Funkce jedné proměnné. Učebnice Matematické metody v geografii

Stáhnout z Depositfiles

ÚVOD DO ANALÝZY JEDINÉ VARIABILNÍ FUNKCE

Přednáška č. 13. Téma 1: Funkce

1.1. Definice funkce

Při studiu určitých procesů v reálném světě se setkáváme s veličinami, které je charakterizují a které se v průběhu studia těchto procesů mění. V tomto případě změna jedné veličiny doprovází změnu jiné. Například při přímočarém rovnoměrném pohybu je souvislost mezi ujetou vzdálenostís, Rychlost proti a čas t se vyjadřuje vzorcem. Při dané rychlostiproti délka cesty s záleží na časet .

V tomto případě změna jednoho množství (t ) je libovolný a druhý (s ) závisí na prvním. Pak říkají, že je to dánofunkční závislost.Uveďme matematické zdůvodnění tohoto pojmu.

Nechť jsou uvedeny dvě sadyX A Y .

Definice. Funkce je zákon nebo pravidlo, podle kterého každý prvek
je spárován jeden prvek
, při psaní

nebo
.

Prvek se nazýváargument funkceF a prvek funkční hodnotu. hromada X , ve kterém je funkce definována, se voládoména funkce a sadu Y  oblast změny funkce. Tyto sady jsou odpovídajícím způsobem označeny
A
.

Příklady funkcí:

1. Rychlost volného pádu těla
. TadyX A Y  množiny reálných nezáporných čísel.

2. Oblast kruhu
. TadyX A Y  množiny kladných reálných čísel.

3. Nechat X  mnoho studentů ve skupině, tzn.
, A
 více známek na zkoušce. Zde jako funkceF je zvažováno kritérium pro hodnocení znalostí.

V následujícím pod množinamiX A Y Budeme mít na mysli množiny čísel a budeme se držet zápisu . Pro větší názornost použijeme geometrické znázornění množin a ve formě množiny bodů na reálné ose. Podívejme se na některé z nejběžnějších číselných sad (intervalů):

- segment;

- interval;

 číselná osa (množina reálných čísel);

nebo -    okolí boduA .

A
X

Poznámka 1. Podívali jsme se na definici jednoznačný funkcí. Pokud podle nějakého pravidla každému odpovídá určitá množina čísely , pak je toto pravidlo určeno dvojznačný funkce . Například, .

Příklady. Najděte domény a hodnoty funkcí:

1. .

2. .

3. .

4. .

1.2. Metody přiřazení funkcí

1. Analytická metoda.Nejprve lze funkce specifikovat pomocí vzorců. K tomuto účelu se používají již prostudované a speciálně určené funkce a algebraické operace.

Příklady:

1.
. 2.
. 3.
.

V následujícím budeme používat krátké matematické zápisy (kvantifikátory):  pro každého, kohokoli;  existuje, můžete specifikovat.

Připomeňme si některé prvky chování funkcí. Funkce je volána rostoucí (klesající) ) na nějakém intervalu, pokud
od tohoto intervalu nerovnost platí
nebo
a piš
nebo
respektive. Volají se zvětšovací a klesající funkce monotónní . Funkce je volána omezený v nějakém intervalu, pokud
podmínka splněna
. Jinak je funkce volána neomezený.

Funkce je volána i lichý ) pokud má majetek . Zbývající funkce se nazývají funkce obecný pohled.

Funkce je volána periodický s tečkou T, pokud je podmínka splněna
.

Například funkce
stoupá
a klesající
. Funkce
je monotónní. Funkce
omezeno na , protože
. Funkce:
jsou sudé a funkce
 zvláštní. Funkce
 periodický s tečkou
.

Funkce může být také specifikována rovnicí tvaru

(1)

Pokud existuje funkce taková, že
, pak rovnice (1) definuje danou funkci implicitně . Například v příkladu 2funkce je dána implicitně, tato rovnice definuje vícehodnotovou funkci
.

Nechat
, A
, pak funkci
volalkomplexní funkce nebo superpozice dvou funkcí F A F . Například v příkladu 3funkce je superpozice dvou funkcí
A
.

Pokud proměnnou považujeme za argumentnaa jako funkce – proměnnáX, pak dostaneme funkci, která je volána pro jednohodnotovou funkci zvrátit a je určeno
. Například pro funkci
slouží jako inverzní funkce
nebo
, pokud se budeme držet obecně uznávaného označení argumentu a funkce.

Poznámka 2 Funkci lze také specifikovat pomocí popisu korespondence (popisným způsobem). Například přiřaďme každé číslo
číslo 1a všem
číslo 0. V důsledku toho získáme funkci jednotky

Je třeba poznamenat, že každý vzorec je symbolickým záznamem nějaké popsané korespondence, a proto je rozdíl mezi specifikováním funkce pomocí vzorců a popisem korespondence čistě externí.

Grafické znázornění funkce může také sloužit k určení funkční závislosti.

2. Grafická metoda.Funkce je specifikována ve formě grafu. Příkladem grafického přiřazení funkce jsou údaje z osciloskopu.

d

Funkce může být specifikována pomocí tabulek:

3. Tabulková metoda.Pro některé proměnné hodnotyX jsou uvedeny odpovídající hodnoty proměnnýchy . Příkladem tohoto typu přiřazení jsou tabulky hodnot goniometrických funkcí, tabulky představující vztah mezi měřenými veličinami atd.

Pro práci na počítači je funkce určenaalgoritmický cesta.

1.3. Elementární funkce

K hlavnímu nebo nejjednoduššímu mezi elementární funkce patří:. celá část čísla, kde X  největší celé číslo nepřesahujícíX , Například,
.

Funkce jedné proměnné

Funkce jedné proměnné.

Úvod

V matematice jsou základními pojmy pojem množiny, prvek množiny. Matematická analýza se zabývá především číselnými množinami.

V následujícím budeme používat následující symboliku:

N - množina přirozených čísel;

Z - množina celých čísel;

Q - množina racionálních čísel;

R - množina reálných čísel;

C – množina komplexních čísel;

Například symbolický zápis " X ON $ y ON: ( y> X Ú y< X) zní „pro libovolné přirozené číslo X existuje přirozené číslo na něco takového y> X nebo y< X».

Jak víte, každé reálné číslo je spojeno s jedním bodem na číselné ose. Proto se v budoucnu dohodneme na identifikaci pojmů „skutečné číslo“ a „bod“ číselné řady. Pro číselné intervaly budeme používat následující zápis:

[A; b] nebo A£ X £ b– uzavřená mezera popř úsečka počínaje bodem A a skončí v určitém bodě b;

(A; b) nebo A< X < b– otevřený prostor popř interval;

(A; b] nebo A< X £ b,

[A; b) nebo A£ X < b

– polootevřené prostory nebo poloviční intervaly;

[A; +¥) nebo X³ A , (–¥; b] nebo X £ b– paprsky;

(A; +¥) nebo X> A , (–¥ ; b) nebo X < b– otevřené paprsky;

(–¥ ; +¥) nebo –¥< X < +¥ – координатная прямая (множество R действительных чисел).

Ve vědě a praxi se musíme potýkat s různými druhy veličin. Některé z nich za určitých podmínek zůstávají neměnné (konstantní), jiné se mění (proměnné). Například objem publika a plechovek je konstantní, ale objem balónu je proměnlivý.

V matematická analýza nás bude zajímat pouze číselné vyjádření té či oné veličiny, nikoli její povaha, tzn. budeme zvažovat abstraktní množství. Konstantní hodnotou proto budeme nazývat hodnotu, která nabývá pevné, specifické (i neznámé) hodnoty. Označíme toto: X– konst. Nejčastěji se konstanty označují počátečními písmeny latinské abecedy: A, b, C, ... nebo řecké a, b, e, l, ... .

Za proměnnou považujeme takovou, která může nabývat libovolné číselné hodnoty z určité množiny čísel. Proměnné jsou nejčastěji označovány písmeny z konce latinské abecedy: X, na, z, t,... . Množina, ze které proměnná nabývá hodnot, se nazývá doména definice této proměnné a zapisuje se: XÎD.

Funkce jedné proměnné

Spolu s pojmem množina a prvek množiny patří mezi základní pojmy matematiky pojem korespondence. Určitý typ korespondence se nazývá funkce.

Nechť je dána množina X s prvky X a množina Y, sestávající z prvků na(množiny X a Y nejsou prázdné, jejich prvky mohou být libovolného charakteru).

Definice 1.1 Pokud každý prvek X ACH podle nějakého zákona(pravidlo) F je spárován jeden prvek naО У, pak říkají, že množina X je dána funkce y = F(X), XОХ nebo Zobrazit F: X → Y nastavte X do sady Y.

Byla přijata tato terminologie:

X– nezávislá proměnná nebo argument,

X je doména definice funkce a každého prvku XОХ – hodnota argumentu,

na– závislá proměnná nebo funkce argumentu X,

Y je rozsah hodnot funkce a každého prvku na OU je taková, že
y = F(X) pro některé XОХ se nazývá hodnota funkce.

V závislosti na množinách X a Y mají funkce specifické názvy a zápisy:

jestliže X, Y jsou podmnožiny množiny reálných čísel R, pak funkce na = F (X) se nazývá reálná funkce reálného argumentu nebo funkce jedné proměnné;

pokud ХÌR, УУС – komplexní funkce je označen skutečný argument z = F(X);

jestliže XOS, Y OS je komplexní funkcí komplexního argumentu, označovaného w = F(z);

je-li XÌN, UÌR funkcí přirozeného argumentu nebo posloupnosti y n = F(P);

pokud XÌR 2 (tj. množina bodů ( X, na) letadlo), УÌR, zОУ – reálná funkce dvou proměnných z = F(X, na);

pokud XÌR P (P-rozměrný aritmetický prostor), УÌR – reálná funkce P proměnné A =F(X 1 ,X 2 , …, x n). Tato a výše uvedené funkce se nazývají číselné funkce;

jestliže XМ R, УМ V 2 (množina geometrických vektorů v rovině) je vektorová funkce skalárního argumentu, ` r(t)= X(t) +y(t) ;

jestliže XÌ R 2, UÌ V 2 je vektorová funkce dvou skalárních argumentů, 'F(X, y) = P( X, y) + Q( X, y) ;

V matematické analýze se studují především numerické funkce. Uvažujme nejprve reálnou funkci jedné proměnné. Protože argument i funkce jsou skutečnou číselnou hodnotou, budeme je často používat v ženském rodě: nezávislá proměnná, závislá proměnná.

V tomto případě lze definici 1.1 přeformulovat takto:

Definice 1.2 Pokud každá proměnná hodnota X z číselné sady XÌR podle nějakého zákona f přiřazené konkrétnímu reálnému číslu na, pak říkají, že na sadě X je dána číselná funkce = F (X). V čem X volal nezávislý proměnná (argument), na – závislý proměnná (funkce), X je definiční obor funkce a značí se X = D( F) .

Mnoho hodnot, které to vyžaduje na, volal funkční rozsah a je označeno E( F). Dopis F symbolizuje pravidlo, podle kterého je mezi nimi navázána korespondence X A na. Spolu s dopisem F Používají se také další písmena: y = G(X), y = h(X), y = u(X). Funkci lze také označit z= j( t), X = F (z), s = S ( p) atd., tzn. nezávislá i závislá proměnná mohou být označeny libovolnými písmeny latinské abecedy.

Dvě funkce rovnat se právě tehdy, pokud mají stejnou definiční doménu a pro každou hodnotu argumentu mají stejnou hodnotu.

Definovat funkci znamená specifikovat pravidlo, s jehož pomocí lze pro každou hodnotu argumentu najít odpovídající hodnotu funkce.

Základní způsoby, jak určit funkci:

1) Analytická– například pomocí jednoho nebo více vzorců

y= hřích3 X + X 2 , ,

(poslední dvě funkce se někdy nazývají po částech analytické nebo krokové funkce). Pokud je funkce specifikována analyticky (vzorcem), pak se doménou definice rozumí množina hodnot argumentu X, pro které lze pomocí daného vzorce vypočítat odpovídající hodnotu na(tj. všechny operace uvedené ve vzorci jsou proveditelné).

Pokud je ve vzorci popisujícím funkci závislá proměnná vyjádřena prostřednictvím nezávislé proměnné, pak se taková funkce nazývá očividně daný. Výše uvedené funkce jsou výslovně uvedeny.

Pokud rovnost popisující funkci není vyřešena vzhledem k závislé proměnné, pak se funkce zavolá implicitně daný, Například

X 2 + 3xy – na 3 = 1 nebo ln( X+3y) = y 2 .

