ویژگی های ستون های وابسته خطی و مستقل خطی ماتریس ها. وابستگی خطی و استقلال ردیف های ماتریس

برخی از اعداد کجا هستند (بعضی یا حتی همه این اعداد می توانند برابر با صفر باشند). این بدان معنی است که برابری های زیر بین عناصر ستون ها وجود دارد:

یا ، .

از (3.3.1) چنین است که

رشته تهی کجاست

تعریف. سطرهای ماتریس A به صورت خطی وابسته هستند اگر اعدادی وجود داشته باشند که همگی برابر با صفر نباشند.

اگر برابری (3.3.3) اگر و فقط اگر درست باشد، سطرها مستقل خطی نامیده می شوند. رابطه (3.3.2) نشان می دهد که اگر یکی از سطرها به صورت خطی بر حسب بقیه بیان شود، آنگاه سطرها به صورت خطی وابسته هستند.

همچنین به راحتی می توان عکس آن را مشاهده کرد: اگر ردیف ها به صورت خطی وابسته باشند، ردیفی وجود دارد که ترکیبی خطی از ردیف های دیگر است.

اجازه دهید، برای مثال، در (3.3.3)، سپس .

تعریف. بگذارید مقداری جزئی در ماتریس A انتخاب شود r مرتبه و اجازه دهید جزئی ( r +1)-امین مرتبه همان ماتریس به طور کامل حاوی مینور است. می گوییم که در این مورد مینور با مینور هم مرز است (یا برای ).

اکنون یک لم مهم را ثابت می کنیم.

لمادر مورد خردسالان مرزی اگر سفارش جزئی است r ماتریس A = غیر صفر است و تمام مینورهای حاشیه آن برابر با صفر هستند، سپس هر سطر (ستون) ماتریس A ترکیبی خطی از سطرها (ستون های) آن است که .

اثبات بدون تخطی از کلیت استدلال، مینور غیر صفر را فرض می کنیم r -ام مرتبه در سمت چپ قرار دارد گوشه بالاییماتریس A=:

.

برای اولین ک در ردیف‌های ماتریس A، عبارت لم واضح است: کافی است در ترکیب خطی، همان ردیف با ضریب یک و بقیه با ضرایب برابر با صفر درج شود.

اجازه دهید ثابت کنیم که سطرهای باقی مانده از ماتریس A به صورت خطی بر حسب ردیف اول بیان می شوند.ک خطوط برای انجام این کار، ما یک مینور ( r 1)امین سفارش با افزودن به جزئی k -امین خط () و لستون -امین ():

.

مینور حاصل برای همه صفر است k و l . اگر، آنگاه برابر با صفر است که شامل دو ستون یکسان است. اگر، آنگاه مینور حاصل، مینور مرزی برای است و بنابراین، با فرضیه لم برابر با صفر است.

اجازه دهید جزئی را از نظر عناصر دومی گسترش دهیملستون -ام:

که در آن اضافات جبری به عناصر وجود دارد. جمع جبریجزئی از ماتریس A است، بنابراین . (3.3.4) را برحسب زیر تقسیم کرده و بیان کنید:

جایی که ، .

با فرض، دریافت می کنیم:

عبارت (3.3.6) به این معنی استک سطر هفتم ماتریس A به صورت خطی بر حسب ماتریس اول بیان می شودخطوط r

از آنجایی که مقادیر جزئی آن در هنگام جابجایی یک ماتریس تغییر نمی کند (به دلیل خاصیت عوامل تعیین کننده)، پس همه چیز ثابت شده برای ستون ها نیز صادق است. قضیه ثابت شده است.

نتیجه من . هر سطر (ستون) ماتریس ترکیبی خطی از سطرهای اصلی آن (ستون) است. واقعا، جزئی اولیهماتریس غیر صفر است و تمام مینورهای اطراف آن برابر با صفر هستند.

