وابستگی رشته خطی رتبه ماتریسی روش مرزبندی خردسالان. استقلال خطی سطرها (ستون ها) یک ماتریس

هر ردیف از ماتریس را A e i = (a i 1 a i 2 ...، a in) نشان می دهیم (به عنوان مثال،
e 1 = (a 11 a 12 ...، a 1 n)، e 2 = (a 21 a 22 ...، a 2 n) و غیره). هر یک از آنها یک ماتریس ردیفی است که می توان آن را در یک عدد ضرب کرد یا به سطر دیگر در آن اضافه کرد قوانین عمومیاقدامات با ماتریس

ترکیب خطیاز رشته ها e l , e 2 ,...e k مجموع حاصلضرب این رشته ها توسط اعداد واقعی دلخواه است:
e = l l e l + l 2 e 2 +...+ l k e k , که در آن l l , l 2 ,..., l k اعداد دلخواه هستند (ضرایب ترکیب خطی).

سطرهای ماتریسی e l , e 2 ,...e m نامیده می شوند وابسته به خطاگر اعداد l l , l 2 ,..., l m وجود داشته باشند که همزمان برابر با صفر نباشند، به طوری که ترکیب خطی ردیف های ماتریس برابر با ردیف صفر باشد:
l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0، که در آن 0 = (0 0...0).

وابستگی خطی سطرهای ماتریس به این معنی است که حداقل یک سطر از ماتریس ترکیب خطیبقیه در واقع، برای قطعیت، آخرین ضریب l m ¹ 0 را بگذارید. سپس، با تقسیم هر دو طرف تساوی بر l m، عبارتی برای آخرین ردیف به عنوان ترکیب خطی از سطرهای باقی مانده به دست می آوریم:
e m = (l l /l m)e l + (l 2 /l m)e 2 +...+ (l m-1 /l m)e m-1 .

اگر ترکیب خطی سطرها صفر باشد اگر و فقط اگر همه ضرایب صفر باشند، یعنی. l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0 Û l k = 0 "k، سپس خطوط نامیده می شوند مستقل خطی.

قضیه رتبه ماتریس. رتبه یک ماتریس برابر با حداکثر تعداد سطرها یا ستون های مستقل خطی آن است که می توان تمام سطرها یا ستون های دیگر آن را به صورت خطی بیان کرد.

بیایید این قضیه را ثابت کنیم. فرض کنید یک m x n ماتریس A دارای رتبه r (r(A) £ min (m; n)) باشد. بنابراین، یک مینور غیر صفر از مرتبه r وجود دارد. هر گونه خردسالی فراخوانی خواهد شد پایه ای. بگذارید این یک جزئی برای قطعیت باشد

ردیف های این مینور نیز فراخوانی خواهند شد پایه ای.

اجازه دهید ثابت کنیم که سطرهای ماتریس e l , e 2 ,...e r مستقل خطی هستند. برعکس را فرض کنید، یعنی. یکی از این ردیف ها، مثلاً ردیف r، ترکیبی خطی از بقیه است: e r = l l e l + l 2 e 2 +...+ l r-1 e r-1 = 0. سپس، اگر از آن کم کنیم عناصر r-امعناصر ردیف اول ضرب در l l، عناصر ردیف دوم ضرب در l 2 و غیره، در نهایت، عناصر ردیف (r-1) در l r-1 ضرب می شوند، سپس خط rthصفر خواهد شد. در عین حال با توجه به خواص دترمینان، تعیین کننده فوق نباید تغییر کند و در عین حال باید برابر با صفر باشد. یک تناقض به دست می آید، استقلال خطی رشته ها ثابت می شود.

اجازه دهید ثابت کنیم که هر ردیف ماتریس (r+1) به صورت خطی وابسته است، یعنی. هر رشته ای را می توان در قالب رشته های اصلی بیان کرد.

بیایید جزئی را که قبلاً در نظر گرفته شده بود با یک ردیف دیگر (i-th) و یک ستون دیگر (j-th) تکمیل کنیم. در نتیجه یک مینور از مرتبه (r+1)ام بدست می آوریم که طبق تعریف رتبه برابر با صفر است.

برخی از اعداد کجا هستند (بعضی یا حتی همه این اعداد می توانند برابر با صفر باشند). این بدان معنی است که برابری های زیر بین عناصر ستون ها وجود دارد:

از (3.3.1) چنین است که

اگر برابری (3.3.3) اگر و فقط اگر درست باشد، سطرها مستقل خطی نامیده می شوند. رابطه (3.3.2) نشان می دهد که اگر یکی از سطرها به صورت خطی بر حسب بقیه بیان شود، آنگاه سطرها به صورت خطی وابسته هستند.

همچنین به راحتی می توان عکس آن را مشاهده کرد: اگر ردیف ها به صورت خطی وابسته باشند، ردیفی وجود دارد که ترکیبی خطی از ردیف های دیگر است.

اجازه دهید، برای مثال، در (3.3.3)، سپس .

تعریف. اجازه دهید مقداری جزئی از مرتبه r در ماتریس A انتخاب شود و اجازه دهید مینور از مرتبه (r + 1) همان ماتریس کاملاً حاوی مینور داخل آن باشد. می گوییم که در این مورد مینور با مینور هم مرز است (یا برای ).

اکنون یک لم مهم را ثابت می کنیم.

لمادر مورد خردسالان مرزی اگر مینور مرتبه r ماتریس A= غیر صفر باشد و تمام مینورهای حاشیه آن برابر با صفر باشند، هر سطر (ستون) ماتریس A ترکیبی خطی از سطرها (ستون های) آن است که تشکیل می دهند. .

اثبات بدون نقض کلیات استدلال، فرض می کنیم که یک مینور غیر صفر از مرتبه r در سمت چپ است. گوشه بالاییماتریس A=:

.

برای اولین k ردیف ماتریس A، عبارت لم واضح است: کافی است همان ردیف را در ترکیب خطی با ضریب وارد کنیم. برابر با یک، و بقیه - با ضرایب برابر با صفر.

