Что означают дополнительные базисы в симплекс методе. Решить задачу линейного программирования симплекс методом

Линейное программирование - это метод математического моделирования, разработанный для оптимизации использования ограниченных ресурсов. ЛП успешно применяется в военной области, индустрии, сельском хозяйстве, транспортной отрасли, экономике, системе здравоохранения и даже в социальных науках. Широкое использование этого метода также подкрепляется высокоэффективными компьютерными алгоритмами, реализующими данный метод. На алгоритмах линейного программирования базируются оптимизационные алгоритмы для других, более сложных типов моделей и задач исследования операций (ИО), включая целочисленное, нелинейное и стохастическое программирование.

Оптимизационная задача – это экономико-математическая задача, которая состоит в нахождении оптимального (максимального или минимального) значения целевой функции, причем значения переменных должны принадлежать некоторой области допустимых значений.

В самом общем виде задача линейного программирования математически записывается следующим образом:

где X = (x 1 , x 2 , ... , x n ) ; W – область допустимых значений переменных x 1 , x 2 , ... , x n ;f(Х) – целевая функция.

Для того чтобы решить задачу оптимизации, достаточно найти ее оптимальное решение, т.е. указать такое, чтопри любом.

Оптимизационная задача является неразрешимой, если она не имеет оптимального решения. В частности, задача максимизации будет неразрешимой, если целевая функция f(Х) не ограничена сверху на допустимом множестве W .

Методы решения оптимизационных задач зависят как от вида целевой функции f(Х) , так и от строения допустимого множества W . Если целевая функция в задаче является функцией n переменных, то методы решения называют методами математического программирования.

Характерные черты задач линейного программирования следующие:

показатель оптимальности f(X) представляет собой линейную функцию от элементов решения X = (x 1 , x 2 , ... , x n ) ;

ограничительные условия, налагаемые на возможные решения, имеют вид линейных равенств или неравенств.

Задачей линейного программирования называется задача исследования операций, математическая модель которой имеет вид:

(2) (3)(4)(5)

При этом система линейных уравнений (3) и неравенств (4), (5), определяющая допустимое множество решений задачи W , называется системой ограничений задачи линейного программирования, а линейная функция f(Х) называется целевой функцией или критерием оптимальности .

Допустимое решение – это совокупность чисел (план ) X = (x 1 , x 2 , ... , x n ) , удовлетворяющих ограничениям задачи. Оптимальное решение – это план, при котором целевая функция принимает свое максимальное (минимальное) значение.

Если математическая модель задачи линейного программирования имеет вид:

то говорят, что задача представлена в канонической форме .

Любую задачу линейного программирования можно свести к задаче линейного программирования в канонической форме. Для этого в общем случае нужно уметь сводить задачу максимизации к задаче минимизации; переходить от ограничений неравенств к ограничениям равенств и заменять переменные, которые не подчиняются условию неотрицательности. Максимизация некоторой функции эквивалента минимизации той же функции, взятой с противоположным знаком, и наоборот.

Правило приведения задачи линейного программирования к каноническому виду состоит в следующем:

если в исходной задаче требуется определить максимум линейной функции, то следует изменить знак и искать минимум этой функции;

если в ограничениях правая часть отрицательна, то следует умножить это ограничение на -1;

если среди ограничений имеются неравенства, то путем введения дополнительных неотрицательных переменных они преобразуются в равенства;

если некоторая переменная x j не имеет ограничений по знаку, то она заменяется (в целевой функции и во всех ограничениях) разностью между двумя новыми неотрицательными переменными: x 3 = x 3 + - x 3 - , где x 3 + , x 3 - ≥ 0 .

Пример 1 . Приведение к канонической форме задачи линейного программирования:

min L = 2x 1 + x 2 - x 3 ; 2x 2 - x 3 ≤ 5; x 1 + x 2 - x 3 ≥ -1; 2x 1 - x 2 ≤ -3; x 1 ≤ 0; x 2 ≥ 0; x 3 ≥ 0.

