روش سیمپلکس یک مثال راه حل ساده است. روش سیمپلکس، نمونه هایی از حل مسئله

نمونه ای از حل مسئله به روش سیمپلکس و همچنین نمونه ای از حل در نظر گرفته شده است مشکل دوگانه.

وظیفه

برای اجرای سه گروه کالا، یک بنگاه تجاری دارای سه نوع منابع محدود مادی و پولی به مقدار b 1 = 240، b 2 = 200، b 3 = 160 واحد می باشد. در همان زمان، برای فروش 1 گروه کالا به قیمت 1000 روبل. گردش مالی، یک منبع از نوع اول به مقدار 11 = 2 واحد، یک منبع از نوع دوم به مقدار 21 = 4 واحد، یک منبع از نوع سوم به مقدار 31 = 4 مصرف می شود. واحدها برای فروش 2 و 3 گروه کالا به قیمت 1 هزار روبل. گردش مالی به ترتیب مصرف می شود، منبع نوع اول به مقدار 12 = 3، 13 = 6 واحد، منبع نوع دوم به مقدار 22 = 2، 23 = 4 واحد، منبع از نوع سوم به مقدار 32 = 6، 33 = 8 واحد. سود حاصل از فروش سه گروه کالا به مبلغ 1000 روبل. گردش مالی به ترتیب c 1 \u003d 4 ، c 2 \u003d 5 ، c 3 \u003d 4 (هزار روبل) است. حجم برنامه ریزی شده و ساختار گردش تجاری را تعیین کنید تا سود شرکت تجاری به حداکثر برسد.

به مشکل مستقیم برنامه ریزی گردش کالا، روش سیمپلکس قابل حل، ساختن مشکل دوگانه برنامه ریزی خطی.
نصب جفت های مزدوج متغیرهامشکلات مستقیم و دوگانه
با توجه به جفت های مزدوج متغیرها، از حل مسئله مستقیم به دست می آید راه حل مشکل دوگانه، که در آن برآورد منابعصرف فروش کالا می شود.

حل مسئله سیمپلکس با روش

اجازه دهید x 1، x 2، x 3 - تعداد کالاهای فروخته شده، در هزار روبل، به ترتیب 1، 2، 3 گروه. سپس مدل ریاضیوظیفه به نظر می رسد:

F = 4 x 1 + 5 x 2 + 4 x 3 -> حداکثر

0)))(~)" title="delim(lbrace)(ماتریس(4)(1)((2x_1 + 3x_2 + 6x_3= 0)))(~)">!}

سیمپلکس را با روش حل می کنیم.

ما متغیرهای اضافی x 4 ≥ 0، x 5 ≥ 0، x 6 ≥ 0 را برای تبدیل نابرابری ها به تساوی معرفی می کنیم.

به عنوان پایه، x 4 \u003d 240 را می گیریم. x5 = 200; x6 = 160.

داده ها وارد می شود جدول سیمپلکس

میز سیمپلکس شماره 1

تابع هدف:

0 240 + 0 200 + 0 160 = 0

ما نمرات را طبق فرمول محاسبه می کنیم:

Δ 1 \u003d 0 2 + 0 4 + 0 4 - 4 \u003d - 4
Δ 2 \u003d 0 3 + 0 2 + 0 6 - 5 \u003d - 5
Δ 3 \u003d 0 6 + 0 4 + 0 8 - 4 \u003d - 4
Δ 4 \u003d 0 1 + 0 0 + 0 0 - 0 \u003d 0
Δ 5 \u003d 0 0 + 0 1 + 0 0 - 0 \u003d 0
Δ 6 \u003d 0 0 + 0 0 + 0 1 - 0 \u003d 0

از آنجایی که برآوردهای منفی وجود دارد، طرح بهینه نیست. کمترین رتبه:

متغیر x 2 را به پایه معرفی می کنیم.

ما یک متغیر را با خروج از پایه تعریف می کنیم. برای انجام این کار، کوچکترین نسبت غیر منفی را برای ستون x 2 پیدا می کنیم.

= 26.667

کوچکترین غیر منفی: Q 3 = 26.667. متغیر x 6 را از مبنا استخراج می کنیم

خط 3 را بر 6 تقسیم کنید.
از ردیف اول، ردیف سوم را در 3 کم کنید
از ردیف دوم، ردیف سوم را در 2 کم کنید

محاسبه می کنیم:

ما یک جدول جدید دریافت می کنیم:

میز سیمپلکس شماره 2

تابع هدف:

0 160 + 0 440/3 + 5 80/3 = 400/3

ما نمرات را طبق فرمول محاسبه می کنیم:

Δ 1 \u003d 0 0 + 0 8/3 + 5 2/3 - 4 \u003d - 2/3
Δ 2 \u003d 0 0 + 0 0 + 5 1 - 5 \u003d 0
Δ 3 \u003d 0 2 + 0 4/3 + 5 4/3 - 4 \u003d 8/3
Δ 4 \u003d 0 1 + 0 0 + 5 0 - 0 \u003d 0
Δ 5 \u003d 0 0 + 0 1 + 5 0 - 0 \u003d 0
Δ 6 \u003d 0 (-1) / 2 + 0 (-1) / 3 + 5 1/6 - 0 \u003d 5/6

از آنجایی که تخمین منفی Δ 1 = - 2/3 وجود دارد، طرح بهینه نیست.

