تجزیه سیگنال ها از نظر توابع هارمونیک. سری فوریه. نمونه های بسط فوریه

2.1. طیف سیگنال های دوره ای

سیگنال دوره ای (جریان یا ولتاژ) به چنین نوع تأثیری گفته می شود که شکل موج پس از یک بازه زمانی معین تکرار شود. تیکه دوره نامیده می شود. ساده ترین شکلسیگنال تناوبی یک سیگنال هارمونیک یا سینوسی است که با دامنه، دوره و فاز اولیه مشخص می شود. همه سیگنال های دیگر خواهد بود ناهماهنگیا غیر سینوسی. می توان نشان داد، و تمرین آن را ثابت می کند، که اگر سیگنال ورودی منبع تغذیه دوره ای باشد، تمام جریان ها و ولتاژهای دیگر در هر شاخه (سیگنال های خروجی) نیز دوره ای خواهند بود. در این صورت شکل موج در شاخه های مختلف با یکدیگر متفاوت خواهد بود.

یک تکنیک کلی برای مطالعه سیگنال های غیر هارمونیک دوره ای (عملکردهای ورودی و واکنش های آنها) در یک مدار الکتریکی وجود دارد که بر اساس تجزیه سیگنال ها به سری فوریه است. این تکنیک شامل این واقعیت است که همیشه می توان تعدادی سیگنال هارمونیک (یعنی سینوسی) با چنین دامنه ها، فرکانس ها و فازهای اولیه را انتخاب کرد که مجموع جبری اردات آنها در هر زمان برابر با اردیت مورد مطالعه باشد. سیگنال غیر سینوسی بنابراین، برای مثال، ولتاژ تودر شکل 2.1. را می توان با مجموع تنش ها جایگزین کرد، زیرا در هر زمان تساوی یکسان رخ می دهد: . هر یک از اصطلاحات یک سینوسی است که فرکانس نوسان آن مربوط به دوره است تینسبت های عدد صحیح

برای مثال مورد بررسی، دوره اولین هارمونیک همزمان با دوره سیگنال غیر هارمونیک را داریم.تی 1 = تی، و دوره هارمونیک دوم دو برابر کوچکتر استتی 2 = تی/2، یعنی مقادیر لحظه ای هارمونیک ها باید به صورت زیر نوشته شوند:

در اینجا، دامنه نوسانات هارمونیک با یکدیگر برابر است ( ) و فازهای اولیه برابر با صفر است.

برنج. 2.1. مثالی از جمع هارمونیک اول و دوم

سیگنال غیر هارمونیک

در مهندسی برق به یک جزء هارمونیک که دوره آن برابر با دوره یک سیگنال غیر هارمونیک است گفته می شود. اولینیا پایه ایهارمونیک های سیگنال تمام اجزای دیگر اجزای هارمونیک بالاتر نامیده می شوند. هارمونیک که فرکانس آن k برابر بیشتر از هارمونیک اول (و دوره، به ترتیب، k برابر کمتر) باشد، نامیده می شود.

k - هارمونیک. همچنین مقدار میانگین تابع را برای دوره ای که فراخوانی می شود، اختصاص دهید خالیسازدهنی به طور کلی سری فوریه به صورت جمع نوشته می شود یک عدد بی نهایتاجزای هارمونیک فرکانس های مختلف:

که در آن k عدد هارمونیک است. - فرکانس زاویه ای هارمونیک k - امین؛

ω 1 \u003d ω \u003d 2 π / تی- فرکانس زاویه ای هارمونیک اول؛ - هارمونیک صفر

برای شکل موج های رایج، یک بسط سری فوریه را می توان در ادبیات تخصصی یافت. جدول 2 بسط برای هشت شکل موج را نشان می دهد. لازم به ذکر است که بسط داده شده در جدول 2 در صورتی انجام می شود که مبدأ سیستم مختصات همانطور که در شکل های سمت چپ نشان داده شده است انتخاب شود. هنگام تغییر مبدأ زمان تیفازهای اولیه هارمونیک ها تغییر می کند، در حالی که دامنه هارمونیک ها ثابت می ماند. بسته به نوع سیگنال مورد مطالعه، V باید به عنوان یک مقدار اندازه گیری شده بر حسب ولت در صورتی که سیگنال ولتاژ باشد، یا مقداری که در آمپر اندازه گیری می شود اگر یک سیگنال جریان باشد، درک شود.

بسط سری فوریه توابع تناوبی

جدول 2

سیگنال های 7 و 8 از یک سینوسی توسط مدارهای گیت تولید می شوند.

مجموعه ای از اجزای هارمونیک که یک سیگنال غیر سینوسی را تشکیل می دهند، طیف این سیگنال غیر هارمونیک نامیده می شود. از این مجموعه هارمونیک ها آنها را متمایز و متمایز می کنند دامنهو فازدامنه. طیف دامنه مجموعه ای از دامنه های همه هارمونیک ها است که معمولاً با نموداری به شکل مجموعه ای از خطوط عمودی نشان داده می شود که طول آن ها (در مقیاس انتخاب شده) متناسب با مقادیر دامنه هارمونیک است. اجزاء، و مکان در محور افقی توسط فرکانس (عدد هارمونیک) این جزء تعیین می شود. به طور مشابه، طیف فاز به عنوان مجموعه ای از فازهای اولیه همه هارمونیک ها در نظر گرفته می شود. آنها همچنین به عنوان مجموعه ای از خطوط عمودی مقیاس نشان داده می شوند.

