Číselné soustavy. Poziční číselný systém je hexadecimální. Binární osmičková hexadecimální číselná soustava

Chcete-li reprezentovat čísla v mikroprocesoru, binární systém.
Přitom jakékoliv digitální signál může mít dva stabilní stavy: vysoká úroveň" A " nízká úroveň". Ve dvojkové soustavě se pro zobrazení libovolného čísla používají dvě číslice: 0 a 1. Libovolné číslo x=a n a n-1 ..a 1 a 0 ,a -1 a -2 …a -m zapsaný v binárním zápisu jako

x = a n 2 n +a n-1 2 n-1 +…+a 1 2 1 +a 0 2 0 +a -1 2 -1 +a -2 2 -2 +…+a -m 2 -m

Kde a i— binární číslice (0 nebo 1).

Osmičková číselná soustava

V osmičkový systém kalkul, základní číslice jsou čísla od 0 do 7. 8 jednotek nejméně významné číslice je spojeno do nadřazené jednotky.

Hexadecimální číselná soustava

V hexadecimálním číselném systému jsou základními číslicemi čísla 0 až 15 včetně. K označení základních číslic větších než 9 jedním znakem se kromě arabských číslic 0 ... 9 používají v hexadecimálním číselném systému písmena latinské abecedy:

10 10 = A 16 12 10 = C 16 14 10 = E 16
11 10 = B 16 13 10 = D 16 15 10 = F 16 .

Například číslo 175 10 v šestnáctkové soustavě bude zapsáno jako AF 16 . Opravdu,

10 16 1 +15 16 0 =160+15=175

Tabulka obsahuje čísla od 0 do 16 v desítkové, dvojkové, osmičkové a šestnáctkové soustavě.

Binární-osmičkové a binárně-hexadecimální převody

Systém binárních čísel je vhodný pro provádění aritmetických operací pomocí hardwaru mikroprocesoru, ale pro lidské vnímání je nepohodlný, protože vyžaduje velký počet výboje. Proto v počítačová věda kromě dvojkové číselné soustavy, osmičkové a hexadecimální soustava počet pro kompaktnější reprezentaci čísel.

Tři bity osmičkové číselné soustavy implementují všechny možné kombinace osmičkových číslic v binární číselné soustavě: od 0 (000) do 7 (111). Chcete-li převést binární číslo na osmičkové, musíte zkombinovat binární číslice do skupin po 3 číslicích (triádách) ve dvou směrech, počínaje oddělovačem celých a zlomkových částí. Je-li to nutné, musí být vlevo od původního čísla přidány nevýznamné nuly. Pokud číslo obsahuje zlomkovou část, pak lze napravo od něj přidat také nevýznamné nuly, dokud nebudou vyplněny všechny trojice. Poté je každá trojice nahrazena osmičkovou číslicí.

Příklad: Převeďte číslo 1101110,01 2 na osmičkové.

Kombinujeme binární číslice do trojic zprava doleva. Dostaneme

001 101 110,010 2 = 156,2 8 .

Chcete-li převést číslo z osmičkové soustavy na binární, musíte každou osmičkovou číslici zapsat do jejího binárního kódu:

156,2 8 = 001 101 110,010 2 .

Čtyři bity hexadecimální číselné soustavy implementují všechny možné kombinace hexadecimálních číslic v binární číselné soustavě: od 0 (0000) do F(1111). Chcete-li převést binární číslo na hexadecimální, musíte zkombinovat binární číslice do skupin po 4 číslicích (tetradách) ve dvou směrech, počínaje oddělovačem celých a zlomkových částí. Je-li to nutné, musí být vlevo od původního čísla přidány nevýznamné nuly. Pokud číslo obsahuje zlomkovou část, pak se napravo od něj musí přidat také nevýznamné nuly, dokud nebudou vyplněny všechny tetrády. Každá tetráda je pak nahrazena hexadecimální číslicí.

Příklad: Převeďte číslo 1101110.11 2 na šestnáctkové.

Kombinujeme binární číslice do tetrád zprava doleva. Dostaneme

0110 1110,11002 = 6E,C16.

Chcete-li převést číslo z hexadecimálního na binární, musíte do jeho binárního kódu zapsat každou hexadecimální číslici.

Hexadecimální číselná soustava(Taky - hexadecimální kód) je poziční číselná soustava s celočíselným základem 16. Někdy se v literatuře používá i výraz hex (vyslovuje se „hex“, zkratka anglického hexadecimálního). Čísla tohoto číselného systému jsou běžně používané arabské číslice 0-9, stejně jako první znaky latinské abecedy A-F. Písmena odpovídají následujícím desetinným hodnotám:

• * A-10;
• *B-11;
• *C-12;
• *D-13;
• * E - 14;
• * F - 15.

Deset arabských číslic spolu se šesti latinskými písmeny tedy tvoří šestnáct číslic systému.

Mimochodem, na našem webu můžete převést jakýkoli text na desítkové, šestnáctkové, binární kód pomocí online kalkulačky kódů.

aplikace. Hexadecimální kódširoce používán v nízkoúrovňovém programování, stejně jako v různých počítačových referenčních dokumentech. Oblíbenost systému je odůvodněna architektonickým řešením moderních počítačů: mají bajt (skládající se z osmi bitů) jako minimální jednotku informace - a hodnotu bajtu je vhodné zapsat pomocí dvou hexadecimálních číslic. Hodnota bajtu se může pohybovat od #00 do #FF (0 až 255 v desítkovém zápisu) - jinými slovy, pomocí hexadecimální kód, můžete zapsat libovolný stav bajtu, přičemž v nahrávce nejsou použity žádné "nadbytečné" číslice.

Zakódováno Unicodečtyři hexadecimální číslice představují číslo znaku. Zápis barev RGB (červená, zelená, modrá) také často používá hexadecimální kód (například #FF0000 je jasně červený zápis).

Způsob, jak napsat hexadecimální kód.

Matematický způsob psaní. V matematickém zápisu se základ systému zapisuje v desítkovém tvaru v dolním indexu napravo od čísla. Desetinný zápisčíslo 3032 lze zapsat jako 3032 10 , v šestnáctkové soustavě se toto číslo zapíše jako BD8 16 .

V syntaxi programovacích jazyků. Syntax různé jazyky programování nastavuje formát čísel jinak pomocí hexadecimální kód:

* V syntaxi některých variant jazyka symbolických instrukcí se používá latinské písmeno „h“, které je umístěno napravo od čísla, například: 20Dh. Pokud číslo začíná na latinské písmeno, pak mu předchází nula, například: 0A0Bh. To se provádí za účelem odlišení hodnot od konstant pomocí hexadecimální kód;

* Jiné varianty assembleru, stejně jako Pascal (a jeho rozmanitosti jako Delphi) a některé základní dialekty používají předponu „$“: $A15;

*V jazyce HTML značení, stejně jako v kaskádě css soubory, k určení barvy v RGB formát s hexadecimálním zápisem se používá předpona "#": #00DC00.

Jak přeložit hexadecimální kód do jiného systému?

Převod z šestnáctkové soustavy na desítkovou. K provedení operace převodu z hexadecimální soustavy na desítkovou je nutné reprezentovat původní číslo jako součet součinů číslic v číslicích hexadecimálního čísla stupněm základu.

Například musíte přeložit hexadecimální číslo A14: má tři číslice. Pomocí pravidla to zapíšeme jako součet mocnin se základem 16:

A14 16 = 10,16 2 + 1,16 1 + 4,16 0 = 10,256 + 1,16 + 4,1 = 2560 + 16 + 4 = 2580 10

Převod čísel z binárních do hexadecimálních a naopak.

Pro překlad se používá tabulka sešitů. Chcete-li převést číslo z binárního na desítkové, je nutné je rozdělit na samostatné tetrády zprava doleva a poté pomocí tabulky nahradit každou tetrádu odpovídající hexadecimální číslicí. V tomto případě, pokud počet číslic není násobkem čtyř, pak je nutné přidat odpovídající počet nul vpravo od čísla, takže celkový počet binární číslice stal se násobkem čtyř.

Tabulka sešitů pro překlad.

Chcete-li převést z hexadecimální na binární, musíte provést opačnou operaci: nahradit každou číslici tetrádou z tabulky.

Příklad převod z hexadecimální na binární: A5E 16 = 1010 0101 1110 = 101001011110 2

Příklad převod z binárního na hexadecimální: 111100111 2 = 0001 1110 0111 = 1E7 16

V tomto příkladu nebyl počet číslic v původním binárním čísle čtyři (9), takže byly přidány koncové nuly, aby byl celkový počet číslic 12.

Automatický překlad. Rychlý převod z hexadecimální číselné soustavy do jedné ze tří populární systémy(binární, osmičkové a desítkové), stejně jako zpětný překlad, lze provádět pomocí standardní kalkulačky dodávané s Windows. Otevřete kalkulačku, z nabídky vyberte Zobrazit -> Programátor. V tento režim můžete nastavit číselný systém používaný v tento moment(viz levé menu: Hex, Dec, Oct, Bin). V tomto případě se změna aktuálního číselného systému automaticky přeloží.

Vznikl ve starověkém Babylonu. V Indii systém funguje ve formě pozičního desítkového číslování pomocí nuly, pro Indy tento systémčísla si vypůjčil arabský národ, oni je zase vzali Evropané. V Evropě se tomuto systému začalo říkat arabština.

Polohový systém zúčtování- hodnota všech číslic závisí na pozici (číslici) této číslice v čísle.

Příklady, standardní desítková číselná soustava je poziční soustava. Řekněme, že vám bylo přiděleno číslo453 . Číslo 4 znamená stovky a odpovídá číslu400, 5 - počet desítek a odpovídá hodnotě50 , A 3 - jednotky a hodnota3 . Je snadné vidět, že jak se číslice zvyšuje, hodnota se zvyšuje. Dané číslo tedy zapíšeme jako součet400+50+3=453.

Hexadecimální číselná soustava.

Hexadecimální číselná soustava(hexadecimální čísla) - poziční číselná soustava. Základ hexadecimální číselné soustavy je číslo 16.

Když píšeme čísla v osmičkové soustavě, dostáváme poměrně kompaktní výrazy, ale v šestnáctkové soustavě dostáváme kompaktnější výrazy.

Prvních deset číslic ze šestnácti hexadecimálních číslic tvoří standardní mezery 0 - 9 , dalších šest číslic je vyjádřeno pomocí prvních písmen latinské abecedy: A, B, C, D, E, F. Převod z hexadecimální soustavy do dvojkové soustavy a do opačná strana proveďte stejný postup pro osmičkovou soustavu.

Aplikace hexadecimální číselné soustavy.

Hexadecimální číselná soustava se docela dobře používá moderní počítače, Například s jeho pomocí označte barvu: #FFFFFF- Bílá barva.

Převod čísel z jedné číselné soustavy do druhé.

Převod čísel z hexadecimálních na desítkové.

Přeložit hexadecimální číslo do desítkové soustavy je potřeba uvést dané číslo do tvaru součtu součinů stupňů základu hexadecimální číselné soustavy odpovídajícími číslicemi v číslicích šestnáctkového čísla.

Například, přeložte hexadecimální číslo 5A3 na desítkové. Tady 3 čísla. Na základě výše uvedeného pravidla jej přivedeme do tvaru součtu stupňů se základem 16:

5A3 16 = 3 16 0 +10 16 1 +5 16 2 = 3 1+10 16+5 256 = 3+160+1280 = 1443 10

Převeďte čísla z binárních do šestnáctkových a naopak.

Chcete-li přeložit více hodnot binární číslo do šestnáctkové soustavy, musíte ji rozdělit na tetrády zprava doleva a všechny tetrády zaměnit za odpovídající hexadecimální číslici. Chcete-li převést číslo z hexadecimálního na binární, musíte změnit všechny číslice na odpovídající tetrády z převodní tabulky, kterou najdete níže.

Například:

010110100011 2 = 0101 1010 0011 = 5A3 16

Konverzní tabulka čísel.

Algoritmus pro převod čísel z jedné číselné soustavy do druhé.

1. Ze soustavy desítkových čísel:

• číslo vydělíme základem překládaného číselného systému;
• najděte zbytek z dělení celé části čísla;
• zapište všechny zbytky dělení v opačném pořadí;

2. Z binární číselné soustavy:

• pro převod do desítkové číselné soustavy najdeme součet součinů základu 2 odpovídajícím stupněm vybití;
• abychom převedli číslo na osmičkovou, rozdělíme číslo na trojice.

Například 1000110 = 1000 110 = 1068

• pro převod čísla z binárního na hexadecimální číslo rozdělíme do skupin po 4 číslicích.

Například 1000110 = 100 0110 = 4616.

Překladové tabulky:

Mnoho uživatelů počítačů chápe, že počítač pracuje v binárním systému. Tradičně jsou stavy binárního systému reprezentovány čísly 0 a 1, i když přesněji každý stav označuje přítomnost nebo nepřítomnost signálu, tj. správnější by bylo nazývat stavy „vypnuto“ a „zapnuto“. nebo „ne“ a „ano“. Stav „vypnuto“ nebo „ne“ odpovídá číslu 0 a stav „zapnuto“ nebo „ano“ odpovídá číslu 1. Běžní uživatelé Obvykle není nutné úplně rozumět struktuře počítače, ale binární číselná soustava se projevuje v podobě různých omezení založených na mocnině dvou. Kompaktnější verze binárního systému se nazývá hexadecimální. Číslo šestnáct je čtvrtá mocnina dvojky. Z toho vyplývá, že je celkem snadné převést dlouhé binární posloupnosti nul a jedniček na krátké hexadecimální jedničky. K tomu stačí rozdělit binární posloupnost do skupin po čtyřech číslicích (číslice) počínaje nejméně významnou číslicí (vpravo) a nahradit každou skupinu odpovídající hexadecimální hodnotou.

Hexadecimální systém se obvykle používá pro usnadnění vnímání binárních dat, protože překlady z hexadecimálních do binárních a naopak se provádějí jednoduchým nahrazením řetězců. Počítač pracuje výhradně s binárními posloupnostmi a hexadecimální zápis této posloupnosti je čtyřikrát kompaktnější, protože tento systém má základ 16 (2 16) a binární 2. Binární posloupnost může být značně těžkopádná. Například zápis čísla 513 vyžaduje deset binárních číslic (1000000001), zatímco šestnáctkové pouze tři (201). K reprezentaci hexadecimálních čísel je však potřeba šestnáct různé postavy, a ne deset, které se používají v našem obvyklém desítková soustava zúčtování. Prvních deset znaků jsou znaky v rozsahu od 0 do 9, zbytek jsou písmena latinské abecedy v rozsahu od A do F. Písmena se obvykle (ale ne vždy) píší velká (velká) v hexadecimálním zápisu čísla. . Prvních deset znaků (od 0 do 9) se zapisuje stejně jako číslice v desítkové číselné soustavě a odpovídá jim. Písmena v rozsahu A až F odpovídají hodnotám v rozsahu 10 až 15.

Zvažte shodu čísel od 0 do 15 hexadecimálně a binární systémy zúčtování.

Záznamy 10, 11 atd. v desítkové, binární a šestnáctkové soustavě se neshodují. Vezměme si malý příklad. Řekněme, že máme šestnáctkové číslo 1A5E. pro převod do binární zápis jednoduše nahraďte hexadecimální číslice odpovídajícími binárními skupinami. Vyjde to 0001 1010 0101 1110. Pokud před číslem odstraníme nepodstatné nuly a napíšeme ho bez oddělovačů, dostaneme 1101001011110. Pro obrácený překlad rozdělíme číslo do skupin po čtyřech číslicích počínaje nejnižší (vpravo strana), a také pro pohodlí přidáváme nevýznamné nuly seniorská skupina až 4 číslice. Dostaneme 0001 1010 0101 1110. Skupiny nahradíme odpovídajícími hexadecimální hodnoty, dostaneme 1A5E.

Chcete-li převést šestnáctkové číslo na desítkové zobrazení, můžete použít schéma, podle kterého zapisujeme desítková čísla. V desítkovém čísle každá číslice označuje odpovídající mocninu deseti, počínaje nulou a rostoucí zprava doleva. Například, desetinné číslo 123 znamená 1*102 + 2*101 + 3*100. Obdobnou metodou převedeme číslo 1A5E do desítkové číselné soustavy. V hexadecimální soustavě i v desítkové soustavě každá číslice označuje odpovídající mocninu šestnáctky, počínaje nulou a rostoucí zprava doleva. Znaky 1 a 5 v šestnáctkové soustavě odpovídají hodnotám 1 a 5 v desítkové soustavě a znaky A a E odpovídají 10 a 14. Potom lze 1A5E reprezentovat v desítkové soustavě jako 1*16 3 + 10*16 2 + 5 *16 1 + 14 * 16 0 = 6750. Pro vyhodnocení hexadecimálních čísel však není vůbec nutné je převádět na desítková. Pravidla pro porovnávání, sčítání a násobení jsou v této soustavě stejná jako v desítkové soustavě, hlavní je nezapomenout, že každá číslice může obsahovat hodnoty od 0 do 15. Více rychlý přenosčíslo mezi číselným systémem, který můžete použít standardní kalkulačka ve Windows k tomu stačí vybrat číselný systém v pokročilém režimu kalkulačky, zadat do něj číslo a vybrat požadovaný systém kalkul, ve kterém se zobrazí výsledek.

Vzhledem k tomu, že hexadecimální čísla, která se skládají pouze z čísel, lze snadno zaměnit s desetinnými čísly, jsou obvykle označena tak, aby bylo jasné, že se používá hexadecimální zápis. Hexadecimální položky se obvykle označují buď přidáním malého písmene 'h' na konec, nebo přidáním '0x' před číslo. Hexadecimální číslo 1A5E lze tedy zapsat jako 1A5Eh nebo 0x1A5E, kde "h" na konci nebo "0x" na začátku značí, že se používá hexadecimální zápis.