Çevrimiçi karmaşık bir değişkenin fonksiyon teorisi. Karmaşık değişkenli fonksiyonlar. Karmaşık değişkenli fonksiyonların türevi. Cauchy-Riemann koşulları

Federal Eğitim Ajansı

___________________________________

Saint Petersburg Eyaleti

Elektroteknik Üniversitesi "LETI"

_______________________________________

Karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi

Yönergeler

pratik alıştırmalara

yüksek matematikte

Saint Petersburg

Saint-Petersburg Elektroteknik Üniversitesi "LETI" yayınevi

UDC512.64(07)

TFKP: Sorunları çözmek için kılavuzlar / derleme: V.G. Dyumin, A.M. Kotochigov, N.N. Sosnovsky.St. Petersburg: St.

Onaylı

üniversitenin yayın ve yayın kurulu

kılavuz olarak

© Saint Petersburg Elektroteknik Üniversitesi "LETI", 2010

Karmaşık değişkenin fonksiyonları, genel durumda, gerçek düzlemin eşlemelerinden farklıdır.
kendi başına yalnızca kayıt biçimidir. Önemli ve son derece yararlı bir nesne, karmaşık değişkenli bir fonksiyonun sınıfıdır.

Tek değişkenli fonksiyonlarla aynı türevi olan. Çok değişkenli fonksiyonların kısmi ve yönlü türevleri olabileceği bilinmektedir ancak kural olarak farklı yönlerdeki türevler çakışmaz ve bir noktada türevden söz etmek mümkün değildir. Ancak karmaşık değişkenli fonksiyonlar için farklılaşmayı kabul ettikleri koşulları tanımlamak mümkündür. Karmaşık bir değişkenin türevlenebilir fonksiyonlarının özelliklerinin incelenmesi, kılavuzların içeriğini oluşturur. Talimatlar, bu tür fonksiyonların özelliklerinin çeşitli problemleri çözmek için nasıl kullanılabileceğini göstermeye yöneliktir. Sunulan materyale başarılı bir şekilde hakim olmak, karmaşık sayılarla hesaplama konusunda temel becerilere sahip olmadan ve karmaşık bir sayının gerçek ve sanal kısımlarının yanı sıra modülü ve argümanıyla ilgili eşitsizlikler açısından tanımlanan en basit geometrik nesnelere aşina olmadan imkansızdır. Bunun için gereken tüm bilgilerin bir özetini kılavuzlarda bulabilirsiniz.

Matematiksel analizin standart aparatları: limitler, türevler, integraller, seriler, kılavuz metinlerinde yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu kavramların kendine has özellikleri olduğu durumlarda, tek değişkenli fonksiyonlarla karşılaştırıldığında uygun açıklamalar verilir, ancak çoğu durumda gerçek ve sanal kısımları ayırmak ve standart gerçek analiz aygıtını bunlara uygulamak yeterlidir.

1. Karmaşık bir değişkenin temel fonksiyonları

Karmaşık değişkenli fonksiyonların diferansiyellenebilirlik koşullarını tartışmaya hangi temel fonksiyonların bu özelliğe sahip olduğunu açıklayarak başlamak doğaldır. Açık bir ilişkiden

Herhangi bir polinomun diferansiyellenebilirliği aşağıdaki gibidir. Ve kuvvet serileri yakınsaklık çemberi içinde terim terim farklılaştırılabildiğinden,

bu durumda herhangi bir fonksiyon, Taylor serisinde genişletilebileceği noktalarda türevlenebilirdir. Bu yeterli bir koşuldur, ancak yakında anlaşılacağı gibi aynı zamanda gerekli bir koşuldur. Fonksiyonun grafiğinin davranışını kontrol ederek bir değişkenli fonksiyonların türev yoluyla incelenmesini desteklemek uygundur. Karmaşık değişkenli fonksiyonlar için bu mümkün değildir. Grafiğin noktaları 4 boyutlu bir uzayda yer alır.

Bununla birlikte, karmaşık düzlemin yeterince basit kümelerinin görüntüleri dikkate alınarak fonksiyonun bazı grafik temsilleri elde edilebilir.
Belirli bir fonksiyonun etkisi altında ortaya çıkan. Örneğin, bu bakış açısından birkaç basit işlevi düşünün.