متغیر x 1 را به پایه معرفی می کنیم.

ما یک متغیر را با خروج از پایه تعریف می کنیم. برای انجام این کار، کوچکترین نسبت غیر منفی را برای ستون x 1 پیدا می کنیم.

کوچکترین غیرمنفی: Q 3 \u003d 40. متغیر x 2 را از پایه استخراج می کنیم

ردیف سوم را بر 2/3 تقسیم کنید.
از ردیف دوم، ردیف سوم ضرب در 8/3 را کم کنید

محاسبه می کنیم:

ما یک جدول جدید دریافت می کنیم:

میز سیمپلکس شماره 3

تابع هدف:

0 160 + 0 40 + 4 40 = 160

ما نمرات را طبق فرمول محاسبه می کنیم:

Δ 1 \u003d 0 0 + 0 0 + 4 1 - 4 \u003d 0
Δ 2 \u003d 0 0 + 0 (-4) + 4 3/2 - 5 \u003d 1
Δ 3 \u003d 0 2 + 0 (-4) + 4 2 - 4 \u003d 4
Δ 4 \u003d 0 1 + 0 0 + 4 0 - 0 \u003d 0
Δ 5 \u003d 0 0 + 0 1 + 4 0 - 0 \u003d 0
Δ 6 \u003d 0 (-1) / 2 + 0 (-1) + 4 1/4 - 0 \u003d 1

از آنجایی که برآورد منفی وجود ندارد، طرح بهینه است.

راه حل مشکل:

پاسخ

x 1 = 40; x2 = 0; x 3 \u003d 0; x 4 = 160; x5 = 40; x6 = 0; F max = 160

یعنی لازم است کالاهای نوع اول را به مبلغ 40 هزار روبل بفروشید. کالاهای نوع 2 و 3 نیازی به فروش ندارند. در این مورد، حداکثر سود F max = 160 هزار روبل خواهد بود.

حل مشکل دوگانه

مشکل دوگانه به نظر می رسد:

Z = 240 y 1 + 200 y 2 + 160 y 3 -> دقیقه

Title="delim(lbrace)(matrix(4)(1)((2y_1 + 4y_2 + 4y_3>=4) (3y_1 + 2y_2 + 6y_3>=5) (6y_1 + 4y_2 + 8y_3>=4) (y_1، y_2، y_3>= 0)))(~)">!}

ما متغیرهای اضافی y 4 ≥ 0، y 5 ≥ 0، y 6 ≥ 0 را برای تبدیل نابرابری ها به تساوی معرفی می کنیم.

جفت های مزدوج متغیرهای مسائل مستقیم و دوگانه به شکل زیر هستند:

از آخرین جدول سیمپلکس شماره 3 مسئله مستقیم، حل مسئله دوگانه را پیدا می کنیم:

Z min = F max = 160;
y 1 \u003d Δ 4 \u003d 0; y 2 \u003d Δ 5 \u003d 0; y 3 \u003d Δ 6 \u003d 1; y 4 \u003d Δ 1 \u003d 0; y 5 \u003d Δ 2 \u003d 1; y 6 \u003d Δ 3 \u003d 4;

x 1

یک متغیر برای یک معادله داده شده در صورتی که در آن گنجانده شود، پایه نامیده می شود معادله داده شدهبا ضریب یک و در معادلات باقی مانده (به شرط وجود یک عدد مثبت در سمت راست معادله) لحاظ نمی شود.
اگر هر معادله دارای یک متغیر پایه باشد، سیستم دارای یک مبنا است.
متغیرهایی که پایه نیستند، متغیر آزاد نامیده می شوند. (سیستم زیر را ببینید)

ایده روش سیمپلکس این است که از یک پایه به پایه دیگر حرکت کنید و مقدار تابعی را بدست آورید که حداقل از مقدار موجود کمتر نباشد (هر پایه مربوط به یک مقدار تابع واحد است).
بدیهی است که تعداد پایه های ممکن برای هر مسئله محدود است (و نه خیلی زیاد).
بنابراین دیر یا زود جواب دریافت خواهد شد.

