Классификация моделей по способу представления. Классификация моделей по различным классификационным признакам

Понятие модели, ее функции. Общая классификация моделей. Этапы машинного моделирования. 1

Метод статистического моделирования. Общая характеристика. 3

Моделирование случайных воздействий: случайные события. 5

Генерация непрерывных случайных величин. Основные методы генерации. 6

Основные понятия планирования эксперимента. Понятие фактора, отклика. 10

Марковские СМО. Граф состояний. Правила составления уравнений Колмогорова. 14

Основные характеристики СМО и соотношения между ними. 16

Одноканальные СМО с ожиданием 16

Многоканальные СМО с ожиданием 18

Понятие модели, ее функции. Общая классификация моделей. Этапы машинного моделирования.

В настоящее время полное и всестороннее исследование реальных систем невозможно без методов моделирования на ЭВМ. Именно моделирование является средством, позволяющим без капитальных затрат решать проблемы построения больших систем, эффективного управления этими системами.

Общепринятого определения модели в настоящее время не существует. Приведем некоторые из них (наиболее распространенные).

Модель является представлением объекта, системы или понятия в некоторой форме, отличной от формы их реального существования.

Модель - это объект-заместитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала.

Математическая модель сложного объекта представляет собой некоторую знаковую систему, собственные свойства которой настолько близки к свойствам исследуемого объекта, что это позволяет при помощи экспериментов с ней на ЭВМ получить интересующую информацию о поведении или свойствах системы в заданных условиях.

Модель объекта может быть или точной копией этого объекта или отображать некоторые характерные свойства объекта в абстрактной форме. Модель служит обычно средством, помогающим нам в объяснении, понимании или совершенствовании системы. В настоящее время моделирование становится не только эффективным методом научных исследований сложных объектов, но и мощным инструментом конструирования и проектирования сложных систем. Качество решений задач, получаемых с помощью математического моделирования, определяется степенью адекватности модели реальному объекту (т.е. насколько результаты моделирования соответствуют результатам работы реального объекта. Результат моделирования зависит от степени адекватности модели, правильности исходных предпосылок, умения исследователя правильно применять используемые методы, правильной интерпретации результатов.

В настоящее время существует несколько больших классов моделей.

Так как выбор класса зависит от целей исследования и свойств сложной системы, рассмотрим основные функции, выполняемые моделями сложных систем.

Объяснительная функция модели - модель может помочь упорядочить нечеткие или противоречивые понятия: выявить взаимозависимости, временные соотношения; помочь интерпретировать данные натурного эксперимента. Уже сама попытка формализовать - помогает в понимании функционирования объекта;

Информационная функция - означает возможность использования модели как средства для накопления и хранения знаний об объекте;

Обучающая функция - модель может служить для обучения и тренажа лиц, которые должны уметь справляться с всевозможными случайностями до возникновения реальной критической ситуации (модели космических кораблей, различные тренажеры, деловые игры);

Предсказательная функция модели связана с возможностью прогнозировать с заданной точностью по некоторым данным натурных экспериментов поведение и свойства объекта (одна из наиболее важных);

Функция постановки и проведения экспериментов : для объектов, где экспериментирование на реальных системах невозможно или нецелесообразно (люди, природа, атомные реакторы). Дает возможность характеризовать свойства объекта моделирования в различных состояниях.

Зачастую одна модель может выполнять одновременно несколько функций (использоваться для проведения экспериментов и для прогноза; проведения экспериментов и объяснения; для обучения и накопления знаний).

Классификация моделей

Модели вообще и имитационные модели в частности можно классифицировать различными способами. Каждый служит определенной цели.

Некоторые типовые группы моделей:

статические и динамические;

детерминированные и стохастические;

дискретные и непрерывные.

Удобно представить себе имитационные модели в виде непрерывного спектра, простирающегося от точных моделей или макетов реальных объектов до совершенно абстрактных математических моделей:

Модели, находящиеся в начале спектра - физические или натурные , т.к. они внешне напоминают изучаемую систему. Здесь используются макеты в натуральную величину или уменьшенные модели. Статические физические модели (архитектурные объекты) помогают наглядно представить пространственные соотношения. Динамическая физическая модель - модель опытного завода (в масштабе) предназначается для изучения процесса функционирования систем.

Полномасштабные макеты - тренажеры. Модель может быть в уменьшенном масштабе (солнечная система) или в увеличенном (атом).

Аналоговыми являются модели, в которых свойство реального объекта представляется некоторым другим свойством аналогичного по поведению объекта. Примером может служить аналоговая ЭВМ, в которой изменение напряжения в сети определенной конфигурации может отображать поток товаров в некоторой системе. График также является аналоговой моделью: здесь расстояние отображает такие характеристики объекта, как время, срок службы, количество единиц и т.д. Графические решения возможны при планировании производства, для определенных задач линейного программирования, а также для игровых задач. Иногда графики используются совместно с математическими моделями. Схемы также являются аналоговыми моделями.

Моделирование, где во взаимодействие вступают люди и машинные компоненты, часто называется играми (управленческими, военными, планировочными). В деловых играх человек взаимодействует с информацией, поступающей с выхода вычислительной машины (которая моделирует все другие свойства системы), и принимает решение на основе полученной информации. Решения человека затем снова сводятся в машину в качестве входной информации.

К символическим или математическим моделям относятся те, в которых для представления процесса или системы используются символы, а не физические устройства. Обычный пример - системы дифференциальных уравнений.

В большинстве случаев в результате системных исследований появляются несколько различных моделей одной и той же системы.

Классификация кибернетических моделей

Кибернетика занимается процессами управления в живой и неживой природе, связанными с преобразованием информации. Поэтому рассмотрим существующие кибернетические модели (КМ).

Классификация КМ, связанная с математическим аппаратом, выделяет 5 основных классов:

массового обслуживания и надежности (МО)

• распознавания образов (РО)

  графовые

  алгебраические.

Каждый класс может быть разделен на подклассы, например, модели МО - на одноканальные, многоканальные, замкнутые.

При решении каждой конкретной задачи, при моделировании одной и той же системы могут быть использованы различные модели в зависимости от поставленной цели.

Этапы моделирования

С развитием вычислительной техники наиболее эффективным методом исследования больших систем стало машинное моделирование.

