستون های ماتریس صفر باشد، ستون های ماتریس به صورت خطی وابسته هستند.

اثبات یک ترکیب خطی را در نظر بگیرید که در آن همه ضرایب برای تمام ستون های غیر صفر برابر با صفر و برای ستون صفر یک هستند. برابر با صفر است و در بین ضرایب ترکیب خطی یک غیر صفر وجود دارد. بنابراین، ستون های ماتریس به صورت خطی وابسته هستند.

قضیه 6

اگر ستون های ماتریسی به طور خطی وابسته است، سپس همه ستون های ماتریس به صورت خطی وابسته هستند.

اثبات برای قطعیت، ستون های اول ماتریس را فرض می کنیم وابسته به خط سپس با تعریف وابستگی خطی، مجموعه ای از اعداد وجود دارد که حداقل یکی از آنها با صفر متفاوت است و ترکیب خطی ستون ها با این ضرایب برابر با صفر است.

ترکیبی خطی از تمام ستون‌های ماتریس، از جمله ستون‌های باقیمانده با ضرایب صفر بسازید.

ولی . بنابراین، تمام ستون های ماتریس به صورت خطی وابسته هستند.

نتیجه. در میان خطی ستون های مستقلهر ماتریس به صورت خطی مستقل است. (این ادعا به راحتی با تناقض اثبات می شود.)

قضیه 7

برای اینکه ستون های ماتریس به صورت خطی وابسته باشند، لازم و کافی است که حداقل یک ستون ماتریس ترکیبی خطی از بقیه باشد.

اثبات

ضرورت.بگذارید ستون های ماتریس به صورت خطی وابسته باشند، یعنی مجموعه ای از اعداد وجود دارد که حداقل یکی از آنها با صفر متفاوت است و ترکیب خطی ستون ها با این ضرایب برابر با صفر است.

برای قطعیت فرض کنید که . سپس یعنی ستون اول ترکیبی خطی از بقیه است.

کفایت. اجازه دهید حداقل یک ستون از ماتریس ترکیبی خطی از ستون های دیگر باشد، به عنوان مثال، جایی که تعدادی اعداد هستند.

سپس، یعنی ترکیب خطی ستون ها برابر با صفر است و از بین اعداد ترکیب خطی، حداقل یک (برای ) غیر صفر است.

بگذارید رتبه ماتریس باشد. هر مرتبه جزئی غیر صفر نامیده می شود پایه ای . سطرها و ستون هایی که در تقاطع آنها قرار دارد جزئی اولیه، نامیده می شوند پایه ای .

توجه داشته باشید که سطرها و ستون های ماتریس را می توان به عنوان بردارهای حسابی اندازه ها مشاهده کرد. مترو n، به ترتیب. بنابراین، ماتریس اندازه را می توان به عنوان یک مجموعه تفسیر کرد متر n-بعدی یا n متر-بردارهای حسابی بعدی با قیاس با بردارهای هندسی، مفاهیم وابستگی خطی و استقلال خطی سطرها و ستون‌های یک ماتریس را معرفی می‌کنیم.

4.8.1. تعریف. خط
تماس گرفت ترکیب خطی خطوطبا ضرایب
، اگر برابری برای همه عناصر این ردیف صادق باشد:

,
.

4.8.2. تعریف.

رشته های
تماس گرفت وابسته به خط، اگر یک ترکیب خطی غیر پیش پا افتاده از آنها برابر با رشته صفر وجود داشته باشد، یعنی. اعدادی هستند که همگی برابر با صفر نیستند

,
.

4.8.3. تعریف.

رشته های
تماس گرفت مستقل خطی، اگر فقط ترکیب خطی بی اهمیت آنها برابر با ردیف صفر باشد، یعنی.

,

4.8.4. قضیه. (معیار وابستگی خطی سطرهای ماتریس)

برای اینکه رشته ها به صورت خطی وابسته باشند، لازم و کافی است که حداقل یکی از آنها ترکیبی خطی از بقیه باشد.