لازم به ذکر است که اندازه گیری فازهای اولیه در مهندسی برق مرسوم است در محدوده 0-180 تا +180 0. طیف های متشکل از خطوط منفرد نامیده می شوند خط دار یا گسسته. خطوط طیفی در فاصله هستند fجدا، کجا f- فاصله فرکانس برابر با فرکانس هارمونیک اول fبنابراین، طیف‌های گسسته سیگنال‌های تناوبی دارای اجزای طیفی با فرکانس‌های متعدد هستند - f, 2f, 3f, 4f, 5fو غیره.

مثال 2.1.دامنه و طیف فاز یک سیگنال مستطیلی را پیدا کنید، زمانی که مدت زمان سیگنال های مثبت و منفی برابر است و مقدار متوسط ​​تابع در طول دوره صفر است.

برای سیگنال های فرم های ساده و پرکاربرد، توصیه می شود با استفاده از جداول راه حلی پیدا کنید.

برنج. 2.2. طیف دامنه خطی یک سیگنال مستطیلی

از بسط فوریه یک سیگنال مستطیلی (جدول 2 - 1 را ببینید)، نتیجه می شود که سری هارمونیک فقط شامل هارمونیک های فرد است، در حالی که دامنه هارمونیک ها متناسب با تعداد هارمونیک کاهش می یابد. طیف خط دامنه هارمونیک ها در شکل 1 نشان داده شده است. 2.2. هنگام ساخت، فرض می شود که دامنه هارمونیک اول (در اینجا ولتاژ) برابر با یک ولت است: B; سپس دامنه هارمونیک سوم برابر با B، پنجم - B و غیره خواهد بود. فازهای اولیه همه هارمونیک های سیگنال برابر با صفر است، بنابراین، طیف فاز فقط مقادیر صفر اردینات را دارد.

مشکل حل شد.

مثال 2.2.دامنه و طیف فاز را برای ولتاژی که طبق قانون تغییر می کند پیدا کنید: در - تی/4<تی<تی/4; تو(تی) = 0 برای تی/4<تی<3/4تی. چنین سیگنالی از یک سینوسی با حذف (توسط مدار با استفاده از عناصر شیر) قسمت منفی سیگنال هارمونیک تشکیل می شود.

الف) ب)

برنج. 2.3. طیف خط سیگنال یکسوسازی نیمه موج: الف) دامنه. ب) فاز

برای سیگنال یکسوسازی نیم موج یک ولتاژ سینوسی (جدول 2 - 8 را ببینید)، سری فوریه شامل یک جزء ثابت (هارمونیک صفر)، اولین هارمونیک، و سپس مجموعه ای از هارمونیک های زوج است که دامنه آنها به سرعت کاهش می یابد. با افزایش عدد هارمونیک برای مثال، اگر مقدار V = 100 B را قرار دهیم، با ضرب هر جمله در ضریب مشترک 2V/π، متوجه می‌شویم(2.2)

دامنه و طیف فاز این سیگنال در شکل 2.3a,b نشان داده شده است.

مشکل حل شد.

مطابق با نظریه سری فوریه، برابری دقیق یک سیگنال غیر هارمونیک با مجموع هارمونیک ها فقط برای تعداد بی نهایت زیادی هارمونیک صورت می گیرد. محاسبه اجزای هارمونیک در رایانه به شما امکان می دهد هر تعداد هارمونیک را تجزیه و تحلیل کنید، که با هدف محاسبه، دقت و شکل اثرات غیر هارمونیک تعیین می شود. اگر مدت زمان سیگنالتی صرف نظر از شکل آن، دوره بسیار کمتر تی، سپس دامنه هارمونیک ها به آرامی کاهش می یابد و برای توصیف کاملتر سیگنال، باید تعداد زیادی از اصطلاحات در سری را در نظر گرفت. این ویژگی را می توان برای سیگنال های ارائه شده در جداول 2 - 5 و 6 ردیابی کرد، مشروط بر اینکه شرایط وجود داشته باشد τ <<تی. اگر یک سیگنال غیر هارمونیک به شکل سینوسی نزدیک باشد (به عنوان مثال، سیگنال های 2 و 3 در جدول 2)، هارمونیک ها به سرعت کاهش می یابد و برای توصیف دقیق سیگنال، کافی است خود را به سه تا محدود کنیم. پنج هارمونیک سری

هدف کار: آشنایی با توصیف طیفی توابع تناوبی با استفاده از سری فوریه

اطلاعات نظری لازم بسط فوریه

اولین سیگنال مورد بررسی، دنباله ای از پالس های مستطیلی با دامنه خواهد بود آ , مدت زمان و دوره تکرار تی . بیایید شروع زمان شمارش را در وسط نبض قرار دهیم (شکل 1).

شکل 1. - توالی دوره ای پالس های مستطیلی

این سیگنال یک تابع زوج است، بنابراین برای نمایش آن استفاده از شکل سینوس کسینوس سری فوریه راحت تر است - فقط شامل عبارات کسینوس خواهد بود. ، مساوی با

معرفی کنیم چرخه کار
به فرمول به دست آمده برای ضرایب سری فوریه، و سپس فرمول را به شکل کاهش می دهیم
.

