نظریه یک متغیر مختلط. توابع یک متغیر مختلط تمایز توابع یک متغیر مختلط. شرایط کوشی-ریمان

آژانس فدرال آموزش

___________________________________

ایالت سن پترزبورگ

دانشگاه الکتروتکنیک "LETI"

_______________________________________

تئوری توابع یک متغیر مختلط

رهنمودها

به تمرینات عملی

در ریاضیات عالی

سن پترزبورگ

انتشارات دانشگاه الکتروتکنیکی سن پترزبورگ "LETI"

UDC 512.64 (07)

TFKP: رهنمودهایی برای حل مشکلات / ترکیب: V.G. Dyumin، A.M. Kotochigov، N.N. Sosnovsky. سنت پترزبورگ: انتشارات St.

تایید شده

شورای تحریریه و انتشارات دانشگاه

به عنوان دستورالعمل

© دانشگاه الکتروتکنیکی سنت پترزبورگ "LETI"، 2010

توابع متغیر مختلط، در حالت کلی با نگاشتهای صفحه واقعی متفاوت است
به خودی خود تنها شکل ثبت است. یک شی مهم و بسیار مفید، کلاس تابعی از یک متغیر مختلط است،

داشتن مشتق یکسان به عنوان توابع یک متغیر. مشخص است که توابع چندین متغیر می توانند مشتقات جزئی و جهت دار داشته باشند، اما معمولاً مشتقات در جهات مختلف منطبق نیستند و نمی توان در یک نقطه از مشتق صحبت کرد. با این حال، برای توابع یک متغیر مختلط، می توان شرایطی را که تحت آن تمایز را قبول دارند، توصیف کرد. مطالعه ویژگی‌های توابع متمایزپذیر یک متغیر مختلط، محتوای دستورالعمل‌ها است. دستورالعمل ها به سمت نشان دادن چگونگی استفاده از ویژگی های چنین توابعی برای حل مسائل مختلف هدایت می شوند. تسلط موفقیت آمیز بر مطالب ارائه شده بدون مهارت های ابتدایی در محاسبات با اعداد مختلط و آشنایی با ساده ترین اجسام هندسی تعریف شده بر حسب نابرابری های مربوط به قسمت های واقعی و خیالی یک عدد مختلط و همچنین مدول و استدلال آن غیرممکن است. خلاصه ای از تمام اطلاعات مورد نیاز برای این کار را می توان در دستورالعمل ها یافت.

دستگاه استاندارد آنالیز ریاضی: حد، مشتق، انتگرال، سری به طور گسترده در متن دستورالعمل استفاده می شود. در جایی که این مفاهیم دارای ویژگی های خاص خود هستند، در مقایسه با توابع یک متغیر، توضیحات مربوطه ارائه می شود، اما در بیشتر موارد کافی است بخش واقعی و خیالی را جدا کرده و دستگاه استاندارد تحلیل واقعی را بر روی آنها اعمال کنیم.

1. توابع ابتدایی یک متغیر مختلط

طبیعی است که با توضیح اینکه کدام توابع ابتدایی این ویژگی را دارند، بحث در مورد شرایط تمایز پذیری توابع یک متغیر مختلط را شروع کنیم. از رابطه آشکار

تمایز هر چند جمله ای به شرح زیر است. و از آنجایی که سری توان را می توان ترم به ترم در دایره همگرایی آن متمایز کرد،

سپس هر تابعی در نقاطی که در یک سری تیلور در اطراف آن قابل گسترش است قابل تفکیک است. این یک شرط کافی است، اما همانطور که به زودی مشخص خواهد شد، یک شرط ضروری نیز هست. پشتیبانی از مطالعه توابع یک متغیر توسط مشتق با کنترل رفتار نمودار تابع راحت است. برای توابع یک متغیر مختلط، این امکان پذیر نیست. نقاط نمودار در فضایی به ابعاد 4 قرار دارند.

با این وجود، با در نظر گرفتن تصاویر مجموعه های به اندازه کافی ساده از صفحه پیچیده، می توان برخی از نمایش های گرافیکی تابع را به دست آورد.
تحت تأثیر یک تابع مشخص ایجاد می شود. به عنوان مثال، از این دیدگاه، چند عملکرد ساده را در نظر بگیرید.

تابع خطی

این عملکرد سادهبسیار مهم است، زیرا هر تابع متمایز پذیر به صورت محلی شبیه یک تابع خطی است. عملکرد تابع را با حداکثر جزئیات در نظر بگیرید

اینجا
- مدول عدد مختلط و استدلال اوست بنابراین، تابع خطی کشش، چرخش و برش را انجام می دهد. بنابراین، یک نگاشت خطی هر مجموعه ای را به مجموعه ای مشابه نگاشت می کند. به طور خاص، تحت تأثیر یک نقشه برداری خطی، خطوط به خطوط و دایره ها به دایره تبدیل می شوند.