انتقال از یک پایه به پایه دیگر چگونه انجام می شود؟
راحت تر است که راه حل را در قالب جداول ثبت کنید. هر ردیف معادل معادله ای از سیستم است. خط انتخاب شده از ضرایب تابع تشکیل شده است (خودتان را مقایسه کنید). این به شما امکان می دهد هر بار متغیرها را بازنویسی نکنید، که باعث صرفه جویی در زمان می شود.
در خط انتخاب شده، بزرگترین ضریب مثبت را انتخاب کنید. این برای به دست آوردن مقدار تابع، حداقل نه کمتر از موجود، ضروری است.
ستون انتخاب شد.
برای ضرایب مثبت ستون انتخابی، نسبت Θ را محاسبه کرده و کوچکترین مقدار را انتخاب می کنیم. این امر ضروری است تا پس از تبدیل، ستون اعضای آزاد مثبت باقی بماند.
ردیف انتخاب شد.
بنابراین عنصری که مبنا خواهد بود تعریف می شود. بعد، حساب می کنیم.

x 1

x 1 = 0 x 2 = 0 S 1 = 0
S 2 = 15 S 3 = 4 R 1 = 1

=>W=1

مرحله شماره 1

x 1	x2	S1	S2	S3	R1	St. عضو	Θ
-1	1	-1	0	0	1	1	1: 1 = 1
1	3	0	1	0	0	15	15: 3 = 5
-2	1	0	0	1	0	4	4: 1 = 4
1	-1	1	0	0	0	W - 1
-1	1	-1	0	0	1	1
4	0	3	1	0	-3	12
-1	0	1	0	1	-1	3
0	0	0	0	0	1	W - 0

x 1

مرحله شماره 1

x 1	x2	S1	S2	S3	St. عضو	Θ
-1	1	-1	0	0	1
4	0	3	1	0	12	12: 4 = 3
-1	0	1	0	1	3
4	0	1	0	0	F-1
-1	1	-1	0	0	1
1	0	3/4	1/4	0	3
-1	0	1	0	1	3
4	0	1	0	0	F-1
0	1	-1/4	1/4	0	4
1	0	3/4	1/4	0	3
0	0	7/4	1/4	1	6
0	0	-2	-1	0	F-13

S1 = 0 S2 = 0
x 1 = 3 x 2 = 4 S 3 = 6

=> F - 13 = 0 => F = 13

هیچ ضرایب مثبتی در بین ضرایب ردیف انتخاب شده وجود ندارد. بنابراین، پیدا شده است بالاترین ارزشتوابع F

یکی از روش های حل مسائل بهینه سازی ( معمولاً با یافتن حداقل یا حداکثر همراه است) برنامه ریزی خطی نامیده می شود. روش سیمپلکسشامل یک گروه کامل از الگوریتم ها و روش ها برای حل مسائل برنامه ریزی خطی است. یکی از این روش ها که شامل ثبت داده های اولیه و محاسبه مجدد آنها در یک جدول خاص است، نامیده می شود روش سیمپلکس جدولی.

الگوریتم روش سیمپلکس جدولی را در مثال حل در نظر بگیرید وظیفه تولید ، که به یافتن یک برنامه تولید که حداکثر سود را ارائه می دهد خلاصه می شود.

داده های اولیه مسئله برای روش سیمپلکس

این شرکت 4 نوع محصول تولید می کند و آنها را در 3 دستگاه پردازش می کند.

محدودیت‌های زمانی (حداقل/عدد) برای پردازش محصولات روی ماشین‌ها توسط ماتریس A آورده شده است:

صندوق زمان کار ماشین (حداقل) در ماتریس B آورده شده است:

سود حاصل از فروش هر واحد از محصول (روبل/قطعه) توسط ماتریس C داده می شود:

هدف از کار تولید

یک طرح تولیدی تهیه کنید که در آن سود شرکت به حداکثر برسد.

حل مسئله به روش سیمپلکس جدولی

(1) اجازه دهید X1، X2، X3، X4 تعداد برنامه ریزی شده محصولات هر نوع را نشان دهد. سپس طرح مورد نظر: ( X1، X2، X3، X4)

(2) بیایید قیود پلان را به شکل یک سیستم معادلات بنویسیم:

(3) سپس سود هدف این است:

یعنی سود حاصل از اجرای طرح تولید حداکثر باشد.

(4) برای حل مشکل به دست آمده برای یک افراط شرطی، سیستم نابرابری ها را جایگزین سیستم می کنیم معادلات خطیبا وارد کردن متغیرهای غیر منفی اضافی در آن ( X5، X6، X7).

(5) موارد زیر را قبول داریم طرح مرجع:

X1=0، X2=0، X3=0، X4=0، X5=252، X6=144، X7=80

(6) بیایید داده ها را وارد کنیم جدول سیمپلکس:

در خط آخر ضرایب تابع هدف و مقدار خود را با علامت مخالف وارد می کنیم.

(7) را انتخاب کنید خط آخر بزرگترین (مدول) یک عدد منفی

محاسبه کنید b = N / Elements_of_chosen_column

از بین مقادیر محاسبه شده b انتخاب می کنیم کمترین.

تقاطع ستون و سطر انتخاب شده به ما یک عنصر حل کننده می دهد. مبنا را به متغیری مطابق با عنصر فعال کننده تغییر می دهیم ( X5 تا X1).

خود عنصر enable 1 می شود.
برای عناصر خط مجاز - a ij (*) = a ij / RE ( یعنی هر عنصر را بر مقدار عنصر فعال کننده تقسیم می کنیم و داده های جدیدی به دست می آوریم).
برای عناصر یک ستون حل، آنها به سادگی به صفر بازنشانی می شوند.
عناصر باقیمانده جدول طبق قانون مستطیل مجدداً محاسبه می شوند.

a ij (*) = a ij - (A * B / RE)

همانطور که می بینید، سلول فعلی در حال محاسبه مجدد و سلول با عنصر enable را می گیریم. آنها گوشه های مخالف مستطیل را تشکیل می دهند. سپس مقادیر سلول های 2 گوشه دیگر این مستطیل را ضرب می کنیم. این کار ( آ * ب) تقسیم بر عنصر حل کننده ( RE). و از سلول محاسبه شده فعلی کم کنید ( aij) چی شد. ما یک ارزش جدید دریافت می کنیم - یک ij (*).

(9) دوباره خط آخر را بررسی کنید ( ج) بر وجود اعداد منفی. اگر هیچ کدام وجود نداشته باشد، طرح بهینه پیدا شده است، تا آخرین مرحله حل مشکل پیش می رویم. اگر وجود داشته باشد، طرح هنوز بهینه نیست و جدول سیمپلکس باید دوباره محاسبه شود.

از آنجایی که ما دوباره در آخرین خط داریم اعداد منفی، ما یک تکرار جدید از محاسبات را شروع می کنیم.

(10) از آنجایی که هیچ عنصر منفی در خط آخر وجود ندارد، این بدان معنی است که ما برنامه تولید بهینه را پیدا کرده ایم! یعنی: ما محصولاتی را تولید خواهیم کرد که به ستون "Basis" منتقل شده اند - X1 و X2. ما سود حاصل از تولید هر واحد خروجی را می دانیم ( ماتریس C). باقی مانده است که حجم یافت شده خروجی محصولات 1 و 2 را با سود در هر قطعه ضرب کنیم، نتیجه نهایی را می گیریم ( بیشترین! ) سود تحت یک برنامه تولید معین.

پاسخ:

X1=32pcs، X2=20pcs، X3=0pcs، X4=0pcs

P \u003d 48 * 32 + 33 * 20 \u003d 2196 روبل.

گالیاتدینوف R.R.

این روش روشی برای شمارش هدفمند راه حل های مرجع یک مسئله برنامه ریزی خطی است. این اجازه می دهد تا تعداد محدودی از مراحل را یا برای یافتن راه حل بهینه یا ایجاد عدم وجود راه حل بهینه انجام دهیم.

محتوای اصلی روش سیمپلکس به شرح زیر است:

روشی را برای یافتن راه حل مرجع بهینه مشخص کنید
روش انتقال از یک راه حل مرجع به راه حل دیگر را مشخص کنید، که در آن مقدار تابع هدف به مقدار بهینه نزدیکتر باشد، یعنی. راهی برای بهبود راه حل مرجع نشان می دهد
معیارهایی را تنظیم کنید که به شما امکان می دهد به موقع شمارش راه حل های پشتیبانی را روی راه حل بهینه متوقف کنید یا نتیجه گیری کنید که راه حل بهینه وجود ندارد.

الگوریتم روش سیمپلکس برای حل مسائل برنامه ریزی خطی

برای حل مشکل با روش سیمپلکس، باید موارد زیر را انجام دهید:

مشکل را به شکل متعارف بیاورید
یک راه حل مرجع اولیه با "بنای واحد" پیدا کنید (اگر راه حل مرجع وجود نداشته باشد، مشکل به دلیل ناسازگاری سیستم محدودیت ها راه حلی ندارد)
تخمین بسط های برداری را بر اساس مبنای حل مرجع محاسبه کنید و جدول روش سیمپلکس را پر کنید.
اگر معیار منحصر به فرد بودن راه حل بهینه برآورده شود، آنگاه راه حل مسئله به پایان می رسد.
اگر شرط وجود مجموعه ای از راه حل های بهینه برآورده شود، با شمارش ساده، همه راه حل های بهینه پیدا می شوند.

نمونه ای از حل مسئله به روش سیمپلکس

مثال 26.1

با استفاده از روش سیمپلکس مشکل را حل کنید:

راه حل:

مشکل را به شکل متعارف می آوریم.

برای این در سمت چپدر اولین محدودیت نابرابری، یک متغیر اضافی x 6 با ضریب 1+ معرفی می کنیم. متغیر x 6 با ضریب صفر در تابع هدف قرار می گیرد (یعنی شامل نمی شود).

ما گرفتیم:

ما راه حل مرجع اولیه را پیدا می کنیم. برای انجام این کار، متغیرهای آزاد (حل نشده) را با صفر برابر می کنیم x1 = x2 = x3 = 0.

ما گرفتیم راه حل مرجع X1 = (0.0.0.24.30.6) با پایه واحد B1 = (A4, A5, A6).

محاسبه تخمین های تجزیه برداریشرایط بر اساس محلول مرجع طبق فرمول:

Δ k \u003d C b X k - c k

C b = (с 1 , с 2 , ... , с m) بردار ضرایب تابع هدف با متغیرهای پایه است.
X k = (x 1k , x 2k , ... , x mk) بردار انبساط بردار مربوطه A k بر حسب مبنای حل مرجع است.
C k - ضریب تابع هدف برای متغیر x k.

تخمین بردارهای موجود در مبنا همیشه برابر با صفر است. راه حل مرجع، ضرایب بسط و تخمین بسط بردارهای شرایط بر حسب مبنای راه حل مرجع در نوشته شده است. جدول سیمپلکس:

در بالای جدول، برای راحتی محاسبه برآوردها، ضرایب تابع هدف نوشته شده است. ستون اول "B" شامل بردارهای موجود در پایه راه حل مرجع است. ترتیب نوشتن این بردارها مطابق با تعداد مجهولات مجاز در معادلات محدودیت است. در ستون دوم جدول «با b» ضرایب تابع هدف با متغیرهای پایه به همان ترتیب نوشته شده است. در مکان صحیحضرایب تابع هدف در ستون "C b" بردارهای واحد موجود در مبنا را برآورد می کند، همیشه برابر با صفر است.

در سطر آخر جدول با تخمین Δ k در ستون "A 0" مقادیر تابع هدف روی حل مرجع Z(X 1) نوشته شده است.

راه حل مرجع اولیه بهینه نیست، زیرا در مسئله حداکثر تخمین Δ1 = -2، Δ3 = -9 برای بردارهای A 1 و A 3 منفی است.

با توجه به قضیه بهبود راه حل مرجع، اگر حداقل یک بردار در مسئله ماکزیمم تخمین منفی داشته باشد، می توان راه حل مرجع جدیدی را یافت که مقدار تابع هدف بیشتر باشد.

اجازه دهید تعیین کنیم که کدام یک از دو بردار منجر به افزایش بیشتر تابع هدف می شود.

افزایش تابع هدف با فرمول بدست می آید:

ما مقادیر پارامتر θ 01 را برای ستون های اول و سوم با استفاده از فرمول محاسبه می کنیم:

ما θ 01 = 6 را برای l = 1، θ 03 = 3 برای l = 1 دریافت می کنیم (جدول 26.1).

افزایش تابع هدف را زمانی می یابیم که اولین بردار ΔZ 1 = - 6 * (- 2) = 12 به پایه وارد شود و بردار سوم ΔZ 3 = - 3 * (- 9) = 27.

بنابراین، برای رویکرد سریعتر به جواب بهینه، لازم است که بردار A3 را به جای اولین بردار پایه A6 به پایه حل مرجع وارد کنیم، زیرا حداقل پارامتر θ 03 در ردیف اول به دست آمده است. (l = 1).

تبدیل جردن را با عنصر X13 = 2 انجام می دهیم، راه حل مرجع دوم X2 = (0.0.3.21.42.0) را با پایه B2 = (A3, A4, A5) بدست می آوریم. (جدول 26.2)

این راه حل بهینه نیست، زیرا بردار A2 دارای تخمین منفی Δ2 = - 6 است. برای بهبود راه حل، لازم است بردار A2 را به اساس راه حل مرجع معرفی کنیم.

تعداد بردار حاصل از مبنا را تعیین می کنیم. برای انجام این کار، پارامتر θ 02 را برای ستون دوم محاسبه می کنیم، برای l = 2 برابر است با 7. بنابراین، بردار پایه دوم A4 را از پایه استخراج می کنیم. تبدیل جردن را با عنصر x 22 = 3 انجام می دهیم، سومین راه حل مرجع X3 = (0.7.10.0.63.0) B2 = (A3، A2، A5) را به دست می آوریم (جدول 26.3).

این راه حل تنها راه حل بهینه است، زیرا برای همه بردارهایی که در پایه گنجانده نشده اند، برآوردها مثبت هستند

Δ 1 \u003d 7/2، Δ 4 \u003d 2، Δ 6 \u003d 7/2.

پاسخ:حداکثر Z(X) = 201 در X = (0.7،10،0.63).

روش برنامه ریزی خطی در تحلیل اقتصادی

روش برنامه ریزی خطیتوجیه بهینه ترین راه حل اقتصادی را در مواجهه با محدودیت های شدید مربوط به منابع مورد استفاده در تولید (دارایی های ثابت، مواد، منابع نیروی کار) ممکن می سازد. کاربرد این روش در تحلیل اقتصادی به ما امکان می دهد تا مشکلات مربوط به برنامه ریزی فعالیت های سازمان را حل کنیم. این روش به تعیین مقادیر بهینه خروجی و همچنین جهت استفاده بهینه از منابع تولیدی در دسترس سازمان کمک می کند.

با استفاده از این روش، حل مسائل به اصطلاح فوق العاده انجام می شود که شامل یافتن مقادیر شدید، یعنی حداکثر و حداقل توابع متغیرها است.

این دوره بر اساس حل یک سیستم معادلات خطی در مواردی است که پدیده های اقتصادی تجزیه و تحلیل شده توسط یک خطی به طور دقیق به هم متصل می شوند. وابستگی عملکردی. روش برنامه ریزی خطی برای تجزیه و تحلیل متغیرها در حضور عوامل محدود کننده خاص استفاده می شود.

حل مسئله حمل و نقل با استفاده از روش برنامه ریزی خطی بسیار رایج است. محتوای این وظیفه به حداقل رساندن هزینه های انجام شده در ارتباط با کارکرد وسایل نقلیه تحت محدودیت های موجود در مورد تعداد وسایل نقلیه، ظرفیت حمل آنها، مدت زمان کار آنها در صورت نیاز به خدمات رسانی به حداکثر تعداد مشتریان است. .

بعلاوه، این روشکاربرد گسترده ای در حل مشکل زمان بندی پیدا می کند. این وظیفه عبارت است از توزیع زمان عملکرد پرسنل این سازمان که هم برای اعضای این پرسنل و هم برای مشتریان سازمان قابل قبول ترین باشد.

هدف، به حداکثر رساندن تعداد مشتریان خدمات دهی شده در عین محدود کردن تعداد کارکنان موجود و ساعات کاری است.

بنابراین، روش برنامه ریزی خطی در تجزیه و تحلیل قرار دادن و استفاده از بسیار رایج است انواع مختلفمنابع و همچنین در فرآیند برنامه ریزی و پیش بینی فعالیت های سازمان ها.

هنوز برنامه نویسی ریاضیهمچنین می توان آن دسته از پدیده های اقتصادی را به کار برد که رابطه بین آنها خطی نیست. برای این منظور می توان از روش های برنامه ریزی غیرخطی، پویا و محدب استفاده کرد.

برنامه نویسی غیرخطی به ماهیت غیر خطی تابع هدف یا محدودیت ها یا هر دو متکی است. اشکال تابع هدف و نابرابری های محدودیت در این شرایط می تواند متفاوت باشد.

برنامه ریزی غیرخطی در تجزیه و تحلیل اقتصادی استفاده می شود، به ویژه در هنگام ایجاد رابطه بین شاخص های بیانگر اثربخشی فعالیت های سازمان و حجم این فعالیت، ساختار هزینه های تولید، شرایط بازار و غیره.

برنامه نویسی پویا بر اساس ساخت درخت تصمیم است. هر ردیف از این درخت به عنوان مرحله ای برای تعیین پیامدهای تصمیم قبلی و برای حذف انواع بی اثر این تصمیم عمل می کند. بنابراین، برنامه نویسی پویا دارای یک کاراکتر چند مرحله ای و چند مرحله ای است. این نوع برنامه نویسی در تحلیل اقتصادی برای یافتن استفاده می شود بهترین گزینه هاسازمان، چه در حال حاضر و چه در آینده.

برنامه نویسی محدب نوعی برنامه نویسی غیر خطی است. این نوع برنامه نویسی ماهیت غیرخطی رابطه بین نتایج فعالیت های سازمان و هزینه های متحمل شده توسط آن را بیان می کند. برنامه نویسی محدب (در غیر این صورت مقعر) توابع هدف محدب و سیستم های محدودیت محدب (نقاط ویژگی) را تجزیه و تحلیل می کند. از برنامه نویسی محدب در تحلیل فعالیت های اقتصادی به منظور به حداقل رساندن هزینه ها استفاده می شود و برنامه ریزی مقعر به منظور به حداکثر رساندن درآمد در شرایط محدودیت های موجود بر روی عملکرد عواملی که بر شاخص های تحلیل شده برعکس تاثیر می گذارند استفاده می شود. در نتیجه، تحت انواع برنامه‌نویسی مورد بررسی، توابع هدف محدب به حداقل می‌رسند و توابع مقعر به حداکثر می‌رسند.

سخنرانی 3جداول سیمپلکس الگوریتم روش سیمپلکس.

§ 3 روش SIMPLEX

3.1. ایده کلی روش سیمپلکس. تفسیر هندسی

روش گرافیکی برای یک کلاس بسیار باریک از مسائل برنامه ریزی خطی قابل استفاده است: می تواند به طور موثر مسائلی را که حاوی بیش از دو متغیر نباشد حل کند. قضایای اصلی برنامه ریزی خطی در نظر گرفته شد که از آن نتیجه می شود که اگر یک مسئله برنامه ریزی خطی دارای راه حل بهینه باشد، حداقل با یک نقطه گوشه از چندوجهی حل مطابقت دارد و با حداقل یکی از راه حل های اساسی قابل قبول مطابقت دارد. سیستم محدودیت راهی برای حل هر مسئله برنامه‌ریزی خطی نشان داده شد: شمارش تعداد محدودی از راه‌حل‌های اساسی امکان‌پذیر سیستم محدودیت‌ها و انتخاب یکی از آنها که در آن تابع هدف تصمیم بهینه را می‌گیرد. از نظر هندسی، این مربوط به شمارش تمام نقاط گوشه چند وجهی محلول است. چنین شمارشی در نهایت منجر به یک راه حل بهینه (در صورت وجود) می شود، اما اجرای عملی آن با مشکلات بسیار زیادی همراه است، زیرا برای مسائل واقعی تعداد راه حل های اساسی امکان پذیر، اگرچه محدود است، می تواند بسیار زیاد باشد.

اگر شمارش به طور تصادفی انجام نشود، اما با در نظر گرفتن تغییرات در تابع خطی، به عنوان مثال، تعداد راه‌حل‌های پایه قابل قبولی را می‌توان کاهش داد. به دنبال اطمینان از اینکه هر راه حل بعدی از نظر مقادیر تابع خطی "بهتر" (یا حداقل "بدتر نیست") از راه حل قبلی است (هنگام یافتن حداکثر آن را افزایش دهید، هنگام یافتن حداقل آن را کاهش دهید.
). چنین شمارشی به فرد اجازه می دهد تا تعداد مراحل را در یافتن بهینه کاهش دهد. اجازه دهید این موضوع را با یک مثال گرافیکی توضیح دهیم.

اجازه دهید مساحت راه حل های امکان پذیر با یک چندضلعی نمایش داده شود ABCDE. نقطه گوشه آن را فرض کنید آمطابق با راه حل اساسی قابل قبول اصلی است. یک شمارش تصادفی باید پنج راه‌حل اساسی عملی مربوط به پنج نقطه گوشه چند ضلعی را امتحان کند. با این حال، نقاشی نشان می دهد که پس از بالا آبرای رفتن به قله بعدی مفید است که در،و سپس به نقطه بهینه با.به جای پنج، فقط سه راس پیموده شد که به طور مداوم تابع خطی را بهبود بخشید.

ایده بهبود متوالی راه حل اساس یک روش جهانی برای حل مسائل برنامه ریزی خطی را تشکیل داد - روش سیمپلکس یا روش بهبود پی در پی طرح.

معنای هندسی روش سیمپلکس عبارت است از یک انتقال متوالی از یک راس چند وجهی محدودیت (به نام راس اولیه) به همسایه، که در آن تابع خطی بهترین (حداقل نه بدترین) مقدار را در رابطه با هدف مشکل؛ تا زمانی که راه حل بهینه پیدا شود - راس جایی که به مقدار بهینه تابع هدف می رسد (اگر مسئله دارای یک بهینه متناهی باشد).

روش سیمپلکس برای اولین بار توسط دانشمند آمریکایی J. Danzig در سال 1949 ارائه شد، اما در اوایل سال 1939، ایده های این روش توسط دانشمند روسی L.V. کانتوروویچ.

روش سیمپلکس، که امکان حل هر مشکل برنامه ریزی خطی را می دهد، جهانی است. در حال حاضر برای محاسبات کامپیوتری استفاده می شود، اما مثال های ساده با استفاده از روش سیمپلکس را می توان به صورت دستی نیز حل کرد.

برای اجرای روش سیمپلکس - بهبود پی در پی راه حل - لازم است به تسلط برسیم سه عنصر اصلی:

روشی برای تعیین برخی راه حل های اولیه امکان پذیر برای مسئله؛

قانون گذار به بهترین (به طور دقیق تر، نه بدترین) راه حل؛

معیار بررسی بهینه بودن راه حل یافت شده.

برای استفاده از روش سیمپلکس، مسئله برنامه ریزی خطی باید به شکل متعارف کاهش یابد، یعنی. سیستم محدودیت ها باید در قالب معادلات ارائه شود.

ادبیات با جزئیات کافی شرح می دهد: یافتن طرح مرجع اولیه (راه حل اساسی امکان پذیر اولیه)، همچنین با استفاده از روش پایه مصنوعی، یافتن طرح مرجع بهینه، حل مسائل با استفاده از جداول سیمپلکس.

3.2. الگوریتم روش سیمپلکس.

اجازه دهید راه حل LLP را با روش سیمپلکس در نظر بگیریم و آن را در رابطه با مسئله بیشینه سازی ارائه کنیم.

1. با توجه به شرط مسئله، مدل ریاضی آن تدوین می شود.

2. مدل ساخته شده تبدیل به شکل متعارف. در این مورد، یک مبنای با یک طرح مرجع اولیه می تواند برجسته شود.

3. مدل متعارف مسئله به صورت یک جدول سیمپلکس نوشته شده است به طوری که تمام عبارت های آزاد غیر منفی هستند. اگر طرح مرجع اولیه انتخاب شده است، به مرحله 5 بروید.

جدول سیمپلکس: سیستم معادلات محدودیت در و تابع هدفدر قالب عبارات مجاز با توجه به مبنای اولیه. خطی که ضرایب تابع هدف در آن وارد می شود
، تماس گرفت
رشته یا رشته تابع هدف.

4. با انجام تبدیل های سیمپلکس با عناصر حل مثبت مطابق با حداقل نسبت های سیمپلکس، و بدون در نظر گرفتن علائم عناصر، طرح پشتیبانی اولیه را بیابید.
-رشته های. اگر در جریان تبدیل ها یک ردیف 0 وجود داشته باشد که تمام عناصر آن، به جز جمله آزاد، صفر هستند، سیستم معادلات محدود کننده مسئله ناسازگار است. از طرف دیگر، اگر یک ردیف صفر وجود داشته باشد که در آن به غیر از جمله آزاد، هیچ عنصر مثبت دیگری وجود نداشته باشد، سیستم معادلات محدود کننده هیچ راه حل غیر منفی ندارد.

کاهش سیستم (2.55)، (2.56) به یک پایه جدید نامیده می شود تبدیل سیمپلکس . اگر تبدیل سیمپلکس به عنوان یک عملیات جبری رسمی در نظر گرفته شود، می توان دریافت که در نتیجه این عملیات، نقش ها بین دو متغیر موجود در سیستمی بازتوزیع می شوند. توابع خطی: یک متغیر از وابسته به مستقل می رود و دیگری برعکس - از مستقل به وابسته. این عمل در جبر به عنوان شناخته شده است مرحله حذفی اردن

5. طرح اولیه اولیه یافت شده برای بهینه بودن بررسی می شود:

الف) اگر در
-خط هیچ عنصر منفی ندارد (به غیر از عبارت آزاد)، پس طرح بهینه است. اگر صفر وجود نداشته باشد، طرح بهینه منحصر به فرد است. اگر حداقل یک صفر وجود داشته باشد، تعداد بی نهایت طرح بهینه وجود دارد.

ب) اگر
- سطر دارای حداقل یک عنصر منفی است که مربوط به ستونی از عناصر غیر مثبت است
;

ج) اگر در
ردیف حداقل یک عنصر منفی دارد و ستون آن حداقل یک عنصر مثبت دارد، سپس می توانید به یک طرح مرجع جدید بروید که به طرح بهینه نزدیکتر است. برای انجام این کار، ستون مشخص شده باید به عنوان تفکیک کننده، با حداقل نسبت سیمپلکس اختصاص داده شود، ردیف حل شونده را پیدا کنید و تبدیل سیمپلکس را انجام دهید. طرح پایه به دست آمده برای بهینه بودن مجدد مورد بررسی قرار می گیرد. فرآیند توصیف شده تا زمانی که یک برنامه بهینه به دست آید یا تا زمانی که مشکل غیر قابل حل باشد، تکرار می شود.

ستون ضرایب برای یک متغیر موجود در مبنا را حل می گویند. بنابراین، انتخاب یک متغیر وارد شده به مبنا (یا انتخاب یک ستون حل) توسط عنصر منفی
رشته ها، ما از افزایش تابع اطمینان می دهیم
.

تعیین متغیری که باید از مبنا حذف شود کمی دشوارتر است. برای این کار، نسبت اعضای آزاد به عناصر مثبت ستون حل شونده را می سازند (این گونه روابط را سیمپلکس می نامند) و کوچکترین را در بین آنها پیدا می کنند که سطر (تحلیل) حاوی متغیر حذف شده را تعیین می کند. انتخاب متغیری که باید از مبنا حذف شود (یا انتخاب رشته حل‌کننده) با توجه به حداقل نسبت سیمپلکس، مثبت بودن مؤلفه‌های پایه در طرح مرجع جدید را تضمین می‌کند.

در مرحله 3 الگوریتم، فرض می شود که تمام عناصر ستون عبارت های آزاد غیر منفی هستند. این الزام اجباری نیست، اما اگر برآورده شود، تمام تبدیل های سیمپلکس بعدی فقط با عناصر وضوح مثبت انجام می شود که برای محاسبات راحت است. اگر اعداد منفی در ستون اعضای آزاد وجود داشته باشد، عنصر حل کننده به صورت زیر انتخاب می شود:

1) به عنوان مثال، رشته مربوط به برخی از اعضای آزاد منفی را اسکن کنید -ردیف، و تعدادی عنصر منفی را در آن انتخاب کنید، و ستون مربوطه به عنوان حل‌کننده در نظر گرفته می‌شود (فرض می‌کنیم که محدودیت‌های مسئله با هم سازگار هستند).

2) نسبت عناصر ستون اعضای آزاد را به عناصر مربوطه ستون تفکیک کننده که علائم یکسانی دارند (نسبت های ساده) بسازید.

3) کوچکترین روابط سیمپلکس را انتخاب کنید. رشته مجوز را تعیین می کند. بگذارید مثلاً آر-خط؛

4) در تقاطع ستون‌ها و ردیف‌های حل‌کننده، یک عنصر حل‌کننده پیدا می‌شود. اگر عنصر مجاز باشد – رشته، سپس پس از تبدیل سیمپلکس عبارت آزاد این رشته مثبت خواهد شد. در غیر این صورت در مرحله بعد دوباره به – رشته اگر مشکل قابل حل باشد، پس از تعداد معینی از مراحل، هیچ عنصر منفی در ستون اصطلاحات آزاد وجود نخواهد داشت.

اگر برخی از وضعیت های تولید واقعی به شکل LLP پوشیده شود، متغیرهای اضافی که باید در فرآیند تبدیل آن به شکل متعارف به مدل وارد شوند، همیشه معنای اقتصادی خاصی دارند.