n'inci mertebeden bir kare matrisin determinantı. n'inci dereceden belirleyicileri hesaplama yöntemleri
Belirleyiciler, özellikleri ve hesaplanması
1. İkinci ve üçüncü dereceden belirleyiciler; onların hesaplaması .
Birinci dereceden determinant, karşılık gelen matrisin oluştuğu tek elemana eşittir.
İkinci dereceden determinant, örneğin birinci satırın elemanları tarafından hesaplanır.
Bu determinantın açılımını ikinci satırın elemanlarına göre yazalım.
Elde edilen sonuç, birinci satırdaki determinantın hesaplanması sonucu ile örtüşmektedir. Sütunlardan herhangi birinde ayrıştırma yapıldığında da aynı sonuç elde edilecektir. Kendiniz kontrol etmenizi öneririz.
Anlatılanlardan şu sonuca varılabilir ikinci dereceden determinant, ana köşegendeki elemanların çarpımı eksi ikincil köşegendeki elemanların çarpımına eşittir.
n'inci mertebenin determinantları; reşit olmayanlar ve cebirsel eklemeler. n'inci dereceden determinantların özellikleri ve hesaplanması.
Matrise karşılık gelen n'inci mertebenin determinantı 
, aşağıdaki şekilde oluşan terimlerin cebirsel toplamı olarak adlandırılır: terimler, matrisin öğelerinin tüm olası ürünleridir, her satırdan ve her sütundan birer birer alınır ve terim, indeksleri ise artı işaretiyle alınır. çift permütasyon oluşturur ve aksi takdirde eksi işareti ile.
Yorum: Bu tanımı, hesaplama formülü bilinen üçüncü dereceden bir determinant örneğini kullanarak açıklayalım.
.
1) "terimlerin cebirsel toplamı" -. Ve evet, aslında altı terim var.
2) "terimler, her satırdan ve her sütundan bir tane alınan matris öğelerinin tüm olası ürünleridir" - örneğin terimi düşünün. Birinci çarpanı ikinci sıradan, ikincisi birinciden ve üçüncüsü üçüncüden alınır. Sütunlarla aynı - birinci sütundan birinci çarpan, üçüncüden ikinci ve ikinciden son çarpan.
3) "ayrıca, endeksleri çift ikame oluşturuyorsa terim artı işaretiyle ve aksi takdirde eksi işaretiyle alınır" - örneğin (artı işaretli) ve (eksi işaretli) terimleri göz önünde bulundurun ).
Permütasyonları, ilk satır faktör sıralarının numaralarını ve ikincisi - sütunların numaralarını içerecek şekilde oluşturuyoruz.
Terim için: (ilk sütun, birinci faktörün indeksidir, vb.)
Dönem için: .
Bu permütasyonların paritesini tanımlarız:
a) - İlk sıradaki elemanlar sıralıdır. İkinci satır sıra dışı çiftler içeriyor:
1'in solunda 2 - bir çift,
1'in solunda 3 - bir çift.
Toplam iki çift, yani çiftlerin sayısı çifttir, bu nedenle permütasyon çifttir, bu da toplamın toplama bir artı işaretiyle (gerçekte olduğu gibi) dahil edilmesi gerektiği anlamına gelir.
b) - İlk sıradaki elemanlar sıralıdır. İkinci satır sıra dışı çiftler içeriyor:
1'in solunda 2 - bir çift.
Toplamda, büyük olan küçük olanın solunda olacak şekilde duran sayı çiftlerinin sayısı 1'dir, yani. tek, yani permütasyona tek denir ve karşılık gelen terim toplama eksi işaretiyle dahil edilmelidir (evet, öyle).
Küçük eleman matrisler N inci mertebeye matris determinantı denir (n-1) matristen elde edilen -inci mertebe Aüstü çizili Ben-inci satır ve J-inci sütun.