اثبات:

ضرورت.اجازه دهید خطوط
به صورت خطی وابسته هستند، سپس یک ترکیب خطی غیر پیش پا افتاده از آنها برابر با خط صفر وجود دارد:

.

بدون از دست دادن کلیت، فرض می کنیم که اولین ضرایب ترکیب خطی غیر صفر است (در غیر این صورت، می توانیم ردیف ها را مجددا شماره گذاری کنیم). تقسیم این نسبت بر ، ما گرفتیم

,

یعنی ردیف اول ترکیبی خطی از بقیه است.

کفایت.اجازه دهید یکی از خطوط، برای مثال، ، ترکیبی خطی از بقیه است، پس

یعنی یک ترکیب خطی غیر پیش پا افتاده از رشته ها وجود دارد
، برابر با رشته صفر:

که به معنی خطوط است
به صورت خطی وابسته هستند که باید ثابت شود.

اظهار نظر.

تعاریف و ادعاهای مشابهی را می توان برای ستون های یک ماتریس فرموله کرد.

§4.9. رتبه ماتریسی

4.9.1. تعریف. جزئیسفارش ماتریس ها اندازه
تعیین کننده ترتیب نامیده می شود با عناصر واقع در تقاطع برخی از آن خطوط و ستون ها.

4.9.2. تعریف. درجه جزئی غیر صفر ماتریس ها اندازه
تماس گرفت پایه ای جزئی، اگر همه فرعی های ماتریس سفارش باشند
برابر با صفر هستند.

اظهار نظر. یک ماتریس می تواند دارای مینورهای پایه متعدد باشد. بدیهی است که همه آنها از یک ترتیب خواهند بود. همچنین ممکن است که ماتریس اندازه
سفارش جزئی متفاوت از صفر، و جزئی از منظور است
وجود ندارد، یعنی
.

4.9.3. تعریف. سطرهایی (ستون هایی) که پایه مینور را تشکیل می دهند نامیده می شوند پایه ایردیف ها (ستون ها).

4.9.4. تعریف. رتبهماتریس ترتیب مینور اصلی آن است. رتبه ماتریسی نشان داده شده است
یا
.

اظهار نظر.

توجه داشته باشید که به دلیل برابری سطرها و ستون های تعیین کننده، رتبه ماتریس در هنگام جابجایی تغییر نمی کند.

4.9.5. قضیه. (عدم تغییر رتبه ماتریس تحت تبدیل های ابتدایی)

رتبه یک ماتریس تحت تبدیل های اولیه آن تغییر نمی کند.

بدون مدرک

4.9.6. قضیه. (در مینور اولیه).

سطرهای اصلی (ستون ها) به صورت خطی مستقل هستند. هر سطر (ستون) ماتریس را می توان به صورت ترکیبی خطی از سطرهای اصلی آن (ستون) نشان داد.

اثبات:

بیایید اثبات رشته ها را انجام دهیم. اثبات ادعا برای ستون ها را می توان با قیاس انجام داد.

اجازه دهید رتبه ماتریس اندازه ها
برابر است ، آ
- جزئی پایه. بدون از دست دادن کلیت، فرض می کنیم که پایه جزئی در گوشه سمت چپ بالا قرار دارد (در غیر این صورت، می توانیم با استفاده از تبدیل های ابتدایی، ماتریس را به این شکل کاهش دهیم):

.

اجازه دهید ابتدا استقلال خطی ردیف های پایه را ثابت کنیم. ما با تناقض ثابت خواهیم کرد. اجازه دهید فرض کنیم که ردیف های اصلی به صورت خطی وابسته هستند. سپس، طبق قضیه 4.8.4، یکی از سطرها را می توان به صورت ترکیبی خطی از سطرهای پایه باقی مانده نشان داد. بنابراین، اگر ترکیب خطی نشان داده شده را از این خط کم کنیم، یک خط صفر به دست می آوریم که به این معنی است که جزئی
برابر با صفر است که با تعریف مبنا مینور در تضاد است. بنابراین، ما یک تناقض به دست آورده ایم، بنابراین، استقلال خطی ردیف های اصلی ثابت می شود.

اکنون اجازه دهید ثابت کنیم که هر ردیف از یک ماتریس را می توان به صورت ترکیبی خطی از ردیف های اصلی نشان داد. اگر شماره خط مورد نظر از 1 تا r، پس بدیهی است که می توان آن را به صورت یک ترکیب خطی با ضریب 1 برای ردیف نشان داد. و ضرایب برای سطرهای باقی مانده صفر است. اجازه دهید اکنون نشان دهیم که اگر شماره خط از جانب
قبل از
، می توان آن را به صورت ترکیبی خطی از ردیف های اصلی نشان داد. ماتریس مینور را در نظر بگیرید
، برگرفته از پایه جزئی
با افزودن یک خط و یک ستون دلخواه
:

اجازه دهید نشان دهیم که این صغیر
از جانب
قبل از
و برای هر شماره ستون از 1 تا .

در واقع، اگر شماره ستون از 1 تا r، سپس یک دترمینال با دو ستون یکسان داریم که مشخصاً برابر با صفر است. اگر شماره ستون از جانب r+1 به و شماره خط از جانب
قبل از
، آن
یک مینور از ماتریس اصلی با ترتیب بیشتر از پایه مینور است، به این معنی که از تعریف پایه مینور صفر است. بدین ترتیب ثابت می شود که صغیر
برای هر خطی صفر است از جانب
قبل از
و برای هر شماره ستون از 1 تا . با گسترش آن توسط آخرین ستون، به دست می آوریم:

اینجا
- اضافات جبری مربوطه. توجه کنید که
، از آنجا که، بنابراین،
جزئی اولیه است. بنابراین، عناصر خط کرا می توان به صورت ترکیبی خطی از عناصر متناظر ردیف های اصلی با ضرایب مستقل از شماره ستون نشان داد. :

بنابراین، ما ثابت کرده‌ایم که یک ردیف دلخواه از یک ماتریس را می‌توان به صورت ترکیبی خطی از ردیف‌های اصلی آن نشان داد. قضیه ثابت شده است.

سخنرانی 13

4.9.7. قضیه. (در رتبه یک ماتریس مربع غیر انحطاط)

برای اینکه یک ماتریس مربع غیر منحط باشد، لازم و کافی است که رتبه ماتریس برابر با اندازه این ماتریس باشد.

اثبات:

ضرورت.اجازه دهید ماتریس مربع اندازه nپس غیر منحط است
بنابراین، تعیین کننده ماتریس یک مینور اساسی است، یعنی.

کفایت.اجازه دهید
سپس ترتیب مینور پایه برابر با اندازه ماتریس است، بنابراین مینور پایه تعیین کننده ماتریس است. ، یعنی
با تعریف پایه جزئی.

نتیجه.

برای اینکه یک ماتریس مربع غیر انحطاط باشد، لازم و کافی است که سطرهای آن به صورت خطی مستقل باشند.

اثبات:

ضرورت.از آنجایی که یک ماتریس مربع غیر منحط است، رتبه آن برابر با اندازه ماتریس است
یعنی تعیین کننده ماتریس، مینور پایه است. بنابراین، با قضیه 4.9.6 بر اساس مینور، ردیف های ماتریس به صورت خطی مستقل هستند.

کفایت.از آنجایی که تمام سطرهای ماتریس به صورت خطی مستقل هستند، رتبه آن کمتر از اندازه ماتریس نیست، به این معنی که
بنابراین، با قضیه قبلی 4.9.7، ماتریس غیر منحط است

4.9.8. روش فرعی فرعی برای یافتن رتبه یک ماتریس.