نتیجه دوم. تعیین کننده n مرتبه هفتم برابر با صفر است اگر و فقط در صورتی که شامل سطرها (ستون ها) به طور خطی وابسته باشد. کفایت وابستگی خطی ردیف‌ها (ستون‌ها) برای برابری تعیین‌کننده به صفر، قبلاً به عنوان ویژگی تعیین‌کننده‌ها ثابت شده بود.

بیایید ضرورت را ثابت کنیم. اجازه دهید یک ماتریس مربع داده شود n مرتبه ام که تنها مینور آن برابر با صفر است. نتیجه این است که رتبه این ماتریس کمتر از n ، یعنی حداقل یک ردیف وجود دارد که ترکیبی خطی از ردیف های پایه این ماتریس است.

اجازه دهید یک قضیه دیگر را در مورد رتبه یک ماتریس ثابت کنیم.

قضیه.حداکثر تعداد ردیف های مستقل خطی یک ماتریس برابر است با حداکثر تعداد خطی آن. ستون های مستقلو برابر با رتبه این ماتریس است.

اثبات اجازه دهید رتبه ماتریس A= برابر باشد r سپس هر یک از k آن ردیف های پایه به صورت خطی مستقل هستند، در غیر این صورت مینور پایه صفر خواهد بود. از سوی دیگر، هر r 1+ یا چند ردیف به صورت خطی وابسته هستند. با فرض برعکس، می‌توانیم یک مرتبه جزئی بزرگ‌تر از r ، که با نتیجه 2 از لم قبلی غیر صفر است. مورد دوم با این واقعیت که حداکثر ترتیب مینورهای غیر صفر برابر است با r . هر چیزی که برای ردیف ها ثابت شده است برای ستون ها نیز صادق است.

در نتیجه، یک روش دیگر برای یافتن رتبه یک ماتریس ارائه می‌کنیم. رتبه یک ماتریس را می توان با یافتن یک ماکزیمم مرتبه متفاوت از صفر تعیین کرد.

در نگاه اول، این نیاز به محاسبه یک محدود، اما شاید تعداد بسیار زیادی از جزئی های این ماتریس دارد.

با این حال، قضیه زیر اجازه می دهد تا ساده سازی های قابل توجهی انجام شود.

قضیه.اگر مینور ماتریس A با صفر متفاوت باشد و تمام مینورهای حاشیه آن برابر با صفر باشند، رتبه ماتریس برابر است با r

اثبات کافی است نشان دهیم که هر زیر سیستمی از ردیف های ماتریسی برای S > r تحت شرایط قضیه به صورت خطی وابسته خواهد بود (از این نتیجه نتیجه می‌گیریم که r حداکثر تعداد ردیف‌های مستقل خطی ماتریس یا هر یک از فرعی‌های آن از مرتبه بزرگتر است. k صفر هستند).

بیایید برعکس فرض کنیم. اجازه دهید ردیف ها مستقل خطی باشند. با لم مربوط به مینورهای مرزی، هر یک از آنها به صورت خطی بر حسب ردیف هایی بیان می شود که مینور در آنها قرار دارد و به دلیل اینکه با صفر متفاوت است، به صورت خطی مستقل هستند:

ماتریس K را از ضرایب عبارات خطی (3.3.7) در نظر بگیرید:

.

ردیف های این ماتریس با نشان داده می شوند . آنها به صورت خطی وابسته خواهند بود، زیرا رتبه ماتریس K، یعنی. حداکثر تعداد ردیف های مستقل خطی آن تجاوز نمی کند r< S . بنابراین، چنین اعدادی وجود دارد که همه آنها برابر با صفر نیستند

اجازه دهید به برابری اجزا بگذریم

حالا ترکیب خطی زیر را در نظر بگیرید:

یا

اجازه دهید

ستون های ماتریس ابعاد. ترکیب خطی ستون های ماتریسیماتریس ستون نامیده می شود، در حالی که - برخی از اعداد واقعی یا مختلط، فراخوانی می شود ضرایب ترکیب خطی. اگر در یک ترکیب خطی همه ضرایب را برابر با صفر بگیریم، آنگاه ترکیب خطیبرابر با ماتریس ستون صفر است.