Implicitní funkce může být reprezentována ve formuláři

Kde t– parametr, který přebírá hodnoty z určité množiny. Tato funkce se nazývá parametricky definovaná funkce. Například,

, tО R definuje funkci y =(X –1) 2 ,

definuje funkci .

Parametrická specifikace funkce je široce používána v mechanice: if X = X(t) A na = na(t) zákony pro změnu souřadnic pohybujícího se bodu, pak definuji rovnice trajektorie pohyby.

2) Slovní. Například „celočíselná část čísla“ je největší celé číslo, které nepřesahuje X. Tato funkce je určena na = [X].

3) Tabelární. Například

Takto jsou specifikovány funkce, obvykle získané z výsledků zkušenosti, experimentu nebo výpočtu.

4) Grafický.

Definice 1.3. Funkční graf na = F (X) je geometrické místo bodů souřadnicové roviny XOU se souřadnicemi ( X, F(X)), kde XОD( F).

Obraz funkční závislosti ve formě čáry (grafu) je graficky specifikující funkci. Například hodnoty osciloskopu, elektrokardiogram atd. je grafické znázornění vztahu mezi zkoumanými veličinami.

Všimněte si, že u jednohodnotové funkce má její graf pouze jeden průsečík s libovolnou přímkou X = A, AО D( F).

Vlastnosti funkcí.

I. Funkce na = F (X), XÎD, volal omezený na množině D, pokud existují reálná čísla A, B taková, že " XОD podmínka A £ F(X) £ B. Graf takové funkce se nachází v některých vodorovný pruh mezi přímkami na= A a na= B (obr. 1a). Pokud taková čísla A a B neexistují, pak se říká, že funkce je na množině D neomezená.

Pokud " XÎD Þ F(X) £ B, pak funkce ohraničené výše(obr. 1 b).

Pokud " XÎD Þ F(X) ³ A, pak funkce ohraničené níže(obr. 1c).

Funkce jsou omezeny rozsahem jejich definice na= hřích X A y= cos X, protože pro všechny hodnoty X provedeno

– 1 £ hřích X£ 1 a –1 £ cos X 1 £

Funkce je shora omezena, protože pro všechny skutečné hodnoty X podmínka splněna na£ 1. Příkladem funkce omezené zdola je exponenciální funkce na= , protože > 0 pro všechny skutečné hodnoty X.

II. Funkce na = F (X), XÎD, volal vzrůstající, pokud pro jakékoli hodnoty argumentu X 1 , X 2 ОD takové, že X 1 < X 2, podmínka splněna F(X 1) < F(X 2) (tj. větší hodnota argumentu odpovídá větší hodnotě funkce, obr. 2a).

Funkce na = F (X), XÎD, volal klesající, Pokud " X 1 ,X 2 ОD takové, že X 1 < X 2, podmínka ( F(X 1) > F(X 2) (větší hodnota argumentu odpovídá menší hodnotě funkce, obr. 2b). Volají se zvětšovací a klesající funkce monotónní funkcí. Pokud jsou striktní nerovnosti nahrazeny nepřísnými, pak se funkce bude podle toho nazývat neklesající a nerostoucí.

III. Funkce na = F (X), XÎD, volal dokonce, Pokud

" XÎD Þ (– XÎD a F (–X) =F (X)).

Graf sudé funkce je symetrický vzhledem k ose operačního zesilovače (obr. 3a).

Funkce na = F (X), XÎD, volal zvláštní, Pokud

" XÎD Þ (– XÎD a F (–X) =F (X)).

Graf liché funkce je symetrický vzhledem k počátku (obr. 3b).

IV. Funkce na= F (X), XÎD, volal periodické, Pokud

$T > 0: " XÎD Þ ( X± ТÎD a F (X) = F (X± T)).

Zvažte dvě sady čísel X A Y. Pravidlo F, podle kterého každé číslo xI X odpovídá jednotnému číslu yI Y, volal numerická funkce, definované na sadě X a nabývá více významů Y.

Definovat funkci tedy znamená specifikovat tři objekty:

1 set X(doména definice funkce);

2) sada Y(funkční rozsah);

3) pravidlo shody F(samotná funkce).

Přiřaďme například každému číslu jeho kostku. Matematicky to lze zapsat jako y=x 3. V tomto případě pravidlo F je zvýšení čísla X do třetího stupně. Obecně, pokud všichni X podle pravidla F odpovídá jedinému y, Oni píší y = f(x). Tady " X" volání nezávislé proměnné nebo argument, A " y" -závislá proměnná(protože výraz jako x 3 nemá sám o sobě konkrétní číselnou hodnotu, dokud není hodnota specifikována X) nebo funkce z X. O množství X A yříká se, že spolu souvisí funkční závislostí. Znát všechny významy X a pravidlo F můžete najít všechny hodnoty na. Například pokud x=2, pak funkci f(x) = x 3 má hodnotu y = f(2)=23=8.

Existuje několik způsobů, jak určit funkci.

Analytická metoda. Funkce F je uveden jako vzorec y=f(x). Například, y=3cos(x)+2x 2. Tato metoda převládá v matematickém výzkumu a je podrobně probírána v klasickém kurzu matematiky. V geografických studiích korespondence mezi proměnnými X A y Ne vždy je možné to zapsat jako vzorec. V mnoha případech je vzorec neznámý. K vyjádření funkční závislosti se pak používají další metody.

Grafická metoda. Na meteorologických stanicích můžete v kteroukoli denní dobu sledovat provoz záznamníků, které zaznamenávají atmosférický tlak, teplotu vzduchu a vlhkost. Z výsledného grafu můžete kdykoli určit hodnoty těchto veličin. Funkční graf y=f(x) je množina všech bodů roviny se souřadnicemi ( x, f(x)). Graf obsahuje všechny informace o funkci. Když máme před sebou graf, zdá se, že „vidíme funkci“.

Tabulková metoda. Tato metoda je nejjednodušší. Všechny hodnoty argumentu (čísla) jsou zapsány v jednom řádku tabulky a ve druhém - hodnoty f(x), odpovídající každému X. Například závislost teploty vzduchu (T) na denní době (t) v určitý den lze znázornit v tabulce.

I přes plošné zavádění počítačů je většina funkcí, se kterými se musí geograf v každodenních činnostech vypořádat, stále prezentována formou tabulkového nebo grafického úkolu. Závislosti tabulky jsou získány jako výsledek registrace Experimentální výsledky, laboratorní rozbory, periodická měření atmosférických či jiných fyzikálních parametrů. Bohužel pomocí tabulky můžete najít pouze ty hodnoty funkcí, jejichž hodnoty argumentů jsou v tabulce k dispozici. Zároveň se často objevují problémy, které vyžadují nalezení hodnoty funkce pro hodnotu argumentu, který není obsažen v tabulce. Navíc tato metoda neposkytuje dostatečně jasnou představu o povaze změny funkce se změnou nezávislé proměnné. Grafy získané jako výsledek práce nemají tento nedostatek automatická zařízení, ale grafický úkol nemusí vždy stačit pro další výzkum. Taková funkce musí být například někdy, aby bylo možné studovat průběh přirozeného procesu, podrobena některým matematickým operacím, včetně derivace nebo integrace. V mnoha případech je tedy důležité znát analytickou specifikaci funkce. Protože neexistuje přesná analytická specifikace funkce získané jako výsledek experimentální práce, používá se pro účely studie následující technika: funkce specifikovaná v tabulce (funkci specifikovanou graficky lze vždy prezentovat v tabulkové formě) nahrazena na určitém segmentu jinou funkcí, která je jednodušší, v určitém smyslu bližší dané a mající analytické vyjádření. Existují dva hlavní způsoby takového nahrazení - interpolace a aproximace tabulkové funkce.

Zopakujme si pojmy funkce a jejích vlastností, které budeme potřebovat pro další prezentaci materiálu.

Definice. Funkce F(X) je pravidlo, které umožňuje, aby každá hodnota xX byla spojena s jedinou hodnotouY = F(X)Y, kde x je nezávislá proměnná (argument),Y- závislá proměnná (hodnota funkce). Říkají funkciFMá to Doména D(F)= XA Rozsah hodnot R(F) Y.

Definice. Mnoho párů ((X, F(X)): XD(F)) je nazýván Funkční graf F .

Existují tři hlavní způsoby, jak určit funkci:

 kdy Analytická metoda při definování funkce je závislost mezi proměnnými určena vzorcem;

 kdy Tabulková metoda přiřazení funkcí jsou zapsána v určitém pořadí, hodnoty argumentů a odpovídající hodnoty funkcí;

 kdy Graficky Při zadávání funkce se vztah mezi proměnnými odráží pomocí grafu.

Pojďme se na některé podívat funkčních závislostí, používané v ekonomii:

 Poptávková funkce- závislost na poptávce D u některého produktu z jeho ceny P;

 Funkce sugesce- závislost na dodávce S některého produktu z jeho ceny P;

 Užitková funkce- subjektivní číselné hodnocení užitku daným jedincem A a množství X zboží pro něj;

 Nákladová funkce- závislost nákladů já pro výrobu X výrobní jednotky;

 Sazba daně- závislost sazby daně N jako procento ročního příjmu Q.

Všechny tyto funkce, kromě poslední, je velmi obtížné analyticky vyjádřit. V případě potřeby jsou nalezeny pomocí pečlivé analýzy. Naopak posledně jmenovaná funkce je obvykle poměrně dobře známá celé společnosti a je zákonem schválena.

Definice. Funkce F ( X ) má limit B , když x tíhne k a, jestliže hodnotyF(X) přibližte se k číslu tak blízko, jak chceteB, kdy se hodnoty proměnné x přibližují libovolně blízko číslu a.

Označení. .

Je třeba poznamenat, že tato definice zohledňuje hodnoty X, libovolně blízko k číslu A, ale ne ve shodě s A.

Definice. Pokud je funkceF(X) je definován v bodě a a platí rovnost , ŽeF(X) se nazývá spojitá funkce v bodě a.

Definice. Funkce, která je spojitá v každém bodě své definiční oblasti, se nazývá Nepřetržitá funkce. Jinak je funkce volána Explozivní.

Graf spojité funkce lze nakreslit bez zvednutí ruky.

Spojité funkce mají následující vlastnosti:

 součet nebo součin spojitých funkcí je spojitá funkce;

 poměr dvou spojitých funkcí je spojitá funkce ve všech bodech, ve kterých jmenovatel poměru nezaniká.

Komentář. Metoda, která je účinná při analýze spojitých funkcí, může být neúčinná při studiu nespojitých funkcí, i když opak není vyloučen..

Definice. FunkceF(X) je nazýván rostoucí (sestupně) na saděX, pokud ze skutečnosti, žeX1 < X2 z toho vyplývá, žeF(X1 )< F(X2 ) (F(X1 )> F(X2 )). FunkceF(X) je nazýván Neklesající (nerostoucí) na saděX, pokud ze skutečnosti, žeX1  X2 , X1 , X2  Xz toho vyplývá, žeF(X1 ) F(X2 ) (F(X1 ) F(X2 )).

Teorém. Nechte funkciF(X) je diferencovatelný na intervalu (A, B). Pak:

 Je-li první derivace funkceVšude na tomto intervalu se na něm funkce zvyšuje;

 Pokud první derivacevšude na tomto intervalu pak funkce klesá;

 První derivaceVšude na tomto intervalu je pak funkce na tomto intervalu konstantní.

Definice. Volají se funkce rostoucí, klesající, neklesající, nerostoucí Monotónní.

Komentář. Monotónní funkce nemusí být spojitá.

Příklad 1. Najděte intervaly monotónnosti funkce F(X)=(1- X2 )3 .

. Hledání derivace: Řešme rovnici. Dostaneme X1=0, x2=1, x3=-1. Funkce F(X) definované a souvislé podél celé číselné osy. Proto ty body X1, x2, x3 jsou kritické body. Neexistují žádné další kritické body, protože existuje všude.

Kritické body zkoumáme určením znaménka vlevo a vpravo od každého bodu. Pro omezení výpočtů a pro přehlednost je vhodné tuto studii sepsat ve formě tabulky. 1:

stůl 1

První řádek obsahuje všechny kritické body v pořadí jejich umístění na číselné ose; Mezi ně jsou vloženy mezilehlé body umístěné vlevo a vpravo od kritických bodů. Druhý řádek obsahuje derivační znaménka v uvedených mezilehlých bodech. Třetí řádek obsahuje závěr o chování funkce na zkoumaných intervalech. Na intervalu (-; 0) funkce roste, na intervalu (0; +) funkce klesá.

Definice. FunkceF(X) je Unimodální na segmentu [A, B] právě tehdy, když je monotónní na obou stranách jediného optimálního bodu x* na uvažovaném intervalu.

Příklad 2 Zde jsou příklady grafů unimodálních funkcí:

 na Obr. 6 spojitá funkce;

 na Obr. 7 - nespojitá funkce;

 na Obr. 8 - diskrétní funkce.

Sada funkcí, které jsou na intervalu unimodální [ A; B] , budeme označovat

Q[ A; B] .

Chcete-li zkontrolovat unimodalitu funkce F(X) v praxi se obvykle používají tato kritéria:

1) pokud je funkce F(X) diferencovatelné na intervalu [ A; B] a derivace na tomto segmentu neklesá F(X) Q[ A; B] ;

2) pokud je funkce F(X) dvakrát diferencovatelné na intervalu [ A; B] a kdy X[A; B] , Že F(X) Q[ A; B] .X=-0,5. Proto If Х-0,5 a zejména kdy X. Pomocí druhého unimodalitního kritéria získáme to F(X) Q .

Definice. Zvažte sadu SR. Můžeme určit souvztažnost každého bodu XS je přiřazena jedna číselná hodnota. Tato korespondence se nazývá Skalární funkceF, definované na saděS.

Definice. V teorii optimalizaceFvolal Objektivní funkce , AS - Přijatelná oblast, sada bodů, které splňují omezení, nebo rozsah přípustných hodnot x.

1) Funkční doména a funkční rozsah.

Doména funkce je množina všech platných hodnot argumentů X(proměnná X), pro které je funkce y = f(x) odhodlaný. Rozsah funkce je množina všech reálných hodnot y, kterou funkce přijímá.

V elementární matematice se funkce studují pouze na množině reálných čísel.

2) Funkční nuly.

Funkce nula je hodnota argumentu, při které je hodnota funkce rovna nule.

3) Intervaly konstantního znaménka funkce.

Intervaly konstantního znaménka funkce jsou sady hodnot argumentů, na kterých jsou hodnoty funkce pouze kladné nebo pouze záporné.

4) Monotónnost funkce.

Rostoucí funkce (v určitém intervalu) je funkce, ve které větší hodnota argumentu z tohoto intervalu odpovídá větší hodnotě funkce.

Klesající funkce (v určitém intervalu) je funkce, ve které větší hodnota argumentu z tohoto intervalu odpovídá menší hodnotě funkce.

5) Sudá (lichá) funkce.

Sudá funkce je funkce, jejíž definiční obor je symetrický vzhledem k počátku a pro libovolný X z oblasti definice rovnost f(-x) = f(x). Graf sudé funkce je symetrický podle ordináty.

Lichá funkce je funkce, jejíž definiční obor je symetrický vzhledem k počátku a pro libovolný X z oblasti definice platí rovnost f(-x) = - f(x). Graf liché funkce je symetrický podle počátku.

6) Omezené a neomezené funkce.

Funkce se nazývá omezená, pokud existuje kladné číslo M takové, že |f(x)| ≤ M pro všechny hodnoty x. Pokud takové číslo neexistuje, pak je funkce neomezená.

7) Periodicita funkce.

Funkce f(x) je periodická, pokud existuje nenulové číslo T takové, že pro libovolné x z definičního oboru funkce platí: f(x+T) = f(x). Toto nejmenší číslo se nazývá perioda funkce. Všechno goniometrické funkce jsou periodické. (Trigonometrické vzorce).

19. Základní elementární funkce, jejich vlastnosti a grafy. Aplikace funkcí v ekonomii.

Základní elementární funkce. Jejich vlastnosti a grafy

1. Lineární funkce.

Lineární funkce se nazývá funkce tvaru , kde x je proměnná, aab jsou reálná čísla.

Číslo A nazývá se sklon přímky, je roven tečně úhlu sklonu této přímky ke kladnému směru osy x. Grafem lineární funkce je přímka. Je definována dvěma body.

Vlastnosti lineární funkce

1. Definiční obor - množina všech reálných čísel: D(y)=R

2. Množina hodnot je množina všech reálných čísel: E(y)=R

3. Funkce nabývá nulové hodnoty, když nebo.

4. Funkce se zvětšuje (snižuje) v celém definičním oboru.

5. Lineární funkce je spojitá přes celý definiční obor, diferencovatelná a .

2. Kvadratická funkce.

Volá se funkce tvaru, kde x je proměnná, koeficienty a, b, c jsou reálná čísla kvadratický