توجه داشته باشید که بخشی از این روش قبلاً به طور ضمنی در اثبات قضیه جزئی پایه توضیح داده شده است.

4.9.8.1. تعریف. جزئی
تماس گرفت حاشیهدر رابطه با جزئی
، اگر از صغیر مشتق شده باشد
اضافه کردن یکی خط جدیدو یک ستون جدید از ماتریس اصلی.

4.9.8.2. روش یافتن رتبه یک ماتریس با روش مرزبندی مینورها.

هر ماتریس فعلی جز صفر را پیدا کنید.

ما همه خرده‌های مرزی را محاسبه می‌کنیم.

اگر همه آنها برابر با صفر باشند، مینور فعلی پایه یک است و رتبه ماتریس برابر است با ترتیب مینور فعلی.

اگر حداقل یک غیر از صفر در میان خردسالان مرزی وجود داشته باشد، آنگاه فرض می‌شود که جاری است و روال ادامه دارد.

با استفاده از روش مرزبندی مینورها، رتبه ماتریس را پیدا می کنیم

.

به راحتی می توان مینور مرتبه دوم فعلی را غیر از صفر مشخص کرد، برای مثال،

.

ما خرده‌های مرزی آن را محاسبه می‌کنیم:

بنابراین، از آنجایی که تمام مینورهای مرزی مرتبه سوم برابر با صفر هستند، مینور
اساسی است، یعنی

اظهار نظر. از مثال در نظر گرفته شده می توان دریافت که روش بسیار پر زحمت است. بنابراین، در عمل، روش تبدیل های ابتدایی، که در زیر مورد بحث قرار خواهد گرفت، بسیار بیشتر مورد استفاده قرار می گیرد.

4.9.9. یافتن رتبه یک ماتریس با روش تبدیل های ابتدایی.

بر اساس قضیه 4.9.5، می‌توانیم بگوییم که رتبه یک ماتریس تحت تبدیل‌های ابتدایی تغییر نمی‌کند (یعنی رتبه‌های ماتریس‌های معادل برابر هستند). بنابراین، رتبه ماتریس برابر با رتبهماتریس گام به دست آمده از تبدیل های اولیه اولیه. رتبه یک ماتریس پله ای آشکارا برابر با تعداد ردیف های غیر صفر آن است.

رتبه ماتریس را تعیین کنید

روش تبدیل های ابتدایی

ماتریس را ارائه می دهیم گام به گام:

تعداد سطرهای غیر صفر ماتریس مرحله به دست آمده سه است، بنابراین،

4.9.10. رتبه یک سیستم از بردارها در یک فضای خطی.

سیستم بردارها را در نظر بگیرید
مقداری فضای خطی . اگر به صورت خطی وابسته باشد، می توان یک زیر سیستم مستقل خطی را در آن جدا کرد.

4.9.10.1. تعریف. رتبه سیستم بردارها
فضای خطی حداکثر تعداد بردارهای مستقل خطی این سیستم است. رتبه سیستم برداری
به عنوان نشان داده شده است
.

اظهار نظر. اگر سیستمی از بردارها به صورت خطی مستقل باشد، رتبه آن برابر با تعداد بردارهای سیستم است.

اجازه دهید یک قضیه را فرمول بندی کنیم که رابطه بین مفاهیم رتبه یک سیستم بردار در یک فضای خطی و رتبه یک ماتریس را نشان می دهد.

4.9.10.2. قضیه. (در رتبه یک سیستم از بردارها در یک فضای خطی)

رتبه یک سیستم از بردارها در یک فضای خطی برابر است با رتبه یک ماتریس که ستون ها یا ردیف های آن مختصات بردارها در برخی از پایه های فضای خطی هستند.

بدون مدرک

نتیجه.

برای اینکه سیستمی از بردارها در یک فضای خطی مستقل خطی باشد، لازم و کافی است که رتبه ماتریسی که ستون‌ها یا ردیف‌های آن مختصات بردارها هستند در برخی مبنا با تعداد بردارهای سیستم برابر باشد.

اثبات واضح است.

4.9.10.3. قضیه (درباره بعد دهانه خطی).

بعد دهانه خطی بردارها
فضای خطی برابر است با رتبه این سیستم از بردارها:

بدون مدرک

یک ماتریس دلخواه و نه لزوما مربعی A به اندازه mxn را در نظر بگیرید.

رتبه ماتریسی

مفهوم رتبه یک ماتریس با مفهوم وابستگی خطی (استقلال) ردیف ها (ستون ها) یک ماتریس مرتبط است. این مفهوم را برای رشته ها در نظر بگیرید. برای ستون ها هم همینطور است.

سینک های ماتریس A را مشخص کنید:

e 1 \u003d (a 11، a 12، ...، a 1n)؛ e 2 \u003d (a 21, a 22, ..., a 2n)؛ ..., e m \u003d (a m1, a m2, ..., a mn)

e k =e s اگر a kj =a sj , j=1,2,…,n

عملیات حسابیروی ردیف‌های ماتریس (جمع، ضرب در یک عدد) به‌عنوان عملیاتی که عنصر به عنصر انجام می‌شود، معرفی می‌شوند:

e k +e s =[(а k1 +a s1)، (a k2 +a s2)،…، (а kn +a sn)].

خط e نامیده می شود ترکیب خطیسطرهای e 1 , e 2 ,…,e k , اگر برابر با مجموع حاصلضرب این سطرها با اعداد واقعی دلخواه باشد:

e=λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ k e k

خطوط e 1 , e 2 ,…,e m نامیده می شوند وابسته به خط، اگر اعداد حقیقی λ 1 , λ 2 ,…,λ m وجود داشته باشند که همگی برابر با صفر نیستند که ترکیب خطی این سطرها برابر با ردیف صفر است: λ 1 e 1 + λ 2 e 2 +…+λ m e m = 0 ،جایی که 0 =(0,0,…,0) (1)

اگر ترکیب خطی برابر با صفر باشد اگر و فقط اگر همه ضرایب λ i برابر با صفر باشند (λ 1 =λ 2 =…=λ m = 0)، سطرهای e 1 , e 2 ,…,e m نامیده می شوند. مستقل خطی

قضیه 1. برای اینکه رشته های e 1 ,e 2 ,…,e m به صورت خطی وابسته باشند، لازم و کافی است که یکی از این رشته ها ترکیبی خطی از رشته های دیگر باشد.

اثبات. ضرورت. بگذارید رشته های e 1 , e 2 ,…,e m به صورت خطی وابسته باشند. اجازه دهید، برای قطعیت، (1) λm ≠0، سپس

که رشته e m ترکیبی خطی از بقیه رشته ها است. Ch.t.d.

کفایت. بگذارید یکی از سطرها، برای مثال e m، ترکیبی خطی از سطرهای دیگر باشد. سپس اعدادی وجود دارند که برابری برقرار است، که می توان آنها را به صورت بازنویسی کرد،

که در آن حداقل 1 از ضرایب (-1) غیر صفر است. آن ها ردیف ها به صورت خطی وابسته هستند. Ch.t.d.

تعریف. مرتبه k-ام جزئیماتریس A با اندازه mxn، تعیین‌کننده مرتبه k با عناصری که در تقاطع هر k ردیف و هر k ستون ماتریس A قرار دارند نامیده می‌شود. (k≤min(m,n)). .

مثال.، خردسالان مرتبه 1: =، =;

خردسالان مرتبه 2: , مرتبه 3

یک ماتریس مرتبه 3 دارای 9 مینور مرتبه اول، 9 مینور مرتبه دوم و 1 درجه فرعی درجه 3 (تعیین کننده این ماتریس) است.