نمایش دنباله ای از پالس های مستطیلی به شکل سری فوریه به شکل زیر است:

دامنه ترم های هارمونیک سری طبق قانون به عدد هارمونیک بستگی دارد
(شکل 2 را ببینید).
شخصیت گلبرگ دارد بنابراین، عرض گلبرگ ها، با تعداد هارمونیک ها، برابر است با چرخه کاری دنباله (با
ما داریم
، اگر
). این حاکی از ویژگی مهم طیف دنباله ای از پالس های مستطیلی است - فاقد هارمونیک (دارای دامنه صفر) با اعدادی که مضربی از چرخه وظیفه هستند.

برنج. 2 - ضرایب سری فوریه برای دنباله ای از پالس های مستطیلی.

فاصله فرکانس بین هارمونیک های مجاور برابر با نرخ تکرار پالس است -
. عرض لوب های طیف که بر حسب واحد فرکانس اندازه گیری می شود برابر است با
, یعنی با مدت زمان پالس ها نسبت معکوس دارد، یعنی. هرچه سیگنال کوتاهتر باشد، طیف آن بیشتر است.

یک مورد خاص مهم سیگنال قبلی است پیچ و خم(شکل 3) - دنباله ای از پالس های مستطیلی با چرخه کاری برابر با
زمانی که طول پالس ها و فواصل بین آنها برابر شود.

برنج. 3 - پیچ و خم

,

جایی که متریک عدد صحیح دلخواه است.

بنابراین، فقط هارمونیک های فرد در طیف پرپیچ و خم وجود دارد. با در نظر گرفتن این موضوع، می توان نمایش پیچ و خم را در قالب یک سری فوریه به صورت زیر نوشت:

اجزای هارمونیک تشکیل دهنده پیچ و خم دارای دامنه هایی هستند که با اعداد هارمونیک و علائم متناوب متناسب هستند. در نواحی مجاور ناپیوستگی، مجموع سری فوریه ضربان‌های قابل‌توجهی می‌دهد. این پدیده که در سری فوریه برای هر سیگنال با ناپیوستگی از نوع اول (پرش) ذاتی است، نامیده می شود. اثر گیبسمی توان نشان داد که دامنه اولین (بزرگترین) افزایش تقریباً 9٪ از مقدار پرش است.

شکل 4. اثر گیبس.

سیگنال دندان اره ای (شکل 5). درون دوره با یک تابع خطی توصیف می شود:

,
.

این سیگنال یک تابع فرد است، بنابراین سری فوریه آن به شکل سینوس کسینوس فقط شامل عبارات سینوسی خواهد بود:

سری فوریه برای سیگنال دندان اره به شکل زیر است:

برنج. 5 - سیگنال دندان اره ای.

دنباله تناوبی پالس های مثلثی شکلی متقارن دارد (شکل 6):

,
.

برنج. 6 - دنباله ای از پالس های مثلثی.

سری فوریه به شکل زیر است:

برنامه ای را در نظر بگیرید که بسط فوریه یک دنباله مستطیلی از پالس ها را اجرا می کند.

تمرین 1.

بسط فوریه را می توان برای سیگنال های دوره ای اعمال کرد. علاوه بر این، آنها به عنوان مجموع توابع هارمونیک، یا نمایی های پیچیده با فرکانس هایی که یک پیشرفت حسابی را تشکیل می دهند، نشان داده می شوند. برای اینکه چنین تجزیه ای وجود داشته باشد، یک قطعه سیگنال با مدت زمان یک دوره باید شرایط دیریکله را برآورده کند:

1. نباید ناپیوستگی های نوع دوم وجود داشته باشد (با شاخه های تابع تا بی نهایت).

2. تعداد شکست های نوع اول (پرش) باید محدود باشد.

تعداد افراط باید محدود باشد.

سری فوریه را می توان نه تنها برای نشان دادن سیگنال های دوره ای، بلکه سیگنال های با مدت زمان محدود نیز استفاده کرد. در این حالت بازه زمانی مشخص می شود که سری فوریه برای آن ساخته می شود و در زمان های دیگر سیگنال برابر با صفر در نظر گرفته می شود. برای محاسبه ضرایب سری، این رویکرد در واقع به معنای ادامه دوره ای سیگنال فراتر از مرزهای بازه در نظر گرفته شده است.

روش های فوریه برای تجزیه و تحلیل مدارها یا سیستم های خطی استفاده می شود: برای پیش بینی واکنش (پاسخ) سیستم. برای تعیین تابع انتقال؛ برای ارزیابی نتایج آزمون

یک سیگنال تناوبی دلخواه بر حسب تعداد بی نهایت هارمونیک با افزایش فرکانس بیان می شود:

دوره عملکرد
باید برابر باشد 2πیا چندگانه؛ علاوه بر عملکرد
سری فوریه را می توان به عنوان "دستور تهیه" هر سیگنال تناوبی از اجزای سینوسی در نظر گرفت. برای اینکه این سری اهمیت عملی داشته باشد، باید همگرا شود، یعنی. مبالغ جزئی سریال باید دارای محدودیت باشد.

فرآیند ایجاد یک سیگنال تناوبی دلخواه از ضرایبی که اختلاط هارمونیک ها را توصیف می کند سنتز نامیده می شود. فرآیند معکوس محاسبه ضرایب را آنالیز می گویند. محاسبه ضرایب با این واقعیت تسهیل می شود که میانگین محصولات متقاطع یک موج سینوسی و یک موج کسینوس (و بالعکس) 0 است.

اجازه دهید مبنایی را در فضای هیلبرت معرفی کنیم:
برای سادگی، متعارف بودن آن را فرض می کنیم.