Введем в каждое уравнение системы ограничений выравнивающие переменные x 4 , x 5 , x 6 . Система запишется в виде равенств, причем в первое и третье уравнения системы ограничений переменные x 4 , x 6 вводятся в левую часть со знаком "+", а во второе уравнение переменная x 5 вводится со знаком "-".

2x 2 - x 3 + x 4 = 5; x 1 + x 2 - x 3 - x 5 = -1; 2x 1 - x 2 + x 6 = -3; x 4 ≥ 0; x 5 ≥ 0; x 6 ≥ 0.

Свободные члены в канонической форме должны быть положительными, для этого два последних уравнения умножим на -1:

2x 2 - x 3 + x 4 = 5; -x 1 - x 2 + x 3 + x 5 = 1; -2x 1 + x 2 - x 6 = 3.

Симплексный метод решения задач линейного программирования.

Алгоритм симплекс-метода находит оптимальное решение, рассматривая ограниченное количество допустимых базисных решений. Алгоритм симплекс-метода всегда начинается с некоторого допустимого базисного решения и затем пытается найти другое допустимое базисное решение, "улучшающее" значение целевой функции. Это возможно только в том случае, если возрастание какой-либо нулевой (небазисной) переменной ведет к улучшению значения целевой функции. Но для того, чтобы небазисная переменная стала положительной, надо одну из текущих базисных переменных сделать нулевой, т.е. перевести в небазисные. Это необходимо, чтобы новое решение содержало в точности m базисных переменных. В соответствии с терминологией симплекс-метода выбранная нулевая переменная называетсявводимой (в базис), а удаляемая базисная переменная -исключаемой (из базиса).

Два правила выбора вводимых и исключающих переменных в симплекс-методе назовем условием оптимальности иусловием допустимости . Сформулируем эти правила, а также рассмотрим последовательность действий, выполняемых при реализации симплекс-метода.

Условие оптимальности. Вводимой переменной в задаче максимизации (минимизации) является небазисная переменная, имеющая наибольший отрицательный (положительный) коэффициент вцелевой -строке. Если вцелевой -строке есть несколько таких коэффициентов, то выбор вводимой переменной делается произвольно. Оптимальное решение достигнуто тогда, когда вцелевой -строке все коэффициенты при небазисных переменных будут неотрицательными (неположительными).

Условие допустимости. Как в задаче максимизации, так и в задаче минимизации в качестве исключаемой выбирается базисная переменная, для которой отношение значения правой части ограничения к положительному коэффициенту ведущего столбца минимально. Если базисных переменных с таким свойством несколько, то выбор исключаемой переменной выполняется произвольно.

Приведем алгоритм решения задачи линейного программирования на отыскание максимума с помощью симплекс таблиц.

F = с 1 х 1 +с 2 х 2 +…+с n x n max

х 1 0, х 2 0,…, х n 0.

1-й шаг . Вводим добавочные переменные и записываем полученную систему уравнений и линейную функцию в виде расширенной системы.

F–c 1 x 1 –c 2 x 2 –…–c n x n =0=c p.

2-й шаг. Составляем первоначальную симплекс-таблицу.

3-й шаг. Проверяем выполнение критерия оптимальности – наличие в последней строке отрицательных коэффициентов. Если таких нет, то решение оптимально и F * =c o , базисные переменные равны соответствующим коэффициентам b j , неосновные переменные равны нулю, т. е. X * =(b 1 ,b 2 ,…, b m , 0, …, 0).

4-й шаг . Если критерий оптимальности не выполнен, то наибольший по модулю отрицательный коэффициент в последней (оценочной) строке, определяет разрешающий столбец s.

Для определения разрешающей строки, рассчитаем оценочные отношения и заполним последний столбец таблицы.

Оценочное отношение i-ой строки равно

, если b i и a is имеют разные знаки;

, если b i =0 и а is <0;

, если a is =0;

0, если b i =0 и а is >0;

В столбце оценочных отношений находим минимальный элемент min который определяет разрешающую строкуg.

Если минимума нет, то задача не имеет конечного оптимума I и является неразрешимой.

На пересечении разрешающих строки и столбца находится разрешающий элемент а gs .

5-й шаг . Строим следующую таблицу. Для этого

Переходим к третьему шагу.

М-метод Иногда при решении ЗЛП в матрице коэффициентов при неизвестных системы ограничений нет единичных столбцов, из которых можно составить единичную матрицу, т.е. возникает проблема выбора базисных переменных, либо первоначальное решение является недопустимым. В таких случаях используют метод искусственного базиса (М - метод). Во все ограничения, где нет базисных переменных, вводятся искусственные переменные . В целевую функцию искусственные переменные вводятся с коэффициентом (- М) для задач на max и с коэффициентом (+ М) для задач на min, где М – достаточно большое положительное число . Затем решается расширенная задача по правилам симплексного метода. Если все искусственные переменные окажутся равными нулю, т.е. будут исключены из базиса, то либо будет получено оптимальное решение исходной задачи, либо исходная задача решается далее и находится ее оптимальное решение или устанавливается ее неразрешимость. Если хотя бы одна из искусственных переменных окажется отличной от нуля, то исходная задача не имеет решения

Рассмотрим симплекс -метод для решения задач линейного программирования (ЛП). Он основан на переходе от одного опорного плана к другому, при котором значение целевой функции возрастает.

Алгоритм симплекс-метода следующий:

1. Исходную задачу переводим в канонический вид путем введения дополнительных переменных. Для неравенства вида ≤ дополнительные переменные вводят со знаком (+ ), если же вида ≥ то со знаком (— ). В целевую функцию дополнительные переменные вводят с соответствующими знаками с коэффициентом, равным 0 , т.к. целевая функция не должна при этом менять свой экономический смысл.
2. Выписываются вектора P i из коэффициентов при переменных и столбца свободных членов. Этим действием определяется количество единичных векторов. Правило – единичных векторов должно быть столько, сколько неравенств в системе ограничений.
3. После этого исходные данные вводятся в симплекс-таблицу. В базис вносятся единичные вектора, и исключая их из базиса, находят оптимальное решение . Коэффициенты целевой функции записывают с противоположным знаком.
4. Признак оптимальности для задачи ЛП – решение оптимально, если в f – строке все коэффициенты положительны. Правило нахождения разрешающего столбца – просматривается f – строка и среди ее отрицательных элементов выбирается наименьшее. Вектор P i его содержащий становится разрешающим. Правило выбора разрешающего элемента – составляются отношения положительных элементов разрешающего столбца к элементам вектора Р 0 и то число, которое дает наименьшее отношение становится разрешающим элементом, относительно которого будет произведен пересчет симплекс-таблицы. Строка, содержащая этот элемент называется разрешающей строкой. Если в разрешающем столбце нет положительных элементов, то задача не имеет решения. После определения разрешающего элемента переходят к пересчету новой симплекс – таблицы.
5. Правила заполнения новой симплекс – таблицы. На месте разрешающего элемента проставляют единицу, а другие элементы полагают равными 0 . Разрешающий вектор вносят в базис, из которого исключают соответствующий нулевой вектор, а остальные базисные вектора записывают без изменений. Элементы разрешающей строки делят на разрешающий элемент, а остальные элементы пересчитывают по правилу прямоугольников.
6. Так поступают до тех пор, пока в f – строке все элементы не станут положительными.

Рассмотрим решение задачи с использованием рассмотренного выше алгоритма.
Дано:

Приводим задачу к каноническому виду:

Составляем вектора:

Заполняем симплекс – таблицу:

:
Пересчитаем первый элемент вектора Р 0 , для чего составляем прямоугольник из чисел: и получаем: .

Аналогичные расчеты выполним для всех остальных элементов симплекс – таблицы:

В полученном плане f – строка содержит один отрицательный элемент – (-5/3), вектора P 1 . Он содержит в своем столбце единственный положительный элемент, который и будет разрешающим элементом. Сделаем пересчет таблицы относительно этого элемента:

Отсутствие отрицательных элементов в f – строке означает, что найден оптимальный план :
F* = 36/5, Х = (12/5, 14/5, 8, 0, 0).

• Ашманов С. А. Линейное программирование, М: Наука, 1998г.,
• Вентцель Е.С. Исследование операций, М: Советское радио, 2001г.,
• Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волошенко А.Б. Математическое программирование, М: Высшая школа, 1986г.

Решение линейного программирования на заказ

Заказать любые задания по этой дисциплине можно у нас на сайте. Прикрепить файлы и указать сроки можно на

Рассмотрен пример решения задачи симплекс методом, а также пример решения двойственной задачи.

Условие задачи

Для реализации трех групп товаров коммерческое предприятие располагает тремя видами ограниченных материально-денежных ресурсов в количестве b 1 = 240, b 2 = 200, b 3 = 160 единиц. При этом для продажи 1 группы товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется ресурса первого вида в количестве a 11 = 2 единицы, ресурса второго вида в количестве a 21 = 4 единицы, ресурса третьего вида в количестве a 31 = 4 единицы. Для продажи 2 и 3 групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется соответственно ресурса первого вида в количестве a 12 = 3, a 13 = 6 единицы, ресурса второго вида в количестве a 22 = 2, a 23 = 4 единицы, ресурса третьего вида в количестве a 32 = 6, a 33 = 8 единиц. Прибыль от продажи трех групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота составляет соответственно c 1 = 4, c 2 = 5, c 3 = 4 (тыс. руб.). Определить плановый объем и структуру товарооборота так, чтобы прибыль торгового предприятия была максимальной.

К прямой задаче планирования товарооборота, решаемой симплекс методом , составить двойственную задачу линейного программирования.
Установить сопряженные пары переменных прямой и двойственной задачи.
Согласно сопряженным парам переменных из решения прямой задачи получить решение двойственной задачи , в которой производится оценка ресурсов , затраченных на продажу товаров.

Решение задачи симплекс методом

F = 4·x 1 + 5·x 2 + 4·x 3 ->max

0}}}{~}" title="delim{lbrace}{matrix{4}{1}{{2x_1 + 3x_2 + 6x_3= 0}}}{~}">

Решаем симплекс методом.

Вводим дополнительные переменные x 4 ≥ 0, x 5 ≥ 0, x 6 ≥ 0, чтобы неравенства преобразовать в равенства.

В качестве базиса возьмем x 4 = 240; x 5 = 200; x 6 = 160.

Данные заносим в симплекс таблицу

Симплекс таблица № 1

Целевая функция:

0 · 240 + 0 · 200 + 0 · 160 = 0

Вычисляем оценки по формуле:

Δ 1 = 0 · 2 + 0 · 4 + 0 · 4 - 4 = - 4
Δ 2 = 0 · 3 + 0 · 2 + 0 · 6 - 5 = - 5
Δ 3 = 0 · 6 + 0 · 4 + 0 · 8 - 4 = - 4
Δ 4 = 0 · 1 + 0 · 0 + 0 · 0 - 0 = 0
Δ 5 = 0 · 0 + 0 · 1 + 0 · 0 - 0 = 0
Δ 6 = 0 · 0 + 0 · 0 + 0 · 1 - 0 = 0

Поскольку есть отрицательные оценки, то план не оптимален. Наименьшая оценка:

Вводим переменную x 2 в базис.

Определяем переменную, выходящую из базиса. Для этого находим наименьшее неотрицательное отношение для столбца x 2 .

= 26.667

Наименьшее неотрицательное: Q 3 = 26.667. Выводим переменную x 6 из базиса

3-ю строку делим на 6.
Из 1-й строки вычитаем 3-ю строку, умноженную на 3
Из 2-й строки вычитаем 3-ю строку, умноженную на 2

Вычисляем:

Получаем новую таблицу:

Симплекс таблица № 2

Целевая функция:

0 · 160 + 0 · 440/3 + 5 · 80/3 = 400/3

Вычисляем оценки по формуле:

Δ 1 = 0 · 0 + 0 · 8/3 + 5 · 2/3 - 4 = - 2/3
Δ 2 = 0 · 0 + 0 · 0 + 5 · 1 - 5 = 0
Δ 3 = 0 · 2 + 0 · 4/3 + 5 · 4/3 - 4 = 8/3
Δ 4 = 0 · 1 + 0 · 0 + 5 · 0 - 0 = 0
Δ 5 = 0 · 0 + 0 · 1 + 5 · 0 - 0 = 0
Δ 6 = 0 · (-1)/2 + 0 · (-1)/3 + 5 · 1/6 - 0 = 5/6

Поскольку есть отрицательная оценка Δ 1 = - 2/3, то план не оптимален.

Вводим переменную x 1 в базис.

Определяем переменную, выходящую из базиса. Для этого находим наименьшее неотрицательное отношение для столбца x 1 .

Наименьшее неотрицательное: Q 3 = 40. Выводим переменную x 2 из базиса

3-ю строку делим на 2/3.
Из 2-й строки вычитаем 3-ю строку, умноженную на 8/3

Вычисляем:

Получаем новую таблицу:

Симплекс таблица № 3

Целевая функция:

0 · 160 + 0 · 40 + 4 · 40 = 160

Вычисляем оценки по формуле:

Δ 1 = 0 · 0 + 0 · 0 + 4 · 1 - 4 = 0
Δ 2 = 0 · 0 + 0 · (-4) + 4 · 3/2 - 5 = 1
Δ 3 = 0 · 2 + 0 · (-4) + 4 · 2 - 4 = 4
Δ 4 = 0 · 1 + 0 · 0 + 4 · 0 - 0 = 0
Δ 5 = 0 · 0 + 0 · 1 + 4 · 0 - 0 = 0
Δ 6 = 0 · (-1)/2 + 0 · (-1) + 4 · 1/4 - 0 = 1

Поскольку отрицательных оценок нет, то план оптимален.

Решение задачи:

Ответ

То есть необходимо реализовать товар первого вида в объеме 40 тыс. руб. Товар 2-го и 3-го видов реализовывать не надо. При этом максимальная прибыль составит F max = 160 тыс. руб.

Решение двойственной задачи

Двойственная задача имеет вид:

Z = 240·y 1 + 200·y 2 + 160·y 3 ->min

Title="delim{lbrace}{matrix{4}{1}{{2y_1 + 4y_2 + 4y_3>=4} {3y_1 + 2y_2 + 6y_3>=5} {6y_1 + 4y_2 + 8y_3>=4} {y_1, y_2, y_3>= 0}}}{~}">

Вводим дополнительные переменные y 4 ≥ 0, y 5 ≥ 0, y 6 ≥ 0, чтобы неравенства преобразовать в равенства.

Сопряженные пары переменных прямой и двойственной задач имеют вид:

Из последней симплекс таблицы № 3 прямой задачи, находим решение двойственной задачи:

Z min = F max = 160;
y 1 = Δ 4 = 0; y 2 = Δ 5 = 0; y 3 = Δ 6 = 1; y 4 = Δ 1 = 0; y 5 = Δ 2 = 1; y 6 = Δ 3 = 4;

Идея симплекс метода заключается в том, чтобы переходить от одного базиса к другому, получая значение функции, как минимум, не меньше имеющегося (каждому базису соответствует единственное значение функции).
Очевидно, количество всевозможных базисов для любой задачи число конечное (и не очень большое).
Следовательно, рано или поздно, ответ будет получен.

Как осуществляется переход от одного базиса к другому?
Запись решения удобнее вести в виде таблиц. Каждая строка эквивалентна уравнению системы. Выделенная строка состоит из коэффициентов функции (сравните сами). Это позволяет не переписывать переменные каждый раз, что существенно экономит время.
B выделенной строке выбираем наибольший положительный коэффициент. Это необходимо для того, чтобы получить значение функции, как минимум, не меньше имеющегося.
Выбран столбец.
Для положительных коэффициентов выбранного столбца считаем отношение Θ и выбираем наименьшее значение. Это необходимо для того, чтобы после преобразования столбец свободных членов остался положительным.
Выбрана строка.
Следовательно, определен элемент, который будет базисным. Далее считаем.