Этапы машинного моделирования реальных систем:

определение системы - установление границ, ограничений и измерителей эффективности изучаемой системы;

формулирование модели - переход от реальной системы к некоторой логической схеме (абстрагирование);

подготовка данных - отбор данных, необходимых для построения модели, и представление их в соответствующей форме;

трансляция модели - описание модели на языке, приемлемом для используемой ЭВМ;

оценка адекватности - повышение до приемлемого уровня степени уверенности, с которой можно судить относительно корректности выводов о реальной системе, полученных на основании обращения к модели;

стратегическое планирование - планирование эксперимента, который должен дать необходимую информацию;

тактическое планирование - определение способа проведения каждой серии испытаний, предусмотренных планом эксперимента;

экспериментирование - процесс осуществления имитации с целью получения желаемых данных и анализа чувствительности;

интерпретация - построение выводов по данным, полученным путем имитации;

реализация - практическое использование модели и /или результатов моделирования.

Если результаты удовлетворяют исследователя, то на этом процесс моделирования завершается, в противном случае возможен возврат на любой предыдущий этап моделирования.

При использовании метода моделирования свойства и поведение объекта изучают путем применения вспомогательной системы – модели, находящейся в определенном объективном соответствии с исследуемым объектом.

Под объектом исследования понимается либо некоторая система, элементы которой в процессе достижения конечной цели реализуют один или несколько процессов, либо некоторый процесс, реализуемый элементами одной или нескольких систем. В связи с этим в дельнейшем тексте термины «модель объекта», «модель системы», «модель процесса» следует воспринимать как эквивалентные.

Представления о тех или иных свойствах объектов, их взаимосвязях формируются исследователем в виде описания этих объектов на обычном языке, в виде рисунков, графиков, формул или реализуются в виде макетов и других устройств. Подобные способы описания обобщаются в едином понятии – модель , а построение и изучение моделей называетсямоделированием .

Заслуживает предпочтения следующее определение: модель – объект любой природы, который создается исследователем с целью получения новых знаний об объекте-оригинале и отражает только существенные (с точки зрения разработчика) свойства оригинала.

Модель считается адекватной объекту-оригиналу, если она с достаточной степенью приближения на уровне понимания моделируемого процесса исследователем отражает закономерности процесса функционирования реальной системы во внешней среде.

Модели позволяют вынести упрощенное представление о системе и получить некоторые результаты намного проще, чем при изучении реального объекта. Более того, гипотетически модели объекта могут быть исследованы и изучены перед тем, как объект будет создан.

В практике исследования производственно-экономических объектов модели могут применяться для самых разных целей, что вызывает использование моделей различных классов. Построение одной-единственной математической модели для сложной производственной системы практически не представляется возможным без разработки вспомогательных моделей. Поэтому, как правило, при создании конечной математической модели исследуемого объекта строят частные вспомогательные модели, отражающие ту или иную информацию об объекте, имеющуюся у разработчика на данном этапе построения модели.

В основе моделирования лежит теория подобия , которая утверждает, что абсолютное подобие может иметь место лишь при замене одного объекта другим точно таким же. При моделировании абсолютное подобие не имеет места и стремятся к тому, чтобы модель достаточно хорошо отображала исследуемую сторону функционирования объекта.

Классификационные признаки. В качестве одного из первых признаков классификации видов моделирования можно выбрать степень полноты модели и разделить модели в соответствии с этим признаком на полные, неполные и приближенные. В основе полного моделирования лежит полное подобие, которое проявляется как во времени, так и в пространстве. Для неполного моделирования характерно неполное подобие модели изучаемому объекту. В основе приближенного моделирования лежит приближенное подобие, при котором некоторые стороны функционирования реального объекта не моделируются совсем. Классификация видов моделирования системS приведена на рис.1.1.

В зависимости от характера изучаемых процессов в системе S все виды моделирования могут быть разделены на детерминированные и стохастические, статические и динамические, дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные.Детерминированное моделирование отображает детерминированные процессы, т.е. процессы, в которых предполагается отсутствие всяких случайных воздействий;стохастическое моделирование отображает вероятностные процессы и события. В этом случае анализируется ряд реализаций случайного процесса и оцениваются средние характеристики, т.е. набор однородных реализаций.Статическое моделирование служит для описания поведения объекта в какой-либо момент времени, адинамическое моделирование отражает поведение объекта во времени.Дискретное моделирование служит для описания процессов, которые предполагаются дискретными, соответственно непрерывное моделирование позволяет отразить непрерывные процессы в системах, адискретно-непрерывное моделирование используется для тех случаев, когда хотят выделить наличие как дискретных, так и непрерывных процессов.

В зависимости от формы представления объекта (системы S ) можно выделить мысленное и реальное моделирование.

Мысленное моделирование часто является единственным способом моделирования объектов, которые либо практически нереализуемы в заданном интервале времени, либо существуют вне условий, возможных для их физического создания. Например, на базе мысленного моделирования могут быть проанализированы многие ситуации микромира, которые не поддаются физическому эксперименту. Мысленное моделирование может быть реализовано в виде наглядного, символического и математического.

Рис. 1.1. Классификация видов моделирования систем

При наглядном моделировании на базе представлений человека о реальных объектах создаются различные наглядные модели, отображающие явления и процессы, протекающие в объекте. В основугипотетического моделирования исследователем закладывается некоторая гипотеза о закономерностях протекания процесса в реальном объекте, которая отражает уровень знаний исследователя об объекте и базируется на причинно-следственных связях между входом и выходом изучаемого объекта. Гипотетическое моделирование используется, когда знаний об объекте недостаточно для построения формальных моделей.

Аналоговое моделирование основывается на применении аналогий различных уровней. Наивысшим уровнем является полная аналогия, имеющая место только для достаточно простых объектов. С усложнением объекта используют аналогии последующих уровней, когда аналоговая модель отображает несколько либо только одну сторону функционирования объекта.

Существенное место при мысленном наглядном моделировании занимает макетирование . Мысленный макет может применяться в случаях, когда протекающие в реальном объекте процессы не поддаются физическому моделированию, либо может предшествовать проведению других видов моделирования. В основе построения мысленных макетов также лежат аналогии, однако обычно базирующиеся на причинно-следственных связях между явлениями и процессами в объекте. Если ввести условное обозначение отдельных понятий, т.е. знаки, а также определенные операции между этими знаками, то можно реализоватьзнаковое моделирование и с помощью знаков отображать набор понятий – составлять отдельные цепочки из слов и предложений. Используя операции объединения, пересечения и дополнения теории множеств, можно в отдельных символах дать описание какого-то реального объекта.

В основе языкового моделирования лежит некоторый тезаурус. Последний образует из наборов входящих понятий, причем этот набор должен быть фиксированным. Следует отметить, что между тезаурусом и обычным словарем имеются принципиальные различия. Тезаурус – словарь, который очищен от неоднозначности, т.е. в нем каждому слову может соответствовать лишь единственное понятие, хотя в обычном словаре одному слову могут соответствовать несколько понятий.

Символическое моделирование представляет собой искусственный процесс создания логического объекта, который замещает реальный и выражает основные свойства его отношений с помощью определенной системы знаков и символов.

Математическое моделирование. Для исследования характеристик процесса функционирования любой системыS математическими методами, включая и машинные, должна быть проведена формализация этого процесса, т.е. построена математическая модель.

Под математическим моделированием будем понимать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получать характеристики рассматриваемого реального объекта. Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и задач исследования объекта и требуемой достоверности и точности решения этой задачи. Любая математическая модель, как и всякая другая, описывает реальный объект лишь с некоторой степенью приближения к действительности. Математическое моделирование для исследования характеристик процесса функционирования систем можно разделить на аналитическое, имитационное и комбинированное.

Для аналитического моделирования характерно то, что процессы функционирования элементов системы записываются в виде некоторых функциональных соотношений (алгебраических, интегродифференциальных, конечно-разностных и т.п.) или логических условий.Аналитическая модель может быть исследована следующими методами: а) аналитическим, когда стремятся получить в общем виде явные зависимости для искомых характеристик; б) численным, когда, не умея решать уравнения в общем виде, стремятся получить числовые результаты при конкретных начальных данных; в) качественным, когда, не имея решения в явном виде, можно найти некоторые свойства решения (например, оценить устойчивость решения).

Наиболее полное исследование процесса функционирования системы можно провести, если известны явные зависимости, связывающие искомые характеристики с начальными условиями, параметрами и переменными системы S . Однако такие зависимости удается получить только для сравнительно простых систем. При усложнении систем исследование их аналитическим методом наталкивается на значительные трудности, которые часто бывают непреодолимыми. Поэтому, желая использовать аналитический метод, в этом случае идут на существенное упрощение первоначальной модели, чтобы иметь возможность изучить хотя бы общие свойства системы. Такое исследование на упрощенной модели аналитическим методом помогает получить ориентировочные результаты для определения более точных оценок другими методами. Численный метод позволяет исследовать по сравнению с аналитическим методом более широкий класс систем, но при этом полученные решения носят частный характер. Численный метод особенно эффективен при использовании ЭВМ.

В отдельных случаях исследования системы могут удовлетворить и те выводы, которые можно сделать при использовании качественного метода анализа математической модели. Такие качественные методы широко используются, например, в теории автоматического управления для оценки эффективности различных вариантов систем управления.

В настоящее время распространены методы машинной реализации исследования характеристик процесса функционирования больших систем. Для реализации математической модели на ЭВМ необходимо построить соответствующий моделирующий алгоритм.

При имитационном моделировании реализующий модель алгоритм воспроизводит процесс функционирования системыS во времени, причем имитируются элементарные явления, составляющие процесс с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени, что позволяет по исходным данным получить сведения о состояниях процесса в определенные моменты времени, дающие возможность оценить характеристики системыS .

Основным преимуществом имитационного моделирования по сравнению с аналитическим является возможность решения более сложных задач. Имитационные модели позволяют достаточно просто учитывать такие факторы, как наличие дискретных и непрерывных элементов, нелинейные характеристики элементов системы, многочисленные случайные воздействия и др., которые часто создают трудности при аналитических исследованиях. В настоящее время имитационное моделирование – наиболее эффективный метод исследования больших систем, а часто и единственный практически доступный метод получения информации о поведении системы, особенно на этапах ее проектирования.

Когда результаты, полученные при воспроизведении на имитационной модели процесса функционирования системы S , Являются реализациями случайных величин и функций, тогда для нахождения характеристик процесса требуется его многократное воспроизведение с последующей статистической обработкой информации и целесообразно в качестве метода машинной реализации имитационной модели использовать метод статистического моделирования. Первоначально был разработан метод статистических испытаний, представляющий собой численный метод, который применялся для моделирования случайных величин и функций, вероятностные характеристики которых совпадали с решениями аналитических задач (такая процедура получила название метода Монте-Карло). Затем этот прием стали применять и для машинной имитации с целью исследования характеристик процессов функционирования систем, подверженных случайным воздействиям, т.е. появился метод статистического моделирования. Таким образом,методом статистического моделирования будем в дальнейшем называть метод машинной реализации имитационной модели, аметодом статистических испытаний (Монте-Карло) – численный метод решения аналитической задачи.

Метод имитационного моделирования позволяет решать задачи анализа больших систем S , включая задачи оценки: вариантов структуры системы, эффективности различных алгоритмов управления системой, влияния изменения различных параметров системы. Имитационное моделирование может быть положено также в основу структурного, алгоритмического и параметрического синтеза больших систем, когда требуется создать систему, с заданными характеристиками при определенных ограничениях, которая является оптимальной по некоторым критериям оценки эффективности.

При решении задач машинного синтеза систем на основе их имитационных моделей помимо разработки моделирующих алгоритмов для анализа фиксированной системы необходимо также разработать алгоритмы поиска варианта системы. Бале в методологии машинного моделирования будем различать два основных раздела: статику и динамику, – основным содержанием которых являются соответственно вопросы анализа и синтеза систем, заданных моделирующими алгоритмами.

Комбинированное (аналитико-имитационное) моделирование при анализе и синтезе систем позволяет объединить достоинства аналитического и имитационного моделирования. При построении комбинированных моделей проводится предварительная декомпозиция процесса функционирования объекта на составляющие подпроцессы и для тех из них, где это возможно, используются аналитические модели. Такой комбинированный подход позволяет охватить качественно новые классы систем, которые не могут быть исследованы с использованием только аналитического и имитационного моделирования в отдельности.

Другие виды моделирования . Приреальном моделировании используется возможность исследования различных характеристик либо на реальном объекте целиком, либо на его части. Такие исследования могут проводиться как на объектах, работающих в нормальных режимах, так и при организации специальных режимов для оценки интересующих исследователя характеристик (при других значениях переменных и параметров, в другом масштабе времени и т.п.). Реальное моделирование является наиболее адекватным, но при этом его возможности с учетом особенностей реальных объектов ограничены. Например, проведение реального моделирования АСУ предприятием потребует, во-первых, создания такой АСУ, а во-вторых, проведения экспериментов с управляемым объектом, т.е. предприятием, что в большинстве случаев невозможно.

К основным разновидностям реального моделирования относятся:

Натурное моделирование , под которым понимают проведение исследования на реальном объекте с последующей обработкой результатов эксперимента на основе теории подобия. При функционировании объекта в соответствии с поставленной целью удается выявить закономерности протекания реального процесса. Необходимо отметить, что такие разновидности натурного эксперимента, как производственный эксперимент и комплексные испытания, обладают высокой степенью достоверности.

Физическое моделирование отличается от натурного тем, что исследование проводится на установках, которые сохраняют природу явлений и обладают физическим подобием.

С точки зрения математического описания объекта и в зависимости от его характера модели можно разделить на модели аналоговые (непрерывные), цифровые (дискретные) и аналого-цифровые (комбинированные). Под аналоговой моделью понимается модель, которая описывается уравнениями, связывающими непрерывные величины. Подцифровой понимается модель, которая описывается уравнениями, связывающими дискретные величины, представленные в цифровом виде. Поданалого-цифровой понимается модель, которая может быть описана уравнениями, связывающими непрерывные и дискретные величины.

Особое место в моделировании занимает кибернетическое моделирование , в котором отсутствует непосредственное подобие физических процессов, происходящих в моделях, реальным процессам. В этом случае стремятся отобразить лишь некоторую функцию и рассматривают реальный объект как «черный ящик», имеющий ряд входов и выходов, и моделируют некоторые связи между выходами и входами. Чаще всего при использовании кибернетических моделей проводят анализ поведенческой стороны объекта при различных воздействиях внешней среды. Таким образом, в основе кибернетических моделей лежит отражение некоторых информационных процессов управления, что позволяет оценить поведение реального объекта. Для построения имитационной модели в этом случае необходимо выделить исследуемую функцию реального объекта, попытаться формализовать эту функцию в виде некоторых операторов связи между входом и выходом и воспроизвести на имитационной модели данную функцию, причем на базе совершенно иных математических соотношений и, естественно, иной физической реализации процесса.

Целевое назначение модели. По целевому назначению модели подразделяются на модели структуры, функционирования и стоимостные (модели расхода ресурсов).

Модели структуры отображают связи между компонентами объекта и внешней средой и подразделяются на:

каноническую модель , характеризующую взаимодействие объекта с окружением через входы и выходы;

модель внутренней структуры , характеризующую состав компонентов объекта и связи между ними;

модель иерархической структуры (дерево системы), в которой объект (целое) расчленяется на элементы более низкого уровня, действия которых подчинены интересам целого.

Модель структуры обычно представляется в виде блок-схемы, реже графов и матриц связей.

Модели функционирования включают широкий спектр символических моделей, например:

модель жизненного цикла системы, описывающая процессы существования системы от зарождения замысла ее создания до прекращения функционирования;

модели операций, выполняемых объектом и представляющих описание взаимосвязанной совокупности процессов функционирования отдельных элементов объекта при реализации тех или иных функций объекта. Так, в состав моделей операций могут входить модели надежности, характеризующие выход элементов системы из строя под влиянием эксплуатационных факторов, и модели живучести факторов, характеризующие выход элементов системы из строя под влиянием целенаправленного воздействия внешней среды;

информационные модели, отображающие во взаимосвязи источники и потребители информации, виды информации, характер ее преобразования, а также временные и количественные характеристики данных;

процедурные модели, описывающие порядок взаимодействия элементов исследуемого объекта при выполнении различных операций, например обработки материалов, деятельности персонала, использования информации, в том числе и реализации процедур принятия управленческих решений;

временные модели, описывающие процедуру функционирования объекта во времени и распределение ресурса «время» по отдельным компонентам объекта.

Стоимостные модели, как правило, сопровождают модели функционирования объекта и по отношению к ним вторичны, «питаются» от них информацией и совместно с ними позволяют проводить комплексную технико-экономическую оценку объекта или его оптимизацию по экономическим критериям.

При анализе и оптимизации производственно-экономических объектов проводится объединение построенных математических функциональных моделей с математическими стоимостными моделями в единую экономико-математическую модель.

Насколько можно судить по литературным источникам общепринятой классификации моделей экономических систем пока не существует. Однако представляется достаточно полезной классификация математических моделей экономических систем, приведенная в книге Т. Нейлора «Машинные имитационные эксперименты с моделями экономических систем» (1971 г.) (рис. 1.2).

Рис.1.2. Классификация экономических моделей

Экономико-математической моделью (ЭММ) называется выражение, состоящее из совокупности связанных между собой математическими зависимостями (формулами, уравнениями, неравенствами, логическими условиями величин – факторов, все или часть которых имеют экономический смысл. По своей роли в ЭММ эти факторы целесообразно подразделить на параметры и характеристики (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Классификация факторов по их роли в ЭВМ

При этом параметрами объекта называются факторы, характеризующие свойства объекта или составляющих его элементов. В процессе исследования объекта ряд параметров может изменяться, поэтому они называютсяпеременными, которые в свою очередь подразделяются на переменные состояния и переменные управления. Как правило, переменные состояния объекта являются функцией переменных управления и воздействий внешней среды.Характеристиками (выходными характеристиками) называются интересующие исследователя непосредст-венные конечные результаты функционирования объекта (естественно, что выходные характеристики являются переменными состояния). Соответственно характеристики внешней среды описывают свойства внешней среды, которые сказываются на процессе и результате функционирования объекта. Значения ряда факторов, определяющие начальное состояние объекта или внешней среды, называютсяначальными условиями.

При рассмотрении ЭММ оперируют следующими понятиями: критерий оптимальности, целевая функция, система ограничений, уравнения связи, решение модели.

Критерием оптимальности называется некоторый показатель, имеющий экономическое содержание, служащий формализацией конкретной цели управления и выражаемый при помощи целевой функции через факторы модели. Критерий оптимальности определяет смысловое содержание целевой функции. В ряде случаев в качестве критерия оптимальности может выступать одна из выходных характеристик объекта.

Целевая функция математически связывает между собой факторы модели, ее значение определяется значениями этих величин. Содержательный смысл целевой функции придает только критерий оптимальности.

Не следует смешивать критерий оптимальности и целевую функцию. Так, например, критерий прибыли и стоимости произведенной продукции могут описываться одной и той же целевой функцией:

, (1.1)

где
– номенклатура производимой продукции;– объем выпускаi -ой номенклатуры;– прибыль от выпуска единицыi -ой номенклатуры или стоимость единицыi -ой номенклатуры в зависимости от смысла критерия оптимальности.

Критерий прибыли может рассчитываться и по нелинейной целевой функции:

, (1.2)

Если прибыль от выпуска единицы i -ой номенклатуры является функцией от объема выпуска.

При наличии нескольких критериев оптимальности каждый из них будет формализован своей частной целевой функцией , где
– число критериев оптимальности. Для однозначного выбора оптимального решения исследователь может сформулировать новую целевую функцию

Однако целевая функция может уже не нести экономического смысла, в этом случае критерий оптимальности для нее отсутствует.

Система ограничений определяет пределы, сужающие область осуществимых, приемлемых или допустимых решений и фиксирующие основные внешние и внутренние свойства объекта. Ограничения определяют область протекания процесса, пределы изменения параметров и характеристик объекта.

Уравнения связи являются математической формализацией системы ограничений. Между понятиями «система ограничений» и «Уравнения связи» существует точно такая же аналогия, как между понятиями «критерий оптимальности» и «целевая функция»: различные по смыслу ограничения могут описываться одинаковыми уравнениями связи, а одно и то же ограничение в разных моделях записываться различными уравнениями связи.

Таким образом, именно критерий оптимальности и система ограничений в первую очередь определяют концепцию построения будущей математической модели, т.е. концептуальную модель, а их формализация, т.е. целевая функция и уравнения связи, представляют собой математическую модель.

Решением математической модели называется такой набор (совокупность) значений переменных, который удовлетворяет ее уравнениям связи. Решения, имеющие экономический смысл, называют структурно допустимыми. Модели, имеющие много решений, называются вариантными в отличие от безвариантных, имеющих одно решение. Среди структурно допустимых решений вариантной модели, как правило, находится одно решение, при котором целевая функция в зависимости от смысла модели имеет наибольшее или наименьшее значение. Такое решение, как и соответствующее значение целевой функции, называетсяоптимальным (в частности, наименьшим или наибольшим).

Использование ЭММ, особенно оптимальных, предполагает не только построение модели, соответствующей поставленной задаче, но и ее решение при помощи подходящего метода. В связи с этим иногда под моделированием (в узком смысле) понимается этап нахождения решения модели, т.е. вычисления значений исследуемых характеристик и определение оптимальности различных вариантов изучаемого объекта с целью выбора наилучшего варианта его построения и функционирования. Данный этап представляет собой реализацию и исследование ЭММ на определенном наборе вычислительных средств. Выбор метода решения оптимизационных ЭММ зависит от математической формы, связывающей факторы модели, наличия тех или иных признаков (учет динамики, учет стохастичности и т.д.). С точки зрения корректного выбора метода решения модели наиболее существенными признаками являются характер цели исследования, формализованность связей между параметрами и характеристиками, учет вероятностной природы объекта, а также фактора времени.

По характеру цели исследования ЭММ делятся на оптимизационные (нормативные) иописательные (дескриптивные или ЭММ прямого счета).

Характерной чертой оптимизационных моделей является наличие одной или нескольких целевых функций. При этом в первом случае оптимизационные ЭММ называются монокритериальными , а во втором –многокритериальными . В общем виде монокритериальная ЭММ может быть представлена следующей системой отношений:

где Е – критерий оптимальности объекта;– управляемые переменные,
;– неуправляемые факторы модели;
;– уравнения связи, представляющие собой формализацию системы ограничений,
;– целевая функция – формализованное выражение критерия оптимальности.

Выражение
означает, что в ограничениях может стоять любое из приведенных в фигурных скобках логических условий.

Решение модели, заданной соотношениями (1.4) и (1.5), заключается в нахождении совокупности значений переменных

,

Обращающий в max (илиmin ) целевую функциюЕ при заданных уравнениях связи.

Специфика конкретных задач управления производством определила разнообразие типов оптимизационных ЭММ. Это вызвало для ряда наиболее часто повторяющихся типов ситуаций разработку «стандартных» экономико-математических методов их описания, например, распределительные задачи различных классов, задачи управления запасами, ремонта и замены оборудования, проектирования сетей и выбора маршрутов и т.д.

Существенным признаком описательных моделей является отсутствие в них критерия оптимальности. Решение, даваемое ЭММ прямого счета, обеспечивает либо вычисление набора выходных характеристик объекта для одного или нескольких вариантов начальных условий и входных характеристик объекта, либо нахождение какой-либо совокупности значений в структурно допустимой области решений. Примеры типовых задач управления машиностроительным производством, решаемых с помощью описательных моделей, приведены в табл. 1.1.

Таблица 1.1. Примеры описательных моделей

В зависимости от степени формализованности связей f иg i между факторами моделей в выражениях (1.4) и (1.5) различаютаналитические иалгоритмические модели.

Аналитической формой записи называется запись математической модели в виде алгебраических уравнений или неравенств, не имеющих разветвлений вычислительного процесса при определении значений любых переменных состояния модели, целевой функции и уравнений связи. Если в математических моделях единственная целевая функцияf и ограниченияg j заданы аналитически, то подобные модели относятся к классу моделей математического программирования. Характер функциональных зависимостей, выраженных в функцияхf иg j , может быть линейным и нелинейным. Соответственно этому ЭММ делятся налинейные инелинейные , а среди последних в специальные классы выделяютсядробно -линейные ,кусочно-линейные ,квадратичные ивыпуклые модели.

Если мы имеем дело со сложной системой, то зачастую гораздо легче построить ее модель в виде алгоритма, показывающего отношения между элементами системы в процессе ее функционирования, задаваемые обычно в виде логических условий – разветвлений хода течения процесса. Математическое описание для элементов может быть очень простым, однако взаимодействие большого количества простых по математическому описанию элементов и делает эту систему сложной. Алгоритмически же можно описывать даже такие объекты, которые в силу их сложности или громоздкости в принципе не допускают аналитического описания. В связи с этим к алгоритмическим моделям относятся такие, в которых критерии и (или) ограничения описываются математическими конструкциями, включающими логические условия, приводящие к разветвлению вычислительного процесса. К алгоритмическим моделям относятся и так называемые имитационные модели – моделирующие алгоритмы, имитирующие поведение элементов изучаемого объекта и взаимодействие между ними в процессе функционирования.

В зависимости от того, содержит ли ЭММ случайные факторы, она может быть отнесена к классу стохастических илидетерминированных .

В детерминированных моделях ни целевая функцияf , ни уравнения связиg j не содержат случайных факторов. Следовательно, для данного множества входных значений модели на выходе может быть получен только один-единственный результат. Длястохастических ЭММ характерно наличие среди факторовмодели, описываемой соотношениями (1.4) и (1.5), таких, которые имеют вероятностную природу и характеризуются какими-либо законами распределения, причем среди функцийf иg j могут быть и случайные функции. Значения выходных характеристик в таких моделях могут быть предсказаны только в вероятностном смысле. Реализация стохастических ЭММ в большинстве случаев осуществляется на ЭВМ методами имитационного статистического моделирования.

Следующим признаком, по которому можно различать ЭММ, является связь с фактором времени. Модели, в которых входные факторы, а следовательно, и результаты моделирования явно зависят от времени, называются динамическими , а модели, в которых зависимость от времениt либо отсутствует совсем, либо проявляется слабо или неявно, называютстатическими . Интересны в этом отношении имитационные модели: по механизму функционирования они являются динамическими (в модели идет имитация работы объекта в течении некоторого периода времени), а по результатам моделирования – статическими (например, ищется средняя производительность объекта за моделируемый период времени).

Статические модели представляют собой известную степень приближения к реальным объектам и системам, функционирующим во времени. Во многих случаях степень такого приближения, проявляющаяся в допущениях о неизменности или различного рода усреднениях факторов во времени (косвенно или приблизительно учитывающих фактор времени в определенных границах его изменения), является достаточной для практического применения статических моделей.

Виды классификации моделей

Для моделей можно составить различные виды классификаций в зависимости от выбранного основания. Таким основанием служат один или несколько признаков, общих для некоторых групп моделей. Рассмотрим несколько наиболее распространенных видов классификации, определяемых следующими признаками:

Областью использования;

Учетом в модели временного фактора (динамики);

Отраслью знаний;

Способом представления моделей.

Если рассматривать модели с позиции «для чего», «с какой целью» они используются, то можно применить классификацию:

1. Учебные модели используются при обучении. Это могут быть наглядные пособия, различные тренажеры, обучающие программы.

2. Опытные модели – это уменьшенные или увеличенные копии проектируемого объекта. Они используются для исследования объекта и прогнозирования его будущих характеристик.

Например, модель корабля исследуется в бассейне для изучения устойчивости судна при качке, модель автомобиля «продувается» в аэродинамической трубе с целью исследования обтекаемости кузова.

3. Научно-технические модели создаются для исследования процессов и явлений. К таким моделям можно отнести, например, прибор для получения грозового электрического разряда или стенд для проверки телевизоров.

4. Игровые модели – это военные, экономические, спортивные, деловые игры. Эти модели как бы репетируют поведение объекта в различных ситуациях, проигрывая их с учетом возможной реакции со стороны конкурента, союзника или противника.

5. Имитационные модели не просто отражают реальность с той или иной степенью точности, а имитируют ее. Эксперименты с моделью проводятся при разных исходных данных. По результатам исследования делаются выводы. Такой метод подбора правильного решения получил название метода проб и ошибок. Например, для выявления побочных действий лекарственных препаратов их испытывают в серии опытов на животных.

Модель – это искусственно созданный объект, дающий упрощенное представление о реальном объекте, процессе или явлении, отражающий существенные стороны изучаемого объекта с точки зрения цели моделирования.

Моделирование – это построение моделей, предназначенных для изучения и исследования объектов, процессов или явлений.

Как уже упоминалось, одна из классификаций связана с фактором времени. Модели можно разделить на статические и динамические по тому, как отражается в них динамика происходящих процессов (рис. 1).

Рис. 1. Классификация моделей по фактору времени

Статическая модель – это единовременный срез информации по данному объекту. Например, обследование учащихся в стоматологической поликлинике дает состояние их зубов на данный момент времени: соотношение молочных и постоянных, наличие пломб, дефектов и т. п.

Динамическая модель представляет картину изменения объекта во времени. В примере с поликлиникой медицинскую карту ученика, отражающую изменение состояния его зубов в течение многих лет, можно считать динамической моделью.

Проблема классификации моделей, как и любых достаточно сложных явлений, процессов, систем, сложна, многогранна и трудноразрешима. Объективная причина состоит в том, что исследователя интересует лишь какое-то одно свойство системы (объекта, процесса, явления), для отображения которого и создана модель. Поэтому в основу классификации можно положить множество различных признаков: способ описания, функциональное назначение, степень детализации, структурные свойства, область применения и т.д.

Рассмотрим некоторые классы моделей.

1. По назначению моделей различают:

Исследовательские (познавательные, когнитивные), предназначенные для генерации знаний путем изучения свойств объекта;

Учебные, предназначенные для передачи знаний об изучаемом объекте;

Рабочие (прагматические), предназначенные для генерации правильных действий в процессе достижения цели.

К исследовательским моделям относятся полунатурные стенды, физические модели, математические модели. Отметим, что исследовательские модели могут выступать в качестве учебных, если они предназначены для передачи знаний о свойствах объекта. Примерами рабочих моделей могут служить: робот; автопилот; математическая модель объекта, встроенная в систему управления или контроля; искусственное сердце и т.д. При этом исследовательские и учебные модели должны приближаться к реальности, а рабочие модели должны отражать эту реальность. Четкой границы между этими моделями не существует. Так, например, исследовательская модель, адекватно отражающая свойства объекта, может быть использована в качестве рабочей. Исследовательские модели являются носителями новых знаний, учебные модели соединяют старые знания с новыми. Рабочие модели идеализируют накопленные знания в форме идеальных действий по выполнению тех или иных функций, которые желательно было бы осуществить.

2. По отражению режимов работы системы различают:

Статические модели, которые отражают установившиеся (равновесные) режимы работы системы;

Динамические, которые отражают неустановившиеся (неравновесные, переходные) режимы работы системы.

Статические режимы работы элементов, объектов, систем отражены в их статических характеристиках (линейных, нелинейных) и описываются соответствующими алгебраическими функциональными зависимостями.

3. По способу создания (построения) моделей различают:

Абстрактные (дедуктивные, умозрительные, идеальные) модели, построенные средствами мышления на базе нашего сознания;

Материальные (физические, реальные) модели, построенные средствами материального мира для отражения его объектов, процессов и т.д.

Абстрактные модели - это идеальные конструкции в нашем сознании в виде образов или представлений о тех или иных физических явлениях, процессах, ситуациях, объектах, системах. Примерами абстрактных моделей могут служить какая-либо гипотеза о свойствах материи, предположения о поведении сложной системы в условиях неопределенности или новая теория о строении сложных систем. На абстрактных моделях и на умозрительной аналогии (сходстве) между моделью М и оригиналом S строится идеальное (дедуктивное) моделирование. Различают два вида идеального моделирования: формализованное и неформализованное (интуитивное). К формализуемым абстрактным моделям относятся знаковые модели, в том числе математические и языковые конструкции (языки программирования, естественные языки) вместе с правилами их преобразования и интерпретации. Примером знаковых моделей могут служить чертежи, схемы, графики, формулы и т.д. Математическое моделирование - частный случай знакового моделирования. Здесь преобразование формул осуществляется на основе правил логики и математики.

Математическая модель - это объект, который имеет с прототипом следующее однозначное соответствие: 1) структуры, т.е. состава элементов и связей между ними; 2) уравнений, описывающих свойства этих элементов и их связей. При этом математическую модель сложной системы можно трактовать как множество математических моделей элементов, взаимосвязанных и взаимодействующих друг с другом и адекватно отражающих синергетические свойства системы.

При образном моделировании модели строятся из каких-либо наглядных элементов (упругие шары, потоки жидкости, траектории движения тел и т.д.). Анализ образных моделей осуществляется мысленно и может быть отнесен к формализованному моделированию в том случае, когда правила взаимодействия образов четко формализованы. Этот вид моделирования используется при мысленном эксперименте.

Данный дипломный проект представляет собой попытку познакомить социологов с математическим аппаратом и с современными методами решения социологических задач. Вот неполный перечень таких задач:

Обработка и анализ данных опросов и других социологических исследований

Построение математических моделей социальных процессов и явлений

Объяснение и предсказание социальных явлений

Математическое моделирование состоит в замене реального объекта его математической моделью с последующим изучением последней. Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и задач исследования объекта и требуемой достоверности и точности решения этой задачи.

Многомерное шкалирование – математический инструментарий, предназначенный для обработки данных о отношениях между исследуемыми объектами с целью представления этих объектов в виде точек некоторого пространства восприятия. Этот метод позволяет выявить и интерпретировать латентные (т.е. скрытые и непосредственно не наблюдаемые) признаки, объясняющие связей между исследуемыми объектами. В пособии в качестве метода многомерного шкалирования рассмотрен метрический метод Торгерсона.

Другая задача обработки данных состоит в уменьшении размерность данных, потеряв наименьшее количество информации. Это позволяет, во-первых избавиться от “шума”, т.е. части данных, которая содержит не полезную информацию, а погрешности и ошибки. Во-вторых, чем меньше размерность данных, тем легче их дальнейшее изучение и интерпретация. В качестве аппарата уменьшения размерности данных в пособии рассмотрен метод главных компонент.

Все процессы, развивающиеся во времени и имеющую в причинно-следственную связь моделируются с помощью дифференциальных уравнений (в случае, когда система описывается одной характеристикой) и систем дифференциальных уравнений (когда таких характеристик несколько). В качестве примера моделирования таких процессов в пособии рассмотрены несколько примеров роста численности популяции некоторой замкнутой экосистемы.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели:

• сформировать у учащихся понятие моделирования как метода познания;
• рассмотреть различные классификации моделей;
• сформировать у учащихся понятие «модель», «моделирование», «цель моделирования», «формализация»;
• научить учащихся описывать информационные модели.

Требования к знаниям и умениям:

• Учащиеся должны знать:
  • основные понятия «модель», «моделирование», «формализация», «информационная модель»;
  • виды моделей, их классификацию.
• Учащиеся должны уметь:
  • приводить примеры различных моделей;
  • классифицировать модели по различным признакам;
  • находить существенные признаки объекта в зависимости от цели моделирования.

Программно-дидактическое обеспечение урока: проектор для показа презентации, набор различных моделей (информационных разного вида, материальных; несколько моделей одного объекта; модели, созданные учащимися); презентация для проведения урока «Классификация моделей» (Презентация ), кроссворд, выполненный в программе «Hot Potatoes 6» (Приложение 2 )

ХОД УРОКА

I. Постановка целей урока

1. Электромобиль на стенде выставки, телевизионная красавица, рекламирующая различные товары, макет здания, детская мягкая игрушки, математическая формула, теория развития общества – это все модели. Как же получается назвать такие разные понятия одним словом?

2. Существует огромное количество моделей. Как разложить их «по полочкам»? Как классифицировать?

3. Наиболее полно отразить существенные свойства объекта можно с помощью информационной модели. Как ее построить?

4. Какова степень необходимости использовать формализацию при описании информационных моделей?

II. Изложение нового материала

1. Введение понятия «модель»

В своей деятельности человек очень часто использует модели, то есть создает образ того объекта, явления или процесса, с которым ему предстоит работать (иметь дело).

Модель – это некий новый упрощенный объект, который отражает существенные особенности реального объекта, процесса или явления.
Анализ модели и наблюдение за ней позволяют познать суть реально существующего, более сложного объекта, процесса, явления, называемо прототипом или оригиналом.
Может возникнуть вопрос: почему бы не исследовать сам оригинал, а не строить его модель?

Назовем несколько причин (целей), по которым прибегают к построению моделей. (Желательно, чтобы примеры приводили учащиеся)

1. Сохранить и передать информацию о наблюдаемом объекте (фоторепортаж, рисунок, карта местности и т.д.)
2. Показать , как будет выглядеть объект, которого еще нет (автомобиль и т.д.)
3. Изучить или испытать на модели работу будущего изделия, если испытание объекта – оригинала дорого, опасно или невозможно (медицина, авиация, космос ит.д.)
4. В реальном времени оригинал может уже не существовать или его нет в действительности (теория вымирания динозавров, теория гибели Атлантиды, модель «Ядерной зимы» …)
5. Оригинал может иметь много свойств и взаимосвязей. Чтобы глубоко изу­чить какое-то конкретное свойство, иногда полезно отказаться от менее существенных, вовсе не учитывая их (карта местности, модели живых организмов...)
6. Оригинал либо очень велик, либо очень мал (глобус, модель Солнечной системы, модель атома...)
7. Процесс протекает очень быстро или очень медленно (модель двигателя внутреннего сгорания, геологические модели)

Моделирование – это процесс построения моделей для исследования и изучения объектов, процессов, явлений.

Что можно моделировать? (Пусть учащиеся попробуют сами ответить на данный вопрос)

Моделировать можно:

1. Объекты.

Назовем примеры моделей объектов:

• копии архитектурных сооружений;
• копии художественные произведения;
• наглядные пособия;
• модель атома водорода или солнечной системы;
• глобус;
• модель, демонстрирующая одежду;
• детские игрушки;
• и т.д.

2. Явления

Примеры моделей явлений:

• модели физических явлений: грозового разряда, магнитных и элект­рических сил...;
• геофизические модели: модель селевого потока, модель землетрясе­ния, модель оползней...

3. Процессы

Примеры моделей процессов:

• модель развития вселенной;
• модели экономических процессов;
• модели экологических процессов…

4. Поведение

При выполнении человеком какого-либо действия ему обычно предшествует возникновение в его сознании модели будущего поведения. Собирается ли он строить дом или решать задачу, переходит улицу или отправлять поход - он непременно сначала представляет себе все это в уме. Это главное отличие человека мыслящего от всех других живых существ на земле.
Один и тот же объект в разных ситуациях, в разных науках может описываться различными моделями. Например, рассмотрим объект «человек» с точки зрения различных наук:

• в механике человек – это материальная точка;
• в химии – это объект, состоящий из различных химических веществ;
• в биологии – это система, стремящаяся к самосохранению;
• и т.д.

С другой стороны, разные объекты могут описываться одной моделью. Например, в механике различные материальные объекты от песчинки до планеты рассматриваются как материальные точки.

Таким образом, совершенно неважно, какие объекты выбираются в качестве моделирующих. Важно лишь то, что с их помощью удается отразить наиболее существенные признаки изучаемого объекта, явления или процесса. Моделирование – это метод научного познания объективною мира с помощью моделей.

2. Классификация моделей

Итак, объектов моделирования, как мы только что убедились, огромное количество. И для того, чтобы ориентироваться в их многообразии необходимо все это классифицировать, то есть каким-либо образом упорядочить, систематизировать.

При классификации объектов по «родственным» группам необходимо правильно выделить некий единый признак (параметр, а затем объединить те объекты, у которых он совпадает). Рассмотрим наиболее распространенные признаки, по которым можно классифицировать модели. (Сопровождается показом презентации, с подробным анализом приведенных в ней примеров).

I. С учетом фактора времени:

• динамические;
• статические.

II. По области использования:

• учебные;
• опытные;
• игровые;
• научно-технические;
• имитационные.

III. По области знаний:

• математические;
• химические;
• физические;
• географические;
• ит.д.

IV. По способу реализации:

• компьютерные;
• некомпьютерные.

V. По способу представления:

• материальные;
• информационные
• вербальные;
• графические;
• математические;
• табличные;
• специальные.

Процесс построения информационных моделей с помощью формальных языков (математических, логических и т.д.) называется ФОРМАЛИЗАЦИЕЙ
Более полное определение формализации – это приведение (сведение) существенных свойств и признаков объекта моделирования к выбранной форме.

Формами представления информационной модели могут быть: словесное описание, таблица, схема, чертеж, формула, алгоритм, компьютерная программа и т.д.

III. Закрепление пройденного.

Для закрепления материала, предлагается небольшое задание:

1 задание – из 10 вопросов рассчитано примерно на 15 минут. Разрешается пользоваться презентацией, работать за компьютером. Оформить ответы в тетради или на отдельном листе по предложенному образцу (Приложение 1 ))

2 задание – разгадывание кроссворда за компьютером предлагается учащимся в том случае, если они досрочно выполнили 1 задание и сдали его. Уровень учащихся различный, и чтобы не терять времени, более сильные ученики могут начать разгадывать кроссворд самостоятельно. Это задание затем, после сдачи всеми остальными учащимися тестовых работ, проверяется ими и выполняется совместно с другими. Перед совместной проверкой, необходимо пройти и просмотреть степень разгадывания, в том случае если разгадано более 85% кроссворда – поощрить оценкой. Для проверки можно либо проговорить все варианты ответов, либо продемонстрировать выполненный кроссворд через проектор. (Приложение 2 )

Кроссворд на тему «Моделирование»

По горизонтали:

2. Общее название моделей, которые представляют из себя совокупность полезной и нужной информации об объекте (информационные)
3. Общее название моделей, воспроизводящих внешний вид, структуру моделируемого объекта (материальные)
5. Описание модели с помощью формального языка (формализация)
6. Модели, позволяющие увидеть изменение объекта во времени (динамические)
8. Модели данного вида имитируют реальность с той или иной степенью точности (имитационные)
9. Пример самой первой графической модели (рисунок)
10. Информационная модель, состоящая из строк и столбцов (таблица)
11. Инструмент для компьютерного моделирования (компьютер)
12. Графический объект, состоящий из вершин, соединенных линиями (граф)
14. Уменьшенные или увеличенные копии проектируемого объекта. Данные модели используются для исследования объекта и прогнозирования его будущих характеристик (опытные)
15. Искусственно созданный объект, воспроизводящий строение и свойства исследуемого объекта (модель)

По вертикали:

1. Построение моделей для исследования и изучения объектов, процессов, явлений (моделирование)
4. Данные модели представляют собой одномоментный срез информации по объекту (статические)
7. Данные модели представляют собой описание на естественных языках в мысленной или разговорной форме (вербальные)
13. Пример знаковой математической модели (формула)

IV. Подведение итогов

Оценка знаний учащихся. Обсуждение изученной темы. Домашнее задание.

Литература:

1. Макарова Н.В. Информатика и ИКТ. Учебник для 8-9-х классов. – СПб.: Питер, 2008. – 160с.:ил.
2. Соколова О.Л. Универсальные поурочные разработки по информатике. 10 класс. М.: ВАКО, 2006. – 400 с.