سپس هر تابع
از فضای هیلبرت می توان از نظر پیش بینی ها نشان داد بردار ایکسبر اساس محور پایه توسط سری فوریه تعمیم یافته:

سری های فوریه به ویژه در توصیف سیگنال های تناوبی دلخواه با انرژی محدود در هر دوره مفید هستند. علاوه بر این، می توان از آنها برای توصیف سیگنال های غیر تناوبی که دارای انرژی محدود در یک بازه محدود هستند استفاده کرد. در عمل، انتگرال فوریه برای توصیف چنین سیگنال هایی استفاده می شود.

نتیجه گیری

1. سری فوریه به طور گسترده برای توصیف سیگنال های دوره ای استفاده می شود. انتگرال فوریه برای توصیف سیگنال های غیر تناوبی استفاده می شود.

نتیجه

1. پیام ها، سیگنال ها و تداخل به عنوان بردار (نقاط) در فضای خطی را می توان از طریق مجموعه ای از مختصات در یک مبنای معین توصیف کرد.

2. برای TES، بیشترین علاقه به نمایش سیگنال ها فضای n بعدی اقلیدس است.
، فضای بی نهایت هیلبرت
و فضای مجزای همینگ 2 n. در این فضاها مفهوم حاصلضرب اسکالر دو بردار معرفی می شود (ایکس, y) .

3. هر تابع پیوسته زمان به عنوان یک عنصر را می توان با یک سری فوریه تعمیم یافته در یک مبنای متعارف معین نشان داد.

ادبیات

اصلی:

تئوری ارتباطات الکتریکی: Proc. برای دانشگاه ها / A.G. زیوکو، دی. دی. کلوفسکی، وی. کورژیک، M. V. Nazarov؛ اد. D. D. Klovsky. - م.: رادیو و ارتباطات، 1377. - 433 ص.

اضافی:

پروکیس جی. ارتباطات دیجیتال: پر. از انگلیسی. / اد. DD. کلوفسکی. - م .: رادیو و ارتباطات، 2000. - 800 ص.

برنارد اسکلار. ارتباطات دیجیتال. مبانی نظری و کاربرد عملی: پر. از انگلیسی. – م.: انتشارات ویلیامز، 2003. – 1104 ص.

سوخوروکوف A.S. تئوری ارتباطات الکتریکی: یادداشت های سخنرانی. قسمت 1. - M.: MTUSI, CENTER FOR DO, 2002. - 65 p.

سوخوروکوف A.S. تئوری ارتباطات دیجیتال: کتاب درسی. قسمت 2. - م.: MTUSI، 2008. - 53 ص.

5. مدارهای الکتریکی خطی در حالت اثرات غیر هارمونیک دوره ای

5.1. سیگنال های دوره ای غیر هارمونیک

هنگام انتقال اطلاعات از طریق کانال های ارتباطی در فرآیند تبدیل سیگنال در دستگاه های مختلف، به عنوان یک قاعده، از نوسانات غیر هارمونیک استفاده می شود، زیرا نوسانات هارمونیک صرفا نمی توانند حامل اطلاعات باشند. برای انتقال پیام، یک نوسان هارمونیک در مدولاسیون دامنه - دامنه (AM)، مدولاسیون فرکانس - فرکانس (FM) یا مدولاسیون فاز - فاز (PM) مدوله می شود، یا از سیگنال های پالسی مدوله شده در مدولاسیون دامنه - مدولاسیون دامنه پالس (AIM)، عرض مدوله می شود. - مدولاسیون عرض پالس (PWM)، موقعیت زمانی - مدولاسیون زمان پالس (PWM). سیگنال‌های پیچیده‌تر دیگری نیز وجود دارند که طبق قوانین خاص شکل می‌گیرند. یکی از ویژگی های متمایز این سیگنال ها یک شخصیت پیچیده غیر هارمونیک است. جریان ها و ولتاژهای تولید شده در دستگاه های مختلف پالسی و دیجیتالی شکل غیر سینوسی دارند (19. سیگنال ها و مدارهای گسسته)، سیگنال های هارمونیکی که از دستگاه های غیر خطی مختلف عبور می کنند، شخصیت غیر سینوسی پیدا می کنند (11. مدارهای الکتریکی غیرخطی تحت هارمونیک). همه اینها منجر به نیاز به توسعه روشهای ویژه برای تجزیه و تحلیل و سنتز مدارهای الکتریکی تحت تأثیر جریانها و ولتاژهای متناوب غیر سینوسی و غیر تناوبی می شود. این روش ها بر اساس نمایش طیفی اثرات غیر سینوسی مبتنی بر بسط به یک سری یا انتگرال فوریه است.

از تجزیه و تحلیل ریاضی مشخص شده است که تابع غیر هارمونیک تناوبی است f(t)، که شرایط دیریکله را برآورده می کند، می تواند در یک سری فوریه گسترش یابد:
(5.1)
جایی که یک ک,bk -ضرایب انبساط تعیین شده توسط معادلات
(5.2)

ارزش نشان دهنده مقدار متوسط ​​تابع در طول دوره است f(t)و جزء ثابت نامیده می شود.