Doğrusal fonksiyon

Bu basit fonksiyon Bu çok önemlidir, çünkü herhangi bir diferansiyellenebilir fonksiyon yerel olarak doğrusal bir fonksiyona benzerdir. Fonksiyonun eylemini maksimum ayrıntıyla düşünün

Burada
-- karmaşık sayı modülü Ve onun argümanıdır. Böylece doğrusal fonksiyon esneme, dönme ve kesme işlemlerini gerçekleştirir. Bu nedenle, doğrusal bir eşleme herhangi bir kümeyi benzer bir kümeyle eşler. Özellikle doğrusal bir haritalamanın etkisi altında çizgiler çizgilere, daireler ise dairelere dönüşür.

İşlev

Bu fonksiyon karmaşıklık açısından doğrusal olanın yanındadır. Herhangi bir doğruyu bir doğruya ve bir daireyi bir daireye götürmesini beklemek zordur, basit örnekler bunun olmadığını göstermektedir, ancak yine de bu fonksiyonun tüm doğruların ve dairelerin kümesini kendi içine aldığı gösterilebilir. . Bunu doğrulamak için eşlemenin gerçek (koordinat) açıklamasına geçmek uygundur.

Kanıt, ters eşlemenin açıklamasını gerektirir

Eğer denklemi düşünün
sonra bir doğrunun genel denklemini elde ederiz. Eğer
, O

Bu nedenle,
keyfi bir dairenin denklemi elde edilir.

şunu unutmayın:
Ve
, daha sonra daire orijinden geçer. Eğer
Ve
, orijinden geçen düz bir çizgi elde edersiniz.

Tersine çevirme eylemi altında, dikkate alınan denklem şu şekilde yeniden yazılacaktır:

, (
)

veya . Bunun aynı zamanda daireleri veya düz çizgileri tanımlayan bir denklem olduğu da görülebilir. Denklemde katsayıların olması Ve
takas, ters çevirme sırasında 0'dan geçen çizgilerin dairelere, 0'dan geçen dairelerin ise çizgilere dönüşeceği anlamına gelir.

Güç fonksiyonları

Bu işlevler ile daha önce ele alınanlar arasındaki temel fark, bunların bire bir olmamasıdır (
). Fonksiyon diyebiliriz
karmaşık düzlemi aynı düzlemin iki örneğine eşler. Bu konunun dikkatli bir şekilde ele alınması, Riemann yüzeylerinin hantal aparatlarının kullanılmasını gerektirir ve burada ele alınan soruların kapsamı dışındadır. Karmaşık düzlemin, her biri karmaşık düzlem üzerinde birebir eşlenen sektörlere bölünebileceğini anlamak önemlidir. Bu, işlevin dökümüdür
şuna benzer: Örneğin, üst yarım düzlem, fonksiyon tarafından karmaşık düzleme bire bir eşlenir.
. Bu tür görüntülerdeki geometri bozulmalarını açıklamak, ters çevirme durumunda olduğundan daha zordur. Bir alıştırma olarak, üst yarı düzlemin dikdörtgen koordinatlarının ızgarasının görüntülendiğinde nereye gittiğini izleyebilirsiniz.

Dikdörtgen koordinatların ızgarasının sistemi oluşturan bir parabol ailesine dönüştüğü görülebilir. eğrisel koordinatlar uçakta
. Yukarıda açıklanan düzlemin bölümü, fonksiyon şöyledir:
her birini görüntüler tüm düzlemdeki sektörler. İleri ve geri eşlemenin açıklaması şuna benzer:

Yani fonksiyon
Var çeşitli ters fonksiyonlar,

uçağın farklı sektörlerinde verilen

Bu gibi durumlarda eşlemenin çok sayfalı olduğu söylenir.

Zhukovski işlevi

Zhukovsky tarafından oluşturulan uçak kanadı teorisinin temelini oluşturduğu için fonksiyonun kendi adı vardır (bu tasarımın bir açıklaması kitapta bulunabilir). Fonksiyonun çok sayıda ilginç özelliği var, bunlardan birine odaklanalım - bu fonksiyonun hangi kümelerde bire bir hareket ettiğini öğrenelim. Eşitliği düşünün

, Neresi
.

Bu nedenle Zhukovsky fonksiyonu herhangi bir alanda bire-birdir. Ve çarpımları birliğe eşit değildir. Bunlar örneğin açık birim çemberdir.
ve kapalı birim çemberin tamamlayıcısı
.

Zhukovsky fonksiyonunun çember üzerindeki etkisini düşünün, sonra

Gerçek ve sanal kısımları ayırarak elipsin parametrik denklemini elde ederiz

,
.

Eğer
, bu elipsler tüm düzlemi doldurur. Benzer şekilde segment görüntülerinin hiperbol olduğu doğrulandı.

.