Один из методов решения оптимизационных задач (как правило связанных с нахождением минимума или максимума ) линейного программирования называется . Симплекс-метод включает в себя целую группу алгоритмов и способов решения задач линейного программирования. Один из таких способов, предусматривающий запись исходных данных и их пересчет в специальной таблице, носит наименование табличного симплекс-метода .

Рассмотрим алгоритм табличного симплекс-метода на примере решения производственной задачи , которая сводится к нахождению производственного плана обеспечивающего максимальную прибыль.

Исходные данные задачи на симплекс-метод

Предприятие выпускает 4 вида изделий, обрабатывая их на 3-х станках.

Нормы времени (мин./шт.) на обработку изделий на станках, заданы матрицей A:

Фонд времени работы станков (мин.) задан в матрице B:

Прибыль от продажи каждой единицы изделия (руб./шт.) задана матрицей C:

Цель производственной задачи

Составить такой план производства, при котором прибыль предприятия будет максимальной.

Решение задачи табличным симплекс-методом

(1) Обозначим X1, X2, X3, X4 планируемое количество изделий каждого вида. Тогда искомый план: (X1, X2, X3, X4 )

(2) Запишем ограничения плана в виде системы уравнений:

(3) Тогда целевая прибыль:

То есть прибыль от выполнения производственного плана должна быть максимальной.

(4) Для решения получившейся задачи на условный экстремум, заменим систему неравенств системой линейных уравнений путем ввода в нее дополнительных неотрицательных переменных (X5, X6, X7 ).

(5) Примем следующий опорный план :

X1 = 0, X2 = 0, X3 = 0, X4 = 0, X5 = 252, X6 = 144, X7 = 80

(6) Занесем данные в симплекс-таблицу :

В последнюю строку заносим коэффициенты при целевой функции и само ее значение с обратным знаком;

(7) Выбираем в последней строке наибольшее (по модулю ) отрицательное число.

Вычислим b = Н / Элементы_выбранного_столбца

Среди вычисленных значений b выбираем наименьшее .

Пересечение выбранных столбца и строки даст нам разрешающий элемент. Меняем базис на переменную соответствующую разрешающему элементу (X5 на X1 ).

• Сам разрешающий элемент обращается в 1.
• Для элементов разрешающей строки – a ij (*) = a ij / РЭ (то есть каждый элемент делим на значение разрешающего элемента и получаем новые данные ).
• Для элементов разрешающего столбца – они просто обнуляются.
• Остальные элементы таблицы пересчитываем по правилу прямоугольника.

a ij (*) = a ij – (A * B / РЭ)

Как видите, мы берем текущую пересчитываемую ячейку и ячейку с разрешающим элементом. Они образуют противоположные углы прямоугольника. Далее перемножаем значения из ячеек 2-х других углов этого прямоугольника. Это произведение (A * B ) делим на разрешающий элемент (РЭ ). И вычитаем из текущей пересчитываемой ячейки (a ij ) то, что получилось. Получаем новое значение - a ij (*) .

(9) Вновь проверяем последнюю строку (c ) на наличие отрицательных чисел . Если их нет – оптимальный план найден, переходим к последнему этапу решения задачи. Если есть – план еще не оптимален, и симплекс-таблицу вновь нужно пересчитать.

Так как у нас в последней строке снова имеются отрицательные числа, начинаем новую итерацию вычислений.

(10) Так как в последней строке нет отрицательных элементов, это означает, что нами найден оптимальный план производства! А именно: выпускать мы будем те изделия, которые перешли в колонку «Базис» - X1 и X2. Прибыль от производства каждой единицы продукции нам известна (матрица C ). Осталось перемножить найденные объемы выпуска изделий 1 и 2 с прибылью на 1 шт., получим итоговую (максимальную! ) прибыль при данном плане производства.

ОТВЕТ:

X1 = 32 шт., X2 = 20 шт., X3 = 0 шт., X4 = 0 шт.

P = 48 * 32 + 33 * 20 = 2 196 руб.

Галяутдинов Р.Р.

© Копирование материала допустимо только при указании прямой гиперссылки на