n'inci dereceden determinantları hesaplama yöntemleri 1. Üçgen forma indirgeme yöntemi Bu yöntem, determinantı, köşegenlerden birinin bir tarafında yatan tüm elemanların sıfıra eşit olduğu böyle bir forma dönüştürmeyi içerir. Örnek 1. n d= 01 01 01 01 11110 xxx xxx xxx xxx sırasının determinantını hesaplayın. Çözüm. (-x) ile çarpılan ilk satırı diğerlerine ekleyelim: d= x x x x − − − 0001 0001 0001 0001 11110 . İlk sütuna, sonraki tüm sütunları (1/x) ile çarparak ekleriz. d= elde ederiz. 0000 0000 0000 0000 1111)1(x x x x x n - - - - - Üçgen bir şeklimiz var, dolayısıyla determinant ana köşegenin elemanlarının çarpımına eşittir d=(- 1) n - 1 (n - 1) x n - 2. Örnek 2. Determinantı hesaplayın 2221 2212 2122 1222 − − − − =d Çözüm Geri kalanları ilk satıra eklersek, ilk satırdaki tüm elemanlar 2(n – 1) – 1=2n – 3 ve dolayısıyla, ortak faktör belirleyici işaretten çıkarılabilir: . 2221 2212 2122 1111)32(− − − −= nd Şimdi ilk satırdaki tüm elemanların 1'e eşit olduğu gerçeğini kullanın. İlk satırı (- 2) ile çarpıp diğer tüm satırlara ekleyerek elde ederiz.0003 0030 0300 1111) 32(− − − −= nd Yan köşegen, 2)1()1(− − nn) işaretiyle n'inci sıradaki determinantı girer (bu, ikamedeki ters çevirme sayısını sayarak kolayca doğrulanabilir −− 1...21 . ..321 nnn n) Sonra () ()() () () .32313321 1 1 2)1(1 2)1(−−=−−−= − − + − − nnd n nn n nn Örnek 3. Determinantı hesaplayın 2)1(! 0000 00300 00020 123 2)1(1 2)1(2)1(+ = −− + − ++ = nn n n nn nnnnnn d 2. Bir satırda (sütun) determinantın açılımı Örnek 1. Eğer d = 2164 7295 4173 2152 ise, d determinantını üçüncü satırda açarak hesaplayın − −− −− − Çözüm i'de determinantın aşağıdaki ayrıştırmasının olduğunu biliyoruz. -inci satır: d=a i1 A i1 +a i2 A i2 +…+a in A in , burada A ij , j= n,1 determinantın elemanlarının cebirsel tümleyenleridir. Bizim durumumuzda formül d=a 31 A 31 + a 32 A 32 + a 33 A 33 + a 34 A 34 şeklini alır, yani şu açılımı elde ederiz: d=5∙ (– 1) 3+1 ∙ 216 417 215 − − − +(– 9)∙(– 1) 3+2 ∙ 214 413 212 −− +2∙(– 1) 3+3 ∙ 264 473 252 − − + + (-7)∙ ( – 1) 3+4 ∙ 164 173 152 − −− − . Üçüncü dereceden elde edilen determinantları hesaplayarak d=5∙(– 6)+9∙12+2∙(– 54) + 7∙(– 3)= –51 elde ederiz. Örnek 2. d= 78102 4552 5882 6593 −−− determinantını hesaplayın. Çözüm. Üçüncü satırı (-1) ile çarparak diğerlerine ekleyerek, d= 3350 4552 913130 2041 −−− elde ederiz. Üçüncü satıra birincinin (-2) ile çarpılmasıyla d= 3350 0530 913130 2091 − −−− elde ederiz. Bu determinantı yalnızca sıfır olmayan bir eleman içeren ilk sütuna genişleterek (1+1=2, yani çift indekslerin toplamı ile), d= 335 053 91313 − −−− elde ederiz. Ortaya çıkan determinantı dönüştürüyoruz. 3 ile çarpılan üçüncü satırı birinci satıra ekleyerek d= 335 053 042 − − elde ederiz. Üçüncü sütunda ortaya çıkan determinant, yalnızca sıfır olmayan bir öğe içerir (indislerin toplamı 3+3, yani çift). Bu nedenle, üçüncü sütunda genişletmek uygundur: d=3 53 42 − − =3(10 - 12)= - 6. Örnek 3. Determinantı hesaplayın. 000 11000 00300 00220 00011 nn nn d − −− − − = Çözüm. 1. sütundaki determinantı genişletin, ardından () () () . 1100 0030 0022 0001 1 000 1100 0030 0022 1 12 nn n n nn d n −− − − −−+ −− − −= + Bu eşitlikte birinci ve ikinci determinantlar üçgendir, dolayısıyla birinci determinant n'dir! , ve ikinci determinant (– 1)(– 2) . . . (1 – n)=(– 1) n–1 (n – 1)!. Sonra şunu elde ederiz: () () () .011!1!! 1212 =−+=−+= +−++ nnn nnnd 3. Seçilen dizilerde bulunan Laplace Teoreminin cebirsel tümleyenlerine göre sırası d determinantına eşittir. Örnek 1. Laplace teoremini kullanarak, önce onu dönüştürerek determinantı hesaplayın. d= 43220 50300 20100 34523 12532 − − −− −− . Üçüncü ve dördüncü sıraları seçelim. Sıfır olmayan tek bir minör içerirler, dolayısıyla d= 53 21 − ∙(– 1) 3+4+4+5 ∙ 320 423 232 − −− . İkinci ve üçüncü derecelerin belirleyicilerini hesaplamak için formülleri kullanarak d=12–12+16+27=43 elde ederiz. Örnek 2. Belirleyiciyi hesaplayın. 005000 050000 500000 000500 000010 000001 − = d Çözüm. Bu determinant, Laplace teoreminin sonucunda belirtilen forma sahiptir, dolayısıyla bu sonucu kullanabiliriz. Sonra () .51 005 050 500 .5 500 010 001 3 2)4)(3(3 − −− − −==−=−= n nn n BA 147 2 − +− −== n nn BAd 4. Doğrusal faktörleri çıkarma yöntemi Determinant, içinde yer alan bir veya daha fazla harfin bir polinomu olarak kabul edilir. determinantın bu çarpıma bölümü ve böylece determinantın ifadesini bulun − Çözüm: Birinci satıra ikinci satırı (–1) ile çarpıp üçüncü satıra dördüncüyü (–1) ile çarpın: d = 2 2 2 2 9132 4000 32x-21 0010 x x x − − − .ilk satırda ve üçüncü satırda sıfır olmayan yalnızca bir eleman var ve ikinci ve üçüncü sütunlardaki elemanları sıfırlıyoruz: d = 0102 4000 0201 0010 2 2 - - x x . Dördüncü satırı ikinci satıra ekleyelim, o zaman d= 0102 4000 0303 0010 2 2 − − x x . Birinci satır determinantın x 2 - 1'e bölünebileceğini, ikinci satır 3'e bölünebileceğini ve üçüncü satır x 2 - 4'e bölünebileceğini gösteriyor. Tüm bu çarpanlar göreli olarak asal olduğundan, determinant, çarpımlarına bölünür 3(x 2 - 1)(x 2 - 4). Bu çalışmada x 4 terimi “+” işaretlidir ve “-” işaretli determinant içinde yer almaktadır, dolayısıyla d = - 3 (x 2 - 1) (x 2 - 4). 5. Bir determinantı determinantların toplamı olarak gösterme yöntemi Bazı determinantlar, satırlara veya sütunlara göre aynı sıradaki determinantların toplamına ayrıştırılarak kolayca hesaplanır. Örnek. d= add acc abb aaa 42 32 22 12 + + + + determinantını hesaplayın. İlk sütunun öğeleri iki terimin toplamlarıdır, bu, bu determinantı iki determinantın toplamı olarak temsil etmeyi mümkün kılar: d= ad ac ab aa 42 32 22 12 + add acc abb aaa 4 3 2 1 . Birinci determinantta birinci ve dördüncü sütunlar orantılıdır, dolayısıyla sıfıra eşittir. İkinci determinantta birinci ve üçüncü sütunlar eşittir, dolayısıyla o da sıfıra eşittir. Böylece, d=0. 6. Determinantın öğelerini değiştirme yöntemi Bu yöntem aşağıdaki özelliğe dayanmaktadır: D determinantının tüm öğelerine aynı x sayısı eklenirse, determinant x sayısının çarpımı kadar artacaktır. determinant D'nin tüm elemanlarının cebirsel toplamaları. D'=D+x = n ji ij A 1, . Böylece, D' determinantının hesaplanması, D determinantının hesaplanmasına ve onun cebirsel tümleyenlerinin toplamına indirgenir. Bu yöntem, determinantın tüm elemanlarını aynı sayı ile değiştirerek, tüm elemanların cebirsel tümleyenlerini saymanın kolay olduğu bir forma indirgendiği durumlarda kullanılır. Örnek. D= n axxxx xaxx xxax xxxa 3 2 1 determinantını hesaplayın. Tüm elemanlara (–x) sayısını ekleyelim, o zaman D′= xa xa xa xa n − − − − 0000 000 000 000 3 2 1 . D determinantının ana köşegen üzerinde olmayan elemanlarının cebirsel tümleyenleri sıfıra eşittir. Geri kalan cebirsel tümleyenler pozitif işaretlidir, çünkü tüm indeks toplamları çifttir. Bizim durumumuzda formül şu şekli alır: D′=(a 1 – x)…(a n – x), x = n ji ij A 1, = – x)()()()(1 1 11 xaxaxaxa ni n ben ben −… −−…− + = − O zaman istenen determinant D=D′–x = n ji ij A 1, =(a 1 – x)…(a n – x)+x)()()() (1 1 11 xaxaxaxa ni n ben ben −…−−…− + = − = =x(a 1 – x)(a 2 – x)…(a n – x) − +…+ − + xaxax n 111 1. 7. Yineleme bağıntıları yöntemi Bu yöntem, verilen determinantın dönüştürülerek ve bir satırda veya sütunda genişletilerek, aynı türden, ancak daha düşük düzeydeki determinantlarla ifade edilmesidir. Ortaya çıkan eşitliğe yineleme ilişkisi denir. Bu yöntem formun belirleyicilerini hesaplamak için kullanılır.)(000 00 0 00 21 −− −+= + + + + = nnn DDD αββα βα βαα ββαα ββα D n – (α+β)D n – 1 +αβD n – 2 =0 veya içinde Genel görünüm D n – pD n – 1 + qD n – 2 =0, burada p=α+β, q=αβ. Tekrarlama ilişkisi şu şekilde olsun: D n =pD n – 1 – qD n – 2 , n>2, (5) burada p, q, n'den bağımsız sabitlerdir. q=0 olduğunda, D n bir geometrik dizinin üyesi olarak hesaplanır: D n =p 1 − n D 1 ; burada D 1, bu türün 1. mertebesinin determinantıdır, yani sol üst köşedeki determinant D n'nin elemanıdır. x 2 – px+q=0 ikinci dereceden denklemin kökleri q>0 ve α, β olsun. O zaman р=α+β, q=αβ ve eşitlik (5) şu şekilde yeniden yazılabilir: D n – αD n – 1 =β (D n – 1 – αD n – 2) (6) veya D n – βD n – 1 =α(D n – 1 – βD n – 2). (7) Önce α≠β olduğunu varsayalım. Formül (n - 1) - geometrik ilerlemenin inci üyesine göre, eşitliklerden (6) ve (7) buluyoruz: D n - αD n - 1 =β 2 - n (D 2 - αD 1) ve D n - βD n - 1 =α 2 − n (D 2 – βD 1). Nereden.)()(12 1 12 1 βα αββα − −−− = −− DDDD D nn n (8) Şimdi α=β olsun. (6) ve (7) eşitlikleri aynı D n – αD n - 1 \u003d α (D n - 1 - αD n - 2), bu nedenle D n - αD n - 1 \u003d Aα 2 - n, (9) burada A \u003d D 2 - αD 1. Burada n yerine n - 1 , elde ederiz: D n - 1 - αD n - 2 \u003d Aα 3 - n, bu nedenle D n - 1 \u003d αD n - 2 + Aα 3 - n Bu ifadeyi eşitlik (9) ile değiştirerek, D n'yi buluruz \u003d α 2 D n - 2 +2Aα 2 - n Aynı tekniği birkaç kez tekrarlayarak, D n =α 1 - n D 1 + (n - 1)Aα 2 - n, burada A \u003d D 2 - αD elde ederiz. 1. Örnek 1. Yineleme bağıntıları yöntemiyle determinantı hesaplayın d= 21...0000 12...0000 .................. 00... 2100 00...1210 00. ..0121 00...0012 Çözüm: İlk satırdaki determinantı genişletin, ardından D n =2(– 1) 1+1 D n – 1 +(– 1) 2+1 2...000 .... ........... 0 ... 210 0 ... 120 0 ... 011. Son eşitlikteki determinant ilk sütunda genişletilir, ardından D n şu şekli alacaktır: D n \u003d 2D n - 1 - D n - 2. Yani p \u003d 2, q \u003d 1. x 2 - 2x + 1 \u003d 0 denklemini çözerek α, β buluyoruz ve α \u003d β durumuna geldik.Sonra D n \u003d α 1 − n D 1 +(n – 1)Aα 2 − n , burada A=D 2 – αD 1 bulduk, α için =1, D n =D 1 +(n – 1)A. Bizim durumumuzda D 1 =2, D 2 =3, sonra A=3 – 2=1. Bu nedenle, D n =2+(n – 1)=n+1. Örnek 2. Yineleme ilişkileri yöntemiyle determinantı hesaplayın: d= 210...000 121...000 012...000 .......... 000.. .210 000...122 000...043 . Çözüm. Genişleyen d son satır, D n =2(– 1) nn + D n – 1 +(– 1))1(−+ nn 110...000 021...000 012...000 ....... . .......... 000 ... 210 000 ... 122 000 ... 043. (n - 1) -inci sütundaki son eşitlikteki determinantı genişletiyoruz, ardından D n şu şekli alacaktır: D n \u003d 2D n - 1 - D n - 2. Yani p \u003d 2, q \u003d 1. x 2 - 2x + 1 \u003d 0 denklemini çözerek α, β buluyoruz ve α \u003d β durumuna gelin.O zaman formülle D n = α n - 1 D 1 + (n - 1) Aα n - 2 durum D 1 =3, D 2 = – 2, sonra A= – 5. Dolayısıyla D n =3+(n – 1)(– 5)=8 – 5n.11 3 1 2 1 1 22 3 2 2 2 1 321 −−−− = n n nnn n n aaaa aaaa aaaa d matris olsun Tanım: n'inci dereceden determinant, cebirsel toplam n'dir! A matrisinin her satırından ve her sütunundan birer tane alınan, her biri n çarpanın çarpımı olan terimler. Terimin önündeki işaret, işaret kuralı ile belirlenir: Tanım: 1,2,3...n sayılarının keyfi bir permütasyonu olsun. ve öğelerinin bir tersine çevirme (sıranın ihlali) oluşturduğu söylenirse, a. 1,2,3...n sayılarının bir permütasyonu, elemanlarının oluşturduğu inversiyon sayısı çift olsa bile, aksi takdirde tek olarak adlandırılır. Terimin önündeki işareti belirlemek için, içinde yer alan faktörleri ilk indislerin artan sırasına göre düzenlemeniz ve ikinci indislerin oluşturduğu permütasyonu dikkate almanız gerekir. Bu permütasyon çift ise ²+², tek ise ²–² koyarız. Tanım: Permütasyonu göz önünde bulundurun: Değiştir ve bir permütasyon al: Bir permütasyon B'nin, u elemanlarının yer değiştirmesiyle A'dan elde edildiği söylenir. İfade: Herhangi bir transpozisyon, permütasyonun paritesini tersine çevirir. Kanıt:Özel bir durum: komşu elemanların transpozisyonu, permütasyonun paritesini değiştirir. A ve B permütasyonlarının ve dışındaki tüm öğeleri aynı ters çevirmeleri oluşturur. A ve B permütasyonlarında elemanları olan bir eleman aynı ters çevirmeleri oluşturur. A ve B permütasyonlarında elemanları olan bir eleman aynı ters çevirmeleri oluşturur. A permütasyonundaki öğeler bir ters çevirme oluşturmadıysa, B'de oluştururlar, eğer A'da yaptılarsa, B'de artık oluşmazlar. Böylece, komşu elemanların transpozisyonu sonucunda, inversiyon sayısı bir artar veya bir azalır. Parite değişti. Genel dava. Bir permütasyonun rastgele iki elemanının transpozisyonunu gerçekleştirmek için bitişik elemanları sıralı olarak permüte edeceğiz. Elemanları değiş tokuş etmek için önce c, ...k elemanını sonra bire değiştiriyoruz. Böylece permütasyon bir kez gerçekleşir. Parite tersine döndü. İfade: Tüm permütasyonları göz önünde bulundurun N semboller 1,2,3,...,n. Çift permütasyonların sayısı, tek permütasyonların sayısına eşittir ve eşittir . Kanıt: Tüm çift permütasyonları yazıyoruz ve kurala göre tek permütasyonlarla bir eşleme tanımlıyoruz: Önceki teoreme göre tüm permütasyonlar tektir. Belirttiğimiz eşleme, tüm çift permütasyonlar kümesinin tüm tek permütasyonlar kümesi üzerine bir eşleştirmesidir; aslında, belirtilen kurala göre, her çift permütasyon benzersiz bir tek permütasyonla ilişkilendirilir, bu eşleme açıkça birebirdir: . Belirtilen eşleme örtendir, aslında, her tek permütasyon B, B'deki birinci ve ikinci karakterleri değiştirerek B'den elde edilen o çift permütasyon A'nın görüntüsüdür, bu nedenle, eşleme önyargılıdır, bu nedenle, çift sayısı permütasyon tek olanların sayısına eşittir. Tanım: Bir kümenin kendi üzerine herhangi bir bijektif eşlemesine permütasyon denir. 1,2,3,...,n kümesinde verilen bir permütasyon uygun olarak şu şekilde yazılır: veya, burada birinci ve ikinci satırlar permütasyondur. Yer değiştirme, sütunların konumuna kadar belirlenir: ikamede herhangi iki sütun değiştirilirse, aynı ikame elde edilir. Tanım: Birinci ve ikinci satırda yazılan permütasyonların her ikisi de çift veya her ikisi de tek olsa bile bir permütasyon denir. Aksi takdirde, permütasyon tek olarak adlandırılır. Bir ikamenin paritesi, içindeki herhangi iki sütun değiştirilirse değişmeyecektir, bu nedenle, çift ikamelerin sayısı tek olanların sayısına eşittir, eşittir. Şimdi determinantın tanımındaki işaretlerin kuralı şu şekilde formüle edilebilir: - farklı satırlardan ve farklı sütunlardan birinden alınan n çarpanın çarpımı. Bir ikame düşünelim. Terim çift ise ²+², tek ise ²–² işareti konur. Örnek: 1) Bir matris verilsin, sonra devrik matrisi şu şekilde gösterin: Determinantın A. () determinantına eşit olduğunu kanıtlayalım. Kanıt: det A'da yer alan terimi göz önünde bulundurun. a öğesi, A matrisinin farklı satır ve sütunlarına ve sonuç olarak matrisin farklı satır ve sütunlarına ait faktörlerin çarpımıdır, bu nedenle, her öğe bir terimdir ve yardımcısı tam tersi Determinanttaki a öğesinin işareti, ikamenin paritesine göre ve içinde - ikamenin paritesine göre belirlenir. Ancak bu iki permütasyon aynı anda hem çift hem de tektir. 2) Determinantta, örneğin i'inci satırın tüm öğeleri 0'a eşitse, bu determinant 0'a eşittir. Kanıt: Nitekim determinantın tanımı gereği, determinantı oluşturan her terim sıfır satırının tüm elemanlarını içerecektir, dolayısıyla determinant n'nin toplamıdır! sıfırlar. 3) Determinantta i ve j satırları değiştirilirse, değeri tersine değişecektir. Aslında, a matrisinden iki satırı değiştirerek elde edilsin: i ve j. Formun tüm terimleri, A matrisinin determinantına ve matrisin determinantına dahil edilir, bu terimin önündeki işaret, ikame kullanılarak belirlenir: , ve aynı terimin önündeki işaret, ikame kullanılarak belirlenir Bu permütasyonlar farklı pariteye sahiptir. Kaynakça: 1. Voevodin V.V. Lineer Cebir. Petersburg: Lan, 2008, 416 s. 2. D. V. Beklemişev, Analitik Geometri ve Doğrusal Cebir Kursu. Moskova: Fizmatlit, 2006, 304 s. 3. Kostrikin A.I. Cebire giriş. bölüm II. Cebirin temelleri: üniversiteler için bir ders kitabı, -M. : Fiziko-matematik literatürü, 2000, 368 s. Ders No. 8 (2. dönem) Ders:
Matris sıralaması. Temel satırlar - vektörlerin tabanı - satırlar. Gram determinant ve lineer bağımlılık. Tanım: Verilen bir matris A'da sayı ve sütun içeren satırların seçilmesine izin verin. Seçilen sütunların ve satırların kesişme noktasındaki öğeler, k-dereceli bir matris oluşturur. Bu matrisin determinantı M'ye k'inci dereceden minör denir. A matrisinde seçilen satırların ve sütunların üzeri çizilirse, kalan öğeler n-k mertebesinde bir matris oluşturur. Bu matrisin determinantına M'nin minörüne tamamlayıcı minör denir. Tanım: Numaralı satırlar ve numaralı sütunlar seçili olsun. İfade, M minörün cebirsel tümleyeni olarak adlandırılır. Laplace teoremi: Bir kare matriste olsun A seçilmiş k sayılarla satırlar , Nerede . Tüm olası reşit olmayanların ürünlerinin toplamı k cebirsel tümleyenleri üzerinde seçilen satırlarda yer alan -inci mertebe matrisin determinantına eşittir A. İkinci ve üçüncü mertebeden determinant kavramlarına dayanarak, benzer şekilde mertebeden determinant kavramını tanıtabiliriz. N.