اکنون ثابت می کنیم که سطرهای باقی مانده از ماتریس A به صورت خطی بر حسب k ردیف اول بیان می شوند. برای انجام این کار، با اضافه کردن ردیف kth () به مینور، یک مینور از مرتبه (r + 1) می سازیم و لستون -امین ():

.

مینور حاصل برای همه k و l صفر است. اگر، آنگاه برابر با صفر است که شامل دو ستون یکسان است. اگر، آنگاه مینور حاصل، مینور مرزی برای است و بنابراین، با فرضیه لم برابر با صفر است.

اجازه دهید جزئی را از نظر عناصر دومی گسترش دهیم لستون -ام:

با فرض، دریافت می کنیم:

(3.3.6)

عبارت (3.3.6) به این معنی است خط k-امماتریس A به صورت خطی از طریق ردیف های r اول بیان می شود.

از آنجایی که مقادیر جزئی آن هنگام جابجایی یک ماتریس تغییر نمی کند (به دلیل خاصیت عوامل تعیین کننده)، همه چیز ثابت شده برای ستون ها نیز صادق است. قضیه ثابت شده است.

نتیجه I. هر سطر (ستون) ماتریس ترکیبی خطی از سطرهای اصلی آن (ستون) است. واقعا، جزئی اولیهماتریس غیر صفر است و تمام مینورهای اطراف آن برابر با صفر هستند.

نتیجه دوم. یک تعیین کننده مرتبه n برابر با صفر است اگر و فقط در صورتی که دارای ردیف‌ها (ستون‌ها) وابسته خطی باشد. کفایت وابستگی خطیسطرها (ستون ها) برای تعیین کننده به صفر قبلاً به عنوان ویژگی تعیین کننده ها ثابت شده بود.

بیایید ضرورت را ثابت کنیم. اجازه دهید یک ماتریس مربع از مرتبه n داده شود که تنها مینور آن برابر با صفر است. نتیجه این است که رتبه این ماتریس کمتر از n است، یعنی، حداقل یک ردیف وجود دارد که ترکیبی خطی از ردیف های پایه این ماتریس است.

اجازه دهید یک قضیه دیگر را در مورد رتبه یک ماتریس ثابت کنیم.

قضیه.حداکثر تعداد ردیف‌های مستقل خطی یک ماتریس برابر با حداکثر تعداد ستون‌های مستقل خطی آن و برابر با رتبه این ماتریس است.

اثبات بگذارید رتبه ماتریس A= برابر با r باشد. سپس هر یک از k ردیف های پایه آن به صورت خطی مستقل هستند، در غیر این صورت مینور پایه برابر با صفر خواهد بود. از طرف دیگر، هر ردیف r+1 یا بیشتر به صورت خطی وابسته هستند. با فرض برعکس، می‌توانیم یک مینور غیر صفر از مرتبه بزرگتر از r را با نتیجه 2 از لم قبلی پیدا کنیم. مورد اخیر با این واقعیت که حداکثر ترتیب مینورهای غیر صفر r است در تضاد است. هر چیزی که برای ردیف ها ثابت شده است برای ستون ها نیز صادق است.

در نتیجه، یک روش دیگر برای یافتن رتبه یک ماتریس ارائه می‌کنیم. رتبه یک ماتریس را می توان با یافتن یک ماکزیمم مرتبه متفاوت از صفر تعیین کرد.

در نگاه اول، این نیاز به محاسبه یک محدود، اما شاید تعداد بسیار زیادی از جزئی های این ماتریس دارد.

با این حال، قضیه زیر اجازه می دهد تا ساده سازی های قابل توجهی انجام شود.

قضیه.اگر مینور ماتریس A غیر صفر باشد و تمام مینورهای حاشیه آن برابر با صفر باشند، رتبه ماتریس r است.

اثبات کافی است نشان دهیم که هر زیر سیستمی از ردیف های ماتریس برای S>r تحت شرایط قضیه به صورت خطی وابسته خواهد بود (از این نتیجه نتیجه می شود که r حداکثر تعداد ردیف های ماتریس مستقل خطی یا هر یک از مینورهای آن از مرتبه بزرگتر است. k برابر با صفر).

بیایید برعکس فرض کنیم. بگذارید ردیف ها مستقل خطی باشند. با لم مربوط به مینورهای مرزی، هر یک از آنها به صورت خطی بر حسب ردیف هایی بیان می شود که مینور در آنها قرار دارد و به دلیل اینکه با صفر متفاوت است، به صورت خطی مستقل هستند:

حالا ترکیب خطی زیر را در نظر بگیرید:

یا

با استفاده از (3.3.7) و (3.3.8) به دست می آوریم

,

که با استقلال خطی رشته ها در تضاد است.

در نتیجه، فرض ما نادرست است و بنابراین، هر ردیف S>r تحت شرایط قضیه به صورت خطی وابسته هستند. قضیه ثابت شده است.

قانون محاسبه رتبه یک ماتریس - روش مرزبندی مینورها را بر اساس این قضیه در نظر بگیرید.

هنگام محاسبه رتبه یک ماتریس، باید از مینورهای درجه‌های پایین‌تر به فرعی‌های درجه‌های بالاتر عبور کرد. اگر یک مینور مرتبه r غیر صفر قبلاً پیدا شده باشد، آنگاه فقط مینورهای مرتبه (r+1) -ام که در مرز مینور قرار دارند باید محاسبه شوند. اگر آنها صفر باشند، رتبه ماتریس r است. این روش همچنین اگر نه تنها رتبه ماتریس را محاسبه کنیم، بلکه تعیین کنیم که کدام ستون ها (ردیف ها) پایه ماتریس را تشکیل می دهند نیز استفاده می شود.

مثال. رتبه یک ماتریس را با روش فرینگ مینورها محاسبه کنید

.

راه حل. مینور مرتبه دوم در گوشه سمت چپ بالای ماتریس A غیر صفر است:

.

با این حال، همه فرعی‌های مرتبه سوم اطراف آن برابر با صفر هستند:

;	;
;	;
;	.

بنابراین، رتبه ماتریس A برابر با دو است: .