در مطالعات نظری معمولاً به جای فرمول (5.1) از فرمول دیگری بر اساس تغییر متغیر مستقل استفاده می شود:
(5.3)
جایی که
(5.4)

معادله (5.3) شکل مثلثاتی سری فوریه است. هنگام تجزیه و تحلیل مدارها، اغلب استفاده از شکل پیچیده سری فوریه راحت تر است، که می توان آن را از (5.3) با استفاده از فرمول های اویلر به دست آورد:
(5.5)

با جایگزینی (5.5) به معادله (5.3)، پس از تبدیل های ساده، شکل پیچیده سری فوریه را به دست می آوریم:
(5.6)
جایی که آ k-دامنه پیچیده کهارمونیک ام:
(5.7)
جایی که - دامنه؛ - فاز اولیه کهارمونیک ام

جایگزینی مقادیر یک کو b kاز (5.4) تا (5.7)، دریافت می کنیم:
(5.8)

مجموعه دامنه 0.5 A k = 0,5آ –کدر بسط (5.6)، در برابر فرکانس های مثبت و منفی متناظر، یک متقارن با توجه به محور مختصات (به دلیل یکنواختی ضرایب) تشکیل می دهد. یک ک) طیف دامنه خط.

مجموعه دستورات ک = – –کاز (5.7) که در بسط (5.6) گنجانده شده و در برابر فرکانس های مثبت و منفی متناظر رسم شده است، با توجه به مبدأ محور مختصات (به دلیل عجیب بودن ضرایب) یک متقارن تشکیل می دهد. b k)طیف فاز خطی.

بسط (5.3) را می توان به شکل دیگری نیز نشان داد. با توجه به اینکه یک ک = A k cos کو b k= A kگناه ک، سپس پس از جایگزینی در (5.3) دریافت می کنیم:
(5.9)

اگر مولفه ثابت a 0/2 را به عنوان هارمونیک صفر با فاز اولیه 0 = 0 در نظر بگیریم، آنگاه بسط (5.9) شکل می گیرد.
(5.10)

در حالت خاصی که تابع f(الف) متقارن در مورد محور y (شکل 5.1، آ، فقط هارمونیک های زوج (کسینوس) در بسط (5.3) ظاهر می شوند:

(5.11)

و با تقارن f(الف) نسبت به مبدا (شکل 5.1، ب) هارمونیک های فرد
(5.12)

هنگام جابجایی مبدا تابع f(الف) طیف دامنه آن تغییر نمی کند، اما فقط طیف فاز تغییر می کند. در واقع، ما تابع را تغییر می دهیم f(الف) در امتداد محور زمان به سمت چپ توسط تی 0 و نشان می دهد.

سپس بسط (5.9) شکل می گیرد
(5.13)

مثال.سری فوریه از نوسانات مستطیلی را بسط دهید (شکل 5.1، ب). با توجه به اینکه f(الف) با توجه به مبدأ متقارن است، فقط هارمونیک های سینوسی (5.12) در انبساط (5.3) باقی می مانند، که در آن b kمطابق (5.4) تعیین می شود:

جایگزین کردن b kدر (5.12)، یک بسط در یک سری فوریه بدست می آوریم:
(5.14)

بعد حرکت می کنیم f(الف) p/2 در سمت چپ (شکل 5.1 را ببینید، آ). سپس مطابق (5.13) بدست می آوریم

(5.15)

به این معنا که ما یک انبساط در اجزای کسینوس به دست آوردیم، همانطور که برای سیگنال متقارن حول محور ارتین باید باشد.

در برخی موارد، زمانی که تابع تناوبی f(الف) به صورت گرافیکی داده می شود و شکل پیچیده ای دارد، بسط آن به یک سری فوریه می تواند به روش نموداری-تحلیلی انجام شود. ماهیت آن در این واقعیت نهفته است که دوره سیگنال تی(شکل 5.2) به تقسیم می شوند مترفواصل مساوی و نقاط ناپیوستگی f(الف) نباید در وسط نواحی شکاف خورده بیفتد. مقدار سیگنال را تعیین کنید f(آ n) در وسط هر بخش از پارتیشن.

ضرایب انبساط را پیدا کنید یک کو b kبا جایگزینی انتگرال در (5.2) با یک جمع محدود
(5.16)

برنامه ریزی معادله (5.16) و هنگام محاسبه آسان است یک کو b kممکن است توسط کامپیوتر استفاده شود.

5.2. RMS، میانگین و توان یک سیگنال غیر هارمونیک دوره ای

برای قطعیت، اجازه دهید این را فرض کنیم f(تی) به معنای جاری است من(تی). سپس مقدار مؤثر جریان غیر هارمونیک دوره ای مطابق (3.5) تعیین می شود، جایی که من(تی) با رابطه (5.10) تعیین می شود:
(5.17)

با جایگزینی این مقدار فعلی به (3.5)، پس از ادغام به دست می آوریم
(5.18)

یعنی مقدار موثر جریان غیر هارمونیک دوره ای منبه طور کامل توسط مقادیر مؤثر هارمونیک های آن تعیین می شود من کو به مراحل اولیه آنها بستگی ندارد ک.

به طور مشابه، مقدار مؤثر ولتاژ غیر سینوسی تناوبی را پیدا می کنیم:
(5.19)

مقدار متوسط ​​جریان با توجه به عبارت کلی (3.9) تعیین می شود. و معمولاً مقدار متوسط ​​را می گیرند من(تی) به قدر مطلق
(5.20)

به طور مشابه تعریف شده است U cf(2).

از نقطه نظر تئوری مدار، میانگین توان فعال یک سیگنال غیر هارمونیک و توزیع آن بین هارمونیک های منفرد بسیار مورد توجه است.