تابع

این تابع از نظر پیچیدگی بعد از تابع خطی قرار دارد. دشوار است انتظار داشت که هر خطی را به یک خط ببرد، و دایره ای را به یک دایره تبدیل کند، مثال های ساده نشان می دهد که این اتفاق نمی افتد، با این وجود، می توان نشان داد که این تابع مجموعه تمام خطوط و دایره ها را در خود می گیرد. . برای تأیید این موضوع، راحت است که به توضیحات واقعی (مختصر) نقشه برداری بروید

اثبات نیاز به شرح نقشه برداری معکوس دارد

معادله if را در نظر بگیرید
، سپس معادله کلی یک خط مستقیم را بدست می آوریم. اگر
، آن

بنابراین، زمانی که
معادله یک دایره دلخواه به دست می آید.

توجه داشته باشید که اگر
و
، سپس دایره از مبدا عبور می کند. اگر
و
، سپس یک خط مستقیم دریافت می کنید که از مبدا می گذرد.

تحت عمل وارونگی، معادله در نظر گرفته شده به شکل بازنویسی می شود

, (
)

یا . می توان دید که این نیز معادله ای است که دایره یا خطوط مستقیم را توصیف می کند. این واقعیت که در معادله ضرایب و
swapped به این معنی است که در حین وارونگی، خطوطی که از 0 عبور می کنند به دایره تبدیل می شوند و دایره هایی که از 0 عبور می کنند به خطوط تبدیل می شوند.

توابع قدرت

تفاوت اصلی بین این توابع و توابع قبلی در این است که یک به یک نیستند (
). می توان گفت که تابع
صفحه مختلط را به دو نمونه از یک صفحه نگاشت می کند. بررسی دقیق این موضوع مستلزم استفاده از دستگاه دست و پا گیر سطوح ریمان است و از حوصله سؤالات در نظر گرفته شده در اینجا خارج است. درک این نکته مهم است که صفحه مختلط را می توان به بخش هایی تقسیم کرد که هر یک از آنها یک به یک بر روی صفحه پیچیده نگاشت می شوند. این تفکیک برای تابع است
به نظر می رسد این است، برای مثال، نیمه صفحه بالایی یک به یک بر روی صفحه مختلط توسط تابع نگاشت شده است.
. توصیف اعوجاج هندسی برای چنین تصاویری دشوارتر از حالت وارونگی است. به عنوان یک تمرین، می توانید ردیابی کنید که شبکه مختصات مستطیلی نیم صفحه بالایی هنگام نمایش به چه چیزی می رود.

مشاهده می شود که شبکه مختصات مستطیلی به خانواده سهمی ها تبدیل می شود که سیستم را تشکیل می دهد. مختصات منحنیداخل هواپیما
. پارتیشن صفحه شرح داده شده در بالا به گونه ای است که تابع
هر یک را نمایش می دهد بخش ها در کل هواپیما شرح نقشه برداری رو به جلو و عقب به این صورت است

بنابراین تابع
این دارد توابع معکوس مختلف،

در بخش های مختلف هواپیما داده شده است

در چنین مواردی گفته می شود که نقشه برداری چند صفحه ای است.

عملکرد ژوکوفسکی

این تابع نام خاص خود را دارد، زیرا اساس تئوری بال هواپیما را تشکیل می دهد که توسط ژوکوفسکی ایجاد شده است (توضیحات این طرح را می توان در کتاب یافت). این تابع دارای تعدادی ویژگی جالب است، بیایید روی یکی از آنها تمرکز کنیم - دریابیم که این تابع در کدام مجموعه ها یک به یک عمل می کند. برابری را در نظر بگیرید

، جایی که
.

بنابراین، تابع ژوکوفسکی در هر حوزه ای که در آن، برای هر یک، یک به یک است و محصول آنها برابر با وحدت نیست. اینها برای مثال دایره واحد باز هستند
و مکمل دایره واحد بسته
.

سپس عمل تابع ژوکوفسکی را روی دایره در نظر بگیرید

با جدا کردن قسمت های واقعی و خیالی، معادله پارامتریک بیضی را به دست می آوریم

,
.

اگر
، سپس این بیضی ها کل صفحه را پر می کنند. به طور مشابه، تأیید می شود که تصاویر بخش ها هذلولی هستند

.

تابع نمایی

تابع را می توان در یک سری توانی گسترش داد، که کاملاً در کل صفحه پیچیده همگرا می شود، بنابراین در همه جا قابل تمایز است. اجازه دهید مجموعه هایی را که تابع در آنها یک به یک است را شرح دهیم. برابری آشکار
نشان می دهد که صفحه را می توان به خانواده ای از نوارها تقسیم کرد، که هر کدام یک به یک توسط تابع بر روی کل صفحه پیچیده نگاشت می شوند. این پارتیشن برای درک نحوه عملکرد تابع معکوس یا بهتر بگوییم توابع معکوس ضروری است. در هر یک از نوارها، نقشه معکوس به طور طبیعی تعریف شده است

تابع معکوس نیز در این حالت چند ظرفیتی است و تعداد توابع معکوس بی نهایت است.

توصیف هندسی نقشه برداری بسیار ساده است: خطوط مستقیم
تبدیل به تیر
، بخش ها

به دایره ها حرکت کنید
.

جایی که
اعداد واقعی هستند و - شخصیت خاص، که نامیده می شود واحد خیالی . برای واحد خیالی، طبق تعریف، فرض می شود که
.

(4.1) – فرم جبری عدد مختلط و
تماس گرفت بخش واقعی عدد مختلط و
-قسمت خیالی .

عدد
تماس گرفت مزدوج پیچیده به شماره
.

بگذارید دو عدد مختلط داده شود
,
.

1. مجموع
اعداد مختلط و یک عدد مختلط نامیده می شود

2. تفاوت
اعداد مختلط و یک عدد مختلط نامیده می شود

3. کار کردن
اعداد مختلط و یک عدد مختلط نامیده می شود

4. خصوصی از تقسیم یک عدد مختلط به عدد مختلط
یک عدد مختلط نامیده می شود

.

نکته 4.1. یعنی عملیات روی اعداد مختلط طبق قوانین معمول عملیات حسابی روی عبارات تحت اللفظی در جبر معرفی می شوند.

مثال 4.1.اعداد مختلط داده شده است. پیدا کردن

.

راه حل. 1) .

4) با ضرب صورت و مخرج در مزدوج مخرج به دست می آید.

فرم مثلثاتی عدد مختلط:

جایی که
مدول یک عدد مختلط است،
آرگومان یک عدد مختلط است. گوشه تا یک اصطلاح به طور مبهم تعریف شده است
:

,
.

- مقدار اصلی آرگومان که با شرط تعیین می شود

، (یا
).

فرم نشان دهنده عدد مختلط:

.

ریشه
درجه ام از عدد این دارد مقادیر مختلف که با فرمول پیدا می شوند

جایی که
.

نقاط مربوط به مقادیر
، رئوس یک منظم هستند
مربعی که در یک دایره با شعاع محاط شده است
در مبدا متمرکز شده است.

مثال 4.2.تمام مقادیر ریشه را پیدا کنید
.

راه حل.یک عدد مختلط را تصور کنید
به صورت مثلثاتی:

,

، جایی که
.

سپس
. بنابراین با فرمول (4.2)
چهار معنا دارد:

,
.

با فرض اینکه
، ما پیدا می کنیم

,
,

, .

در اینجا مقادیر آرگومان را به مقدار اصلی آن تبدیل کرده ایم.

مجموعه در هواپیما پیچیده

عدد مختلط
در هواپیما به تصویر کشیده شده است
نقطه
با مختصات
. مدول
و استدلال
با مختصات قطبی نقطه مطابقت دارد
.

یادآوری این نابرابری مفید است
دایره ای را در مرکز یک نقطه تعریف می کند شعاع . نابرابری
یک نیم صفحه واقع در سمت راست خط مستقیم را تعریف می کند
و نابرابری
- یک نیم صفحه واقع در بالای یک خط مستقیم
. علاوه بر این، سیستم نابرابری
زاویه بین پرتوها را تنظیم می کند
و
خروجی از مبدأ مختصات.

مثال 4.3.مساحت تعریف شده با نامساوی ها را رسم کنید:
.

راه حل.اولین نابرابری مربوط به حلقه ای است که در مرکز یک نقطه قرار دارد
و دو شعاع 1 و 2، دایره در این منطقه گنجانده نشده است (شکل 4.1).

نابرابری دوم مربوط به زاویه بین پرتوها است
(نصف ساز زاویه مختصات 4) و
(جهت محور مثبت
). خود پرتوها وارد منطقه نمی شوند (شکل 4.2).

ناحیه مورد نظر محل تلاقی دو ناحیه بدست آمده است (شکل 4.3)

4.2. توابع یک متغیر مختلط

اجازه دهید یک تابع تک مقداری
تعریف شده و پیوسته در حوزه
، آ یک منحنی گرا بسته یا غیر بسته تکه ای صاف است که در آن قرار دارد
. بگذار طبق معمول
،، جایی که
,
- توابع واقعی متغیرها و .

محاسبه انتگرال یک تابع
متغیر مختلط به محاسبه انتگرال های منحنی معمولی کاهش می یابد، یعنی

اگر تابع
در یک دامنه به سادگی متصل تحلیلی است
حاوی نقاط و ، سپس فرمول نیوتن-لایبنیتس وجود دارد:

جایی که
- مقداری ضد مشتق برای تابع
، به این معنا که
در منطقه
.

در انتگرال توابع یک متغیر مختلط، می‌توان متغیر را تغییر داد و انتگرال‌بندی بر اساس بخش‌ها مشابه روشی است که هنگام محاسبه انتگرال توابع یک متغیر واقعی انجام می‌شود.

همچنین توجه داشته باشید که اگر مسیر ادغام بخشی از یک خط مستقیم است که از نقطه شروع می شود ، یا بخشی از یک دایره در مرکز یک نقطه ، سپس تغییر متغیر فرم مفید است
. در مورد اول
، آ - متغیر ادغام واقعی؛ در مورد دوم
، آ متغیر ادغام واقعی است.

مثال 4.4.محاسبه
در امتداد یک سهمی
از نقطه
به نقطه
(شکل 4.4).

مثال 4.5.انتگرال را محاسبه کنید
، جایی که - قوس دایره ای
,
(شکل 4.5).

تابع
، تک ارزشی و تحلیلی در رینگ
، در این حلقه تجزیه می شود سریال لوران

در فرمول (4.5) سری
تماس گرفت بخش اصلی سریال Laurent و سریال
تماس گرفت قسمت راست ردیف لوران.

تعریف 4.1. نقطه تماس گرفتنقطه منفرد جدا شده کارکرد
اگر همسایگی این نقطه وجود داشته باشد که تابع
همه جا تحلیلی است به جز خود نقطه .

تابع
در مجاورت نقطه را می توان در یک سری Laurent گسترش داد. سه امکان وجود دارد مناسبت های مختلفوقتی سریال لوران:

1) شامل عباراتی با درجات اختلاف منفی نیست
، به این معنا که

(سری Laurent شامل قسمت اصلی نمی شود). در این مورد تماس گرفت نقطه منفرد قابل جابجایی کارکرد
;

2) شامل تعداد متناهی عبارت با درجات اختلاف منفی است
، به این معنا که

,

و
. در این مورد، نکته تماس گرفت قطب نظم کارکرد
;

3) شامل عدد بی نهایتاصطلاحات با درجات منفی:

.

در این مورد، نکته تماس گرفت نکته ضروری کارکرد
.

هنگام تعیین ماهیت یک نقطه منفرد جدا شده، لازم نیست به دنبال بسط سری Laurent باشید. می توانید از ویژگی های مختلف نقاط کلیدی جدا شده استفاده کنید.

1) یک نقطه منفرد قابل جابجایی تابع است
اگر محدودیت محدودی از تابع وجود داشته باشد
در نقطه :

.

2) یک قطب تابع است
، اگر

.

3) یک نقطه مفرد ضروری تابع است
، من چاقم
تابع محدودیتی ندارد، نه متناهی و نه نامتناهی.

تعریف 4.2. نقطه تماس گرفتصفر
سفارش (یا چندگانگی ) کارکرد
در صورت داشتن شرایط زیر:

…,

.

نکته 4.2. نقطه آنگاه و تنها پس از آن صفر است
سفارش کارکرد
هنگامی که، در برخی از محله های این نقطه، برابری

,

تابع کجاست
در آن نقطه تحلیلی است و

4) نقطه قطب نظم است (
) کارکرد
اگر این نقطه از ترتیب صفر باشد برای عملکرد
.

5) اجازه دهید - نقطه منفرد جدا شده از یک تابع
، جایی که
- توابع تحلیلی در یک نقطه . و اجازه دهید نقطه مرتبه صفر است کارکرد
و به ترتیب صفر کارکرد
.

در
نقطه قطب نظم است
کارکرد
.

در
نقطه یک نقطه منفرد قابل جابجایی تابع است
.

مثال 4.6.نقاط جدا شده را پیدا کنید و نوع آنها را برای تابع تعیین کنید
.

راه حل.کارکرد
و
- تحلیلی در کل صفحه پیچیده. از این رو، نقاط منفرد تابع
صفرهای مخرج هستند، یعنی نقاطی که در آن
. چنین نکاتی بی نهایت زیاد است. اول، این نکته است
و همچنین نقاطی که معادله را برآورده می کنند
. از اینجا
و
.

یک نکته را در نظر بگیرید
. در این مرحله دریافت می کنیم:

,
,

,
.

ترتیب صفر است
.

,
,

,
,

,
,

,
.

.

بنابراین نکته
یک قطب درجه دوم است (
).

. سپس

,
.

ترتیب عدد صفر است
.

,
,
.

ترتیب مخرج صفر است
. بنابراین، نکات
در
قطب های درجه یک هستند ( قطب های ساده ).

قضیه 4.1. (قضیه باقی مانده کوشی ). اگر تابع
بر روی مرز تحلیلی است مناطق
و در همه جای منطقه، به جز تعداد محدودی از نقاط منفرد
، آن

.

هنگام محاسبه انتگرال ها، ارزش دارد که تمام نقاط منفرد تابع را با دقت پیدا کنید
، سپس یک کانتور و نقاط خاص ترسیم کنید و پس از آن فقط نقاطی را انتخاب کنید که در داخل کانتور ادغام قرار می گیرند. انتخاب درست بدون عکس اغلب دشوار است.

روش محاسبه کسر
بستگی به نوع نقطه منفرد دارد. بنابراین، قبل از محاسبه باقیمانده، باید نوع نقطه منفرد را تعیین کنید.

1) باقی مانده عملکرد در یک نقطه برابر با ضریب منهای توان اول در بسط لوران است
در مجاورت نقطه :

.

این عبارت برای همه انواع نقاط جدا شده صادق است و بنابراین در این مورد نیازی به تعیین نوع نقطه منفرد نیست.

2) باقی مانده در نقطه منفرد قابل جابجایی برابر با صفر است.

3) اگر یک قطب ساده (قطب مرتبه اول)، و تابع است
را می توان به عنوان نشان داد
، جایی که
,
(توجه داشته باشید که در این مورد
، سپس باقیمانده در نقطه برابر است

.

به ویژه، اگر
، آن
.

4) اگر پس یک قطب ساده است

5) اگر - قطب
تابع مرتبه هفتم
، آن

مثال 4.7.انتگرال را محاسبه کنید
.

سپس با فرمول (4.7) باقیمانده را در این نقطه پیدا می کنیم:

به موجب قضیه 4.1 می یابیم

توابع یک متغیر مختلط
تمایز توابع یک متغیر مختلط.

این مقاله مجموعه ای از درس ها را باز می کند که در آنها مسائل معمولی مربوط به تئوری توابع یک متغیر مختلط را در نظر خواهم گرفت. برای تسلط موفقیت آمیز به مثال ها، باید دانش اولیه اعداد مختلط را داشته باشید. برای تجمیع و تکرار مطالب کافی است به صفحه مراجعه کنید. همچنین برای یافتن به مهارت هایی نیاز خواهید داشت مشتقات جزئی مرتبه دوم. اینجا هستند، این مشتقات جزئی ... حتی الان هم کمی متعجب بودم که چقدر اتفاق می افتد ...

موضوعی که ما شروع به تجزیه و تحلیل می کنیم چندان دشوار نیست و در توابع یک متغیر پیچیده ، در اصل ، همه چیز واضح و در دسترس است. نکته اصلی این است که به قانون اساسی پایبند باشید، که من به طور تجربی مشتق شده ام. ادامه مطلب

مفهوم تابع یک متغیر مختلط

ابتدا، اجازه دهید دانش خود را در مورد تابع مدرسه یک متغیر تجدید کنیم:

تابع یک متغیرقاعده ای است که طبق آن هر مقدار از متغیر مستقل (از حوزه تعریف) با یک و تنها یک مقدار تابع مطابقت دارد. به طور طبیعی، "x" و "y" اعداد واقعی هستند.

در مورد پیچیده وابستگی عملکردیبه همین ترتیب تنظیم می شود:

تابع تک ارزشی یک متغیر مختلطقانونی است که همه جامعمقدار متغیر مستقل (از دامنه) با یک و تنها یک مطابقت دارد جامعمقدار تابع در تئوری، چند ارزشی و برخی دیگر از انواع توابع نیز در نظر گرفته می شود، اما برای سادگی، من بر روی یک تعریف تمرکز می کنم.

تابع یک متغیر مختلط چیست؟

تفاوت اصلی این است که اعداد پیچیده هستند. کنایه نمیکنم از چنین سؤالاتی، آنها اغلب دچار گیجی می شوند، در پایان مقاله یک داستان جالب خواهم گفت. در درس اعداد مختلط برای آدمک هاما یک عدد مختلط را در فرم در نظر گرفتیم. از الان حرف "Z" تبدیل شده است متغیر، سپس آن را به صورت زیر نشان می دهیم: ، در حالی که "x" و "y" می توانند متفاوت باشند معتبرارزش های. به طور کلی، عملکرد یک متغیر مختلط به متغیرهای و بستگی دارد که مقادیر "معمول" را می گیرند. از جانب این حقیقتنکته زیر به طور منطقی به شرح زیر است:

تابع یک متغیر مختلط را می توان به صورت زیر نوشت:
، جایی که و دو تابع از دو هستند معتبرمتغیرها

تابع فراخوانی می شود بخش واقعیکارکرد .
تابع فراخوانی می شود قسمت خیالیکارکرد .

یعنی تابع یک متغیر مختلط به دو تابع واقعی و . برای روشن شدن همه چیز، بیایید به مثال های عملی نگاه کنیم:

مثال 1

راه حل:متغیر مستقل "z" همانطور که به یاد دارید به صورت زیر نوشته می شود، بنابراین:

(1) به تابع اصلی جایگزین شده است.

(2) برای اولین ترم، از فرمول ضرب کاهش یافته استفاده شد. در اصطلاح، براکت ها باز شد.

(3) با دقت مربع، فراموش نکنید که

(4) بازآرایی اصطلاحات: ابتدا اصطلاحات را بازنویسی کنید ، که در آن واحد خیالی وجود ندارد(گروه اول)، سپس اصطلاحات، جایی که وجود دارد (گروه دوم). لازم به ذکر است که لازم نیست اصطلاحات را به هم بزنید و این مرحلهرا می توان نادیده گرفت (در واقع انجام آن به صورت شفاهی).

(5) گروه دوم از پرانتز خارج شده است.

در نتیجه، تابع ما در فرم نشان داده شد

پاسخ:
بخش واقعی تابع است.
بخش خیالی تابع است.

این توابع چیست؟ معمولی ترین توابع دو متغیر است که از آن می توان چنین محبوبیتی پیدا کرد مشتقات جزئی. بدون رحم - ما پیدا خواهیم کرد. اما کمی بعد.

به طور خلاصه، الگوریتم مسئله حل شده را می توان به صورت زیر نوشت: ما تابع اصلی را جایگزین می کنیم، ساده سازی ها را انجام می دهیم و همه اصطلاحات را به دو گروه تقسیم می کنیم - بدون واحد خیالی (قسمت واقعی) و با یک واحد خیالی (قسمت خیالی).

مثال 2

قسمت واقعی و خیالی یک تابع را پیدا کنید

این یک مثال برای تصمیم مستقل. قبل از اینکه در هواپیمای پیچیده با پیش نویس خود را به نبرد بیندازید، اجازه دهید بیشترین مقدار را به شما بدهم توصیه مهمدر این مورد:

مراقب باش!البته در همه جا باید مراقب باشید، اما در اعداد مختلط باید بیشتر از همیشه مراقب باشید! به یاد داشته باشید که براکت ها را با دقت باز کنید، چیزی را از دست ندهید. طبق مشاهدات من، رایج ترین اشتباه از دست دادن علامت است. عجله نکن!

حل کامل و پاسخ در پایان درس.

حالا مکعب. با استفاده از فرمول ضرب اختصاری، به دست می آوریم:
.

استفاده از فرمول ها در عمل بسیار راحت است، زیرا روند حل را تا حد زیادی سرعت می بخشد.

تمایز توابع یک متغیر مختلط.

دو خبر دارم: خوب و بد. من با یک خوب شروع می کنم. برای تابعی از یک متغیر مختلط، قوانین تمایز و جدول مشتقات توابع ابتدایی معتبر است. بنابراین، مشتق دقیقاً به همان شکلی که در مورد تابعی از یک متغیر واقعی در نظر گرفته می شود.

خبر بد این است که برای بسیاری از توابع یک متغیر مختلط، هیچ مشتقی وجود ندارد و شما باید بفهمید قابل تمایز استیک تابع یا آن و "پیدا کردن" احساس قلب شما با مشکلات اضافی همراه است.

تابعی از یک متغیر مختلط را در نظر بگیرید. به منظور. واسه اینکه. برای اینکه عملکرد داده شدهقابل تمایز لازم و کافی بود:

1) برای اینکه مشتقات جزئی مرتبه اول وجود داشته باشد. فوراً این نمادها را فراموش کنید، زیرا در تئوری تابع یک متغیر مختلط، به طور سنتی از نسخه دیگری از نماد استفاده می شود: .

2) برای انجام به اصطلاح شرایط کوشی-ریمان:

فقط در این صورت است که مشتق وجود خواهد داشت!

مثال 3

راه حلبه سه مرحله متوالی تجزیه می شود:

1) قسمت های واقعی و خیالی تابع را بیابید. این کار در نمونه های قبلی تحلیل شده است، بنابراین بدون نظر آن را می نویسم:

از آن به بعد:

بدین ترتیب:

بخش خیالی تابع است.

من در یکی دیگر توقف خواهم کرد نکته فنی: به چه ترتیبیاصطلاحات را در قسمت های واقعی و خیالی بنویسید؟ بله، اساساً مهم نیست. به عنوان مثال، قسمت واقعی را می توان اینگونه نوشت: ، و خیالی - مانند این: .

2) اجازه دهید تحقق شرایط کوشی-ریمان را بررسی کنیم. دو تا از آنها موجود است.

بیایید با بررسی شرایط شروع کنیم. ما پیدا می کنیم مشتقات جزئی:

بدین ترتیب شرط محقق می شود.

بدون شک، خبر خوب این است که مشتقات جزئی تقریباً همیشه بسیار ساده هستند.

تحقق شرط دوم را بررسی می کنیم:

همینطور شد، اما با علائم مخالف، یعنی شرط هم محقق شد.

شرایط کوشی-ریمان برآورده می شود، بنابراین، تابع قابل تمایز است.

3) مشتق تابع را بیابید. مشتق نیز بسیار ساده است و طبق قوانین معمول یافت می شود:

واحد خیالی در تمایز یک ثابت در نظر گرفته می شود.

پاسخ: - بخش واقعی قسمت خیالی است
شرایط کوشی-ریمان برآورده شده است.

دو راه دیگر برای یافتن مشتق وجود دارد، البته از آنها کمتر استفاده می شود، اما اطلاعات برای درک درس دوم مفید خواهد بود - چگونه تابع یک متغیر مختلط را پیدا کنیم؟

مشتق را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد:

که در این مورد:

بدین ترتیب

حل مشکل معکوس ضروری است - در عبارت حاصل، باید جداسازی کنید. برای انجام این کار، از نظر شرایط و از داخل پرانتز لازم است:

عمل معکوس، همانطور که بسیاری متوجه شده اند ، انجام آن تا حدودی دشوارتر است ، برای تأیید همیشه بهتر است یک عبارت را بگیرید و روی پیش نویس یا به صورت شفاهی براکت ها را باز کنید و مطمئن شوید که دقیقاً معلوم می شود

فرمول آینه ای برای یافتن مشتق:

در این مورد: ، از همین رو:

مثال 4

قسمت های واقعی و خیالی یک تابع را مشخص کنید . انجام شرایط کوشی-ریمان را بررسی کنید. اگر شرایط کوشی-ریمان برقرار است، مشتق تابع را پیدا کنید.

یک راه حل کوتاه و یک نمونه تقریبی از اتمام در پایان درس.

آیا شرایط کوشی-ریمان همیشه برآورده می شود؟ از نظر تئوری، آنها بیشتر از آنچه که هستند برآورده نمی شوند. اما در مثال های عملی، موردی را به خاطر نمی آورم که آنها اجرا نشده باشند =) بنابراین، اگر مشتقات جزئی شما "همگرا نشدند"، با احتمال بسیار زیاد می توانیم بگوییم که در جایی اشتباه کرده اید.

بیایید توابع خود را پیچیده کنیم:

مثال 5

قسمت های واقعی و خیالی یک تابع را مشخص کنید . انجام شرایط کوشی-ریمان را بررسی کنید. محاسبه

راه حل:الگوریتم حل به طور کامل حفظ شده است، اما در پایان یک مد جدید اضافه می شود: یافتن مشتق در یک نقطه. برای مکعب، فرمول مورد نیاز قبلاً استخراج شده است:

بیایید قسمت های واقعی و خیالی این تابع را تعریف کنیم:

توجه و دوباره توجه!

از آن به بعد:


بدین ترتیب:
بخش واقعی تابع است.
بخش خیالی تابع است.

بررسی شرط دوم:

همینطور شد، اما با علائم مخالف، یعنی شرط هم محقق شد.

شرایط کوشی-ریمان برآورده می شود، بنابراین، تابع قابل تفکیک است:

مقدار مشتق را در نقطه مورد نظر محاسبه کنید:

پاسخ:، شرایط کوشی-ریمان برآورده می شود،

توابع با مکعب رایج هستند، بنابراین یک مثال برای ادغام:

مثال 6

قسمت های واقعی و خیالی یک تابع را مشخص کنید . انجام شرایط کوشی-ریمان را بررسی کنید. محاسبه .

تصمیم گیری و اتمام نمونه در پایان درس.

در نظریه تحلیل مختلط، سایر توابع یک آرگومان مختلط نیز تعریف می شود: نمایی، سینوسی، کسینوس و غیره. این توابع دارای خواص غیر معمول و حتی عجیب و غریب هستند - و واقعا جالب است! من واقعاً می خواهم به شما بگویم، اما در اینجا، این اتفاق افتاده است، نه یک کتاب مرجع یا یک کتاب درسی، بلکه یک راه حل، بنابراین من همان کار را با برخی از عملکردهای رایج در نظر خواهم گرفت.

اول در مورد به اصطلاح فرمول های اویلر:

برای هرکس معتبراعداد، فرمول های زیر معتبر هستند:

همچنین می توانید آن را به عنوان مرجع در دفترچه یادداشت خود کپی کنید.

به طور دقیق، فقط یک فرمول وجود دارد، اما معمولا، برای راحتی، آنها نیز می نویسند مورد خاصبا نشانگر منهای لازم نیست پارامتر یک حرف واحد باشد، می تواند یک عبارت پیچیده، یک تابع باشد، فقط مهم است که آنها را بگیرند. فقط معتبرارزش های. در واقع، ما آن را همین الان خواهیم دید:

مثال 7

مشتق را پیدا کنید.

راه حل:خط کلی حزب تزلزل ناپذیر می ماند - لازم است بخش های واقعی و خیالی عملکرد را مشخص کرد. من میارم راه حل دقیقو هر مرحله را در زیر نظر دهید:

از آن به بعد:

(1) جایگزین "z".

(2) پس از تعویض، لازم است که قسمت واقعی و خیالی از هم جدا شود اول در توانغرفه داران برای این کار براکت ها را باز کنید.

(3) بخش خیالی نشانگر را گروه بندی می کنیم و واحد خیالی را خارج از پرانتز قرار می دهیم.

(4) از اقدامات مدرسه با قدرت استفاده کنید.

(5) برای ضریب، از فرمول اویلر استفاده می کنیم، در حالی که .

(6) براکت ها را باز می کنیم، در نتیجه:

بخش واقعی تابع است.
بخش خیالی تابع است.

اقدامات بعدیاستاندارد هستند، ما تحقق شرایط کوشی-ریمان را بررسی می کنیم:

مثال 9

قسمت های واقعی و خیالی یک تابع را مشخص کنید . انجام شرایط کوشی-ریمان را بررسی کنید. بنابراین، ما مشتق را پیدا نمی کنیم.

راه حل:الگوریتم حل بسیار شبیه به دو مثال قبلی است، اما بسیار وجود دارد نکات مهم، از همین رو مرحله اولمن دوباره مرحله به مرحله نظر خواهم داد:

از آن به بعد:

1) به جای "ز" جایگزین می کنیم.

(2) ابتدا قسمت واقعی و خیالی را انتخاب کنید داخل سینوس. برای این منظور براکت ها را باز کنید.

(3) از فرمول , while استفاده می کنیم .

(4) استفاده کنید برابری کسینوس هذلولی: و عجیب بودن سینوسی هایپربولیک: . هذلولی ها، اگرچه از این جهان نیستند، اما از بسیاری جهات شبیه توابع مثلثاتی مشابه هستند.

در نهایت:
بخش واقعی تابع است.
بخش خیالی تابع است.

توجه!علامت منفی مربوط به قسمت خیالی است و به هیچ وجه نباید آن را از دست بدهیم! برای یک تصویر بصری، نتیجه به دست آمده در بالا را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

بیایید تحقق شرایط کوشی-ریمان را بررسی کنیم:

شرایط کوشی-ریمان برآورده شده است.

پاسخ:, , شرایط کوشی-ریمان برآورده می شود.

با کسینوس، خانم ها و آقایان، ما خودمان می فهمیم:

مثال 10

قسمت های واقعی و خیالی تابع را مشخص کنید. انجام شرایط کوشی-ریمان را بررسی کنید.

من عمداً نمونه های پیچیده تری را انتخاب کردم، زیرا همه می توانند چیزی مانند بادام زمینی پوست کنده را کنترل کنند. در عین حال توجه خود را تربیت کنید! فندق شکن در پایان درس.

خوب، در پایان، من یک مورد دیگر را در نظر خواهم گرفت مثال جالبوقتی آرگومان مختلط در مخرج باشد. ما چند بار در عمل ملاقات کردیم، بیایید یک چیز ساده را تجزیه و تحلیل کنیم. وای دارم پیر میشم...

مثال 11

قسمت های واقعی و خیالی تابع را مشخص کنید. انجام شرایط کوشی-ریمان را بررسی کنید.

راه حل:باز هم لازم است که قسمت واقعی و خیالی تابع را از هم جدا کنیم.
اگر پس از آن

این سوال پیش می آید که وقتی "Z" در مخرج است چه باید کرد؟

همه چیز ساده است - استاندارد کمک خواهد کرد روش ضرب صورت و مخرج در عبارت مزدوج، قبلاً در مثال های درس استفاده شده است اعداد مختلط برای آدمک ها. بیایید فرمول مدرسه را به خاطر بسپاریم. در مخرجی که از قبل داریم , بنابراین عبارت مزدوج خواهد بود . بنابراین، شما باید صورت و مخرج را ضرب کنید: