ماتریس یک جدول مستطیلی از اعداد است. مفهوم ماتریس

اقدامات ماتریسی

1. جمع و تفریق ماتریس:

جمع و تفریق ماتریس- یکی از ساده ترین اقدامات روی آنها، زیرا لازم است عناصر مربوط به دو ماتریس را جمع یا تفریق کنیم. نکته اصلی که باید به خاطر داشته باشید این است که شما فقط می توانید ماتریس ها را اضافه و تفریق کنید. همان اندازه، یعنی آنهایی که تعداد سطر و ستون یکسانی دارند.

به عنوان مثال، اجازه دهید دو ماتریس با اندازه مساوی 2x3 داده شود، i.e. با دو سطر و سه ستون:

مجموع دو ماتریس:

تفاوت دو ماتریس:

2. ضرب یک ماتریس در عدد:

ضرب یک ماتریس در یک عدد -فرآیند ضرب یک عدد در هر عنصر یک ماتریس.

به عنوان مثال، با توجه به یک ماتریس A:

عدد 3 را در ماتریس A ضرب کنید:

3. ضرب دو ماتریس:

ضرب دو ماتریسفقط در شرایطی امکان پذیر است که تعداد ستون های ماتریس اول باید با تعداد ردیف های ماتریس دوم برابر باشد. ماتریس جدید که از ضرب ماتریس ها به دست می آید، شامل تعداد سطرهای برابر با تعداد ستون های ماتریس اول و تعداد ستون ها برابر با تعداد ردیف های ماتریس دوم خواهد بود.

فرض کنید دو ماتریس با اندازه های 3x4 و 4x2 وجود دارد، یعنی. ماتریس اول دارای 3 سطر و 4 ستون و ماتریس دوم دارای 4 سطر و 2 ستون است. زیرا تعداد ستون‌های ماتریس اول (4) برابر است با تعداد ردیف‌های ماتریس دوم (4)، سپس ماتریس‌ها را می‌توان ضرب کرد، ماتریس جدید به اندازه 3x2 خواهد بود، یعنی. 3 سطر و 2 ستون.

شما می توانید همه اینها را در قالب یک نمودار نشان دهید:

بعد از اینکه در مورد اندازه ماتریس جدید که با ضرب دو ماتریس بدست می آید تصمیم گرفتید، می توانید شروع به پر کردن این ماتریس با عناصر کنید. اگر لازم است سطر اول ستون اول این ماتریس را پر کنید، باید هر عنصر از ردیف اول ماتریس اول را در هر عنصر از ستون اول ماتریس دوم ضرب کنید، اگر دومی را پر کنیم. سطر ستون اول به ترتیب هر عنصر ردیف دوم ماتریس اول را می گیریم و در ستون اول ماتریس دوم و غیره ضرب می کنیم.

بیایید ببینیم که در نمودار چگونه به نظر می رسد:

بیایید ببینیم که در یک مثال چگونه به نظر می رسد:

با توجه به دو ماتریس:

حاصل ضرب این ماتریس ها را پیدا کنید:

4. تقسیم ماتریس:

تقسیم ماتریس- اقدامی بر روی ماتریس ها که در این مفهوم در کتاب های درسی پیدا نمی کنید. اما اگر نیاز به تقسیم ماتریس A بر ماتریس B باشد، در این مورد از یکی از ویژگی های درجه استفاده می شود:

با توجه به این ویژگی، ماتریس A را بر ماتریس B تقسیم می کنیم:

در نتیجه، مشکل تقسیم ماتریس به ضرب کاهش می یابد ماتریس معکوسماتریس B به ماتریس A.

ماتریس معکوس

بگذارید یک ماتریس مربع از مرتبه n وجود داشته باشد

ماتریس A -1 نامیده می شود ماتریس معکوسبا توجه به ماتریس A، اگر A*A -1 = E، که در آن E ماتریس هویت مرتبه n است.

ماتریس هویت- چنین ماتریس مربعی که در آن همه عناصر در امتداد مورب اصلی قرار دارند و از سمت چپ عبور می کنند گوشه بالاییبه گوشه سمت راست پایین، - یک ها، و بقیه - صفر، به عنوان مثال:

ماتریس معکوسممکن است وجود داشته باشد فقط برای ماتریس های مربعآن ها برای آن دسته از ماتریس هایی که تعداد سطر و ستون یکسانی دارند.

قضیه شرط وجود ماتریس معکوس

برای اینکه یک ماتریس ماتریس معکوس داشته باشد، لازم و کافی است که غیر دژنره باشد.

ماتریس A = (A1, A2,...A n) نامیده می شود غیر منحطاگر بردارهای ستون به صورت خطی مستقل باشند. تعداد بردارهای ستون مستقل خطی یک ماتریس را رتبه ماتریس می گویند. بنابراین می توان گفت برای اینکه یک ماتریس معکوس وجود داشته باشد، لازم و کافی است که رتبه ماتریس برابر با بعد آن باشد، یعنی. r = n

الگوریتم یافتن ماتریس معکوس

ماتریس A را در جدول حل سیستم معادلات به روش گاوس بنویسید و در سمت راست (به جای قسمت های سمت راست معادلات) ماتریس E را به آن اختصاص دهید.

با استفاده از تبدیل‌های جردن، ماتریس A را به ماتریسی متشکل از ستون‌های منفرد بیاورید. در این حالت لازم است همزمان ماتریس E را تبدیل کنیم.

در صورت لزوم، ردیف ها (معادلات) آخرین جدول را به گونه ای تنظیم کنید که ماتریس هویت E در زیر ماتریس A جدول اصلی به دست آید.

ماتریس معکوس A -1 را که در آخرین جدول زیر ماتریس E جدول اصلی قرار دارد، بنویسید.

مثال 1

برای ماتریس A، ماتریس معکوس A -1 را پیدا کنید

راه حل: ماتریس A را یادداشت می کنیم و در سمت راست ماتریس هویت E را اختصاص می دهیم. با استفاده از تبدیل های Jordan، ماتریس A را به ماتریس هویت E کاهش می دهیم. محاسبات در جدول 31.1 نشان داده شده است.

بیایید صحت محاسبات را با ضرب ماتریس اصلی A و ماتریس معکوس A -1 بررسی کنیم.

در نتیجه ضرب ماتریس، ماتریس هویت به دست می آید. بنابراین محاسبات صحیح است.

پاسخ:

عوامل تعیین کننده ماتریس ها (دترمیناتورها)

تعیین کننده های ماتریس، روش شماره 1:

تعیین کننده ماتریس مربع (دت A) عددی است که می توان روی عناصر محاسبه کرد ماتریس هاطبق فرمول:

جایی که M 1k - تعیین کننده ماتریس(معین) از اصل به دست آمده است ماتریس هابا حذف سطر اول و ستون k. لازم به ذکر است که تعیین کننده هافقط مربع دارند ماتریس ها، یعنی ماتریس هایی که دارای تعداد سطرهای برابر با تعداد ستون ها هستند. فرمول اول به شما امکان محاسبه را می دهد تعیین کننده ماتریسدر خط اول، فرمول محاسبه نیز معتبر است تعیین کننده ماتریسدر ستون اول:

به طور کلی، تعیین کننده ماتریسرا می توان بر روی هر سطر یا ستون محاسبه کرد ماتریس ها، یعنی فرمول صحیح این است:

بدیهی است که متفاوت است ماتریس هاممکن است همین را داشته باشد تعیین کننده ها. تعیین کننده ماتریس هویتبرابر 1. برای مشخص شده ماتریس هاو عدد M 1k را جزئی اضافی عنصر می نامند ماتریس هایک هزار بنابراین، می توان نتیجه گرفت که هر عنصر ماتریس هاجزئی اضافی خود را دارد. موارد فرعی اضافی فقط در مربع وجود دارد ماتریس ها.

جزئی مکمل یک عنصر دلخواه مربع ماتریس ها a ij برابر است با تعیین کننده ماتریسبه دست آمده از اصل ماتریس هابا حذف ردیف i و ستون j.

تعیین کننده های ماتریس، روش شماره 2:

تعیین کننده ماتریسسفارش اول، یا تعیین کنندهاز مرتبه اول، عنصر a 11 نامیده می شود:

تعیین کننده ماتریسمرتبه دوم یا تعیین کنندهمرتبه دوم، به نام عدد، که با فرمول محاسبه می شود:

تعیین کننده ماتریسمرتبه سوم یا تعیین کنندهمرتبه سوم، به نام عدد، که با فرمول محاسبه می شود:

این عدد نشان دهنده جمع جبری متشکل از شش جمله است. هر عبارت دقیقاً حاوی یک عنصر از هر سطر و هر ستون است ماتریس ها. هر عبارت از حاصل ضرب سه عامل تشکیل شده است.

علائم با کدام اعضا تعیین کننده ماتریسدر فرمول گنجانده شده اند یافتن تعیین کننده ماتریسمرتبه سوم را می توان با استفاده از طرح فوق که قانون مثلث ها یا قانون ساروس نامیده می شود تعیین کرد. سه جمله اول با علامت مثبت گرفته شده و از شکل سمت چپ مشخص می شود و سه جمله بعدی با علامت منفی گرفته شده و از شکل سمت راست مشخص می شود.

اظهار نظر:

محاسبه تعیین کننده های ماتریسیمرتبه چهارم و بالاتر منجر به محاسبات بزرگ می شود، زیرا:

برای در مرتبه اول، یک اصطلاح متشکل از یک عامل را می یابیم.

برای یافتن تعیین کننده ماتریساز مرتبه دوم، شما باید مجموع جبری دو جمله را محاسبه کنید، که در آن هر جمله از حاصل ضرب دو عامل تشکیل شده است.

برای یافتن تعیین کننده ماتریساز مرتبه سوم، شما باید مجموع جبری شش جمله را محاسبه کنید، که در آن هر جمله از حاصل ضرب سه عامل تشکیل شده است.

برای یافتن تعیین کننده ماتریساز مرتبه چهارم، باید مجموع جبری بیست و چهار جمله را محاسبه کنید، که در آن هر جمله از حاصل ضرب چهار عامل و غیره تشکیل شده است.

تعداد عباراتی که باید پیدا کنید را تعیین کنید تعیین کننده ماتریس، در یک جمع جبری می توانید فاکتوریل را محاسبه کنید: 1!=1 2!=1×2=2 3!=1×2×3=6 4!=1×2×3×4=24 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120...

ماتریس ها در ریاضیات یکی از مهم ترین موضوعات با اهمیت کاربردی هستند. اغلب سفر به نظریه ماتریس ها با این کلمات آغاز می شود: "ماتریس یک جدول مستطیلی است ...". این گشت و گذار را از زاویه ای متفاوت آغاز خواهیم کرد.

دفترچه تلفن در هر اندازه و با هر تعداد داده مشترک چیزی جز ماتریس نیست. این ماتریس ها به شکل زیر هستند:

واضح است که همه ما تقریباً هر روز از چنین ماتریس هایی استفاده می کنیم. این ماتریس‌ها با تعداد خطوط متفاوتی ارائه می‌شوند (آنها به عنوان یک دایرکتوری صادر شده توسط شرکت تلفن که می‌تواند هزاران، صدها هزار یا حتی میلیون‌ها خط داشته باشد، و یک فهرست جدید که به تازگی شروع کرده‌اید، متفاوت هستند. نوت بوک، که در آن کمتر از ده خط وجود دارد) و ستون ها (دایرکتوری از مقامات فلان سازمان که ممکن است در آن ستون هایی مانند پست و شماره دفتر و همان دفترچه یادداشت شما وجود داشته باشد که ممکن است هیچ داده ای غیر از نام، و، بنابراین، آن را تنها دو ستون - نام و شماره تلفن).

هر ماتریس را می توان اضافه و ضرب کرد و همچنین می توان عملیات دیگری را روی آنها انجام داد، اما نیازی به جمع و ضرب نیست. دایرکتوری های تلفن، هیچ سودی از این وجود ندارد، علاوه بر این، می توانید ذهن خود را حرکت دهید.

اما ماتریس های بسیار زیادی را می توان و باید اضافه و ضرب کرد و کارهای فوری مختلف را می توان از این طریق حل کرد. در زیر نمونه هایی از این ماتریس ها آورده شده است.

ماتریس هایی که در آنها ستون ها خروجی واحدهای یک نوع محصول خاص هستند و ردیف ها سال هایی هستند که خروجی این محصول در آنها ثبت می شود:

می‌توانید ماتریس‌هایی از این نوع را اضافه کنید که تولید محصولات مشابه توسط شرکت‌های مختلف را در نظر می‌گیرد تا داده‌های خلاصه‌ای را برای صنعت به‌دست آورید.

یا ماتریس‌هایی که برای مثال از یک ستون تشکیل شده‌اند که در آن ردیف‌ها میانگین هزینه یک نوع محصول خاص است:

ماتریس‌های دو نوع آخر را می‌توان ضرب کرد و نتیجه یک ماتریس ردیفی است که شامل هزینه تمام انواع محصولات بر حسب سال است.

ماتریس ها، تعاریف اولیه

جدول مستطیلی متشکل از اعداد مرتب شده در مترخطوط و nستون نامیده می شود ماتریس mn (یا به سادگی ماتریس ) و به این صورت نوشته شده است:

(1)

در ماتریس (1) اعداد آن نامیده می شوند عناصر (همانطور که در تعیین کننده، شاخص اول به معنای تعداد ردیف است، دوم - ستونی که در تقاطع آن یک عنصر وجود دارد. من = 1, 2, ..., متر; j = 1, 2, n).

ماتریس نامیده می شود مستطیل شکل ، اگر .

اگر متر = n، سپس ماتریس فراخوانی می شود مربع و عدد n آن است به ترتیب .

تعیین کننده ماتریس مربع A تعیین کننده ای نامیده می شود که عناصر آن عناصر ماتریس هستند آ. با علامت | نشان داده می شود آ|.

ماتریس مربع نامیده می شود غیر خاص (یا غیر منحط , غیر مفرد ) اگر تعیین کننده آن برابر با صفر نباشد و خاص (یا منحط , مفرد ) اگر تعیین کننده آن صفر باشد.

ماتریس ها نامیده می شوند برابر اگر تعداد سطرها و ستون ها یکسان باشد و همه عناصر منطبق یکسان باشند.

ماتریس نامیده می شود خالی اگر تمام عناصر آن برابر با صفر باشد. ماتریس صفربا نماد نشان داده خواهد شد 0 یا .

مثلا،

ماتریس ردیف (یا حروف کوچک ) 1 نامیده می شود n-ماتریس و ماتریس ستونی (یا ستونی ) – متر 1-ماتریس.

ماتریس آ"، که از ماتریس به دست می آید آجابجایی سطرها و ستون ها در آن نامیده می شود جابجا شد با توجه به ماتریس آ. بنابراین، برای ماتریس (1)، ماتریس جابجا شده است

انتقال به عملیات ماتریسی آ"، با توجه به ماتریس جابجا شد آ، جابجایی ماتریس نامیده می شود آ. برای دقیقه-ماتریس جابجا شده است نانومتر-ماتریس

ماتریس جابجا شده با توجه به ماتریس است آ، به این معنا که

(آ")" = آ .

مثال 1ماتریس را پیدا کنید آ"، با توجه به ماتریس جابجا شد

و دریابید که آیا تعیین کننده های ماتریس اصلی و جابجا شده برابر هستند یا خیر.

مورب اصلی ماتریس مربع یک خط فرضی است که عناصر آن را به هم متصل می کند، که برای آن هر دو شاخص یکسان هستند. این عناصر نامیده می شوند مورب .

ماتریس مربعی که در آن همه عناصر خارج از قطر اصلی برابر با صفر هستند نامیده می شود مورب . همه عناصر مورب یک ماتریس مورب لزوماً غیر صفر نیستند. برخی از آنها ممکن است برابر با صفر باشد.

ماتریس مربعی که در آن عناصر روی قطر اصلی برابر با همان عدد غیر صفر و بقیه برابر با صفر باشند، نامیده می شود. ماتریس اسکالر .

ماتریس هویت ماتریس مورب نامیده می شود که در آن تمام عناصر مورب برابر با یک هستند. به عنوان مثال، ماتریس هویت مرتبه سوم ماتریس است

مثال 2داده های ماتریسی:

راه حل. اجازه دهید تعیین کننده های این ماتریس ها را محاسبه کنیم. با استفاده از قانون مثلث ها می یابیم

تعیین کننده ماتریس ببا فرمول محاسبه کنید

ما به راحتی آن را دریافت می کنیم

بنابراین، ماتریس ها آو غیر مفرد (غیر منحط، غیر منفرد) و ماتریس هستند ب- خاص (منحط، مفرد).

تعیین کننده یک ماتریس هویت از هر مرتبه بدیهی است برابر با یک.

خودتان مسئله ماتریس را حل کنید و سپس راه حل را ببینید

مثال 3داده های ماتریسی

مشخص کنید که کدام یک از آنها غیر مفرد (غیر منحط، غیر مفرد) هستند.

کاربرد ماتریس ها در مدل سازی ریاضی و اقتصادی

در قالب ماتریس، داده های ساختاریافته در مورد یک شی خاص به سادگی و به راحتی نوشته می شوند. مدل‌های ماتریسی نه تنها برای ذخیره این داده‌های ساختاریافته، بلکه برای حل مشکلات مختلف با این داده‌ها با استفاده از جبر خطی.

بنابراین، مدل ماتریسی شناخته شده اقتصاد، مدل ورودی- ستانده است که توسط اقتصاددان آمریکایی روسی الاصل واسیلی لئونتیف معرفی شده است. این مدل بر این فرض استوار است که کل بخش تولیدی اقتصاد به تقسیم بندی می شود nصنایع پاک هر یک از صنایع تنها یک نوع محصول و صنایع مختلف محصولات متفاوتی تولید می کنند. به دلیل این تقسیم کار بین صنایع، روابط بین صنایع وجود دارد که معنای آن این است که بخشی از تولید هر صنعت به عنوان منبع تولید به صنایع دیگر منتقل می شود.

حجم تولید من- صنعت (اندازه گیری شده با واحد اندازه گیری خاص) که در طول دوره گزارش تولید شده است، با مشخص شده و به آن کل تولید می گویند. منصنعت هفتم مسائل به راحتی در آن قرار می گیرند n- ردیف جزء ماتریس.

تعداد واحدهای محصول من- صنعتی که باید صرف شود j- صنعت برای تولید یک واحد از خروجی آن را ضریب هزینه مستقیم می نامند.

در این مبحث به مفهوم ماتریس و همچنین انواع ماتریس ها خواهیم پرداخت. از آنجایی که اصطلاحات زیادی در این مبحث وجود دارد، برای سهولت در پیمایش مطالب، خلاصه ای را اضافه می کنم.

تعریف ماتریس و عنصر آن نشانه گذاری.

ماتریسجدولی با ردیف $m$ و ستون $n$ است. عناصر یک ماتریس می توانند اشیایی با ماهیت کاملاً متنوع باشند: اعداد، متغیرها یا، برای مثال، ماتریس های دیگر. به عنوان مثال، ماتریس $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ دارای 3 سطر و 2 ستون است. عناصر آن اعداد صحیح هستند. ماتریس $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ شامل 2 سطر و 4 ستون

روش های مختلف برای نوشتن ماتریس: نمایش/پنهان کردن

ماتریس را می توان نه تنها در براکت های گرد، بلکه در براکت های مربع یا دوتایی مستقیم نوشت. یعنی ورودی های زیر به معنای همان ماتریس هستند:

$$ \left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right]; \;\; \left \Vert \begin(آرایه) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end (آرایه) \راست \ Vert $$

محصول $m\times n$ نامیده می شود اندازه ماتریس. به عنوان مثال، اگر ماتریس شامل 5 سطر و 3 ستون باشد، آنگاه از ماتریس 5$\ برابر 3$ صحبت می شود. ماتریس $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ دارای اندازه $3 \ برابر 2 $ است.

ماتریس ها معمولا با حروف بزرگ الفبای لاتین نشان داده می شوند: $A$، $B$، $C$، و غیره. به عنوان مثال، $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. شماره گذاری خطوط از بالا به پایین می رود. ستون ها - از چپ به راست. به عنوان مثال، ردیف اول ماتریس $B$ شامل عناصر 5 و 3 و ستون دوم شامل عناصر 3، -87، 0 است.

عناصر ماتریس معمولا با حروف کوچک نشان داده می شوند. برای مثال، عناصر ماتریس $A$ با $a_(ij)$ نشان داده می شوند. شاخص دوگانه $ij$ حاوی اطلاعاتی در مورد موقعیت عنصر در ماتریس است. عدد $i$ عدد سطر و عدد $j$ عدد ستونی است که در محل تقاطع آن عنصر $a_(ij)$ قرار دارد. به عنوان مثال، در تقاطع ردیف دوم و ستون پنجم ماتریس $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 و 59 و 6 \\ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 و -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(آرایه) \راست)$ عنصر $ a_(25) = 59 دلار:

به طور مشابه، در تقاطع ردیف اول و ستون اول، عنصر $a_(11)=51$ را داریم. در تقاطع ردیف سوم و ستون دوم - عنصر $a_(32)=-15$ و غیره. توجه داشته باشید که $a_(32)$ به صورت "a three two" خوانده می شود اما "a thirty two" خوانده نمی شود.

برای نامگذاری اختصاری ماتریس $A$ که اندازه آن برابر با $m\times n$ است، از علامت $A_(m\times n)$ استفاده می شود. می توانید کمی دقیق تر بنویسید:

$$ A_(m\times n)=(a_(ij)) $$

که در آن علامت $(a_(ij))$ نشان دهنده عناصر ماتریس $A$ است. ماتریس $A_(m\times n)=(a_(ij))$ را می‌توان به صورت کاملاً توسعه‌یافته به صورت زیر نوشت:

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end (آرایه) \راست) $$

بیایید یک اصطلاح دیگر را معرفی کنیم - ماتریس های مساوی.

دو ماتریس با اندازه یکسان $A_(m\times n)=(a_(ij))$ و $B_(m\times n)=(b_(ij))$ فراخوانی می شوند. برابراگر عناصر متناظر آنها برابر باشد، یعنی. $a_(ij)=b_(ij)$ برای همه $i=\overline(1,m)$ و $j=\overline(1,n)$.

توضیح برای ورودی $i=\overline(1,m)$: show\hide

ورودی "$i=\overline(1,m)$" به این معنی است که پارامتر $i$ از 1 به m تغییر می کند. به عنوان مثال، ورودی $i=\overline(1,5)$ می گوید که پارامتر $i$ مقادیر 1، 2، 3، 4، 5 را می گیرد.

بنابراین، برای برابری ماتریس ها، دو شرط لازم است: همزمانی اندازه ها و برابری عناصر مربوطه. به عنوان مثال، ماتریس $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ با ماتریس برابر نیست. $B=\left(\ begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$ زیرا ماتریس $A$ 3$\ برابر 2$ و ماتریس $B$ است 2 دلار \ برابر 2 دلار. همچنین ماتریس $A$ با ماتریس $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & 0\end(array)\right) برابر نیست. $ زیرا $a_( 21)\neq c_(21)$ (یعنی $0\neq 98$). اما برای ماتریس $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$، می توانیم با خیال راحت $A بنویسیم =F$ زیرا هر دو اندازه و عناصر مربوط به ماتریس های $A$ و $F$ منطبق هستند.

مثال شماره 1

اندازه ماتریس $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & را تعیین کنید -5 \\ 4 و 0 و -10 \\ \پایان(آرایه) \راست)$. مشخص کنید که عناصر $a_(12)$، $a_(33)$، $a_(43)$ برابر هستند.

این ماتریس شامل 5 سطر و 3 ستون است، بنابراین اندازه آن 5 دلار \ برابر 3 دلار است. نماد $A_(5\times 3)$ نیز می تواند برای این ماتریس استفاده شود.

عنصر $a_(12)$ در محل تقاطع سطر اول و ستون دوم قرار دارد، بنابراین $a_(12)=-2$. عنصر $a_(33)$ در محل تقاطع سطر سوم و ستون سوم قرار دارد، بنابراین $a_(33)=23$. عنصر $a_(43)$ در محل تقاطع سطر چهارم و ستون سوم قرار دارد، بنابراین $a_(43)=-5$.

پاسخ: $a_(12)=-2$، $a_(33)=23$، $a_(43)=-5$.

انواع ماتریس ها بسته به اندازه آنها. مورب های اصلی و جانبی. ردیابی ماتریسی.

اجازه دهید مقداری ماتریس $A_(m\times n)$ داده شود. اگر $m=1$ (ماتریس از یک ردیف تشکیل شده باشد)، ماتریس داده شده نامیده می شود. ماتریس-ردیف. اگر $n=1$ (ماتریس از یک ستون تشکیل شده باشد)، چنین ماتریسی نامیده می شود ماتریس ستونی. به عنوان مثال، $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ یک ماتریس ردیف است و $\left(\begin(آرایه ) (ج) -1 \\ 5 \\ 6 \end(آرایه) \راست)$ - ماتریس ستون.

اگر شرط $m\neq n$ برای ماتریس $A_(m\times n)$ صادق باشد (یعنی تعداد سطرها با تعداد ستون ها برابر نیست)، اغلب گفته می شود که $A$ یک ماتریس مستطیل شکل است. به عنوان مثال، ماتریس $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ دارای اندازه $2 \ برابر 4 است. دلار، آن ها شامل 2 سطر و 4 ستون از آنجایی که تعداد سطرها با تعداد ستون ها برابر نیست، این ماتریس مستطیلی است.

اگر شرط $m=n$ برای ماتریس $A_(m\times n)$ صادق باشد (یعنی تعداد سطرها برابر با تعداد ستون ها باشد)، آنگاه گفته می شود $A$ یک ماتریس مربعی از $n$ سفارش دهید. برای مثال، $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ یک ماتریس مربع مرتبه دوم است. $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ یک ماتریس مربع مرتبه سوم است. که در نمای کلیماتریس مربع $A_(n\times n)$ را می توان به صورت زیر نوشت:

$$ A_(n\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end (آرایه) \راست) $$

گفته می شود عناصر $a_(11)$، $a_(22)$، $\ldots$، $a_(nn)$ روشن هستند مورب اصلیماتریس $A_(n\times n)$. این عناصر نامیده می شوند عناصر مورب اصلی(یا فقط عناصر مورب). عناصر $a_(1n)$، $a_(2 \; n-1)$، $\ldots$، $a_(n1)$ روشن هستند مورب جانبی (ثانویه).; آنها نامیده می شوند عناصر مورب ثانویه. به عنوان مثال، برای ماتریس $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1&0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( آرایه) \right)$ داریم:

عناصر $c_(11)=2$، $c_(22)=9$، $c_(33)=4$، $c_(44)=6$ عناصر مورب اصلی هستند. عناصر $c_(14)=1$، $c_(23)=8$، $c_(32)=0$، $c_(41)=-4$ عناصر قطری ثانویه هستند.

مجموع عناصر مورب اصلی نامیده می شود به دنبال ماتریسو با $\Tr A$ (یا $\Sp A$) نشان داده می شود:

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

به عنوان مثال، برای ماتریس $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 و -9 و 5 و 6 \end(array)\right)$ داریم:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

مفهوم عناصر مورب نیز برای ماتریس های غیر مربعی استفاده می شود. به عنوان مثال، برای ماتریس $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ عناصر مورب اصلی $b_(11)=2$، $b_(22)=-9$، $b_(33)=4$ خواهند بود.

انواع ماتریس ها بسته به مقادیر عناصر آنها.

اگر همه عناصر ماتریس $A_(m\times n)$ برابر با صفر باشند، چنین ماتریسی نامیده می شود. خالیو معمولا با حرف $O$ نشان داده می شود. برای مثال، $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 و 0 و 0 \\ 0 و 0 و 0 \\ 0 و 0 و 0 \end(آرایه) \راست)$ ماتریس های صفر هستند.

اجازه دهید ماتریس $A_(m\times n)$ به شکل زیر باشد:

سپس این ماتریس نامیده می شود ذوزنقه ای. ممکن است شامل صفر ردیف نباشد، اما اگر وجود داشته باشد، در پایین ماتریس قرار دارد. در یک شکل کلی تر، یک ماتریس ذوزنقه ای را می توان به صورت زیر نوشت:

باز هم، رشته های تهی انتهایی اختیاری هستند. آن ها به طور رسمی، می‌توانیم شرایط زیر را برای یک ماتریس ذوزنقه‌ای مشخص کنیم:

تمام عناصر زیر قطر اصلی برابر با صفر هستند.
همه عناصر از $a_(11)$ تا $a_(rr)$ که روی قطر اصلی قرار دارند برابر با صفر نیستند: $a_(11)\neq 0, \; a_(22)\neq 0، \ldots، a_(rr)\neq 0$.
یا همه عناصر آخرین ردیف های $m-r$ برابر با صفر هستند، یا $m=r$ (یعنی اصلاً ردیف صفر وجود ندارد).

نمونه هایی از ماتریس های ذوزنقه ای:

بریم سراغ تعریف بعدی. ماتریس $A_(m\times n)$ فراخوانی می شود پا گذاشتاگر شرایط زیر را داشته باشد:

به عنوان مثال، ماتریس های گام به صورت زیر خواهند بود:

برای مقایسه، ماتریس $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 و 0 \end(array)\right)$ پله نمی شود زیرا ردیف سوم همان قسمت صفر ردیف دوم را دارد. یعنی اصل "هرچه خط کمتر باشد - قسمت صفر بزرگتر" نقض می شود. من اضافه می کنم که یک ماتریس ذوزنقه ای وجود دارد مورد خاصماتریس گام

بریم سراغ تعریف بعدی. اگر تمام عناصر یک ماتریس مربع واقع در زیر قطر اصلی برابر با صفر باشند، چنین ماتریسی نامیده می شود. ماتریس مثلثی بالایی. برای مثال، $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(آرایه) \right)$ - ماتریس مثلثی بالایی. توجه داشته باشید که تعریف ماتریس مثلثی بالایی چیزی در مورد مقادیر عناصر واقع در بالای مورب اصلی یا روی مورب اصلی نمی گوید. آنها ممکن است صفر باشند یا نباشند، مهم نیست. برای مثال، $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ نیز یک ماتریس مثلثی بالایی است.

اگر تمام عناصر یک ماتریس مربعی که بالای قطر اصلی قرار دارند برابر با صفر باشند، چنین ماتریسی نامیده می شود. ماتریس مثلثی پایین. برای مثال، $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - ماتریس مثلثی پایین. توجه داشته باشید که تعریف یک ماتریس مثلثی پایین چیزی در مورد مقادیر عناصر زیر یا روی مورب اصلی نمی گوید. آنها ممکن است پوچ باشند یا نباشند، مهم نیست. به عنوان مثال، $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ and $\left(\ شروع (آرایه) (cc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ نیز ماتریس های مثلثی پایینی هستند.

ماتریس مربع نامیده می شود مورباگر تمام عناصر این ماتریس که روی قطر اصلی نیستند برابر با صفر باشند. مثال: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \\ end(array)\right)$. عناصر روی مورب اصلی می توانند هر چیزی باشند (برابر با صفر یا نه) - این ضروری نیست.

ماتریس مورب نامیده می شود تنهااگر همه عناصر این ماتریس که روی قطر اصلی قرار دارند برابر با 1 باشند. برای مثال، $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\right)$ - ماتریس هویت مرتبه چهارم. $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ ماتریس هویت مرتبه دوم است.

سال اول ریاضی عالی تحصیل ماتریس هاو اقدامات اساسی بر روی آنها. در اینجا ما عملیات اصلی را که می توان با ماتریس ها انجام داد، سیستماتیک می کنیم. چگونه با ماتریس ها شروع کنیم؟ البته، از ساده ترین - تعاریف، مفاهیم اساسی و ساده ترین عملیات. ما به شما اطمینان می دهیم که ماتریس ها توسط هر کسی که حداقل زمان کمی را به آنها اختصاص دهد قابل درک خواهد بود!

تعریف ماتریس

ماتریسیک جدول مستطیل شکل از عناصر است. خوب اگر زبان ساده- جدول اعداد

ماتریس ها معمولا با حروف بزرگ نشان داده می شوند. با حروف لاتین. به عنوان مثال، ماتریس آ ، ماتریس ب و غیره ماتریس ها می توانند باشند اندازه های متفاوت: مستطیل، مربع، ماتریس ردیف و ماتریس ستونی نیز وجود دارد که بردار نامیده می شود. اندازه ماتریس با تعداد سطرها و ستون ها تعیین می شود. به عنوان مثال، بیایید یک ماتریس مستطیل شکل بنویسیم متر بر n ، جایی که متر تعداد خطوط است و n تعداد ستون ها است.

عناصری که برای آنها i=j (a11، a22، .. ) قطر اصلی ماتریس را تشکیل می دهند و مورب نامیده می شوند.

با ماتریس ها چه کاری می توان انجام داد؟ جمع/ تفریق, ضرب در عدد, بین خودشان تکثیر کنند, جابجا کردن. اکنون در مورد تمام این عملیات اساسی روی ماتریس ها به ترتیب.

عملیات جمع و تفریق ماتریس

ما بلافاصله به شما هشدار می دهیم که فقط می توانید ماتریس هایی با همان اندازه اضافه کنید. نتیجه یک ماتریس با همان اندازه است. اضافه کردن (یا تفریق) ماتریس ها آسان است - فقط عناصر مربوطه خود را اضافه کنید . بیایید یک مثال بزنیم. بیایید جمع دو ماتریس A و B به اندازه دو به دو را انجام دهیم.

تفریق با قیاس، فقط با علامت مخالف انجام می شود.

هر ماتریسی را می توان در یک عدد دلخواه ضرب کرد. برای انجام این، باید هر یک از عناصر آن را در این عدد ضرب کنید. به عنوان مثال، بیایید ماتریس A را از مثال اول در عدد 5 ضرب کنیم:

عملیات ضرب ماتریس

همه ماتریس ها را نمی توان با یکدیگر ضرب کرد. به عنوان مثال، ما دو ماتریس داریم - A و B. تنها در صورتی می توان آنها را در یکدیگر ضرب کرد که تعداد ستون های ماتریس A برابر با تعداد ردیف های ماتریس B باشد. هر عنصر از ماتریس حاصل در ردیف i ام و j-امین ستون، برابر با مجموع حاصل ضرب عناصر مربوطه در خواهد بود خط i-امعامل اول و ستون jth دوم. برای درک این الگوریتم، بیایید نحوه ضرب دو ماتریس مربع را بنویسیم:

و یک مثال با اعداد واقعی. بیایید ماتریس ها را ضرب کنیم:

عملیات جابجایی ماتریس

جابجایی ماتریس عملیاتی است که در آن سطرها و ستون های مربوطه با هم تعویض می شوند. به عنوان مثال، ماتریس A را از مثال اول جابجا می کنیم:

تعیین کننده ماتریس

دترمینان، ای تعیین کننده، یکی از مفاهیم اساسی جبر خطی است. یک بار مردم آمدند با معادلات خطی، و در پشت آنها باید یک تعیین کننده اختراع می کردیم. در نهایت، این شما هستید که باید با همه اینها کنار بیایید، بنابراین آخرین فشار!

دترمینانت یک مشخصه عددی ماتریس مربع است که برای حل بسیاری از مسائل مورد نیاز است.
برای محاسبه تعیین کننده ساده ترین ماتریس مربع، باید تفاوت بین حاصلضرب عناصر مورب اصلی و فرعی را محاسبه کنید.

تعیین کننده یک ماتریس مرتبه اول، یعنی متشکل از یک عنصر، برابر با این عنصر است.

اگر ماتریس سه در سه باشد چه؟ این سخت تر است، اما می توان آن را انجام داد.

برای چنین ماتریسی، مقدار دترمینان برابر است با مجموع حاصلضرب عناصر مورب اصلی و حاصلضرب عناصری که روی مثلث‌هایی با وجهی موازی با مورب اصلی قرار دارند، که حاصل ضرب عناصر از آن است. از مورب ثانویه و حاصل ضرب عناصری که روی مثلث هایی با وجهی موازی با قطر ثانویه قرار دارند، کم می شود.

خوشبختانه، برای محاسبه عوامل ماتریس اندازه های بزرگبه ندرت در عمل اتفاق می افتد.

در اینجا ما عملیات اساسی روی ماتریس ها را در نظر گرفته ایم. البته در زندگی واقعیشما هرگز نمی توانید حتی یک اشاره از یک سیستم ماتریسی از معادلات را ملاقات کنید، یا برعکس - برای مواجهه بسیار بیشتر موارد دشواروقتی واقعا باید سرت را بشکنی برای چنین مواردی است که خدمات دانشجویی حرفه ای وجود دارد. کمک بخواهید، کیفیت و راه حل دقیق، از موفقیت تحصیلی و اوقات فراغت لذت ببرید.

ماتریس، با مفاهیم اولیه آن آشنا شوید. عناصر تعیین کننده ماتریس مورب - و ضلع آن هستند. اصلی از عنصر ردیف اول، ستون اول شروع می شود و تا عنصر آخرین ستون، ردیف آخر ادامه می یابد (یعنی از چپ به راست می رود). مورب جانبی در ردیف اول در جهت مخالف شروع می شود، اما آخرین ستونو تا عنصری که مختصات ستون اول و آخرین سطر را دارد (از راست به چپ می رود) ادامه می یابد.

به منظور رفتن به تعاریف زیرو عملیات جبری با ماتریس، انواع ماتریس ها را مطالعه کنید. ساده ترین آنها مربع، واحد، صفر و معکوس هستند. در همان تعداد ستون و سطر. ماتریس جابجا شده، بیایید آن را B بنامیم، از ماتریس A با جایگزینی ستون ها با سطرها به دست می آید. در واحد، تمام عناصر مورب اصلی یک هستند و بقیه صفر هستند. و در صفر، حتی عناصر قطرها نیز صفر هستند. ماتریس معکوس همان ماتریس است که ماتریس اصلی به شکل هویتی در می آید.

همچنین، ماتریس می تواند در مورد محورهای اصلی یا جانبی متقارن باشد. یعنی عنصر دارای مختصات a(1;2)، که در آن 1 شماره ردیف و 2 عدد ستون است، برابر با a(2;1) است. A(3;1)=A(1;3) و غیره. ماتریس های همسان آنهایی هستند که تعداد ستون های یکی با تعداد ردیف های دیگری برابر است (این ماتریس ها را می توان ضرب کرد).

اقدامات اصلی که می توان با ماتریس ها انجام داد جمع، ضرب و یافتن تعیین کننده است. اگر اندازه ماتریس ها یکسان باشد، یعنی تعداد سطر و ستون آنها برابر باشد، می توان آنها را اضافه کرد. لازم است عناصری را که در همان مکان‌ها در ماتریس‌ها قرار دارند، اضافه کنید، یعنی a (m; n) را با in (m; n) اضافه کنید، جایی که m و n مختصات ستون و ردیف مربوطه هستند. هنگام اضافه کردن ماتریس ها، قانون اصلی جمع حسابی معمولی اعمال می شود - وقتی مکان عبارات تغییر می کند، مجموع تغییر نمی کند. بنابراین، اگر به جای یک عنصر ساده a عبارت a + b وجود داشته باشد، می توان آن را با توجه به قوانین a + (b + c) \u003d (a + c) + c به عنصری از ماتریس متناسب دیگری اضافه کرد.

می توانید ماتریس های سازگار را که در بالا آورده شده است ضرب کنید. در این حالت ماتریسی به دست می آید که هر عنصر مجموع عناصر ضرب شده زوجی ردیف ماتریس A و ستون ماتریس B است. هنگام ضرب، ترتیب عملیات بسیار مهم است. m*n برابر با n*m نیست.

همچنین یکی از اقدامات اصلی، یافتن است. به آن تعیین کننده نیز گفته می شود و به صورت زیر تعیین می شود: det. این مقدار به صورت مدول تعیین می شود، یعنی هرگز منفی نیست. ساده ترین راه برای یافتن دترمینان برای ماتریس مربع 2x2 است. برای انجام این کار، باید عناصر مورب اصلی را ضرب کنید و عناصر ضرب شده قطر ثانویه را از آنها کم کنید.