میانگین توان فعال یک سیگنال دوره ای غیر سینوسی
(5.21)
جایی که
(5.22)

ک- تغییر فاز بین جریان و ولتاژ کهارمونیک ام

جایگزینی مقادیر من(تی) و تو(تی) از (5.22) به معادله (5.21)، پس از ادغام به دست می آوریم:
(5.23)
m، یعنی میانگین توان فعال یک سیگنال غیر هارمونیک دوره ای در طول دوره برابر با مجموع توان هارمونیک های فردی است. فرمول (5.23) یکی از اشکال معروف است برابری های پارسوال.

به طور مشابه، توان راکتیو را پیدا می کنیم
(5.24)
و قدرت کامل
(5.25)

باید تاکید کرد که برخلاف سیگنال های هارمونیک، برای سیگنال های غیر هارمونیک
(5.26)

ارزش پ ic = نامیده میشود قدرت اعوجاجو درجه تفاوت در اشکال فعلی را مشخص می کند من(تی) و استرس تو(تی).

علاوه بر قدرت اعوجاج، سیگنال های غیر هارمونیک دوره ای با تعدادی از مشخص می شوند ضرایب:توان، k m = P/S; K f \u003d U / U cf (2) را تشکیل می دهد. دامنه K a = U m / U; اعوجاج k و = U 1 /U; هارمونیک k r = و غیره.

برای سیگنال سینوسی ک f = /21.11; ک a = 1.41; ک u = 1; ک r = 0.

5.3. طیف سیگنال های غیر هارمونیک دوره ای

دنباله پالس های مستطیلی را که در شکل نشان داده شده است در نظر بگیرید. 5.3، آ. سیگنال های این شکل به طور گسترده در مهندسی رادیو و مخابرات استفاده می شود: تلگراف، سیستم های انتقال دیجیتال، سیستم های ارتباطی چند کاناله با کانال های تقسیم زمانی، دستگاه های مختلف پالس و دیجیتال و غیره (به فصل 19 مراجعه کنید). توالی پالس با پارامترهای اصلی زیر مشخص می شود: دامنه پالس آو و می تواند هم معنای ولتاژ و هم جریان را داشته باشد."> ، مدت آن تیو و دوره تی. نسبت دوره تیبه مدت تیو تماس گرفت چرخه کارو با نشان داده می شود q = T/t و. به طور معمول، مقادیر چرخه وظیفه پالس از چند واحد (در فناوری اندازه‌گیری، دستگاه‌های انتقال گسسته و پردازش اطلاعات) تا چند صد یا هزاران (در رادار) متغیر است.

برای یافتن طیف دنباله ای از پالس های مستطیلی، از سری فوریه به صورت مختلط (5.6) استفاده می کنیم. دامنه پیچیده کهارمونیک ام مطابق با (5.8) پس از بازگشت به متغیر اصلی برابر است تی.

(5.27)

جایگزینی مقدار آکدر معادله (5.6)، یک بسط در یک سری فوریه بدست می آوریم:
(5.28)

روی انجیر 5.4 طیف دامنه های پیچیده را نشان می دهد q= 2 و q= 4. همانطور که از شکل مشاهده می شود، طیف یک دنباله از پالس های مستطیلی یک طیف گسسته با یک پوشش (خط چین در شکل 5.4) است که با تابع توضیح داده شده است.
(5.29)
تابع شمارش نامیده می شود (به فصل 19 مراجعه کنید). تعداد خطوط طیفی بین مبدا در امتداد محور فرکانس و صفر اول پوشش برابر است. q- 1. جزء DC سیگنال (مقدار متوسط) و ارزش موثر آ=، یعنی هرچه چرخه کار بیشتر باشد، سطح مولفه ثابت و مقدار مؤثر سیگنال کمتر می شود. با افزایش چرخه وظیفه qتعداد اجزای گسسته افزایش می یابد - طیف متراکم تر می شود (شکل 5.4 را ببینید، ب، و دامنه هارمونیک کندتر کاهش می یابد. لازم به تاکید است که مطابق با (5.27)، طیف دنباله در نظر گرفته شده پالس های مستطیلی واقعی است.

از طیف دامنه های پیچیده (5.27)، می توان دامنه را مشخص کرد آک = |آک| و طیف فاز ک=arg آکدر شکل نشان داده شده است. 5.5 برای کیس q= 4. از شکل ها می توان دریافت که طیف دامنه زوج است و طیف فاز تابعی از فرکانس است. علاوه بر این، فازهای هارمونیک های منفرد یا مقدار صفر بین گره ها، جایی که سینوس مثبت است، یا ±، جایی که سینوس منفی است، می گیرند (شکل 5.5، ب)

بر اساس فرمول (5.28)، شکل مثلثاتی بسط سری فوریه را در هارمونیک های زوج به دست می آوریم (مقایسه با (5.15)):
(5.30)

هنگام جابجایی توالی پالس در امتداد محور زمان (شکل 5.2، ب) مطابق با (5.13)، طیف دامنه آن ثابت می ماند، اما طیف فاز تغییر می کند:
(5.31)

در موردی که دنباله تناوبی شکل دوقطبی دارد (شکل 5.1 را ببینید)، هیچ جزء ثابتی در طیف وجود نخواهد داشت (مقایسه کنید (5.30) و (5.31) با (5.14) و (5.15)).

به طور مشابه، می توان ترکیب طیفی سیگنال های غیر هارمونیک دوره ای شکل دیگری را بررسی کرد. جدول 5.1 گسترش فوریه برخی از رایج ترین سیگنال ها را نشان می دهد.