ردیف های اول و دوم، ستون های اول و دوم در این ماتریس پایه هستند. سطرها و ستون های باقی مانده ترکیب خطی آنها هستند. در واقع، برابری های زیر برای رشته ها برقرار است:

در پایان، اعتبار ویژگی های زیر را یادآور می شویم:

1) رتبه حاصلضرب ماتریس ها از رتبه هر یک از عوامل بیشتر نباشد.

2) رتبه حاصلضرب یک ماتریس دلخواه A در سمت راست یا چپ توسط یک ماتریس مربع غیر مفرد Q برابر با رتبه ماتریس A است.

ماتریس های چند جمله ای

تعریف. ماتریس چند جمله ای یا ماتریس - نامیده می شود ماتریس مستطیل شکل، که عناصر آن چند جمله ای در یک متغیر با ضرایب عددی هستند.

تبدیل های ابتدایی را می توان بر روی ماتریس ها انجام داد. این شامل:

جایگشت دو ردیف (ستون)؛

ضرب یک ردیف (ستون) در یک عدد غیر صفر؛

افزودن به یک سطر (ستون) سطر دیگر (ستون)، ضرب در هر چند جمله ای.

دو ماتریس و با اندازه یکسان معادل نامیده می شوند: اگر بتوان از ماتریس به استفاده از تعداد متناهی تبدیل های ابتدایی عبور کرد.

مثال. هم ارزی ماتریس ها را ثابت کنید

,

.

1. ستون های اول و دوم را در ماتریس جابه جا کنید:

.

2. از خط دوم، خط اول را در ():

.

3. ردیف دوم را در (-1) ضرب کنید و توجه داشته باشید

.

4. از ستون دوم، ستون اول را با ضرب در می‌گیریم

.

مجموعه همه ماتریس های اندازه های داده شده به کلاس های غیر همپوشانی تقسیم می شود ماتریس های معادل. ماتریس هایی که با یکدیگر معادل هستند یک کلاس را تشکیل می دهند، نه معادل - کلاس دیگر.

هر کلاس از ماتریس های معادل با یک ماتریس متعارف یا عادی با ابعاد معین مشخص می شود.

تعریف. ماتریس متعارف یا معمولی ابعاد، ماتریس - است که دارای چند جمله‌ای در قطر اصلی است، جایی که p کوچکتر از اعداد m و n است. ) و چندجمله ای هایی که برابر با صفر نیستند دارای ضرایب اول برابر با 1 هستند و هر چند جمله ای بعدی بر ضرایب قبلی تقسیم می شود. همه عناصر خارج از مورب اصلی 0 هستند.

از تعریف چنین بر می آید که اگر در بین چندجمله ای ها چند جمله ای درجه صفر وجود داشته باشد، آنها در ابتدای قطر اصلی قرار دارند. اگر صفر وجود داشته باشد، در انتهای مورب اصلی قرار دارند.

ماتریس مثال قبلی متعارف است. ماتریس

همچنین متعارف

هر کلاس ماتریس حاوی یک ماتریس متعارف منحصر به فرد است، به عنوان مثال. هر ماتریس معادل یک ماتریس متعارف است که نامیده می شود شکل متعارفیا فرم معمولی ماتریس داده شده.

چند جمله ای های روی قطر اصلی شکل متعارف ماتریس داده شده را عوامل ثابت ماتریس داده شده می نامند.

یکی از روش‌های محاسبه فاکتورهای ثابت، کاهش ماتریس داده‌شده به شکل متعارف است.

بنابراین، برای ماتریس مثال قبلی، عوامل ثابت هستند

, , , .

از آنچه گفته شد برمی‌آید که وجود همان مجموعه عوامل ثابت شرط لازم و کافی برای هم ارزی ماتریس‌ها است.

کاهش ماتریس ها به شکل متعارف به تعریف عوامل ثابت کاهش می یابد

, ; ,

جایی که r رتبه ماتریس است. - بزرگترین مقسوم علیه مینورهای مرتبه k که با بالاترین ضریب برابر با 1 گرفته می شود.

مثال. اجازه دهید ماتریس

.

راه حل. بدیهی است که بزرگترین مقسوم علیه مشترک مرتبه اول، یعنی. .

ما خردسالان مرتبه دوم را تعریف می کنیم:

,

و غیره.

در حال حاضر این داده ها برای نتیجه گیری کافی است: بنابراین، .

تعریف می کنیم

,

از این رو، .

بنابراین، شکل متعارف این ماتریس به صورت ماتریس زیر است:

.

چند جمله ای ماتریسی بیانی از فرم است

یک متغیر کجاست. - ماتریس های مربعی مرتبه n با عناصر عددی.

اگر S درجه چند جمله ای ماتریس نامیده می شود، n مرتبه چند جمله ای ماتریس است.

هر ماتریس درجه دوم را می توان به عنوان یک چند جمله ای ماتریس نشان داد. بدیهی است که گزاره معکوس نیز صادق است، یعنی. هر چند جمله ای ماتریسی را می توان به عنوان یک ماتریس مربعی نشان داد.

اعتبار این عبارات به وضوح از ویژگی های عملیات روی ماتریس ها ناشی می شود. بیایید به نمونه های زیر نگاه کنیم:

مثال. یک ماتریس چند جمله ای را نشان دهید

در قالب یک چند جمله ای ماتریسی می توان به صورت زیر باشد

.

مثال. چند جمله ای ماتریسی

را می توان به عنوان ماتریس چند جمله ای زیر نشان داد (-matrix)

.

این قابلیت تعویض چندجمله ای های ماتریسی و ماتریس های چند جمله ای نقش اساسی در آن ایفا می کند دستگاه ریاضیروش های تحلیل عاملی و مؤلفه ای

چندجمله‌ای‌های ماتریسی هم‌ترتیب را می‌توان به همان روشی که چند جمله‌ای معمولی با ضرایب عددی اضافه، تفریق و ضرب کرد. با این حال، باید به خاطر داشت که ضرب چند جمله ای های ماتریس، به طور کلی، جابجایی نیست، زیرا ضرب ماتریس جابجایی نیست.

دو چند جمله‌ای ماتریسی اگر ضرایب آن‌ها برابر باشد، برابر نامیده می‌شوند. ماتریس های مربوط به همان توان های متغیر .

مجموع (تفاوت) دو چند جمله ای ماتریسی، چند جمله ای ماتریسی است که ضریب آن در هر درجه از متغیر برابر است با مجموع (تفاوت) ضرایب در همان درجه در چند جمله ای ها و .

برای ضرب یک چند جمله‌ای ماتریس در یک چند جمله‌ای ماتریس، باید هر جمله چند جمله‌ای ماتریس را در هر جمله چند جمله‌ای ماتریس ضرب کنید، محصولات حاصل را اضافه کنید و عبارت‌های مشابه را بیاورید.

درجه یک چند جمله ای ماتریسی حاصل ضربی کمتر یا مساوی با مجموع درجات عوامل است.

عملیات روی چند جمله ای های ماتریس را می توان با استفاده از عملیات روی ماتریس های مربوطه انجام داد.

برای جمع (تفریق) چند جمله ای های ماتریس، کافی است ماتریس های مربوطه را جمع (تفریق) کنیم. همین امر در مورد ضرب نیز صدق می کند. -ماتریس حاصل ضرب چند جمله ای های ماتریس برابر است با حاصلضرب ماتریس های عوامل.

از سوی دیگر، و می توان در فرم نوشت

که در آن B 0 یک ماتریس غیر منفرد است.

هنگام تقسیم بر، یک ضریب راست و یک باقیمانده راست وجود دارد

که در آن درجه R 1 کمتر از درجه است، یا (تقسیم بدون باقیمانده)، و همچنین ضریب چپ و باقیمانده چپ اگر و فقط اگر، کجا، ترتیب

مفهوم رتبه یک ماتریس ارتباط نزدیکی با مفهوم وابستگی خطی (استقلال) ردیف ها یا ستون های آن دارد. در آینده، ما مطالب را برای ردیف ها ارائه خواهیم کرد؛ برای ستون ها، ارائه مشابه است.

در ماتریس آخطوط آن را به صورت زیر نشان می دهیم:

, , …. ,

گفته می شود که دو ردیف از یک ماتریس برابر هستند، اگر عناصر متناظر آنها برابر باشد: , if , .

عملیات حسابیروی ردیف های ماتریس (ضرب یک ردیف در یک عدد، جمع سطرها) به عنوان عملیات انجام شده عنصر به عنصر معرفی می شوند:

خط هترکیب خطی رشته ها نامیده می شود...، ماتریس ها، اگر برابر با مجموع حاصلضرب این ردیف ها با اعداد واقعی دلخواه باشد:

ردیف های ماتریس نامیده می شوند وابسته به خط، اگر چنین اعدادی وجود داشته باشند که همزمان برابر با صفر نباشند، به طوری که ترکیب خطی ردیف های ماتریس برابر با ردیف صفر باشد:

, =(0,0,...,0). (3.3)

قضیه 3.3سطرهای یک ماتریس به صورت خطی وابسته هستند اگر حداقل یک ردیف از ماتریس ترکیبی خطی از بقیه باشد.

□ در واقع، برای قطعیت، اجازه دهید در فرمول (3.3) ، سپس

بنابراین ردیف ترکیبی خطی از بقیه سطرها است. ■

اگر ترکیب خطی سطرها (3.3) برابر با صفر باشد اگر و فقط اگر همه ضرایب برابر با صفر باشند، سطرها مستقل خطی نامیده می شوند.

قضیه 3.4.(در مورد رتبه یک ماتریس) رتبه یک ماتریس برابر است با حداکثر تعداد سطرها یا ستون های مستقل خطی آن که از طریق آنها تمام سطرها (ستون های) دیگر آن به صورت خطی بیان می شود.

□ اجازه دهید ماتریس آاندازه m n دارای رتبه است r(rدقیقه). این بدان معنی است که یک مینور غیر صفر وجود دارد r- مرتبه هر جزئی غیر صفر rمرتبه مینور اولیه نامیده می شود.

بگذارید، برای قطعیت، جزئی اصلی باشد فرعی پیشرو یا گوشه. سپس سطرهای ماتریس به صورت خطی مستقل هستند. برعکس را فرض کنید، یعنی مثلا یکی از این رشته ها ترکیبی خطی از بقیه باشد. از عناصر کم کنید r- عناصر ردیف 1 ضرب در , سپس عناصر ردیف 2 ضرب در , ... و عناصر ( r- 1) - امین خط، ضرب در . بر اساس ویژگی 8، تحت چنین تبدیل های ماتریسی، تعیین کننده آن D تغییر نمی کند، اما از آنجا که r- رشته i اکنون فقط از صفر تشکیل می شود، سپس D = 0 - یک تناقض. بنابراین، فرض ما مبنی بر اینکه ردیف های ماتریس به صورت خطی وابسته هستند نادرست است.

بیایید رشته ها را صدا کنیم پایه ای. اجازه دهید نشان دهیم که هر ردیف (r+1) ماتریس به صورت خطی وابسته است، یعنی. هر رشته ای بر حسب رشته های اصلی بیان می شود.

مینور (r + 1) -مین مرتبه را در نظر بگیرید که با تکمیل مینور در نظر گرفته شده با عناصر یک ردیف دیگر به دست می آید. منو ستون j. این مینور صفر است، زیرا رتبه ماتریس برابر است r، بنابراین هر جزئی مرتبه بالاتر صفر است.

با گسترش آن توسط عناصر آخرین ستون (اضافه شده)، دریافت می کنیم

جایی که مدول آخرین متمم جبری با مینور اصلی یکسان است Dو بنابراین با صفر متفاوت است، یعنی. 0.

مفاهیم وابستگی خطی و استقلال خطی برای سطرها و ستون ها به همین صورت تعریف شده است. بنابراین، ویژگی های مرتبط با این مفاهیم، ​​که برای ستون ها فرموله شده اند، البته برای ردیف ها نیز معتبر هستند.

1. اگر سیستم ستون شامل یک ستون صفر باشد، آنگاه به صورت خطی وابسته است.

2. اگر یک سیستم ستونی دارای دو ستون مساوی باشد، به صورت خطی وابسته است.

3. اگر یک سیستم ستونی دارای دو ستون متناسب باشد، به صورت خطی وابسته است.

4. یک سیستم از ستون ها به صورت خطی وابسته است اگر و تنها در صورتی که حداقل یکی از ستون ها ترکیبی خطی از بقیه باشد.

5. هر ستونی که در یک سیستم مستقل خطی قرار می گیرد، یک زیرسیستم مستقل خطی را تشکیل می دهد.

6. یک سیستم ستونی حاوی یک زیرسیستم وابسته خطی به صورت خطی وابسته است.

7. اگر سیستم ستون ها به صورت خطی مستقل باشد و پس از افزودن یک ستون به آن، مشخص شود که به صورت خطی وابسته است، آنگاه می توان ستون را به ستون ها تجزیه کرد و علاوه بر این، به روشی منحصر به فرد، یعنی. ضرایب انبساط منحصر به فرد یافت می شود.

مثلا ثابت کنیم آخرین ملک. از آنجایی که سیستم ستون به صورت خطی وابسته است، اعدادی وجود دارند که همگی برابر با 0 نیستند

در این برابری در واقع، اگر، پس

بنابراین، یک ترکیب خطی غیر پیش پا افتاده از ستون ها برابر با ستون صفر است که با استقلال خطی سیستم در تضاد است. بنابراین، و سپس، یعنی. یک ستون ترکیبی خطی از ستون ها است. باقی مانده است که منحصر به فرد بودن چنین نمایشی را نشان دهیم. بیایید برعکس فرض کنیم. بگذارید دو بسط و وجود داشته باشد، و همه ضرایب بسط به ترتیب با یکدیگر برابر نیستند (مثلاً). سپس از برابری

ما (\alpha_1-\beta_1)A_1+\ldots+(\alpha_k-\beta_k)A_k=o را دریافت می کنیم

به طور متوالی، ترکیب خطی ستون ها برابر با ستون صفر است. از آنجایی که همه ضرایب آن برابر با صفر (حداقل) نیستند، این ترکیب بی اهمیت است که با شرط استقلال خطی ستون ها در تضاد است. تناقض حاصل، منحصر به فرد بودن تجزیه را تأیید می کند.

مثال 3.2.ثابت کنید که دو ستون غیر صفر و به صورت خطی وابسته هستند اگر و فقط اگر متناسب باشند، یعنی. .

راه حل.در واقع، اگر ستون ها و به صورت خطی وابسته باشند، اعدادی وجود دارند که در همان زمان برابر با صفر نیستند، به طوری که . و در این برابری. در واقع، با فرض این، یک تناقض به دست می آوریم، زیرا ستون نیز غیر صفر است. به معنای، . بنابراین، یک عدد وجود دارد که . نیاز ثابت شده است.

برعکس، اگر، پس. ما یک ترکیب خطی غیر پیش پا افتاده از ستون ها برابر با ستون صفر دریافت کردیم. بنابراین ستون ها به صورت خطی وابسته هستند.

مثال 3.3.تمام سیستم های ممکن که از ستون ها تشکیل شده اند را در نظر بگیرید

هر سیستم را برای یک رابطه خطی بررسی کنید.
راه حل. پنج سیستم را در نظر بگیرید که هر کدام یک ستون دارند. طبق بند 1 تبصره 3.1: سیستم ها به صورت خطی مستقل هستند و سیستم متشکل از یک ستون صفر به صورت خطی وابسته است.

سیستم هایی را در نظر بگیرید که هر کدام دارای دو ستون هستند:

- هر یک از چهار سیستم و به صورت خطی وابسته است، زیرا حاوی یک ستون صفر است (ویژگی 1).

- سیستم به صورت خطی وابسته است، زیرا ستون ها متناسب هستند (ویژگی 3): ;

- هر یک از پنج سیستم و به طور خطی مستقل هستند، زیرا ستون ها نامتناسب هستند (به بیان مثال 3.2 مراجعه کنید).

سیستم های حاوی سه ستون را در نظر بگیرید:

- هر یک از شش سیستم و به صورت خطی وابسته است، زیرا حاوی یک ستون صفر است (ویژگی 1).

- سیستم ها به صورت خطی وابسته هستند، زیرا دارای یک زیرسیستم وابسته به خط هستند (ویژگی 6).

سیستم ها هستند و به صورت خطی وابسته هستند، زیرا آخرین ستونبه صورت خطی بر حسب بقیه بیان می شود (خاصیت 4): و به ترتیب.

در نهایت، سیستم های چهار یا پنج ستونی به صورت خطی وابسته هستند (با ویژگی 6).

رتبه ماتریسی

در این بخش، یکی دیگر از مشخصه های عددی مهم ماتریس را در نظر می گیریم که مربوط به میزان وابستگی ردیف ها (ستون های) آن به یکدیگر است.

تعریف 14.10بگذارید ماتریسی از اندازه ها و عددی وجود داشته باشد که از کوچکترین اعداد تجاوز نکند و : . بیایید به طور دلخواه سطرها و ستون های ماتریس را انتخاب کنیم (تعداد سطرها ممکن است با تعداد ستون ها متفاوت باشد). تعیین کننده یک ماتریس متشکل از عناصر در محل تلاقی سطرها و ستون های انتخاب شده، مرتبه ماتریس فرعی نامیده می شود.

مثال 14.9اجازه دهید .

یک مینور مرتبه اول هر عنصری از ماتریس است. بنابراین 2، , خردسالان مرتبه اول هستند.

خردسالان درجه دوم:

1. ردیف های 1، 2، ستون های 1، 2 را بگیرید، ما یک مینور دریافت می کنیم ;

2. ردیف های 1، 3، ستون های 2، 4 را بگیرید، ما یک مینور دریافت می کنیم ;

3. ردیف های 2، 3، ستون های 1، 4 را بگیرید، ما یک مینور دریافت می کنیم

خردسالان درجه سوم:

ردیف‌های اینجا فقط به یک روش قابل انتخاب هستند،

1. ستون های 1، 3، 4 را بگیرید، مینور بگیرید ;

2. ستون های 1، 2، 3 را بگیرید، مینور بگیرید .

پیشنهاد 14.23 اگر همه مینورهای ماتریس مرتبه برابر با صفر باشند، آنگاه همه مینورهای مرتبه، در صورت وجود، نیز برابر با صفر هستند.

اثبات. یک مینور دلخواه سفارش بگیرید. این تعیین کننده ماتریس سفارش است. بیایید آن را با خط اول گسترش دهیم. سپس، در هر ترم بسط، یکی از عوامل جزئی از ترتیب ماتریس اصلی خواهد بود. بر اساس فرض، مینورهای مرتبه برابر با صفر هستند. بنابراین مرتبه مینور نیز برابر با صفر خواهد بود.

تعریف 14.11رتبه یک ماتریس بزرگترین مرتبه غیرصفر مینورهای ماتریس است. رتبه ماتریس صفرصفر در نظر گرفته شود.

هیچ علامت واحد و استانداردی برای رتبه یک ماتریس وجود ندارد. در ادامه آموزش به آن به عنوان .

مثال 14.10ماتریس مثال 14.9 دارای رتبه 3 است زیرا یک مینور مرتبه سوم غیر صفر وجود دارد، اما مینورهای مرتبه چهارم وجود ندارد.

رتبه ماتریسی برابر با 1 است، زیرا یک مینور مرتبه اول غیر صفر (عنصری از ماتریس) وجود دارد و همه مینورهای مرتبه دوم برابر با صفر هستند.

رتبه یک ماتریس مرتبه مربعی غیر منحط برابر است با .

پیشنهاد 14.24 هنگام جابجایی یک ماتریس، رتبه آن تغییر نمی کند، یعنی .

اثبات. مینور جابجا شده ماتریس اصلی مینور ماتریس جابجا شده خواهد بود و بالعکس، هر مینور مینور جابجا شده ماتریس اصلی است. هنگام جابجایی، تعیین کننده (جزئی) تغییر نمی کند (گزاره 14.6). بنابراین، اگر همه مینورهای مرتبه در ماتریس اصلی برابر با صفر باشند، آنگاه همه مینورهای هم ترتیب در نیز برابر با صفر هستند. اگر مرتبه جزئی در ماتریس اصلی غیر صفر باشد، در این صورت یک مینور غیرصفر از همان ترتیب وجود دارد. از این رو، .

تعریف 14.12بگذارید رتبه ماتریس باشد. سپس هر مینور مرتبه غیر صفر را مینور اساسی می نامند.

مثال 14.11اجازه دهید . تعیین کننده ماتریس صفر است، زیرا ردیف سوم برابر است با مجموع دو مورد اول. مینور مرتبه دوم که در دو سطر اول و دو ستون اول قرار گرفته است . بنابراین، رتبه ماتریس برابر با دو است و مینور در نظر گرفته شده پایه است.

یک مینور اصلی نیز یک مینور است که مثلاً در ردیف اول و سوم، ستون اول و سوم قرار دارد: . پایه در ردیف دوم و سوم، ستون اول و سوم، جزئی خواهد بود: .

مینور در ردیف های اول و دوم، ستون های دوم و سوم برابر با صفر است و بنابراین پایه ای نخواهد بود. خواننده می تواند به طور مستقل بررسی کند که کدام یک از خردسالان درجه دوم پایه هستند و کدام نیستند.

از آنجایی که ستون ها (ردیف ها) ماتریس را می توان اضافه کرد، ضرب در اعداد، ترکیب های خطی تشکیل داد، می توان تعاریفی از وابستگی خطی و استقلال خطی سیستم ستون ها (ردیف ها) ماتریس را معرفی کرد. این تعاریف مشابه همان تعاریف 10.14، 10.15 برای بردارها هستند.

تعریف 14.13اگر مجموعه‌ای از ضرایب وجود داشته باشد که حداقل یکی از آن‌ها غیرصفر باشد، سیستمی از ستون‌ها (ردیف‌ها) وابسته خطی نامیده می‌شود که ترکیب خطی ستون‌ها (ردیف‌ها) با این ضرایب برابر با صفر باشد.

تعریف 14.14یک سیستم از ستون ها (ردیف ها) به صورت خطی مستقل است اگر از تساوی تا صفر ترکیب خطی این ستون ها (ردیف ها) نتیجه بگیرد که همه ضرایب این ترکیب خطی برابر با صفر هستند.

گزاره زیر، مشابه گزاره 10.6 نیز صادق است.

پیشنهاد 14.25 یک سیستم از ستون ها (ردیف ها) به صورت خطی وابسته است اگر و تنها در صورتی که یکی از ستون ها (یکی از ردیف ها) ترکیبی خطی از سایر ستون ها (ردیف ها) این سیستم باشد.

ما یک قضیه را فرموله می کنیم به نام قضیه جزئی پایه.

قضیه 14.2 هر ستون ماتریس ترکیبی خطی از ستون هایی است که از پایه مینور عبور می کنند.

اثبات را می توان در کتاب های درسی در یافت جبر خطیبرای مثال، در، .

پیشنهاد 14.26 رتبه یک ماتریس برابر است با حداکثر تعداد ستون های آن که یک سیستم مستقل خطی را تشکیل می دهند.

اثبات. بگذارید رتبه ماتریس باشد. بیایید ستون هایی را که از پایه مینور عبور می کنند، در نظر بگیریم. فرض کنید که این ستون ها یک سیستم وابسته خطی را تشکیل می دهند. سپس یکی از ستون ها ترکیبی خطی از بقیه است. بنابراین، در پایه مینور، یک ستون ترکیبی خطی از ستون های دیگر خواهد بود. با گزاره های 14.15 و 14.18، این مینور پایه باید برابر با صفر باشد که با تعریف مینور اصلی در تضاد است. بنابراین، این فرض که ستون هایی که از پایه مینور عبور می کنند به صورت خطی وابسته هستند درست نیست. بنابراین، حداکثر تعداد ستون هایی که یک سیستم مستقل خطی را تشکیل می دهند، بزرگتر یا مساوی است.

فرض کنید که ستون ها یک سیستم مستقل خطی را تشکیل می دهند. بیایید یک ماتریس از آنها بسازیم. همه مینورهای ماتریس مینورهای ماتریسی هستند. بنابراین، مینور پایه ماتریس حداکثر دارای ترتیب است. طبق قضیه مینور پایه، ستونی که از پایه مینور یک ماتریس نمی گذرد، ترکیبی خطی از ستون هایی است که از پایه مینور عبور می کنند، یعنی ستون های ماتریس یک سیستم وابسته خطی را تشکیل می دهند. این با انتخاب ستون هایی که ماتریس را تشکیل می دهند در تضاد است. بنابراین، حداکثر تعداد ستون هایی که یک سیستم مستقل خطی را تشکیل می دهند نمی تواند بیشتر از . بنابراین، برابر است با، همانطور که گفته شد.

پیشنهاد 14.27 رتبه یک ماتریس برابر است با حداکثر تعداد ردیف های آن که یک سیستم مستقل خطی را تشکیل می دهند.

اثبات. با گزاره 14.24، رتبه یک ماتریس با جابجایی تغییر نمی کند. سطرهای یک ماتریس به ستون های آن تبدیل می شوند. حداکثر تعداد ستون های جدید ماتریس جابجا شده (ردیف های قبلی ماتریس اصلی) که یک سیستم مستقل خطی را تشکیل می دهند برابر با رتبه ماتریس است.

پیشنهاد 14.28 اگر تعیین کننده ماتریس برابر با صفر باشد، یکی از ستون های آن (یکی از ردیف ها) ترکیبی خطی از بقیه ستون ها (ردیف ها) است.

اثبات. بگذارید ترتیب ماتریس باشد. دترمینان تنها مینور ماتریس مربع است که دارای نظم است. از آنجایی که برابر با صفر است، پس . بنابراین، سیستم ستون ها (ردیف ها) به صورت خطی وابسته است، یعنی یکی از ستون ها (یکی از ردیف ها) ترکیبی خطی از بقیه است.

نتایج گزاره های 14.15، 14.18 و 14.28 قضیه زیر را به دست می دهد.

قضیه 14.3 تعیین کننده یک ماتریس صفر است اگر و فقط اگر یکی از ستون های آن (یکی از ردیف ها) ترکیبی خطی از سایر ستون ها (ردیف ها) باشد.

یافتن رتبه یک ماتریس با محاسبه تمام مینورهای آن نیاز به مقدار زیادی دارد کار محاسباتی. (خواننده ممکن است آن را بررسی کند ماتریس مربعاز مرتبه چهارم 36 مینور از مرتبه دوم.) بنابراین، از الگوریتم متفاوتی برای یافتن رتبه استفاده می شود. برای توصیف آن، برخی اطلاعات اضافی مورد نیاز است.

تعریف 14.15ما عملیات زیر را بر روی آنها تبدیل اولیه ماتریس می نامیم:

1) جایگشت سطرها یا ستون ها؛
2) ضرب یک سطر یا ستون در یک عدد غیر صفر.
3) به یکی از سطرها یک سطر دیگر ضرب در یک عدد یا اضافه کردن به یکی از ستون های ستون دیگر ضرب در یک عدد اضافه کنید.

پیشنهاد 14.29 در تحولات ابتداییرتبه ماتریس تغییر نمی کند.

اثبات. اجازه دهید رتبه ماتریس برابر با , -- ماتریس حاصل از تبدیل ابتدایی باشد.

جایگشتی از رشته ها را در نظر بگیرید. اجازه دهید یک مینور از ماتریس باشد، سپس ماتریس دارای یک مینور است که یا با آن منطبق است یا با جایگشت سطرها با آن متفاوت است. و بالعکس، هر مینور ماتریسی را می توان با یک مینور ماتریسی مرتبط کرد که یا با آن منطبق است یا از نظر ترتیب ردیف ها با آن متفاوت است. بنابراین، از این که در ماتریس همه مینورهای مرتبه برابر با صفر هستند، نتیجه می شود که در ماتریس همه مینورهای این مرتبه نیز برابر با صفر هستند. و از آنجایی که ماتریس دارای مرتبه جزئی غیر صفر است، ماتریس نیز دارای مرتبه جزئی غیر صفر است، یعنی .

ضرب یک رشته را در یک عدد غیر صفر در نظر بگیرید. یک مینور از یک ماتریس مربوط به مینور از یک ماتریس است که یا با آن منطبق است یا فقط یک ردیف با آن تفاوت دارد که با ضرب در یک عدد غیر صفر از ردیف مینور به دست می آید. در آخرین مورد. در همه موارد، یا و به طور همزمان برابر با صفر، یا به طور همزمان با صفر متفاوت هستند. از این رو، .

برخی از اعداد کجا هستند (بعضی یا حتی همه این اعداد می توانند برابر با صفر باشند). این بدان معنی است که برابری های زیر بین عناصر ستون ها وجود دارد:

یا ، .

از (3.3.1) چنین است که

رشته تهی کجاست

تعریف. سطرهای ماتریس A به صورت خطی وابسته هستند اگر اعدادی وجود داشته باشند که همگی برابر با صفر نباشند.

اگر برابری (3.3.3) اگر و فقط اگر درست باشد، سطرها مستقل خطی نامیده می شوند. رابطه (3.3.2) نشان می دهد که اگر یکی از سطرها به صورت خطی بر حسب بقیه بیان شود، آنگاه سطرها به صورت خطی وابسته هستند.

همچنین به راحتی می توان عکس آن را مشاهده کرد: اگر ردیف ها به صورت خطی وابسته باشند، ردیفی وجود دارد که ترکیبی خطی از ردیف های دیگر است.

اجازه دهید، برای مثال، در (3.3.3)، سپس .

تعریف. بگذارید مقداری جزئی در ماتریس A انتخاب شود r مرتبه و اجازه دهید جزئی ( r +1)-امین مرتبه همان ماتریس به طور کامل حاوی مینور است. می گوییم که در این مورد مینور با مینور هم مرز است (یا برای ).

اکنون یک لم مهم را ثابت می کنیم.

لمادر مورد خردسالان مرزی اگر سفارش جزئی است r ماتریس A = غیر صفر است و تمام مینورهای حاشیه آن برابر با صفر هستند، سپس هر سطر (ستون) ماتریس A ترکیبی خطی از سطرها (ستون های) آن است که .

اثبات بدون تخطی از کلیت استدلال، مینور غیر صفر را فرض می کنیم r مرتبه در گوشه سمت چپ بالای ماتریس A= است:

.

برای اولین ک در ردیف‌های ماتریس A، عبارت لم واضح است: کافی است در ترکیب خطی، همان ردیف با ضریب یک و بقیه با ضرایب برابر با صفر درج شود.

اجازه دهید ثابت کنیم که سطرهای باقی مانده از ماتریس A به صورت خطی بر حسب ردیف اول بیان می شوند.ک خطوط برای انجام این کار، ما یک مینور ( r 1)امین سفارش با افزودن به جزئی k -امین خط () و لستون -امین ():

.

مینور حاصل برای همه صفر است k و l . اگر، آنگاه برابر با صفر است که شامل دو ستون یکسان است. اگر، آنگاه مینور حاصل، مینور مرزی برای است و بنابراین، با فرضیه لم برابر با صفر است.

اجازه دهید جزئی را از نظر عناصر دومی گسترش دهیملستون -ام:

که در آن اضافات جبری به عناصر وجود دارد. جمع جبریجزئی از ماتریس A است، بنابراین . (3.3.4) را برحسب زیر تقسیم کرده و بیان کنید:

جایی که ، .

با فرض، دریافت می کنیم:

عبارت (3.3.6) به این معنی استک سطر هفتم ماتریس A به صورت خطی بر حسب ماتریس اول بیان می شودخطوط r

از آنجایی که مقادیر جزئی آن هنگام جابجایی یک ماتریس تغییر نمی کند (به دلیل خاصیت عوامل تعیین کننده)، همه چیز ثابت شده برای ستون ها نیز صادق است. قضیه ثابت شده است.

نتیجه من . هر سطر (ستون) ماتریس ترکیبی خطی از سطرهای اصلی آن (ستون) است. در واقع، مینور پایه ماتریس با صفر متفاوت است و تمام مینورهای حاشیه آن برابر با صفر هستند.

نتیجه دوم. تعیین کننده n مرتبه هفتم برابر با صفر است اگر و فقط در صورتی که شامل سطرها (ستون ها) به طور خطی وابسته باشد. کفایت وابستگی خطی ردیف‌ها (ستون‌ها) برای برابری تعیین‌کننده به صفر، قبلاً به عنوان ویژگی تعیین‌کننده‌ها ثابت شده بود.

بیایید ضرورت را ثابت کنیم. اجازه دهید یک ماتریس مربع داده شود n مرتبه ام که تنها جزئی آن برابر با صفر است. نتیجه این است که رتبه این ماتریس کمتر از n ، یعنی حداقل یک ردیف وجود دارد که ترکیبی خطی از ردیف های پایه این ماتریس است.

اجازه دهید یک قضیه دیگر را در مورد رتبه یک ماتریس ثابت کنیم.

قضیه.حداکثر تعداد ردیف‌های مستقل خطی یک ماتریس برابر با حداکثر تعداد ستون‌های مستقل خطی آن و برابر با رتبه این ماتریس است.

اثبات بگذارید رتبه ماتریس A= برابر باشد r سپس هر یک از k آن ردیف های پایه به صورت خطی مستقل هستند، در غیر این صورت مینور پایه صفر خواهد بود. از سوی دیگر، هر r 1+ یا چند ردیف به صورت خطی وابسته هستند. با فرض برعکس، می‌توانیم یک مرتبه جزئی بزرگ‌تر از r ، که با نتیجه 2 از لم قبلی غیر صفر است. مورد دوم با این واقعیت که حداکثر ترتیب مینورهای غیر صفر برابر است با r . هر چیزی که برای ردیف ها ثابت شده است برای ستون ها نیز صادق است.

در نتیجه، یک روش دیگر برای یافتن رتبه یک ماتریس ارائه می‌کنیم. رتبه یک ماتریس را می توان با یافتن یک ماکزیمم مرتبه متفاوت از صفر تعیین کرد.

در نگاه اول، این نیاز به محاسبه یک محدود، اما شاید تعداد بسیار زیادی از جزئی های این ماتریس دارد.

با این حال، قضیه زیر اجازه می دهد تا ساده سازی های قابل توجهی انجام شود.

قضیه.اگر مینور ماتریس A با صفر متفاوت باشد و تمام مینورهای حاشیه آن برابر با صفر باشند، رتبه ماتریس برابر است با r

اثبات کافی است نشان دهیم که هر زیر سیستمی از ردیف های ماتریسی برای S > r تحت شرایط قضیه به صورت خطی وابسته خواهد بود (از این نتیجه نتیجه می‌گیریم که r حداکثر تعداد ردیف‌های مستقل خطی ماتریس یا هر یک از فرعی‌های آن از مرتبه بزرگتر است. k صفر هستند).

بیایید برعکس فرض کنیم. بگذارید ردیف ها مستقل خطی باشند. با لم مربوط به مینورهای مرزی، هر یک از آنها به صورت خطی بر حسب ردیف هایی بیان می شود که مینور در آنها قرار دارد و به دلیل اینکه با صفر متفاوت است، به صورت خطی مستقل هستند:

ماتریس K را از ضرایب عبارات خطی (3.3.7) در نظر بگیرید:

.

ردیف های این ماتریس با نشان داده می شوند . آنها به صورت خطی وابسته خواهند بود، زیرا رتبه ماتریس K، یعنی. حداکثر تعداد ردیف های مستقل خطی آن تجاوز نمی کند r< S . بنابراین، چنین اعدادی وجود دارد که همه آنها برابر با صفر نیستند

اجازه دهید به برابری اجزا بگذریم

حالا ترکیب خطی زیر را در نظر بگیرید:

یا