نمایش سری فوریه سیگنال های دوره ای. نمونه های بسط فوریه

توضیحات کلی

ریاضیدان فرانسوی فوریه (J. B. J. Fourier 1768-1830) یک فرضیه نسبتاً جسورانه را برای زمان خود اعلام کرد. طبق این فرضیه، هیچ تابعی وجود ندارد که نتوان آن را به یک سری مثلثاتی بسط داد. با این حال، متأسفانه در آن زمان چنین ایده ای جدی گرفته نشد. و طبیعی است. خود فوریه قادر به ارائه شواهد قانع کننده نبود و باور شهودی به فرضیه فوریه بسیار دشوار است. به ویژه دشوار است که این واقعیت را تصور کنید که هنگام اضافه کردن توابع ساده، مشابه مثلثاتی، توابعی که کاملاً با آنها متفاوت است، تولید می شوند. اما اگر فرض کنیم که فرضیه فوریه درست است، سیگنال تناوبی با هر شکلی را می توان به سینوسی با فرکانس های مختلف تجزیه کرد و یا برعکس، با افزودن مناسب سینوسی ها با فرکانس های مختلف، می توان یک سیگنال را سنتز کرد. از هر شکلی بنابراین، اگر این نظریه درست باشد، نقش آن در پردازش سیگنال می تواند بسیار زیاد باشد. در این فصل ابتدا سعی خواهیم کرد صحت حدس فوریه را نشان دهیم.

تابع را در نظر بگیرید

f(t)= 2سین t-گناه 2 تن

سری مثلثاتی ساده

تابع جمع است توابع مثلثاتیبه عبارت دیگر، به صورت یک سری مثلثاتی از دو عضو نشان داده می شود. بیایید یک عبارت اضافه کنیم و ایجاد کنیم ردیف جدیدسه عضو

با اضافه کردن دوباره چند عبارت، یک سری مثلثاتی جدید از ده جمله دریافت می کنیم:

ضرایب این سری مثلثاتی را به صورت نشان می دهیم بک , جایی که k - تمام اعداد. اگر به آخرین نسبت دقت کنید، می بینید که ضرایب را می توان با عبارت زیر توصیف کرد:

سپس تابع f(t) را می توان به صورت زیر نمایش داد:

شانس بک - اینها دامنه های سینوسی با فرکانس زاویه ای است به.به عبارت دیگر، آنها مقدار مولفه های فرکانس را تعیین می کنند.

با توجه به حالتی که رونوشت بهبرابر با 10 است، یعنی M= 10. افزایش ارزش متا 100، تابع را دریافت می کنیم f (t).

این تابع، که یک سری مثلثاتی است، از نظر شکل به سیگنال دندان اره نزدیک می شود. و به نظر می رسد که حدس فوریه نسبت به آن کاملاً صحیح باشد سیگنال های فیزیکیکه با آن سر و کار داریم. همچنین در این مثال شکل موج صاف نیست، بلکه شامل نقاط شکست است. و این واقعیت که عملکرد حتی در نقاط شکست نیز بازتولید می شود امیدوارکننده به نظر می رسد.

در دنیای فیزیکی، در واقع پدیده های زیادی وجود دارد که می توان آنها را به عنوان مجموع ارتعاشات فرکانس های مختلف نشان داد. نمونه بارز این پدیده ها نور است. مجموع امواج الکترومغناطیسی با طول موج 8000 تا 4000 آنگستروم (از قرمز تا بنفش) است. البته می دانید که اگر نور سفیداز یک منشور عبور کنید، سپس طیفی از هفت رنگ خالص ظاهر می شود. این به این دلیل است که ضریب شکست شیشه ای که منشور از آن ساخته شده است با طول موج موج الکترومغناطیسی متفاوت است. این دقیقاً گواه این است که نور سفید مجموع امواج نور با طول های مختلف است. بنابراین با عبور نور از یک منشور و به دست آوردن طیف آن، می توان با بررسی ترکیب رنگ ها، خواص نور را تحلیل کرد. به همین ترتیب، با تجزیه سیگنال دریافتی به اجزای فرکانس مختلف آن، می‌توانیم دریابیم که سیگنال اصلی چگونه به وجود آمده است، چه مسیری را طی کرده است، یا در نهایت، تحت تأثیر چه تأثیر خارجی قرار گرفته است. در یک کلام، می توانیم اطلاعاتی را برای یافتن منشاء سیگنال به دست آوریم.

این روش تحلیل نامیده می شود تحلیل طیفییا تحلیل فوریه

سیستم زیر از توابع متعارف را در نظر بگیرید:

تابع f(t)را می توان در این سیستم توابع در بازه [-π, π] به صورت زیر گسترش داد:

ضرایب α kβ k همانطور که قبلا نشان داده شد را می توان برحسب محصولات اسکالر بیان کرد:

که در نمای کلیتابع f(t)را می توان به صورت زیر نشان داد:

ضرایب α 0 , α kβ k نامیده می شود ضرایب فوریه،و چنین نمایشی از یک تابع نامیده می شود بسط در یک سری فوریه.گاهی اوقات این دیدگاه نامیده می شود معتبربسط در یک سری فوریه، و ضرایب ضرایب فوریه واقعی هستند. اصطلاح "واقعی" به منظور تشخیص بسط ارائه شده از بسط در سری فوریه به شکل پیچیده معرفی شده است.

همانطور که قبلاً ذکر شد، یک تابع دلخواه را می توان بر حسب سیستمی از توابع متعامد بسط داد، حتی اگر توابع این سیستم به صورت یک سری مثلثاتی نمایش داده نشوند. معمولاً بسط در سری فوریه به معنای گسترش در سری مثلثاتی است. اگر ضرایب فوریه بر حسب α بیان شود 0 , α kβ k بدست می آوریم:

از آنجایی که برای k = 0 لباس= 1، سپس ثابت یک 0/2شکل کلی ضریب را بیان می کند یک کدر ک= 0.

در رابطه (5.1)، نوسان بزرگترین دوره، که با مجموع نشان داده شده است cosتی و گناه t نوسان فرکانس اصلی یا نامیده می شود اول هارمونیکنوسانی با پریود برابر با نصف دوره اصلی، دوم نامیده می شود سازدهنینوسانی با پریود معادل 1/3 پریود اصلی نامیده می شود هارمونیک سومو غیره. همانطور که از رابطه (5.1) مشاهده می شود. آ 0 یک مقدار ثابت است که مقدار میانگین تابع را بیان می کند f(t). اگر تابع f(t)نشان می دهد سیگنال الکتریکی، آن یک 0مؤلفه ثابت آن را نشان می دهد. بنابراین، سایر ضرایب فوریه مؤلفه های متغیر آن را بیان می کنند.

در شکل 5.2 سیگنال و گسترش آن را در یک سری فوریه نشان می دهد: به یک جزء ثابت و هارمونیک های فرکانس های مختلف. در حوزه زمان، جایی که متغیر زمان است، سیگنال توسط تابع بیان می شود f (t)،و در حوزه فرکانس، جایی که متغیر فرکانس است، سیگنال با ضرایب فوریه نشان داده می شود. (a k, b k).

هارمونیک اول یک تابع تناوبی با نقطه است 2 π. سایر هارمونیک ها نیز دارای دوره ای هستند که مضرب است 2 π . بر این اساس، هنگام تشکیل سیگنال از اجزای سری فوریه، به طور طبیعی یک تابع تناوبی با یک نقطه به دست می آوریم. 2 π. و اگر چنین باشد، پس بسط در یک سری فوریه، در واقع، راهی برای نمایش توابع تناوبی است.

اجازه دهید سیگنال یک نوع متداول را به یک سری فوریه گسترش دهیم. به عنوان مثال، منحنی دندان اره ای را که قبلا ذکر شد در نظر بگیرید (شکل 5.3). سیگنالی از این شکل در یک بخش - π < t < π i با تابع f ( ت)= تیبنابراین ضرایب فوریه را می توان به صورت زیر بیان کرد:

مثال 1

گسترش سری فوریه سیگنال دندان اره

f(t) = t،

آ) دنباله پالس های مستطیلی .

شکل 2. توالی پالس های مستطیلی.

این سیگنال یک تابع یکنواخت است و برای نمایش آن استفاده از آن راحت است شکل موج سینوسی کسینوس سری فوریه:

. (17)

مدت زمان پالس ها و دوره تکرار آنها در فرمول به دست آمده به صورت یک نسبت گنجانده شده است که به آن می گویند. چرخه وظیفه قطار پالس :.

. (18)

مقدار مدت ثابت سری با در نظر گرفتن مربوط به:

.

نمایش دنباله ای از پالس های مستطیلی به شکل سری فوریه به شکل زیر است:

. (19)

نمودار تابع دارای یک کاراکتر گلبرگ است. محور افقی در اعداد هارمونیک و فرکانس ها درجه بندی می شود.

شکل 3. نمایش دنباله ای از پالس های مستطیلی

در قالب یک سری فوریه.

عرض گلبرگ، که در تعداد هارمونیک ها اندازه گیری می شود، برابر است با چرخه وظیفه (در، داریم، اگر). این حاکی از ویژگی مهم طیف یک دنباله از پالس های مستطیلی است - در آن هیچ هارمونیکی با اعدادی که مضربی از چرخه وظیفه هستند وجود ندارد . فاصله فرکانس بین هارمونیک های مجاور برابر با نرخ تکرار پالس است. عرض لوب ها که بر حسب واحد فرکانس اندازه گیری می شود، برابر است با. با طول مدت سیگنال نسبت معکوس دارد. می توانیم نتیجه بگیریم: هرچه نبض کوتاهتر باشد، طیف گسترده تر است .

ب) سیگنال دندان اره ای .

شکل 4. سیگنال دندان اره ای.

سیگنال دندان اره در یک دوره توضیح داده شده است تابع خطی

, . (20)

این سیگنال یک تابع فرد است، بنابراین سری فوریه سینوسی کسینوس آن فقط شامل اجزای سینوسی است:

سری فوریه سیگنال دندان اره به شکل زیر است:

برای طیف سیگنال های مستطیلی و دندانه ای، معمول است که دامنه هارمونیک ها با افزایش اعداد به نسبت کاهش یابد .

V) توالی پالس مثلثی .

سری فوریه به شکل زیر است:

شکل 5. دنباله ای از پالس های مثلثی.

همانطور که می بینید، بر خلاف دنباله ای از پالس های مستطیلی و دندانه ای، برای سیگنال تناوبی مثلثی، دامنه هارمونیک ها متناسب با توان دوم اعداد هارمونیک کاهش می یابد. این به دلیل این واقعیت است که نرخ فروپاشی طیف به آن بستگی دارد درجه صاف بودن سیگنال

سخنرانی شماره 3. تبدیل فوریه.

خواص تبدیل فوریه

1.3 نتیجه گیری کلی.

قسمت 2

هدف کار: تعمیق دانش نظری به دست آمده در طول مطالعه تبدیل فوریه(تبدیل فوریه)

اطلاعات نظری لازم

دوره تغییر تی و مدت زمان پالس همانطور که در شکل نشان داده شده است. 7، می توانید طیف سیگنال را تغییر دهید. با افزایش دوره، هارمونیک ها بدون تغییر شکل پوشش به یکدیگر نزدیک می شوند.

شکل 7 - تغییر طیف

ما یک پالس مستطیلی منفرد را شبیه سازی می کنیم، دنباله ای تناوبی از پالس ها با نقطه تی و 10T .

اجازه دهید یک تحلیل طیفی سیگنال های دریافتی را انجام دهیم. فرآیندهای غیر دوره ای - چنین هستند سیگنال های اطلاعاتی, تکانه های تک, ارتعاشات آشفته(صداها) - داشتن جامدیا مداومطیف به طور شهودی، می توان با نمایش یک پالس منفرد به عنوان بخشی از یک دنباله تناوبی، که دوره آن به طور نامحدود افزایش می یابد، به این نتیجه رسید. در واقع، با افزایش فاصله بین پالس ها، هارمونیک های موجود در نمودارهای طیفی دنباله های تناوبی پالس ها به یکدیگر نزدیک می شوند: هرچه تعداد ضربان ها کمتر دنبال شود، فاصله بین هارمونیک های مجاور کمتر می شود (برابر با 1 / تی). طیف یک پالس منفرد (مورد محدود کننده افزایش دوره) پیوسته می شود و نه در ردیف، بلکه معرفی می شود. انتگرال های فوریه.

تبدیل فوریه(تبدیل فوریه) یک ابزار تحلیل طیفی است غیر دوره ایسیگنال ها

توابع زیر یک روش ویژه تبدیل فوریه سریع (FFT) را پیاده سازی می کنند تبدیل فوریه سریع (FFT) که امکان کاهش شدید تعداد عملیات حسابی در جریان تبدیل های فوق را فراهم می کند. این روش به ویژه زمانی مؤثر است که تعداد عناصر پردازش شده (شمارش) 2 n باشد که n یک عدد صحیح مثبت باشد. که در متلبتوابع زیر استفاده می شود:

fft(X) - با استفاده از الگوریتم تبدیل فوریه سریع در صورت امکان، تبدیل فوریه گسسته را برای بردار X برمی گرداند. اگر X یک ماتریس باشد، تابع fft تبدیل فوریه را برای هر ستون ماتریس برمی‌گرداند.

fft(X.n)- تبدیل فوریه نقطه n را برمی گرداند. اگر طول بردار X کمتر از n باشد، عناصر از دست رفته با صفر پر می شوند. اگر طول X بزرگتر از n باشد، عناصر اضافی حذف می شوند. هنگامی که X یک ماتریس است، طول ستون به طور مشابه تنظیم می شود.

ft(X,[Ldirn) و fft(X,n,Dim)- تبدیل فوریه را به یکی از ابعاد آرایه بسته به مقدار پارامتر اعمال کنید کم نور.

یک تبدیل فوریه معکوس یک بعدی امکان پذیر است که توسط توابع زیر اجرا می شود:

ift(F)- نتیجه تبدیل فوریه معکوس گسسته بردار را برمی گرداند اف . اگر اف پس یک ماتریس است iftتبدیل فوریه معکوس را برای هر ستون این ماتریس برمی گرداند.

ift(F.n)- نتیجه تبدیل فوریه معکوس گسسته n نقطه ای بردار را برمی گرداند اف ;

ifft(F.،Dim) uy = ifft(X،n،Dim)- نتیجه تبدیل فوریه گسسته معکوس آرایه را برمی گرداند اف بسته به مقدار اسکالر توسط ردیف یا ستون کم نور .

برای هرکس ایکس نتیجه اجرای متوالی تبدیل فوریه مستقیم و معکوس ifft(fft(x))برابر است ایکس تا خطای گرد کردن اگر ایکس - آرایه ای از اعداد واقعی، ifft(fft(x))ممکن است قسمت های خیالی کوچکی داشته باشد.

بیایید طیف سیگنال های شبیه سازی شده را بدست آوریم.

بیایید برنامه را صدا کنیم SPTool (ابزار پردازش سیگنال). سیگنال های شبیه سازی شده را وارد کرده و طیف سیگنال را محاسبه می کنیم. برای این منظور یک سیگنال را در لیست سیگنال ها انتخاب کرده و دکمه را فشار دهید ايجاد كردندر زیر لیست طیف ها قرار دارد. در پنجره نمایشگر طیفدر زمینه مولفه هایشما باید روش تحلیل طیفی را مشخص کنید. روش DFT را مشخص کنید (تبدیل فوریه سریع (FFT) استفاده می شود). پس از تعیین روش بر روی دکمه کلیک کنید درخواست دادن. نمودار چگالی طیفی توان نمایش داده خواهد شد. امکان نمایش طیف ها در مقیاس خطی یا لگاریتمی (منو گزینه ها).

پیوسته (مستمر) طیف است بی نظم(سر و صدا) تردید. در این حالت پاسخ طیفی به عنوان تابعی از فرکانس نیز می باشد بی نظم(تصادفی) روند، که پارامترهای آماری آن توسط ویژگی های یک فرآیند زمانی تصادفی خاص تعیین می شود. بیایید یک سیگنال حاوی اجزای معمولی با فرکانس های 50 هرتز و 120 هرتز و یک جزء افزودنی تصادفی با میانگین صفر تشکیل دهیم.

وظیفه 2

نمونه های بسط فوریه

آ) قطار پالس مستطیلی .

شکل 2. توالی پالس های مستطیلی.

این سیگنال یک تابع یکنواخت است و برای نمایش آن استفاده از آن راحت است شکل موج سینوسی کسینوس سری فوریه:

. (17)

مدت زمان پالس ها و دوره تکرار آنها در فرمول حاصل به صورت نسبت گنجانده شده است، معمولاً ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ نامیده می شود. چرخه وظیفه قطار پالس :.

. (18)

مقدار مدت ثابت سری با در نظر گرفتن مربوط به:

.

نمایش دنباله ای از پالس های مستطیلی به شکل سری فوریه به شکل زیر است:

. (19)

نمودار تابع دارای یک کاراکتر گلبرگ است.
میزبانی شده در ref.rf
محور افقی در اعداد هارمونیک و فرکانس ها درجه بندی می شود.

شکل 3. نمایش دنباله ای از پالس های مستطیلی

در قالب یک سری فوریه.

عرض گلبرگ، که در تعداد هارمونیک ها اندازه گیری می شود، برابر است با چرخه وظیفه (در، داریم، اگر). این حاکی از ویژگی مهم طیف یک دنباله از پالس های مستطیلی است - در آن هیچ هارمونیکی با اعدادی که مضربی از چرخه وظیفه هستند وجود ندارد . فاصله فرکانس بین هارمونیک های همسایه برابر با نرخ تکرار پالس است. عرض گلبرگ ها، که بر حسب واحد فرکانس اندازه گیری می شود، ᴛ.ᴇ است. با طول مدت سیگنال نسبت معکوس دارد. می توانیم نتیجه بگیریم: هرچه نبض کوتاهتر باشد، طیف گسترده تر است .

ب) سیگنال دندان اره ای .

شکل 4. سیگنال دندان اره ای.

سیگنال دندان اره در دوره با یک تابع خطی توصیف می شود

, . (20)

این سیگنال یک تابع فرد است، بنابراین سری فوریه آن به شکل سینوسی کسینوس فقط شامل اجزای سینوسی است:

سری فوریه سیگنال دندان اره به شکل زیر است:

توجه به این نکته ضروری است که برای طیف سیگنال‌های مستطیلی و دندانه‌ای، مشخص است که دامنه هارمونیک‌ها با افزایش تعداد آنها به نسبت کاهش یابد .

V) توالی پالس مثلثی .

سری فوریه به شکل زیر است:

شکل 5. دنباله ای از پالس های مثلثی.

همانطور که می بینید، بر خلاف دنباله ای از پالس های مستطیلی و دندانه ای، برای سیگنال تناوبی مثلثی، دامنه هارمونیک ها متناسب با توان دوم اعداد هارمونیک کاهش می یابد. این به دلیل این واقعیت است که نرخ فروپاشی طیف به آن بستگی دارد درجه صاف بودن سیگنال

سخنرانی شماره 3. تبدیل فوریه.

خواص تبدیل فوریه

نمونه های بسط فوریه - مفهوم و انواع طبقه بندی و ویژگی های دسته "نمونه هایی از بسط در یک سری فوریه." 2017، 2018.

فرم های سری فوریه سیگنال نامیده می شود تناوبی،اگر شکل آن به صورت دوره ای در زمان تکرار شود سیگنال دوره ای u(t)به طور کلی به این صورت نوشته شده است:

u(t)=u(t+mT)، m=0، ±1،±2،…

در اینجا T دوره سیگنال است. سیگنال های دوره ای می توانند ساده و پیچیده باشند.

برای نمایش ریاضی سیگنال های تناوبی با نقطه تیسری (2.2) اغلب استفاده می شود که در آن نوسانات هارمونیک (سینوسی و کسینوسی) فرکانس های متعدد به عنوان توابع پایه انتخاب می شوند.

y 0 (t)=1; y 1 (t)=sinw 1 t; y 2 (t) = cosw 1 t;

y 3 (t)=sin2w 1 t; y 4 (t)=cos2w 1 t; …، (2.3)

جایی که w 1 \u003d 2p / T فرکانس زاویه ای اصلی دنباله است

کارکرد. با توابع پایه هارمونیک، از سری (2.2) سری فوریه را به دست می آوریم (ژان فوریه - ریاضیدان و فیزیکدان فرانسوی قرن 19).

توابع هارمونیک فرم (2.3) در سری فوریه دارای مزایای زیر است: 1) ساده توضیحات ریاضی; 2) عدم تغییر به تبدیل های خطی، یعنی اگر در ورودی باشد مدار خطییک نوسان هارمونیک وجود دارد، سپس در خروجی آن یک نوسان هارمونیک نیز وجود خواهد داشت که تنها در دامنه و فاز اولیه با ورودی متفاوت است. 3) مانند یک سیگنال، توابع هارمونیک تناوبی هستند و مدت زمان نامحدودی دارند. 4) تکنیک تولید توابع هارمونیک بسیار ساده است.

از درس ریاضیات مشخص است که برای گسترش یک سیگنال تناوبی در یک سری از توابع هارمونیک(2.3) شرایط دیریکله باید برآورده شود. اما تمام سیگنال های تناوبی واقعی این شرایط را برآورده می کنند و می توان آنها را به عنوان یک سری فوریه نشان داد که می تواند به یکی از اشکال زیر نوشته شود:

u(t)=A 0/2+ (A’ mn cosnw 1 t+A” mn nw 1 t)، (2.4)

که در آن ضرایب

A 0 =

امن"= (2.5)

u(t)=A 0/2+ (2.6)

mn = (2.7)

یا به شکل پیچیده

u(t)= (2.8)

C n = (2.9)

از (2.4) - (2.9) چنین است که، در حالت کلی، سیگنال تناوبی u(t) شامل یک جزء ثابت A 0/2 و مجموعه ای از نوسانات هارمونیک فرکانس اصلی w 1 = 2 pf 1 و هارمونیک های آن است. با فرکانس های w n =nw 1 , n=2 ,3,4,… هر یک از هارمونیک ها

نوسانات سری فوریه با دامنه و فاز اولیه y n .nn مشخص می شود.

نمودار طیفی و طیف سیگنال تناوبی. اگر هر سیگنالی به عنوان مجموع نوسانات هارمونیک با فرکانس های مختلف ارائه شود، آنگاه می گویند که تجزیه طیفیعلامت.

نمودار طیفیسیگنال را نمایش گرافیکی ضرایب سری فوریه این سیگنال می نامند. تمایز بین دامنه و نمودارهای فاز. روی انجیر 2.6 در یک مقیاس معین، فرکانس های هارمونیک در امتداد محور افقی رسم می شوند و دامنه های A mn و فازهای y n در امتداد محور عمودی رسم می شوند. علاوه بر این، دامنه هارمونیک ها فقط می توانند مقادیر مثبت را بگیرند، فازها - مقادیر مثبت و منفی در بازه -p£y n £p

طیف سیگنال- این مجموعه ای از اجزای هارمونیک با مقادیر خاص فرکانس ها، دامنه ها و فازهای اولیه است که در مجموع یک سیگنال را تشکیل می دهد. در کاربردهای فنی در عمل، نمودارهای طیفی به طور خلاصه نامیده می شوند - طیف دامنه، طیف فاز.اغلب آنها به نمودار طیفی دامنه علاقه مند هستند. می توان از آن برای تخمین درصد هارمونیک ها در طیف استفاده کرد.

مثال 2.3. در یک سری فوریه دنباله ای تناوبی از پالس های ویدئویی مستطیلی را بسط دهید باپارامترهای شناخته شده (U m، T، t z)،حتی "نسبت به نقطه t=0. یک نمودار طیفی از دامنه ها و فازها در U m =2B، T=20ms، S=T/t و =2 و 8 بسازید.

یک سیگنال دوره ای داده شده در بازه زمانی یک دوره می تواند به صورت نوشته شود

u(t) =

برای نمایش این سیگنال از فرم سری فوریه استفاده می کنیم Vفرم (2.4). از آنجایی که سیگنال یکنواخت است، تنها اجزای کسینوس در انبساط باقی خواهند ماند.

برنج. 2.6. نمودارهای طیفی سیگنال تناوبی:

الف - دامنه؛ ب- فاز

انتگرال یک تابع فرد در دوره ای برابر با صفر. با استفاده از فرمول (2.5) ضرایب را پیدا می کنیم

امکان نوشتن سری فوریه:

برای ساختن نمودارهای طیفی برای داده های عددی خاص، n=0، 1، 2، 3، ... را تنظیم کرده و ضرایب هارمونیک را محاسبه می کنیم. نتایج حاصل از محاسبه هشت جزء اول طیف در جدول خلاصه شده است. 2.1. در سری (2.4) یک "mn \u003d 0و مطابق (2.7) A mn =|A’ mn |، فرکانس بنیادی f 1 =1/T= 1/20-10 -3 =50 هرتز، w 1 =2pf 1 =2p*50=314rad/s. طیف دامنه در شکل.

2.7 برای اینها ساخته شده است nکه تحت آن یک دقیقهبیش از 5٪ از حداکثر مقدار.

از مثال 2.3 فوق چنین بر می آید که با افزایش چرخه وظیفه، تعداد اجزای طیفی افزایش و دامنه آنها کاهش می یابد. گفته می شود که چنین سیگنالی دارای طیف غنی است. لازم به ذکر است که برای بسیاری از سیگنال های مورد استفاده عملی، نیازی به محاسبه دامنه ها و فازهای هارمونیک ها با استفاده از فرمول های داده شده قبلی نیست.

جدول 2.1. دامنه اجزای سری فوریه یک دنباله تناوبی از پالس های مستطیلی

برنج. 2.7. نمودارهای طیفی یک قطار پالس دوره ای: آ- با چرخه وظیفه S-2؛ - ب-با چرخه وظیفه S=8

در کتاب های مرجع ریاضی جداول بسط سیگنال ها در سری فوریه وجود دارد. یکی از این جداول در پیوست آورده شده است (جدول A.2).

این سوال اغلب مطرح می شود: چند جزء طیفی (هارمونیک) باید برای نمایش در نظر گرفته شود سیگنال واقعینزدیک فوریه؟ از این گذشته، سریال، به طور دقیق، بی نهایت است. در اینجا نمی توان پاسخی بدون ابهام داد. همه چیز به شکل سیگنال و دقت نمایش آن توسط سری فوریه بستگی دارد. تغییر سیگنال روان تر - هارمونیک های کمتر مورد نیاز است. اگر سیگنال دارای جهش (شکست) باشد، باید جمع شود بیشترهارمونیک برای رسیدن به همان خطا. با این حال، در بسیاری از موارد، به عنوان مثال، در تلگراف، اعتقاد بر این است که سه هارمونیک برای انتقال پالس های مستطیلی با جبهه های شیب دار کافی است.