تعریف. رتبه ماتریسی Aبالاترین مرتبه مینورهای غیر صفر این ماتریس است. تعیین - rgA یا r(A).

خواص رتبه ماتریسی.

1) رتبه ماتریس A nxm از کوچکترین ابعاد آن تجاوز نمی کند، یعنی.

r(A)≤min(m,n).

2) r(A)=0 زمانی که همه عناصر ماتریس برابر با 0 باشند، یعنی. A=0.

3) برای ماتریس مربع A از مرتبه n r(A)=n وقتی A غیر منحط باشد.

(رتبه یک ماتریس مورب برابر است با تعداد عناصر مورب غیر صفر آن).

4) اگر رتبه یک ماتریس r باشد، ماتریس حداقل یک مینور از مرتبه r دارد که برابر با صفر نیست و همه مینورهای مرتبه بالاتر برابر با صفر هستند.

برای رتبه های ماتریس، روابط زیر درست است:

2) r(A+B)≤r(A)+r(B); 3) r(AB)≤min(r(A),r(B));

3) r(A+B)≥│r(A)-r(B)│; 4) r(A T A)=r(A);

5) r(AB)=r(A) اگر B یک ماتریس مربع غیر مفرد باشد.

6) r(AB)≥r(A)+r(B)-n، که n تعداد ستون های ماتریس A یا ردیف های ماتریس B است.

تعریف.یک مینور غیر صفر از مرتبه r(A) نامیده می شود جزئی اولیه. (ماتریس A می تواند چندین پایه کوچک داشته باشد). سطرها و ستون هایی که در محل تقاطع آنها یک پایه جزئی وجود دارد به ترتیب نامیده می شوند خطوط پایهو ستون های پایه.

قضیه 2 (در مینور پایه).سطرهای اصلی (ستون ها) به صورت خطی مستقل هستند. هر سطر (هر ستون) ماتریس A ترکیبی خطی از سطرهای اصلی (ستون) است.

اثبات. (برای رشته ها). اگر سطرهای پایه به صورت خطی وابسته بودند، با قضیه (1) یکی از این سطرها ترکیبی خطی از سایر سطرهای پایه خواهد بود، سپس، بدون تغییر مقدار مینور اصلی، می توانید ترکیب خطی مشخص شده را از این ردیف کم کنید و یک ردیف صفر دریافت کنید، و این در تضاد است زیرا پایه جزئی با صفر متفاوت است. که ردیف های پایه به صورت خطی مستقل هستند.

اجازه دهید ثابت کنیم که هر ردیفی از ماتریس A ترکیبی خطی از ردیف های اصلی است. زیرا با تغییرات دلخواه در ردیف ها (ستون ها)، تعیین کننده خاصیت برابر بودن با صفر را حفظ می کند، سپس، بدون از دست دادن کلیت، می توانیم فرض کنیم که پایه جزئی در گوشه سمت چپ بالای ماتریس است.

الف=،آن ها در اولین ردیف های r و اولین ستون های r قرار دارد. اجازه دهید 1£j£n، 1£i£m. اجازه دهید نشان دهیم که تعیین کننده ترتیب (r+1)ام است

اگر j£r یا i£r باشد، این تعیین کننده برابر با صفر است، زیرا دو ستون یکسان یا دو ردیف یکسان خواهد داشت.

اگر j>r و i>r باشد، این تعیین کننده جزئی از (r + 1)مین مرتبه ماتریس A است. رتبه ماتریس r است، بنابراین هر جزئی از مرتبه بالاتر برابر با 0 است.

با گسترش آن توسط عناصر آخرین ستون (اضافه شده)، دریافت می کنیم

a 1j A 1j +a 2j A 2j +…+a rj A rj +a ij A ij =0، جایی که آخرین جمع جبری A ij با M r جزئی اصلی منطبق است و بنابراین A ij = M r ≠0.

با تقسیم آخرین تساوی بر A ij ، می توانیم عنصر a ij را به صورت ترکیب خطی بیان کنیم: ، جایی که .

مقدار i (i>r) را ثابت کنید و آن را برای هر j بدست آورید (j=1,2,…,n) عناصر i-امرشته های e i به صورت خطی بر حسب عناصر رشته های e 1 , e 2 ,…,e r , i.e بیان می شوند. خط i-امترکیبی خطی از ردیف های اصلی است: . Ch.t.d.

قضیه 3. (شرط لازم و کافی برای مساوی بودن تعیین کننده).برای اینکه تعیین کننده مرتبه n D برابر با صفر باشد، لازم و کافی است که ردیف ها (ستون های) آن به صورت خطی وابسته باشند.

اثبات (ص.40). ضرورت. اگر تعیین کننده مرتبه n D برابر با صفر باشد، مینور پایه ماتریس آن از مرتبه r است.

بنابراین، یک ردیف ترکیبی خطی از بقیه است. سپس، طبق قضیه 1، ردیف های تعیین کننده به صورت خطی وابسته هستند.

کفایت. اگر ردیف‌های D به‌طور خطی وابسته باشند، طبق قضیه 1 یک ردیف A i ترکیبی خطی از ردیف‌های دیگر است. با کم کردن ترکیب خطی مشخص شده از خط A i، بدون تغییر مقدار D، یک خط صفر به دست می آوریم. بنابراین، با ویژگی های عوامل، D=0. h.t.d.

قضیه 4.تحت تبدیل های ابتدایی، رتبه ماتریس تغییر نمی کند.

اثبات. همانطور که هنگام در نظر گرفتن خصوصیات تعیین کننده ها نشان داده شد، هنگام تبدیل ماتریس های مربع، تعیین کننده های آنها یا تغییر نمی کنند، یا در یک عدد غیر صفر ضرب می شوند، یا علامت تغییر می کنند. در این حالت، بالاترین ترتیب مینورهای غیر صفر ماتریس اصلی حفظ می شود، یعنی. رتبه ماتریس تغییر نمی کند. Ch.t.d.

اگر r(A)=r(B)، A و B هستند معادل: A~B.

قضیه 5.با استفاده از تبدیل های ابتدایی، می توان ماتریس را به کاهش داد نمای پلکانیماتریس نامیده می شود اگر دارای شکل باشد پله شده است:

А=، که در آن a ii ≠0، i=1،2،…،r; r≤k.

شرایط r≤k را همیشه می توان با جابجایی به دست آورد.

قضیه 6.رتبه یک ماتریس گام برابر با تعداد ردیف های غیر صفر آن است .

آن ها رتبه ماتریس گام r است، زیرا یک مینور غیر صفر از مرتبه r وجود دارد:

اگر بتوان با یک ترکیب خطی مناسب، بردار صفر را از این بردارها به دست آورد، سیستمی از بردارهای هم ردیف را وابسته خطی می نامند. (در این حالت، مجاز نیست که تمام ضرایب یک ترکیب خطی برابر با صفر باشد، زیرا این امر بی اهمیت است.) در غیر این صورت، بردارها مستقل خطی نامیده می شوند. به عنوان مثال، سه بردار زیر:

به صورت خطی وابسته هستند، زیرا بررسی آن آسان است. در مورد وابستگی خطی، هر بردار را همیشه می توان بر حسب ترکیب خطی از بردارهای باقیمانده بیان کرد. در مثال ما: یا یا این را می توان به راحتی با محاسبات مناسب بررسی کرد. این مستلزم تعریف زیر است: یک بردار به طور خطی مستقل از بردارهای دیگر است اگر نتوان آن را به عنوان ترکیب خطی این بردارها نشان داد.

سیستمی از بردارها را بدون تعیین اینکه آیا به صورت خطی وابسته یا مستقل خطی است در نظر بگیرید. برای هر سیستم متشکل از بردارهای ستون a، می توان حداکثر تعداد ممکن بردارهای مستقل خطی را شناسایی کرد. این عدد که با حرف نشان داده می شود، رتبه سیستم داده شده از بردارها است. از آنجایی که هر ماتریس را می توان به عنوان سیستمی از بردارهای ستون مشاهده کرد، رتبه یک ماتریس به عنوان حداکثر تعداد بردارهای ستونی مستقل خطی آن تعریف می شود. بردارهای ردیف نیز برای تعیین رتبه یک ماتریس استفاده می شوند. هر دو روش نتیجه یکسانی را برای یک ماتریس به دست می‌دهند و نمی‌تواند از کوچک‌ترین یا بیشتر شود. رتبه یک ماتریس مرتبه مربع از 0 تا . اگر همه بردارها صفر باشند، رتبه چنین ماتریسی صفر است. اگر همه بردارها به صورت خطی مستقل از یکدیگر باشند، رتبه ماتریس برابر است. اگر از بردارهای بالا یک ماتریس تشکیل دهید، رتبه این ماتریس 2 است. از آنجایی که هر دو بردار را می توان با یک ترکیب خطی به یک سوم کاهش داد، پس رتبه کمتر از 3 است.

اما می توان تأیید کرد که هر دو از آنها به طور خطی مستقل هستند، بنابراین رتبه

اگر بردارهای ستون یا بردارهای ردیف آن به صورت خطی وابسته باشند، به یک ماتریس مربع گفته می شود که منحط است. همانطور که در بالا ذکر شد، تعیین کننده چنین ماتریسی برابر با صفر است و هیچ ماتریسی معکوس برای آن وجود ندارد. این نتیجه گیری ها معادل یکدیگر هستند. در نتیجه، اگر بردارهای ستون یا بردارهای ردیف آن مستقل از یکدیگر باشند، یک ماتریس مربع غیرمفرد یا غیرمفرد نامیده می شود. تعیین کننده چنین ماتریسی برابر با صفر نیست و ماتریس معکوس آن وجود دارد (رجوع کنید به ص 43)

رتبه یک ماتریس یک تفسیر هندسی کاملا واضح دارد. اگر رتبه ماتریس باشد، می گوییم فضای -بعدی توسط بردارها پوشانده شده است. اگر رتبه بردارها در زیرفضای بعدی - که همه آنها را شامل می شود قرار دارد. بنابراین، رتبه ماتریس مربوط به حداقل بعد مورد نیاز فضای "که شامل همه بردارها است" است، - فضای فرعی بعدی در فضای -بعدی، هایپرصفحه -بعدی نامیده می شود. رتبه ماتریس مربوط به کوچکترین بعد ابر صفحه است که همه بردارها هنوز در آن قرار دارند.

متعامد بودن. دو بردار a و b در صورتی متعامد نامیده می شوند که حاصل ضرب اسکالر آنها برابر با صفر باشد. اگر تساوی برای ماتریس ترتیب که در آن D یک ماتریس مورب است برقرار باشد، بردارهای ستون ماتریس A به صورت جفتی متعامد هستند. اگر این بردارهای ستون نرمال شوند، یعنی به طولی برابر با 1 کاهش پیدا کنند، آنگاه تساوی رخ می دهد و از بردارهای متعامد صحبت می شود. اگر B یک ماتریس مربع باشد و تساوی برقرار باشد، B ماتریس متعامد نامیده می شود. در این حالت، از فرمول (1.22) بر می آید که ماتریس متعامد همیشه غیر منفرد است. از این رو، متعامد بودن یک ماتریس دلالت بر استقلال خطی بردارهای ردیف یا بردارهای ستون آن دارد. برعکس آن درست نیست: استقلال خطی یک سیستم از بردارها متضمن متعامد بودن زوجی این بردارها نیست.