Üstel fonksiyon

Fonksiyon, tüm karmaşık düzlemde mutlak olarak yakınsak olan bir kuvvet serisine genişletilebilir, dolayısıyla her yerde türevlenebilir. Fonksiyonun birebir olduğu kümeleri tanımlayalım. Açık eşitlik
düzlemin, her biri fonksiyon tarafından tüm karmaşık düzleme bire bir eşlenen bir şerit ailesine bölünebileceğini gösterir. Ters fonksiyonun, daha doğrusu ters fonksiyonların nasıl çalıştığını anlamak için bu bölüm önemlidir. Şeritlerin her birinde ters harita doğal olarak tanımlanır

Ters fonksiyon bu durumda da çok değerlidir ve ters fonksiyonların sayısı sonsuzdur.

Haritalamanın geometrik açıklaması oldukça basittir: düz çizgiler
kirişlere dönüşmek
, segmentler

çevrelere doğru hareket et
.

Nerede
gerçek sayılardır ve - özel karakter, buna denir hayali birim . Hayali birim için tanım gereği şöyle varsayılır:
.

(4.1) – cebirsel form karmaşık sayı ve
isminde gerçek kısım karmaşık sayı ve
-sanal kısım .

Sayı
isminde karmaşık eşlenik numaraya
.

İki karmaşık sayı verilsin
,
.

1. toplam
Karışık sayılar Ve karmaşık sayı denir

2. fark
Karışık sayılar Ve karmaşık sayı denir

3. iş
Karışık sayılar Ve karmaşık sayı denir

4. Özel karmaşık bir sayıyı bölmekten karmaşık bir sayıya
karmaşık sayı denir

.

Açıklama 4.1. Yani, karmaşık sayılar üzerindeki işlemler, cebirdeki değişmez ifadeler üzerindeki olağan aritmetik işlem kurallarına göre tanıtılır.

Örnek 4.1. Karmaşık sayılar verilmiştir. Bulmak

.

Çözüm. 1) .

4) Pay ve paydayı paydanın karmaşık eşleniğiyle çarparsak şunu elde ederiz:

trigonometrik form karmaşık sayı:

Nerede
karmaşık bir sayının modülüdür,
karmaşık bir sayının argümanıdır. Köşe belirsiz bir şekilde tanımlanmış, bir terime kadar
:

,
.

- koşula göre belirlenen argümanın ana değeri

, (veya
).

gösterge formu karmaşık sayı:

.

Kök
sayının derecesi Var formül tarafından bulunan farklı değerler

Nerede
.

Değerlere karşılık gelen noktalar
, bir düzgünün köşeleridir
yarıçaplı bir daire içine yazılmış bir kare
kökene odaklanmıştır.

Örnek 4.2. Tüm kök değerleri bul
.

Çözüm. Karmaşık bir sayı düşünün
trigonometrik formda:

,

, Neresi
.

Daha sonra
. Bu nedenle, formül (4.2) ile
dört anlamı vardır:

,
.

Varsayarak
, bulduk

,
,

, .

Burada argümanın değerlerini ana değerine dönüştürdük.

Karmaşık düzlemdeki kümeler

Karmaşık sayı
bir uçakta tasvir edilmiştir
nokta
koordinatlarla
. Modül
ve tartışma
noktanın kutupsal koordinatlarına karşılık gelir
.

Eşitsizliği hatırlamakta fayda var
bir noktada merkezli bir daireyi tanımlar yarıçap . Eşitsizlik
düz çizginin sağında bulunan yarım düzlemi tanımlar
ve eşitsizlik
- düz bir çizginin üzerinde bulunan yarım düzlem
. Ayrıca eşitsizlik sistemi
ışınlar arasındaki açıyı ayarlar
Ve
Koordinatların başlangıç ​​noktasından çıkan.

Örnek 4.3. Eşitsizliklerin tanımladığı alanı çizin:
.

Çözüm.İlk eşitsizlik, merkezi bir noktada olan bir halkaya karşılık gelir
ve iki yarıçap 1 ve 2, daireler alana dahil değildir (Şekil 4.1).

İkinci eşitsizlik ışınlar arasındaki açıya karşılık gelir
(4. koordinat açısının açıortayı) ve
(pozitif eksen yönü
). Işınların kendisi bölgeye girmez (Şekil 4.2).

İstenilen alan, elde edilen iki alanın kesişimidir (Şekil 4.3)

4.2. Karmaşık bir değişkenin işlevleri

Tek değerli bir fonksiyon olsun
etki alanında tanımlanmış ve sürekli
, A parçalı-düzgün kapalı veya kapalı olmayan yönelimli bir eğridir.
. Her zamanki gibi izin ver
,, Nerede
,
- değişkenlerin gerçek fonksiyonları Ve .

