Jak převést binární číslo. Číselné soustavy. Poziční číselná soustava binární

| 6 tříd | Plánování výuky na školní rok | Převod binárních čísel na desítková soustava zúčtování

Lekce 5
Převod binárních čísel na desítkovou číselnou soustavu
Práce s aplikací Kalkulačka

Převod celých desítkových čísel na binární kód

Metoda 1

Zkusme znázornit číslo 1409 jako součet členů druhé řady.

Použijme rozdílovou metodu. Vezměme člen druhé řady, který je nejblíže původnímu číslu, ale nepřesahuje jej, a vyrovnáme rozdíl:

1409 - 1024 = 385.

Vezměme člen druhé řady, který je nejblíže získanému rozdílu, ale nepřesahuje jej, a doplňte rozdíl:

385 - 256 = 129.

Podobně uděláme rozdíl: 129 - 128 = 1.

V důsledku toho získáme:

1409 = 1024 + 256 + 128 + 1 = 1 1024 + 0 512 + 1 256 + + 1 128 + 0 64 + 0 32 + 0 16 + 0 8 + 0 4 + 0 2 + 1 1.

Vidíme, že každý člen druhé řady buď nemůže být do součtu zahrnut, nebo do něj může být zahrnut pouze jednou.

Čísla 1 a 0, kterými se násobí členy druhé řady, tvoří také původní číslo 1409, ale v jeho druhém, binární zápis: 10110000001.

Výsledek je zapsán takto:

1409 10 = 10110000001 2 .

Původní číslo jsme napsali pomocí 0 a 1, jinými slovy, dostali jsme binární kód tohoto čísla, neboli reprezentovali číslo v binární číselné soustavě.

Metoda 2

Tímto způsobem získáte binární kód desetinné číslo je založen na zaznamenávání zbytků z dělení původního čísla a výsledných podílů 2, přičemž se pokračuje, dokud se další podíl nerovná 0.

Příklad:

První buňka horního řádku obsahuje původní číslo a každá další buňka obsahuje výsledek celočíselného dělení předchozího čísla dvěma.

Buňky spodního řádku obsahují zbytky z dělení těch, kteří stojí v horní liniečísla po 2.

Poslední buňka spodního řádku je ponechána prázdná. Binární kód původního dekadického čísla se získá postupným zápisem všech zbytků, počínaje posledním: 1409 10 = 10110000001 2 .

Prvních 20 členů přirozené řady ve dvojkové soustavě je zapsáno takto: 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011,1100, 1101,1110,10111,0. 10010. 10011. 10100.

Převod celých čísel z binárních na desítkové

Metoda 1

Nechť existuje číslo 111101 2 . Může být reprezentován takto:

Metoda 2

Vezměme stejné číslo 111101 2 . Jednotku 6. číslice (první zleva v záznamu čísla) přeložme na jednotky 5. číslice, pro které vynásobíme 1 2, protože jednotka 6. číslice ve dvojkové soustavě obsahuje 2 jednotky 5. číslice.

K přijatým 2 jednotkám 5. kategorie připočítáváme stávající jednotku 5. kategorie. Přeložme tyto 3 jednotky 5. kategorie do 4. kategorie a přidejme stávající jednotku 4. kategorie: 3 2 + 1 = 7.

Přeložme 7 jednotek 4. kategorie do 3. kategorie a přidejme stávající jednotku 3. kategorie: 7 2 + 1 = 15.

Přeložme 15 jednotek 3. kategorie do 2. kategorie: 15 2 \u003d 30. Ve 2. kategorii nejsou žádné jednotky v původním počtu.

Přeložme 30 jednotek 2. kategorie do 1. kategorie a připočtěme jednotku, která je zde k dispozici: 30 2 + 1 \u003d 61. Došli jsme, že původní číslo obsahuje 61 jednotek 1. kategorie.

Písemné výpočty jsou pohodlně uspořádány takto:

Pomocí aplikace můžete převádět celá čísla z desítkové na binární a naopak Kalkulačka.

Udělejme malý experiment .

1. Spusťte aplikaci Kalkulačka a spusťte příkaz [View-Engineering]. Dávejte pozor na skupina přepínačů, které určují číselnou soustavu:

2. Ujistěte se, že je kalkulačka nastavena tak, aby fungovala desetinnýčíselný systém. Pomocí klávesnice nebo myši zadejte do vstupního pole libovolné dvoumístné číslo. Aktivujte spínač Zásobník a sledujte změny ve vstupním okně. Návrat do desítkové soustavy. Vymažte vstupní pole.

3. Opakujte krok 2 několikrát pro další desetinná čísla.

4. Nastavte kalkulačku tak, aby pracovala v binárním systému. Věnujte pozornost tomu, která tlačítka Kalkulačka a číselné klávesy na klávesnici jsou vám k dispozici. Střídavě vstupujte binární kódy 5., 10. a 15. člen přirozené řady a pomocí výhybky prosinec převést je do desítkové číselné soustavy.

Návod

Související videa

V systému počítání, který používáme každý den, je deset číslic – od nuly do devíti. Proto se tomu říká desítkové. V technických výpočtech, zejména těch, které se týkají počítačů, však jiné systémy, konkrétně binární a hexadecimální. Proto musíte umět překládat čísla od jednoho systémy počítání s jiným.

Budete potřebovat

• - kousek papíru;
• - tužka nebo pero;
• - kalkulačka.

Návod

Binární systém je nejjednodušší. Má pouze dvě číslice – nulu a jedničku. Každá číslice binárního čísla čísla, počínaje koncem, odpovídá mocnině dvou. Dvě se rovná jedné, první se rovná dvěma, druhé se rovná čtyřem, třetí se rovná osmi a tak dále.

Předpokládejme, že je vám dáno binární číslo 1010110. Jednotky v něm jsou na druhém, třetím, pátém a sedmém místě od konce. Takže v desítkové soustavě je toto číslo 2^1 + 2^2 + 2^4 + 2^6 = 2 + 4 + 16 + 64 = 86.

Inverzní úloha - desítková čísla Systém. Předpokládejme, že máte číslo 57. Chcete-li získat jeho záznam, musíte toto číslo postupně vydělit dvěma a zapsat zbytek dělení. Binární číslo bude sestaveno od konce do začátku.
V prvním kroku získáte poslední číslici: 57/2 = 28 (zbytek 1).
Pak dostanete druhý od konce: 28/2 = 14 (zbytek 0).
Další kroky: 14/2 = 7 (zbytek 0);
7/2 = 3 (zbytek 1);
3/2 = 1 (zbytek 1);
1/2 = 0 (zbytek 1).
Toto je poslední krok, protože výsledek dělení je nula. Výsledkem je binární číslo 111001.
Zkontrolujte, zda je vaše odpověď správná: 111001 = 2^0 + 2^3 + 2^4 + 2^5 = 1 + 8 + 16 + 32 = 57.

Druhý, používaný v počítačových záležitostech, je hexadecimální. Nemá deset, ale šestnáct číslic. Aby ne nový symboly, prvních deset hexadecimálních číslic systémy jsou označeny běžnými čísly a zbývajících šest - s latinskými písmeny: A, B, C, D, E, F. Odpovídají desítkovému zápisu čísla m od 10 do 15. Aby nedošlo k záměně, před číslem zapsaným v šestnáctkové soustavě je znak # nebo 0x znaků.

Na číslování z šestnáctkové soustavy systémy, musíte vynásobit každou jeho číslici odpovídající mocninou šestnácti a sečíst výsledky. Například #11A v desítkovém zápisu je 10*(16^0) + 1*(16^1) + 1*(16^2) = 10 + 16 + 256 = 282.

Opačný překlad z desítkové soustavy systémy na hexadecimální se provádí stejnou metodou zbytků jako v binárním. Vezměte například číslo 10000. Postupným dělením 16 a zapsáním zbytku získáte:
10 000/16 = 625 (zbytek 0).
625/16 = 39 (zbytek 1).
39/16 = 2 (zbytek 7).
2/16 = 0 (zbytek 2).
Výsledkem výpočtu bude hexadecimální číslo #2710.
Zkontrolujte svou odpověď: #2710 = 1*(16^1) + 7*(16^2) + 2*(16^3) = 16 + 1792 + 8192 = 10 000.

Převod čísla z šestnáctkové soustavy systémy binární je mnohem jednodušší. Číslo 16 je dvojka: 16 = 2^4. Proto každý hexadecimální číslice lze zapsat jako čtyřmístné binární číslo. Pokud získáte méně než čtyři číslice v binárním kódu, přidejte na začátek nuly.
Například #1F7E = (0001)(1111)(0111)(1110) = 1111101111110.
Zkontrolujte, zda je vaše odpověď správná: obojí čísla v desítkovém zápisu jsou 8062.

Chcete-li přeložit, musíte rozdělit binární číslo do skupin po čtyřech číslicích, počínaje koncem, a nahradit každou takovou skupinu hexadecimální číslicí.
Například 11000110101001 se změní na (0011)(0001)(1010)(1001), což je v šestnáctkové soustavě #31A9. Správnost odpovědi je potvrzena překladem do desítkový zápis: oba čísla se rovnají 12713.

Rada 5: Jak převést číslo na binární

Vzhledem k omezenému použití symbolů je binární systém nejvhodnější pro použití v počítačích a dalších digitální zařízení. Existují pouze dva znaky: 1 a 0, takže toto Systém používané v registrech.

Návod

Binární je poziční, tzn. pozice každé číslice v čísle odpovídá určité číslici, která se v odpovídajícím stupni rovná dvěma. Stupeň začíná na nule a zvyšuje se při pohybu zprava doleva. Například, číslo 101 se rovná 1*2^0 + 0*2^1 + 1*2^2 = 5.

Mezi pozičními systémy jsou také široce používány osmičkové, šestnáctkové a desítkové soustavy. A pokud je druhá metoda více použitelná pro první dvě, pak pro překlad z jsou použitelné obě.

Zvažte dekadické číslo na binární Systém metoda postupného dělení 2. Přeložit desetinné číslo 25 palců

Poznámka 1

Chcete-li převést číslo z jedné číselné soustavy do druhé, je výhodnější je nejprve převést do desítkové číselné soustavy a teprve poté převést z desítkové číselné soustavy do jakékoli jiné číselné soustavy.

Pravidla pro převod čísel z libovolné číselné soustavy na desítkovou

V počítačová věda, který využívá strojní aritmetiku, hraje důležitou roli převod čísel z jedné číselné soustavy do druhé. Níže uvádíme základní pravidla pro takové transformace (překlady).

Při převodu binárního čísla na desítkové je požadováno, aby binární číslo reprezentovalo ve tvaru polynom, jehož každý prvek je reprezentován jako součin číslice čísla a odpovídající mocniny čísla základu, v tento případ$2$, a pak musíte vypočítat polynom podle pravidel desítkové aritmetiky:

$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$

Obrázek 1. Tabulka 1

Příklad 1

Převeďte číslo $11110101_2$ do desítkové soustavy čísel.

Řešení. Pomocí výše uvedené tabulky $1$ stupňů základny $2$ reprezentujeme číslo jako polynom:

$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 64 +128 + + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10)$

Chcete-li převést číslo z osmičková číselná soustava na desítkovou soustavu, musíte jej znázornit jako polynom, jehož každý prvek je reprezentován jako součin číslice čísla a odpovídající mocniny základního čísla, v tomto případě $8$, a pak musíte polynom vypočítat podle pravidel desítkové aritmetiky:

$X_8 = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$

Obrázek 2. Tabulka 2

Příklad 2

Převeďte číslo $75013_8$ do desítkové soustavy čísel.

Řešení. Pomocí výše uvedené tabulky $2$ stupňů základny $8$ reprezentujeme číslo jako polynom:

$75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$

Chcete-li převést číslo z hexadecimálního na desítkové číslo, musíte jej znázornit jako polynom, jehož každý prvek je reprezentován jako součin číslice čísla a odpovídající mocniny základního čísla, v tomto případě $16$, a poté musíte vypočítat polynom podle pravidel desítkové aritmetiky:

$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$

Obrázek 3. Tabulka 3

Příklad 3

Převeďte číslo $FFA2_(16)$ na desítkovou soustavu čísel.

Řešení. S použitím výše uvedené tabulky $3$ základních mocnin 8$ reprezentujeme číslo jako polynom:

$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$

Pravidla pro převod čísel z desítkové číselné soustavy do jiné

• Chcete-li převést číslo z desítkové soustavy na binární, je nutné je postupně dělit $2$, dokud nezůstane zbytek menší nebo roven $1$. Číslo ve dvojkové soustavě je reprezentováno jako posloupnost posledního výsledku dělení a zbytku dělení v opačném pořadí.

Příklad 4

Převeďte číslo $22_(10)$ do binární číselné soustavy.

Řešení:

Obrázek 4

$22_{10} = 10110_2$

• Chcete-li převést číslo z desítkové soustavy na osmičkovou, je nutné je postupně dělit $8$, dokud nezůstane zbytek menší nebo roven $7$. Uveďte číslo v osmičkové soustavě jako posloupnost číslic posledního výsledku dělení a zbytku dělení v opačném pořadí.

Příklad 5

Převeďte číslo $571_(10)$ na osmičkovou číselnou soustavu.

Řešení:

Obrázek 5

$571_{10} = 1073_8$

• Chcete-li převést číslo z desítkové soustavy na hexadecimální soustava musí se postupně dělit 16 $, dokud nezůstane zbytek menší nebo roven 15 $. Vyjádřete číslo v šestnáctkové soustavě jako posloupnost číslic posledního výsledku dělení a zbytku dělení v opačném pořadí.

Příklad 6

Převeďte číslo $7467_(10)$ na hexadecimální číselnou soustavu.

Řešení:

Obrázek 6

$7467_(10) = 1D2B_(16)$

Aby bylo možné překládat správný zlomek z desítkové číselné soustavy do nedesítkové je nutné vynásobit zlomkovou část převáděného čísla základem soustavy, do které se má převádět. Zlomek v nový systém budou prezentovány ve formě celých částí prací, počínaje první.

Například: $0,3125_((10))$ v osmičkové soustavě bude vypadat jako $0,24_((8))$.

V tomto případě můžete narazit na problém, kdy konečný desetinný zlomek může odpovídat nekonečnému (periodickému) zlomku v jiné než desítkové číselné soustavě. V tomto případě bude počet číslic ve zlomku zastoupeném v novém systému záviset na požadované přesnosti. Je třeba také poznamenat, že celá čísla zůstávají celými čísly a vlastní zlomky zůstávají zlomky v jakékoli číselné soustavě.

Pravidla pro převod čísel z binární číselné soustavy do jiné

• Chcete-li převést číslo z binárního na osmičkové, musí být rozděleno do trojic (trojic číslic), počínaje nejméně významnou číslicí, je-li to nutné, přidáním nul k nejvyšší trojici a poté nahrazením každé trojice odpovídající osmičkovou číslicí podle tabulky 4.

Obrázek 7. Tabulka 4

Příklad 7

Převeďte číslo $1001011_2$ na osmičkovou číselnou soustavu.

Řešení. Pomocí tabulky 4 převedeme číslo z binárního do osmičkového:

$001 001 011_2 = 113_8$

• Chcete-li převést číslo z binárního na hexadecimální, mělo by být rozděleno na tetrady (čtyři číslice), počínaje nejméně významnou číslicí, v případě potřeby doplněním starší tetrády nulami, poté by měla být každá tetrada nahrazena odpovídající osmičkovou číslicí podle Tabulka 4.

Převod čísel z jedné číselné soustavy do druhé je důležitou součástí strojové aritmetiky. Zvažte základní pravidla překladu.

1. K převodu binárního čísla na desítkové je nutné jej zapsat jako polynom sestávající ze součinů číslic čísla a odpovídající mocniny čísla 2 a vypočítat podle pravidel desítkové aritmetiky:

Při překladu je vhodné použít tabulku mocnin dvou:

Tabulka 4. Mocniny 2

Příklad.

2. K překladu osmičkové číslo v desítkové soustavě je nutné jej zapsat jako polynom, který se skládá ze součinů číslic čísla a odpovídající mocniny čísla 8, a vypočítat podle pravidel desítkové aritmetiky:

Při překladu je vhodné použít tabulku mocnin osmi:

Tabulka 5. Mocniny 8

Příklad. Převeďte číslo na desítkovou číselnou soustavu.

3. K překladu hexadecimální číslo v desítkové soustavě je nutné ji zapsat jako polynom sestávající ze součinů číslic čísla a odpovídající mocniny čísla 16 a vypočítat podle pravidel desítkové aritmetiky:

Při překladu je pohodlné používat blesk sil 16:

Tabulka 6. Mocniny 16

Příklad. Převeďte číslo na desítkovou číselnou soustavu.

4. Chcete-li převést desetinné číslo do dvojkové soustavy, je nutné je postupně dělit 2, dokud nezůstane zbytek menší nebo roven 1. Číslo ve dvojkové soustavě se zapisuje jako posloupnost posledního výsledku dělení a zbytek divize v opačném pořadí.

Příklad. Převeďte číslo na binární číselnou soustavu.

5. Chcete-li převést desetinné číslo do osmičkové soustavy, je nutné je postupně dělit 8, dokud nezůstane zbytek menší nebo roven 7. Číslo v osmičkové soustavě se zapisuje jako posloupnost číslic posledního výsledku dělení. a zbytek dělení v obráceném pořadí.

Příklad. Převeďte číslo na osmičkovou číselnou soustavu.

6. Chcete-li převést desítkové číslo do šestnáctkové soustavy, je nutné je postupně dělit 16, dokud nezůstane zbytek menší nebo roven 15. Číslo v šestnáctkové soustavě se zapisuje jako posloupnost číslic posledního výsledku dělení. a zbytek dělení v obráceném pořadí.

Příklad. Převeďte číslo na šestnáctkové.