ستون های ماتریس نامیده می شوند مستقل خطی ، اگر ترکیب خطی آنها فقط زمانی برابر با صفر باشد که همه ضرایب ترکیب خطی برابر با صفر باشند. ستون های ماتریس نامیده می شوند وابسته به خط اگر مجموعه ای از اعداد وجود داشته باشد که حداقل یکی از آنها غیر صفر باشد و ترکیب خطی ستون ها با این ضرایب برابر با صفر باشد.

به همین ترتیب، تعاریف وابستگی خطی و استقلال خطیردیف های ماتریسی در ادامه، تمام قضایا برای ستون های ماتریس فرموله شده است.

قضیه 5

اگر بین ستون های ماتریس صفر باشد، ستون های ماتریس به صورت خطی وابسته هستند.

اثبات یک ترکیب خطی را در نظر بگیرید که در آن همه ضرایب برای تمام ستون های غیر صفر برابر با صفر و برای ستون صفر یک هستند. برابر با صفر است و در بین ضرایب ترکیب خطی یک غیر صفر وجود دارد. بنابراین، ستون های ماتریس به صورت خطی وابسته هستند.

قضیه 6

اگر ستون های ماتریسی به طور خطی وابسته است، سپس همه ستون های ماتریس به صورت خطی وابسته هستند.

اثبات برای قطعیت، ستون های اول ماتریس را فرض می کنیم وابسته به خط سپس با تعریف وابستگی خطی، مجموعه ای از اعداد وجود دارد که حداقل یکی از آنها با صفر متفاوت است و ترکیب خطی ستون ها با این ضرایب برابر با صفر است.

ترکیبی خطی از تمام ستون‌های ماتریس، از جمله ستون‌های باقیمانده با ضرایب صفر بسازید.

ولی . بنابراین، تمام ستون های ماتریس به صورت خطی وابسته هستند.

نتیجه. در میان ستون های مستقل خطی یک ماتریس، هر کدام به صورت خطی مستقل هستند. (این ادعا به راحتی با تناقض اثبات می شود.)

قضیه 7

برای اینکه ستون های ماتریس به صورت خطی وابسته باشند، لازم و کافی است که حداقل یک ستون ماتریس ترکیبی خطی از بقیه باشد.

اثبات

ضرورت.بگذارید ستون های ماتریس به صورت خطی وابسته باشند، یعنی مجموعه ای از اعداد وجود دارد که حداقل یکی از آنها با صفر متفاوت است و ترکیب خطی ستون ها با این ضرایب برابر با صفر است.

برای قطعیت فرض کنید که . سپس یعنی ستون اول ترکیبی خطی از بقیه است.

کفایت. اجازه دهید حداقل یک ستون از ماتریس ترکیبی خطی از ستون های دیگر باشد، به عنوان مثال، جایی که تعدادی اعداد هستند.

سپس، یعنی ترکیب خطی ستون ها برابر با صفر است و از بین اعداد ترکیب خطی، حداقل یک (برای ) غیر صفر است.

بگذارید رتبه ماتریس باشد. هر مرتبه جزئی غیر صفر نامیده می شود پایه ای . سطرها و ستون هایی که در محل تقاطع آنها مینور اصلی وجود دارد نامیده می شوند پایه ای .

اگر بتوان با یک ترکیب خطی مناسب، بردار صفر را از این بردارها به دست آورد، سیستمی از بردارهای هم ردیف را وابسته خطی می نامند. (در این حالت، مجاز نیست که تمام ضرایب یک ترکیب خطی برابر با صفر باشد، زیرا این امر ناچیز است.) در غیر این صورت، بردارها مستقل خطی نامیده می شوند. به عنوان مثال، سه بردار زیر:

به صورت خطی وابسته هستند، زیرا بررسی آن آسان است. در مورد وابستگی خطی، هر بردار را همیشه می توان بر حسب ترکیب خطی از بردارهای باقیمانده بیان کرد. در مثال ما: یا یا این را می توان به راحتی با محاسبات مناسب بررسی کرد. از این رو به شرح زیر است تعریف زیر: یک بردار به صورت خطی مستقل از بردارهای دیگر است اگر نتوان آن را به صورت ترکیب خطی این بردارها نشان داد.

سیستمی از بردارها را بدون تعیین اینکه آیا به صورت خطی وابسته یا مستقل خطی است در نظر بگیرید. برای هر سیستم متشکل از بردارهای ستون a، می توان حداکثر تعداد ممکن بردارهای مستقل خطی را شناسایی کرد. این عدد که با حرف نشان داده می شود، رتبه سیستم داده شده از بردارها است. از آنجایی که هر ماتریس را می توان به عنوان سیستمی از بردارهای ستون مشاهده کرد، رتبه یک ماتریس به عنوان حداکثر تعداد بردارهای ستونی مستقل خطی آن تعریف می شود. بردارهای ردیف نیز برای تعیین رتبه یک ماتریس استفاده می شوند. هر دو روش نتیجه یکسانی را برای یک ماتریس به دست می‌دهند و نمی‌تواند از کوچک‌ترین یا بیشتر شود. رتبه یک ماتریس مرتبه مربع از 0 تا . اگر همه بردارها صفر باشند، رتبه چنین ماتریسی صفر است. اگر همه بردارها به صورت خطی مستقل از یکدیگر باشند، رتبه ماتریس برابر است. اگر از بردارهای بالا یک ماتریس تشکیل دهید، رتبه این ماتریس 2 است. از آنجایی که هر دو بردار را می توان با یک ترکیب خطی به یک سوم کاهش داد، پس رتبه کمتر از 3 است.

اما می توان تأیید کرد که هر دو از آنها به طور خطی مستقل هستند، بنابراین رتبه

اگر بردارهای ستون یا بردارهای ردیف آن به صورت خطی وابسته باشند، به یک ماتریس مربع گفته می شود که منحط است. همانطور که در بالا ذکر شد، تعیین کننده چنین ماتریسی برابر با صفر است و هیچ ماتریسی معکوس برای آن وجود ندارد. این نتیجه گیری ها معادل یکدیگر هستند. در نتیجه، اگر بردارهای ستون یا بردارهای ردیف آن مستقل از یکدیگر باشند، یک ماتریس مربع غیرمفرد یا غیرمفرد نامیده می شود. تعیین کننده چنین ماتریسی برابر با صفر نیست و ماتریس معکوس آن وجود دارد (رجوع کنید به ص 43)

رتبه یک ماتریس یک تفسیر هندسی کاملا واضح دارد. اگر رتبه ماتریس باشد، می گوییم فضای -بعدی توسط بردارها پوشانده شده است. اگر رتبه بردارها در زیرفضای بعدی - که همه آنها را شامل می شود قرار دارد. بنابراین، رتبه ماتریس مربوط به حداقل بعد مورد نیاز فضای "که شامل تمام بردارها است" است، - فضای فرعی بعدی در فضای -بعدی، هایپرصفحه -بعدی نامیده می شود. رتبه ماتریس مربوط به کوچکترین بعد ابر صفحه است که همه بردارها هنوز در آن قرار دارند.

متعامد بودن. دو بردار a و b در صورتی متعامد نامیده می شوند که حاصل ضرب اسکالر آنها برابر با صفر باشد. اگر تساوی برای ماتریس ترتیب که در آن D یک ماتریس مورب است برقرار باشد، بردارهای ستون ماتریس A به صورت جفتی متعامد هستند. اگر این بردارهای ستون نرمال شوند، یعنی به طولی برابر با 1 کاهش پیدا کنند، آنگاه تساوی رخ می دهد و از بردارهای متعامد صحبت می شود. اگر B یک ماتریس مربع باشد و تساوی برقرار باشد، B ماتریس متعامد نامیده می شود. در این حالت، از فرمول (1.22) بر می آید که ماتریس متعامد همیشه غیر منفرد است. از این رو، متعامد بودن یک ماتریس دلالت بر استقلال خطی بردارهای ردیف یا بردارهای ستون آن دارد. برعکس آن درست نیست: استقلال خطی یک سیستم از بردارها متضمن متعامد بودن زوجی این بردارها نیست.

اجازه دهید یک ماتریس A با اندازه (m; n) دارای k ردیف و k ستون به صورت دلخواه انتخاب شده باشد (k ≤ min(m; n)). عناصر ماتریسی که در محل تقاطع سطرها و ستون های انتخاب شده قرار دارند، ماتریس مربعی با مرتبه k را تشکیل می دهند که تعیین کننده آن را مینور M kk مرتبه k y یا مرتبه k مینور ماتریس A می نامند.

رتبه یک ماتریس حداکثر مرتبه r مینورهای غیر صفر ماتریس A است و هر مینور غیر صفر درجه r را مینور پایه می گویند. نامگذاری: رتبه A = r. اگر محدوده A = B و اندازه ماتریس های A و B یکسان باشد، ماتریس های A و B معادل هستند. نامگذاری: A ~ B.

روش های اصلی برای محاسبه رتبه یک ماتریس، روش فرعی فرعی و .

روش فرینگ مینور

ماهیت روش مرزبندی خردسالان به شرح زیر است. اجازه دهید یک مینور از مرتبه k که با صفر متفاوت است، قبلاً در ماتریس پیدا شود. سپس فقط آن دسته از فرعی‌های مرتبه k + 1 در زیر در نظر گرفته می‌شوند که حاوی (یعنی مرز) مینور درجه k که با صفر متفاوت است. اگر همه آنها برابر با صفر باشند، رتبه ماتریس برابر با k است، در غیر این صورت، در میان مینورهای مرزی مرتبه (k + 1) یک غیر صفر وجود دارد و کل رویه تکرار کرد.

استقلال خطی سطرها (ستون ها) یک ماتریس

مفهوم رتبه یک ماتریس ارتباط نزدیکی با مفهوم استقلال خطی ردیف ها (ستون های) آن دارد.

اگر اعداد λ 1 , λ 2 , λ k وجود داشته باشند که تساوی درست باشد به صورت خطی وابسته نامیده می شوند:

سطرهای ماتریس A به صورت خطی مستقل نامیده می شوند اگر تساوی فوق فقط در صورتی امکان پذیر باشد که همه اعداد λ 1 = λ 2 = ... = λ k = 0

وابستگی خطی و استقلال ستون های ماتریس A به روشی مشابه تعریف می شود.

اگر هر ردیف (a l) از ماتریس A (که در آن (a l)=(a l1 , a l2 ,…, a ln)) می تواند به صورت نمایش داده شود

مفهوم ترکیب خطی از ستون ها به طور مشابه تعریف شده است. قضیه زیر بر اساس جزئی معتبر است.

سطرهای اصلی و ستون های اصلی به صورت خطی مستقل هستند. هر سطر (یا ستون) ماتریس A ترکیبی خطی از ردیف‌های اصلی (ستون‌ها) است، یعنی ردیف‌هایی (ستون‌هایی) که مینور اصلی را قطع می‌کنند. بنابراین، رتبه ماتریس A: Rang A = k برابر است با حداکثر تعداد ردیف‌ها (ستون‌های) مستقل خطی ماتریس A.

آن ها رتبه یک ماتریس، بعد بزرگترین ماتریس مربع در ماتریسی است که می خواهید رتبه آن را تعیین کنید، که تعیین کننده آن برابر با صفر نیست. اگر ماتریس اصلی مربع نیست، یا اگر مربع است، اما تعیین کننده آن صفر است، برای ماتریس های مربعی با مرتبه کوچکتر، سطرها و ستون ها خودسرانه انتخاب می شوند.

به جز از طریق عوامل تعیین کننده، رتبه یک ماتریس را می توان با تعداد سطرها یا ستون های مستقل خطی ماتریس محاسبه کرد. برابر است با تعداد سطرها یا ستون های مستقل خطی، هر کدام کمتر باشد. به عنوان مثال، اگر یک ماتریس دارای 3 ردیف مستقل خطی و 5 ستون مستقل خطی باشد، رتبه آن سه است.

نمونه هایی از یافتن رتبه یک ماتریس

رتبه ماتریس را با روش مرزبندی مینورها پیدا کنید

راه حل. جزئی از مرتبه دوم

حاشیه M 2 جزئی نیز با صفر متفاوت است. با این حال، هر دو مینور از مرتبه چهارم هستند و در مرز M 3 قرار دارند.

برابر با صفر هستند. بنابراین، رتبه ماتریس A 3 است و مینور اصلی، برای مثال، مینور M 3 ارائه شده در بالا است.

روش تحولات ابتداییمبتنی بر این واقعیت است که تبدیلات اولیه یک ماتریس رتبه آن را تغییر نمی دهد. با استفاده از این تبدیل‌ها، می‌توانید زمانی ماتریس را به شکلی بیاورید که تمام عناصر آن، به جز 11، a 22، ...، a rr (r ≤min (m, n))، برابر با صفر باشند. این بدیهی است که به این معنی است که رتبه A = r. توجه داشته باشید که اگر یک ماتریس مرتبه n به شکل یک ماتریس مثلثی بالایی باشد، یعنی ماتریسی که در آن همه عناصر زیر قطر اصلی برابر با صفر باشند، آنگاه برابر با حاصل ضرب عناصر موجود در آن تعیین می شود. مورب اصلی این ویژگی را می توان هنگام محاسبه رتبه یک ماتریس با روش تبدیل های ابتدایی استفاده کرد: لازم است از آنها برای کاهش ماتریس به یک مثلثی استفاده کنیم و سپس با انتخاب تعیین کننده مناسب، متوجه می شویم که رتبه ماتریس ماتریس برابر با تعداد عناصر غیر صفر قطر اصلی است.

با استفاده از روش تبدیل های ابتدایی، رتبه یک ماتریس را پیدا کنید

راه حل. نشان می دهد خط i-امماتریس نماد α i. در مرحله اول، تحولات ابتدایی را انجام می دهیم

در مرحله دوم، تبدیل ها را انجام می دهیم

ماتریس– میز مستطیلیاعداد دلخواه مرتب شده در یک ترتیب خاص، اندازه m * n (ردیف در هر ستون). عناصر ماتریس مشخص می شوند که i شماره ردیف و j شماره ستون است.

اضافه (منها کردن)ماتریس ها فقط برای ماتریس های یک بعدی تعریف می شوند. مجموع (تفاوت) ماتریس ها ماتریسی است که عناصر آن به ترتیب مجموع (تفاوت) عناصر ماتریس های اصلی است.

ضرب (تقسیم)در هر عدد- ضرب (تقسیم) هر عنصر ماتریس در این عدد.

ضرب ماتریس فقط برای ماتریس هایی تعریف می شود که تعداد ستون های اولی برابر با تعداد ردیف های دومی است.

ضرب ماتریسماتریسی است که عناصر آن با فرمول های زیر به دست می آیند:

جابجایی ماتریسیک ماتریس B است که سطرها (ستون‌ها) آن ستون‌ها (ردیف‌ها) در ماتریس اصلی A هستند. نشان داده شده است

ماتریس معکوس

معادلات ماتریسی– معادلات شکل A*X=B حاصلضرب ماتریس ها، پاسخ به معادله داده شده matrixX است که با استفاده از قوانین پیدا می شود:

1. وابستگی خطی و استقلال ستون ها (ردیف ها) ماتریس. معیار وابستگی خطی، شرایط کافی برای وابستگی خطی ستون‌ها (ردیف‌ها) ماتریس.

سیستم ردیف ها (ستون ها) نامیده می شود مستقل خطی، اگر ترکیب خطی بی اهمیت باشد (برابری فقط زمانی برقرار است که a1…n=0 باشد)، که در آن A1…n ستون ها (ردیف ها) و a1…n ضرایب بسط هستند.

معیار: برای اینکه یک سیستم از بردارها به صورت خطی وابسته باشد، لازم و کافی است که حداقل یکی از بردارهای سیستم به صورت خطی بر حسب سایر بردارهای سیستم بیان شود.

شرایط کافی:

1. عوامل ماتریسی و خواص آنها

تعیین کننده ماتریس (تعیین کننده)عددی است که برای یک ماتریس مربع A را می توان از عناصر ماتریس با فرمول محاسبه کرد:

، مینور مکمل عنصر کجاست

خواص:

1. ماتریس معکوس، الگوریتم محاسبه ماتریس معکوس.

ماتریس معکوسیک ماتریس مربع X است که همراه با ماتریس مربع A از همان ترتیب است، شرط را برآورده می کند:، جایی که E ماتریس هویت است، از همان ترتیب A است. هر ماتریس مربعی با تعیین کننده غیر صفر دارای 1 است ماتریس معکوس. با استفاده از روش تبدیل های ابتدایی و با استفاده از فرمول یافت می شود:

مفهوم رتبه یک ماتریس. قضیه جزئی پایه. ملاک تعیین کننده ماتریس برابر با صفر. تبدیل های اولیه ماتریس ها محاسبات رتبه با روش تبدیل های ابتدایی. محاسبه ماتریس معکوس با روش تبدیل های ابتدایی.

رتبه ماتریسی -مرتبه جزئی پایه (rg A)

جزئی پایه -یک مینور از مرتبه r برابر با صفر نیست به طوری که همه مینورهای مرتبه r+1 و بالاتر برابر با صفر هستند یا وجود ندارند.

قضیه جزئی پایه -در یک ماتریس دلخواه A، هر ستون (ردیف) ترکیبی خطی از ستون‌ها (ردیف‌ها) است که پایه جزئی در آن قرار دارد.

اثبات:اجازه دهید پایه جزئی در ردیف های r اول و اولین ستون های r در یک ماتریس A با ابعاد m*n قرار گیرد. تعیین کننده را در نظر بگیرید که با اختصاص دادن عناصر مربوطه به مینور اصلی ماتریس A به دست می آید. خط sو ستون k-ام.

توجه داشته باشید که برای هر و این تعیین کننده برابر با صفر است. اگر یا، پس تعیین کننده D شامل دو ردیف یکسان یا دو ستون یکسان است. اگر u، دترمینال D برابر با صفر است، زیرا جزئی از مرتبه (r + λ) -ro است. با گسترش دترمینان در امتداد ردیف آخر، به دست می آوریم:، مکمل های جبری عناصر ردیف آخر کجا هستند. توجه داشته باشید که از آنجایی که این یک جزئی اولیه است. بنابراین، کجا با نوشتن آخرین برابری برای، به دست می آوریم ، یعنی ستون k-ام(برای هر) ترکیبی خطی از ستون‌های مینور اصلی وجود دارد که باید اثبات می‌شد.

معیار دetA=0– دترمینان برابر با صفر است اگر و تنها در صورتی که سطرها (ستون های) آن به صورت خطی وابسته باشند.

تحولات ابتدایی:

1) ضرب یک رشته در یک عدد غیر صفر.

2) افزودن به عناصر یک خط از عناصر یک خط دیگر.

3) جایگشت خطوط.

4) حذف یکی از ردیف ها (ستون ها) یکسان؛

5) جابجایی؛

محاسبه رتبه -از قضیه اصلی جزئی نتیجه می‌شود که رتبه ماتریس A برابر با حداکثر تعداد ردیف‌های مستقل خطی (ستون‌های موجود در ماتریس) است، بنابراین وظیفه تبدیل‌های ابتدایی یافتن تمام ردیف‌ها (ستون‌ها) مستقل خطی است.

محاسبه ماتریس معکوس- تبدیل ها را می توان با ضرب در ماتریس A چند ماتریس T، که حاصل ضرب ماتریس های ابتدایی مربوطه است، پیاده سازی کرد: TA = E.

این معادله به این معنی است که ماتریس تبدیل T معکوس ماتریس است. سپس و بنابراین،