Bir fonksiyonun integralini hesaplama
karmaşık değişken sıradan eğrisel integrallerin hesaplanmasına indirgenir, yani

Eğer fonksiyon
basit bağlantılı bir alanda analitiktir
noktaları içeren Ve , o zaman Newton-Leibniz formülü geçerlidir:

Nerede
- fonksiyonun bazı antiderivatifleri
, yani
bölgede
.

Karmaşık değişkenli fonksiyonların integrallerinde değişken değiştirilebilir ve parçalara göre entegrasyon, gerçek değişkenli fonksiyonların integrallerinin hesaplanmasında yapılana benzer.

Ayrıca entegrasyon yolunun noktadan başlayan düz bir çizginin parçası olması durumunda şunu unutmayın: veya bir noktada ortalanmış bir dairenin parçası o zaman formun değişkenini değiştirmek faydalıdır
. İlk durumda
, A - gerçek entegrasyon değişkeni; ikinci durumda
, A gerçek entegrasyon değişkenidir.

Örnek 4.4. Hesaplamak
bir parabol boyunca
noktadan
diyeceğim şey şu ki
(Şekil 4.4).

Örnek 4.5.İntegrali Hesapla
, Nerede - bir dairenin yayı
,
(Şekil 4.5) .

İşlev
, tek değerli ve halkada analitik
, bu halkada ayrışır Laurent serisi

Formül (4.5)'teki seri
isminde Ana bölüm Laurent serisi ve serisi
isminde sağ kısım Laurent sırası.

Tanım 4.1. Nokta ismindeizole tekil nokta işlevler
fonksiyonun bulunduğu bu noktanın bir komşuluğu varsa
noktanın kendisi dışında her yerde analitiktir .

İşlev
noktanın yakınında Laurent serisinde genişletilebilir. Üç olası var farklı durum Laurent serisi ne zaman:

1) Negatif fark derecesine sahip terimler içermez
, yani

(Laurent serisi ana kısmı içermiyor). Bu durumda isminde çıkarılabilir tekil nokta işlevler
;

2) Negatif fark derecelerine sahip sonlu sayıda terim içerir
, yani

,

Ve
. Bu durumda asıl nokta isminde düzen kutbu işlevler
;

3) içerir sonsuz sayı Negatif dereceli terimler:

.

Bu durumda asıl nokta isminde önemli nokta işlevler
.

Yalıtılmış bir tekil noktanın doğasını belirlerken Laurent serisi açılımını aramaya gerek yoktur. Yalıtılmış anahtar noktaların çeşitli özelliklerini kullanabilirsiniz.

1) fonksiyonun çıkarılabilir tekil noktasıdır
fonksiyonun sonlu bir limiti varsa
noktada :

.

2) fonksiyonun bir kutbudur
, Eğer

.

3) fonksiyonun temel tekil noktasıdır
, eğer
fonksiyonun sınırı yoktur, ne sonlu ne de sonsuz.

Tanım 4.2. Nokta ismindesıfır
emir (veya çokluklar ) işlevler
aşağıdaki koşullar yerine getirilirse:

…,

.

Açıklama 4.2. Nokta o zaman ve ancak o zaman sıfırdır
emir işlevler
bu noktanın bazı mahallelerinde eşitlik

,

fonksiyon nerede
bu noktada analitiktir Ve

4) nokta düzenin kutbu (
) işlevler
eğer bu nokta sıfır dereceli ise fonksiyon için
.

5) izin ver - bir fonksiyonun izole tekil noktası
, Nerede
- bir noktada analitik fonksiyonlar . Ve noktayı bırak sıfır sırası mı işlevler
ve sıfır sipariş ver işlevler
.

Şu tarihte:
nokta düzenin kutbu
işlevler
.

Şu tarihte:
nokta fonksiyonun çıkarılabilir tekil noktasıdır
.

Örnek 4.6. Yalıtılmış noktaları bulun ve fonksiyon için türlerini belirleyin
.

Çözüm. Fonksiyonlar
Ve
- tüm karmaşık düzlemde analitik. Dolayısıyla fonksiyonun tekil noktaları
paydanın sıfırları, yani
. Böyle sonsuz sayıda nokta var. Öncelikle mesele şu
ve denklemi karşılayan noktalar
. Buradan
Ve
.

Bir noktayı düşünün
. Bu noktada şunu elde ediyoruz:

,
,

,
.