Üçüncü mertebeden daha yüksek determinantlar, kural olarak, herhangi bir mertebenin determinantları için geçerli olan, Bölüm 1.3'te formüle edilen determinantların özellikleri kullanılarak hesaplanır. 9 0 numaralı belirleyicilerin özelliğini kullanarak, 4. dereceden belirleyicinin tanımını sunuyoruz: Örnek 2 Uygun genişletmeyi kullanarak hesaplayın. 5., 6. vb.'nin determinantı kavramı da benzer şekilde tanıtılır. emir. Yani n mertebesinin determinantı: Daha önce ele alınan 2. ve 3. mertebe determinantlarının tüm özellikleri, n. mertebe determinantları için de geçerlidir. Belirleyicileri hesaplamak için ana yöntemleri göz önünde bulundurun N-inci sıra. Yorum: bu yöntemi uygulamadan önce, determinantların temel özelliklerini kullanarak, belirli satır veya sütunun öğelerinden biri hariç hepsini sıfıra ayarlamak yararlıdır. (Verimli sipariş azaltma yöntemi) Üçgen forma indirgeme yöntemi
ana köşegenin bir tarafında yatan tüm elemanları sıfıra eşit olduğunda, determinantın böyle bir dönüşümünden oluşur. Bu durumda determinant, ana köşegeninin elemanlarının çarpımına eşittir. Örnek 3Üçgen forma indirgeyerek hesaplayınız. Örnek 4 Etkili sipariş azaltma yöntemini kullanarak hesaplayın Çözüm: Determinantların 4 0 özelliğine göre, ilk satırdan 10 faktörünü çıkaracağız ve ardından ikinci satırı sırayla 2, 2, 1 ile çarpacağız ve sırasıyla birinci, üçüncü ve üçüncü ile ekleyeceğiz. dördüncü sıralar (özellik 8 0). Ortaya çıkan determinant, ilk sütunun elemanlarına ayrıştırılabilir. Sarrus (üçgen) kuralına göre hesaplanan üçüncü dereceden bir belirleyiciye indirgenecektir. Örnek 5Üçgen forma indirgeyerek determinantı hesaplayın. Örnek 3 Yineleme ilişkilerini kullanarak hesaplayın. Anlatım 4. Ters matris. Matris sıralaması. tanım 1.
Kare
n mertebesinden A matrisi denir dejenere olmayan, determinantı ise | A|
≠ 0. Şu durumda |
A| = 0, A matrisi denir dejenere. Yalnızca tekil olmayan kare matrisler A için, ters matris A -1 kavramı tanıtılmıştır. Tanım 2
.
Matris A -1 denir tersi tekil olmayan kare bir A matrisi için, eğer A -1 A = AA -1 = E ise, burada E mertebenin birim matrisidir N.
Tanım 3
.
Matris A -1 A \u003d AA -1 \u003d E hesaplamasının doğruluğunu kontrol ediyoruz. (E, kimlik matrisidir) Matris A ve A -1 karşılıklı.
Eğer |
A| = 0, o zaman ters matris yoktur. örnek 1 A matrisi verildiğinde. Bunun tekil olmadığından emin olun ve ters matrisi bulun Çözüm: Ters matrisi bulalım. A matrisinin elemanlarının cebirsel tümleyenlerini oluşturalım. biz alırız Daha kesin ve karmaşık bir tanım için ve üçüncüden daha büyük mertebenin belirleyicilerinden bahsetmek için başka bir şeyi hatırlamanız gerekir. Yerine koyma terimiyle ilgileniyoruz, tanımıyla değil, hesaplanma şekliyle ilgileniyoruz. Değiştirme için kabul edilen giriş: Yer değiştirmeler ya çift ya da tektir. Bu ikamenin çift mi yoksa tek mi olduğunu anlamak için ikinci satıra, daha doğrusu içindeki sayıların sırasına dikkat etmek gerekir. İkinci satırdaki sayı çiftlerinin sayısını, soldaki sayı sağdaki sayıdan () büyük olacak şekilde saymak gerekir. Bu tür çiftlerin sayısı tek ise, o zaman permütasyon tek olarak adlandırılır ve buna göre, bu tür çiftlerin sayısı çift ise, o zaman permütasyon çift olarak adlandırılır. Örnek: Tanım 2(tanımlanmakta olan kavramın tüm özünü ortaya koyan matematiksel uzmanlık öğrencileri için): Matrise karşılık gelen n'inci mertebenin determinantı Permütasyonları, ilk satır faktör sıralarının numaralarını ve ikincisi - sütunların numaralarını içerecek şekilde oluşturuyoruz. Karşılık gelen sıraların determinantlarının genişletilmiş ifadesinde aşağıdaki ürünlerden hangilerinin hangi işaretlerle yer aldığını bulunuz. 2'nin solunda 3, 1 - iki çift, B) 
.
.
.
.
.
.1. Ters matris kavramı
isminde ekli, elemanları cebirsel tümleyenlerdir 
devrik matris 
.Birleşik matris yöntemiyle ters matrisi hesaplamak için algoritma.
, Nerede 
.
.
. Dolayısıyla matris dejenere değildir.
.
, yani bir sütuna yazılan sayı çiftleri ve üstteki sayılar sırayla gidecek şekilde (genel olarak konuşursak, sütunlar değiştirilebilir).
1)
4, 3'ün solunda, 1'in solunda, 2'nin solunda - bunlar zaten üç "yanlış" çift.
3, 1'in solunda ve 2, iki çift daha.
Toplam 5 çift, yani bu garip bir permütasyondur.
2)
İlk satırdaki sayıların sıralı olmadığına dikkat edin. Sütunları değiştirelim. 
İkinci satırın numaralarını düşünün.
3, 2'nin solunda ve 1 - iki çift,
2, 1'in solundadır - bir çift,
5, 4'ün solunda ve 1 - iki çift,
4, 1 - bir çiftin solunda duruyor.
Toplamda 6 çift vardır - ikame çifttir.
,
terimlerin cebirsel toplamı olarak adlandırılır ve şu şekilde oluşturulur: terimler, matrisin öğelerinin her satırdan ve her sütundan birer birer olası ürünleridir ve terim, indeksleri oluşturuyorsa artı işaretiyle alınır. çift permütasyon ve tersi durumda eksi işareti ile.
Yorum: Bu tanımı, hesaplama formülü bilinen üçüncü dereceden bir determinant örneğini kullanarak açıklayalım.
.
1) "terimlerin cebirsel toplamı" -. Ve evet, aslında altı terim var.
2) "terimler, her satırdan ve her sütundan birer birer alınan matris öğelerinin tüm olası ürünleridir" - örneğin terimi düşünün. Birinci çarpanı ikinci sıradan, ikincisi birinciden ve üçüncüsü üçüncüden alınır. Sütunlarla aynı - birinci sütundan birinci çarpan, üçüncüden ikinci ve ikinciden son çarpan.
3) "ayrıca, endeksleri çift ikame oluşturuyorsa terim artı işaretiyle ve aksi takdirde eksi işaretiyle alınır" - örneğin (artı işaretli) ve (eksi işaretli) terimleri göz önünde bulundurun ).
Terim için: (ilk sütun, birinci faktörün indeksidir, vb.)
Dönem için: .
Bu permütasyonların paritesini tanımlarız:
a) - İlk sıradaki elemanlar sıralıdır. İkinci satır sıra dışı çiftler içeriyor:
1'in solunda 2 - bir çift,
1'in solunda 3 - bir çift.
Toplam iki çift, yani çiftlerin sayısı çifttir, bu nedenle permütasyon çifttir, bu da toplamın toplama bir artı işaretiyle (gerçekte olduğu gibi) dahil edilmesi gerektiği anlamına gelir.
b) - İlk sıradaki elemanlar sıralıdır. İkinci satır sıra dışı çiftler içeriyor:
1'in solunda 2 - bir çift.
Toplamda, büyük olan küçük olanın solunda olacak şekilde duran sayı çiftlerinin sayısı 1'dir, yani. tek, yani permütasyona tek denir ve karşılık gelen terim toplama eksi işaretiyle dahil edilmelidir (evet, öyle).
Örnek(“Cebirdeki problemlerin toplanması”, A.I. Kostrikin tarafından düzenlendi, No. 1001):
A) 
Tanımın "her satırdan ve her sütundan bir tane" kısmına dikkat edin. Tüm ilk faktör indeksleri 1'den 6'ya kadar farklıdır(1, 2, 3, 4, 5, 6). Tüm ikinci faktör indeksleri 1'den 6'ya kadar farklıdır (3, 2, 1, 4, 5, 6).
Sonuç - bu çarpım, 6. dereceden determinantın genişletilmiş ifadesine dahil edilmiştir. 
1'in solunda 2 - bir çift,
5'in solunda 6, 4 - iki çift,
4'ün solunda 5 - bir çift.
Toplam 6 çift, yani permütasyon çifttir ve terim, determinantın genişletilmiş notasyonuna artı işaretiyle dahil edilir.
Tüm ilk faktör indeksleri 1'den 5'e kadar farklıdır(3, 1, 5, 4, 2). Tüm ikinci faktör indeksleri 1'den 5'e kadar farklıdır (1, 3, 2, 5, 4).
Sonuç - bu çarpım, 5. dereceden determinantın genişletilmiş ifadesine dahil edilmiştir.
Bu terimin işaretini belirliyoruz, bunun için faktörlerin indekslerinin bir permütasyonunu oluşturuyoruz: 
İlk satırdaki sayılar küçükten büyüğe doğru sıralanacak şekilde sütunları yeniden düzenleyin. 
1'in solunda 3, 2 - iki çift.
1'in solunda 4, 2 - iki çift,
2'nin solunda 5 - bir çift.
Toplam 5 çift, yani permütasyon tektir ve terim, determinantın genişletilmiş notasyonuna eksi işaretiyle dahil edilir.
v) 
- birinci ve altıncı faktörlere dikkat edelim: ve . Her ikisi de 4. sütundan alınmıştır, yani bu çarpım 7. dereceden determinantın genişletilmiş ifadesine dahil edilemez.