جدول 5.1

	انواع سیگنال	بسط فوریه
1
2
3
4
5
6

5.4. محاسبه مدارهای با اثرات غیر هارمونیک دوره ای

محاسبه مدارهای الکتریکی خطی تحت تأثیر سیگنال های غیر هارمونیک دوره ای بر اساس اصل برهم نهی است. ماهیت آن، همانطور که در مورد اثرات غیر هارمونیک اعمال می شود، گسترش یک سیگنال تناوبی غیر هارمونیک به یکی از اشکال سری فوریه (نگاه کنید به 5.1. سیگنال های تناوبی غیر هارمونیک. گسترش سری فوریه) و تعیین پاسخ مدار است. از هر هارمونیک جداگانه واکنش حاصل با برهم نهی (برهم نهی) واکنش های جزئی حاصل می شود. بنابراین، محاسبه مدارها تحت تأثیرات غیر هارمونیک دوره ای شامل مسئله تجزیه و تحلیل ترکیب طیفی سیگنال (بسط آن در سری فوریه)، محاسبه مدار از هر جزء هارمونیک، و مشکل سنتز، در نتیجه که سیگنال خروجی حاصل به عنوان تابعی از زمان (فرکانس) یا موثر آن (مقدار دامنه) تعیین می شود.

هنگام حل یک مسئله تجزیه و تحلیل، آنها معمولاً از شکل مثلثاتی (5.3) یا پیچیده (5.6) سری فوریه با تعداد محدودی از اصطلاحات بسط استفاده می کنند که منجر به برخی خطاها در تقریب سیگنال واقعی می شود. ضرایب تجزیه یک کو b kدر (5.3) یا آکو کدر (5.6) با استفاده از معادلات (5.4)، (5.7)، و (5.8) تعیین می شوند. در این حالت سیگنال ورودی f(الف) باید به صورت تحلیلی مشخص شود. اگر سیگنال به صورت گرافیکی مشخص شده باشد، به عنوان مثال، به شکل یک اسیلوگرام، سپس برای پیدا کردن ضرایب انبساط یک کو b kمی توان از روش گرافیکی-تحلیلی استفاده کرد (نگاه کنید به (5.16)).

محاسبه مدار از هارمونیک های فردی معمولاً با استفاده از روش نمادین انجام می شود. در انجام این کار، باید در نظر داشت که کراکتانس القایی هارمونیک X L(ک) = kL، و ظرفیت X C(ک) = 1/(kС)، یعنی در کراکتانس القایی هارمونیک در کبار بیشتر و خازنی کبار کوچکتر از هارمونیک اول این، به ویژه، این واقعیت را توضیح می دهد که هارمونیک های بالا در ظرفیت خازن، و در اندوکتانس ضعیف تر از ولتاژ اعمال شده به آنها هستند. مقاومت فعال آردر فرکانس های پایین و متوسط ​​را می توان مستقل از فرکانس در نظر گرفت.

پس از تعیین جریان ها و ولتاژهای مورد نظر از هارمونیک های منفرد، پاسخ مدار حاصل به یک اثر تناوبی غیر هارمونیک با برهم نهی پیدا می شود. در این حالت یا مقدار لحظه ای سیگنال حاصل بر اساس محاسبه دامنه ها و فازهای هارمونیک های منفرد تعیین می شود یا دامنه یا مقادیر مؤثر آن بر اساس معادلات (5.18) ، (5.19). هنگام تعیین پاسخ حاصل، باید به خاطر داشت که مطابق با نمایش نوسانات غیر هارمونیک دوره ای در صفحه مختلط، بردارهای هارمونیک های مختلف با فرکانس های زاویه ای مختلف می چرخند.

مثال.به مدار نشان داده شده در شکل. ولتاژ اعمال شده 5.6 تو(تی) به شکل پالس های مستطیلی با دوره تکرار تی= 2تیو و دامنه آو \u003d 1V (شکل 5.3 را ببینید، ب). مقادیر لحظه ای و موثر ولتاژ در ظرفیت خازن را تعیین کنید.

انبساط این ولتاژ در سری فوریه با فرمول (5.31) تعیین می شود. ما خود را به سه عبارت اول انبساط محدود می کنیم (5.31): هارمونیک k-امین حالتی از یک مدار الکتریکی است که از عناصر راکتیو با ویژگی های مختلف تشکیل شده است که در آن تغییر فاز بین جریان ورودی و ولتاژ اعمال شده انجام می شود. ک-x هارمونیک صفر است. پدیده رزونانس را می توان برای جداسازی هارمونیک های فردی از یک سیگنال غیر سینوسی تناوبی استفاده کرد. باید تاکید کرد که تشدید جریان در یک فرکانس و رزونانس ولتاژ در فرکانس دیگر به طور همزمان در یک مدار قابل دستیابی هستند.

مثال.برای مدار نشان داده شده در شکل. 5.7، برای 1 معین، L 1 ارزش را پیدا کنید سی 1 و سی 2، که در آن تشدید ولتاژ در هارمونیک 1 و رزونانس جریان در هارمونیک 5 به طور همزمان رخ می دهد.

از شرایط رزونانس ولتاژ، متوجه می‌شویم که راکتانس ورودی مدار در هارمونیک اول باید صفر باشد:
(5.32)

و در پنجم - بی نهایت (رسانایی راکتیو ورودی در هارمونیک پنجم باید برابر با صفر باشد):
(5.33)

از شرایط (5.32) و (5.33) مقدار مورد نظر ظرفیت ها را می یابیم:

تجزیه و تحلیل یک مدار در حوزه زمان با روش متغیرهای حالت تحت تأثیر ثابت

4.1 بسط فوریه یک دنباله دوره ای معین از پالس ها

نمودار مدار الکتریکی با در نظر گرفتن جدول 1 در شکل نشان داده شده است. 7.

هر تابع تناوبی f(t) که شرایط دیریکله را برآورده کند، می تواند به یک سری فوریه بسط داده شود. بیایید دوره تابع را با T و فرکانس بنیادی را با _ نشان دهیم. سری فوریه را می توان به دو صورت نوشت.

فرم ورود اول:

شکل دوم نگارش:

در هر دو شکل، A 0 جزء ثابت سری است. A k دامنه هارمونیک k-امین سری است. k - فاز اولیه هارمونیک k-ام.

از فرمول اویلر نتیجه می شود که. از این رو،

با در نظر گرفتن این موضوع، می توانیم سری فوریه را به صورت پیچیده بنویسیم.

اجازه دهید یک عبارت برای دامنه پیچیده بنویسیم.

با در نظر گرفتن این موضوع، یک عبارت برای تابع تناوبی زمان به دست می آوریم:

با مقایسه عبارت به دست آمده با فرمول (12)، به دست می آوریم:

در این رابطه، در مورد ما، می توان ضرایب شکل الکتریکی ثبت سری فوریه را از مقادیر دامنه و طیف فاز به دست آمده در قسمت قبل به دست آورد. ما تعداد شرایط تقریب را با در نظر گرفتن عرض طیف سیگنال ورودی انتخاب می کنیم.

دامنه گسسته و طیف فاز در شکل های 25 و 26 نشان داده شده است. محاسبات آنها در جدول 5 خلاصه شده است.

"right">جدول 5.

دامنه ها و فازها در هارمونیک های مربوطه

برنج. 25. طیف دامنه گسسته سیگنال ورودی

انشعاب آندرونوف-هوپف

سیستم زیر به ما داده می شود: x1=m*x1+ x2+m*x12- x12- x1*x22 x2=- x1+ x22 اولین تغییر مقدار انشعاب > > در طول حل، 4 نقطه مفرد به دست آوردیم، هر کدام را در نظر بگیرید. آنها را تعیین کنید و نوع آنها را مشخص کنید. اولین نقطه مفرد > > > > > در نقطه (0...

ریاضی گسسته

فرض کنید F یک تابع باینری از n متغیر باشد. فرض کنید که F یکسان صفر نیست. بگذارید T1، T2،…، Tk همه نقاط تعریف آن باشند که در آن F=1 باشد. می توان ثابت کرد که فرمول زیر معتبر است: , جایی که, j=1,2,…, k...

خواص افتراقی توابع هذلولی

اجازه دهید بسط توابع هذلولی اصلی را در یک سری تیلور در مجاورت نقطه پیدا کنیم، یعنی. به مجموعه ای از گونه ها به نام سری Maclaurin. توابع نمایی و هذلولی اجازه دهید، سپس برای هر ...

روش های طراحی ریاضی

لازم است شبیه سازی نویز با قانون توزیع احتمال ریلی و پراکندگی D=12 انجام شود، جایی که y=. برای به دست آوردن اجرای نویز با قانون توزیع داده شده، از روش تابع معکوس استفاده می شود.

فضاهای عادی

نظریه درونیابی در نظریه سری فوریه کاربردهای فراوانی دارد. تعریف. اجازه دهید یک تابع تناوبی به طوری که. یک هنجار در فضا یک عدد است و ضرایب فوریه یک تابع اعداد ...

مبانی ریاضیات گسسته

قضیه 1. هر تابع منطقی را می توان در SDNF نشان داد:، (1) که در آن m، و تفکیک بر روی تمام مجموعه های 2 متری از مقادیر متغیرهای x1، ...хm گرفته می شود. تابع f در n متغیر اول بسط می یابد...

تبدیل فوریه و برخی از کاربردهای آن

(1) فرمول انتگرال فوریه. ابتدا مفهوم ارزش اصلی انتگرال را معرفی می کنیم. اجازه دهید تابع در هر بخش از خط واقعی قابل ادغام باشد. تعریف 1.1. اگر حد محدودی وجود دارد، (1...

بیایید سیستم را در نظر بگیریم. ما یک سیستم با یک قسمت زوج معین می سازیم. قسمت زوج را به ما اطلاع دهید. بیایید از فرمول استفاده کرده و آن را تبدیل کنیم، بنابراین، می‌توانیم از اینجا بنویسیم، با دانستن اینکه تابع بازتابی سیستم کجاست...

معادلات مثلثاتی

معادله را به شکل f(x)=0 می آوریم و سمت چپ معادله را به صورت حاصل ضرب f1(x)*f2(x)*...* fm(x) نشان می دهیم. سپس این معادله به مجموعه ای از معادلات کاهش می یابد: f1(x)=0، f2(x)=0،...، fm(x)=0. باید به خاطر داشت ...

معادلات مثلثاتی و نامساوی

روش فاکتورگیری به شرح زیر است: اگر هر جواب یک معادله راه حلی برای مجموعه ای از معادلات باشد، گزاره برعکس، به طور کلی، نادرست است: هر جواب یک مجموعه، راه حل یک معادله نیست.

توابع بیضوی ژاکوبی

از آنجایی که توابع Jacobi snu، cnu، dnu شرط قضیه دیریکله را برای مقادیر واقعی آرگومان ها برآورده می کنند، می توان سری فوریه مربوطه را برای آنها ساخت. تابع f(x) شرایط دیریکله را در بازه (?l,l) برآورده می کند...