Sıfır sırası
.

,
,

,
,

,
,

,
.

.

Yani asıl nokta
ikinci dereceden bir kutuptur (
).

. Daha sonra

,
.

Sıfır payın sırası
.

,
,
.

Sıfır paydanın sırası
. Bu nedenle noktalar
en
birinci dereceden kutuplardır ( basit direkler ).

Teorem 4.1. (Cauchy kalıntı teoremi ). Eğer fonksiyon
sınırda analitiktir alanlar
ve sonlu sayıda tekil nokta dışında bölgenin her yerinde
, O

.

İntegralleri hesaplarken fonksiyonun tüm tekil noktalarını dikkatlice bulmak önemlidir.
, ardından bir kontur ve özel noktalar çizin ve bundan sonra yalnızca integral konturunun içindeki noktaları seçin. Resim olmadan doğru seçimi yapmak çoğu zaman zordur.

Kesintiyi hesaplama yöntemi
tekil noktanın türüne bağlıdır. Bu nedenle kalıntıyı hesaplamadan önce tekil noktanın türünü belirlemeniz gerekir.

1) bir noktada fonksiyon kalıntısı Laurent açılımındaki eksi birinci kuvvetin katsayısına eşittir
noktanın yakınında :

.

Bu ifade tüm yalıtılmış nokta türleri için doğrudur ve dolayısıyla bu durumda tekil noktanın türünü belirlemek gerekli değildir.

2) çıkarılabilir tekil noktadaki kalıntı sıfıra eşittir.

3) eğer - basit bir kutup (birinci dereceden kutup) ve fonksiyon
olarak temsil edilebilir
, Nerede
,
(bu durumda şunu unutmayın
), daha sonra noktadaki kalıntı eşittir

.

Özellikle eğer
, O
.

4) eğer o zaman basit bir direk

5) eğer - kutup
inci sıra fonksiyonu
, O

Örnek 4.7.İntegrali Hesapla
.

Daha sonra formül (4.7)'ye göre bu noktada kalıntıyı buluruz:

Teorem 4.1'e göre şunu buluruz:

Karmaşık değişkenli fonksiyonlar.
Karmaşık değişkenli fonksiyonların türevi.

Bu makale, karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisiyle ilgili tipik problemleri ele alacağım bir dizi ders başlatıyor. Örneklerde başarılı bir şekilde uzmanlaşmak için karmaşık sayılara ilişkin temel bilgiye sahip olmanız gerekir. Materyali pekiştirmek ve tekrarlamak için sayfayı ziyaret etmeniz yeterlidir. Ayrıca bulmak için becerilere de ihtiyacınız olacak ikinci dereceden kısmi türevler . İşte bunlar, bu kısmi türevler... şimdi bile bu kadar sık ​​meydana gelmelerine biraz şaşırdım...

Analiz etmeye başladığımız konu özellikle zor değil ve karmaşık bir değişkenin fonksiyonlarında prensip olarak her şey açık ve erişilebilir. Önemli olan benim tarafımdan ampirik olarak türetilen temel kurala uymaktır. Okumaya devam etmek!

Karmaşık değişkenli fonksiyon kavramı

Öncelikle bir değişkenin okul işlevi hakkındaki bilgilerimizi tazeleyelim:

Tek değişkenli fonksiyon bağımsız değişkenin (tanım alanından) her değerinin, fonksiyonun yalnızca bir değerine karşılık geldiği bir kuraldır. Doğal olarak "x" ve "y" gerçek sayılardır.

Karmaşık durumda işlevsel bağımlılık aynı şekilde ayarlanır:

Karmaşık bir değişkenin tek değerli fonksiyonu herkesin uyması gereken bir kural Birleşik bağımsız değişkenin değeri (alandan) yalnızca bir tanesine karşılık gelir kapsayıcı fonksiyon değeri. Teorik olarak, çok değerli ve diğer bazı fonksiyon türleri de göz önünde bulundurulur, ancak basitlik açısından bir tanıma odaklanacağım.

Karmaşık bir değişkenin işlevi nedir?

Temel fark sayıların karmaşık olmasıdır. İronik yapmıyorum. Bu tür sorulardan genellikle şaşkına dönüyorlar, makalenin sonunda harika bir hikaye anlatacağım. Derste Kuklalar için karmaşık sayılar şeklinde bir karmaşık sayıyı ele aldık. Artık "Z" harfi haline geldi değişken, o zaman bunu şu şekilde göstereceğiz: "x" ve "y" farklı anlamlar alabilir geçerli değerler. Kabaca söylemek gerekirse, karmaşık bir değişkenin işlevi, "olağan" değerleri alan ve değişkenlerine bağlıdır. İtibaren bu gerçek mantıksal olarak şu nokta takip eder:

Karmaşık bir değişkenin fonksiyonu şu şekilde yazılabilir:
, burada ve ikinin iki fonksiyonudur geçerli değişkenler.

Fonksiyon çağrılır gerçek kısım işlevler.
Fonksiyon çağrılır sanal kısım işlevler.

Yani, karmaşık bir değişkenin fonksiyonu iki gerçek fonksiyona ve . Sonunda her şeyi açıklığa kavuşturmak için pratik örneklere bakalım:

örnek 1

Çözüm: Bağımsız değişken "z", hatırlayacağınız gibi şu şekilde yazılmıştır:

(1) Orijinal fonksiyona değiştirildi.

(2) Birinci terim için kısaltılmış çarpma formülü kullanılmıştır. Dönemde parantez açıldı.

(3) Dikkatlice karelenmiş, bunu unutmadan

(4) Terimlerin yeniden düzenlenmesi: ilk önce terimlerin yeniden yazılması İçinde hayali bir birimin bulunmadığı(birinci grup), daha sonra terimler (ikinci grup) varsa. Şartların karıştırılmasına gerek olmadığı unutulmamalıdır ve bu aşama atlanabilir (aslında bunu sözlü olarak yapıyorum).

(5) İkinci grup parantez içinden çıkarılmıştır.

Sonuç olarak fonksiyonumuzun şu şekilde temsil edildiği ortaya çıktı:

Cevap:
fonksiyonun gerçek kısmıdır.
fonksiyonun sanal kısmıdır.

Bu işlevler nelerdir? İki değişkenin bu kadar popüler bulabileceğiniz en sıradan fonksiyonları kısmi türevler . Merhamet olmadan bulacağız. Ama biraz sonra.

Kısaca çözülen problemin algoritması şu şekilde yazılabilir: orijinal fonksiyonun yerine koyarız, basitleştirmeler yaparız ve tüm terimleri hayali bir birim (gerçek kısım) olmadan ve hayali bir birim (sanal kısım) ile iki gruba ayırırız.

Örnek 2

Bir fonksiyonun gerçek ve sanal kısmını bulun

Bu bir örnektir bağımsız karar. Taslaklarla dolu karmaşık bir uçakta kendinizi savaşa atmadan önce, size en fazlasını vereyim önemli tavsiye Bu konuda:

DİKKAT OLMAK! Elbette her yerde dikkatli olmanız gerekiyor ama karmaşık sayılarda her zamankinden daha dikkatli olmalısınız! Unutmayın, braketleri dikkatlice genişletin, hiçbir şey kaybetmeyin. Benim gözlemlerime göre en sık yapılan hata işaret kaybıdır. Acele etmeyin!

Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Şimdi küp. Kısaltılmış çarpma formülünü kullanarak şunu elde ederiz:
.

Formüllerin pratikte kullanımı çok uygundur çünkü çözüm sürecini büyük ölçüde hızlandırır.

Karmaşık değişkenli fonksiyonların türevi.

İki haberim var: iyi ve kötü. İyi bir tanesiyle başlayacağım. Karmaşık değişkenli bir fonksiyon için türev kuralları ve temel fonksiyonların türev tablosu geçerlidir. Böylece türev, gerçek değişkenli bir fonksiyon durumunda olduğu gibi tamamen aynı şekilde alınır.

Kötü haber şu ki, karmaşık bir değişkenin birçok fonksiyonu için hiçbir türev yoktur ve bunu bulmanız gerekir. türevlenebilir bir işlev veya diğeri. Ve kalbinizin nasıl hissettiğini "anlamak" ek sorunlarla ilişkilidir.

Karmaşık bir değişkenin bir fonksiyonunu düşünün. İçin verilen fonksiyon türevlenebilir gerekli ve yeterliydi:

1) Birinci mertebeden kısmi türevlerin olması. Bu gösterimleri hemen unutun, çünkü karmaşık değişkenli fonksiyon teorisinde geleneksel olarak gösterimin başka bir versiyonu kullanılır: .

2) Sözdeyi gerçekleştirmek Cauchy-Riemann koşulları:

Sadece bu durumda türev mevcut olacaktır!

Örnek 3

Çözüm birbirini takip eden üç aşamaya ayrılmıştır:

1) Fonksiyonun gerçel ve sanal kısımlarını bulun. Bu görev önceki örneklerde analiz edildi, bu yüzden yorum yapmadan yazacağım:

O zamandan beri:

Böylece:

fonksiyonun sanal kısmıdır.

Bir tanesinde daha duracağım teknik nokta: hangi sırayla Terimleri gerçek ve sanal kısımlarda yazar mısınız? Evet, temelde önemli değil. Örneğin gerçek kısım şu şekilde yazılabilir: , ve hayali - şu şekilde: .

2) Cauchy-Riemann koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edelim. İki tane var.

Durumu kontrol ederek başlayalım. Bulduk kısmi türevler :

Böylece şart yerine getirilmiş olur.

Kuşkusuz iyi haber şu ki, kısmi türevler neredeyse her zaman çok basittir.

İkinci koşulun yerine getirilip getirilmediğini kontrol ediyoruz:

Aynı şey ortaya çıktı, ancak zıt işaretlerle, yani koşul da yerine getirildi.

Cauchy-Riemann koşulları sağlandığı için fonksiyon türevlenebilirdir.

3) Fonksiyonun türevini bulun. Türev de çok basittir ve genel kurallara göre bulunur:

Farklılaşmadaki sanal birim sabit olarak kabul edilir.

Cevap: - gerçek kısım hayali kısımdır.
Cauchy-Riemann koşulları sağlanmıştır.

Türevi bulmanın iki yolu daha var, bunlar elbette daha az kullanılıyor, ancak bilgiler ikinci dersi anlamak için faydalı olacaktır - Karmaşık bir değişkenin işlevi nasıl bulunur?

Türev aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

İÇİNDE bu durum:

Böylece

Ters problemi çözmek gerekir; ortaya çıkan ifadede, onu izole etmeniz gerekir. Bunu yapabilmek için, terimler ve parantezlerin çıkarılması gerekir:

ters eylem, birçok kişinin fark ettiği gibi, bunu gerçekleştirmek biraz daha zordur, doğrulama için bir ifadeyi ve bir taslakta almak veya parantezleri sözlü olarak geri açmak, tam olarak ortaya çıkacağından emin olmak her zaman daha iyidir

Türevi bulmak için ayna formülü:

Bu durumda: , Bu yüzden:

Örnek 4

Bir fonksiyonun gerçek ve sanal kısımlarını belirleme . Cauchy-Riemann koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edin. Cauchy-Riemann koşulları karşılanıyorsa fonksiyonun türevini bulun.

Dersin sonunda kısa bir çözüm ve yaklaşık bir bitirme örneği.

Cauchy-Riemann koşulları her zaman sağlanır mı? Teorik olarak, çoğu zaman yerine getirilmemektedirler. Ancak pratik örneklerde uygulanmadıkları bir durumu hatırlamıyorum =) Dolayısıyla, eğer kısmi türevleriniz "yakınlaşmadıysa", o zaman çok yüksek olasılıkla bir yerde hata yaptığınızı söyleyebiliriz.

İşlevlerimizi karmaşıklaştıralım:

Örnek 5

Bir fonksiyonun gerçek ve sanal kısımlarını belirleme . Cauchy-Riemann koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edin. Hesaplamak

Çözüm:Çözüm algoritması tamamen korunur, ancak sonunda yeni bir moda eklenir: bir noktadaki türevi bulmak. Küp için gerekli formül zaten türetilmiştir:

Bu fonksiyonun reel ve sanal kısımlarını tanımlayalım:

Dikkat ve tekrar dikkat!

O zamandan beri:


Böylece:
fonksiyonun gerçek kısmıdır;
fonksiyonun sanal kısmıdır.

İkinci koşulun kontrol edilmesi:

Aynı şey ortaya çıktı, ancak zıt işaretlerle, yani koşul da yerine getirildi.

Cauchy-Riemann koşulları sağlandığı için fonksiyon türevlenebilirdir:

Türevin değerini gerekli noktada hesaplayın:

Cevap:, , Cauchy-Riemann koşulları sağlanıyor,

Küplü işlevler yaygındır; dolayısıyla pekiştirilecek bir örnek:

Örnek 6

Bir fonksiyonun gerçek ve sanal kısımlarını belirleme . Cauchy-Riemann koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edin. Hesaplamak .

Ders sonunda karar ve örnek bitirme.

Karmaşık analiz teorisinde, karmaşık bir argümanın diğer fonksiyonları da tanımlanır: üstel, sinüs, kosinüs vb. Bu işlevlerin alışılmadık ve hatta tuhaf özellikleri var ve bu gerçekten ilginç! Size gerçekten söylemek istiyorum, ama burada öyle oldu, bir referans kitabı veya ders kitabı değil, bir çözüm, bu yüzden aynı görevi bazı ortak işlevlerle ele alacağım.

İlk olarak sözde hakkında Euler formülleri:

Herkes için geçerli sayılar için aşağıdaki formüller geçerlidir:

Ayrıca referans olarak not defterinize kopyalayabilirsiniz.

Kesin olarak konuşursak, yalnızca bir formül vardır, ancak genellikle kolaylık sağlamak için şunu da yazarlar: özel durum eksi göstergesi ile. Parametrenin tek bir harf olması gerekmez, karmaşık bir ifade, bir fonksiyon olabilir, sadece almaları önemlidir sadece geçerli değerler. Aslında şimdi göreceğiz:

Örnek 7

Türevi bulun.

Çözüm: Partinin genel çizgisi sarsılmaz kalıyor; işlevin gerçek ve hayali kısımlarını ayırmak gerekiyor. getireceğim detaylı çözüm ve aşağıdaki her adımı yorumlayın:

O zamandan beri:

(1) "z" yerine koyun.

(2) Yer değiştirmeden sonra gerçek ve sanal kısımları ayırmak gerekir. üs olarak ilk katılımcılar. Bunu yapmak için parantezleri açın.

(3) Hayali birimi parantezlerin dışına çıkararak göstergenin hayali kısmını gruplandırırız.

(4) Okul eylemlerini yetkilerle kullanın.

(5) Çarpan için Euler formülünü kullanırız.

(6) Sonuç olarak parantezleri açıyoruz:

fonksiyonun gerçek kısmıdır;
fonksiyonun sanal kısmıdır.

Daha fazla eylemler standarttır, Cauchy-Riemann koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol ederiz:

Örnek 9

Bir fonksiyonun gerçek ve sanal kısımlarını belirleme . Cauchy-Riemann koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edin. Öyle olsun, türevi bulamayacağız.

Çözüm:Çözüm algoritması önceki iki örneğe çok benzer, ancak çok önemli noktalar, Bu yüzden İlk aşama Adım adım tekrar yorum yapacağım:

O zamandan beri:

1) "z" yerine koyarız.

(2) İlk önce gerçek ve sanal kısımları seçin sinüsün içinde. Bu amaçla braketleri açın.

(3) Formülü kullanıyoruz .

(4) Kullanım hiperbolik kosinüs paritesi: Ve hiperbolik sinüs tuhaflığı: . Hiperbolikler, bu dünyaya ait olmasalar da birçok açıdan benzer trigonometrik fonksiyonlara benzerler.

Sonunda:
fonksiyonun gerçek kısmıdır;
fonksiyonun sanal kısmıdır.

Dikkat! Eksi işareti hayali kısmı ifade eder ve hiçbir durumda onu kaybetmemeliyiz! Görsel bir açıklama için yukarıda elde edilen sonuç şu şekilde yeniden yazılabilir:

Cauchy-Riemann koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edelim:

Cauchy-Riemann koşulları yerine getirildi.

Cevap:, , Cauchy-Riemann koşulları sağlanmıştır.

Bayanlar ve baylar, kosinüs ile kendi başımıza şunu anlıyoruz:

Örnek 10

Fonksiyonun gerçel ve sanal kısımlarını belirleyin. Cauchy-Riemann koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edin.

Kasıtlı olarak daha karmaşık örnekleri seçtim çünkü soyulmuş fıstık gibi şeylerle herkes başa çıkabilir. Aynı zamanda dikkatinizi eğitin! Dersin sonunda fındıkkıran.

Sonuç olarak bir tane daha ele alacağım ilginç örnek karmaşık argüman paydada olduğunda. Birkaç kez pratikte buluştuk, basit bir şeyi analiz edelim. Ah, yaşlanıyorum...

Örnek 11

Fonksiyonun gerçel ve sanal kısımlarını belirleyin. Cauchy-Riemann koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edin.

Çözüm: Yine fonksiyonun reel ve sanal kısımlarını ayırmak gerekir.
Eğer öyleyse

Şu soru ortaya çıkıyor: "Z" paydada olduğunda ne yapmalı?

Her şey basit - standart yardımcı olacaktır pay ve paydayı eşlenik ifadeyle çarpma yöntemi, dersteki örneklerde zaten kullanıldı Kuklalar için karmaşık sayılar . Okul formülünü hatırlayalım. Paydada zaten elimizde var, yani eşlenik ifade şöyle olacak. Bu nedenle pay ve paydayı şu şekilde çarpmanız gerekir: