Převeďte 123 desítkové na binární. Číselné soustavy. Převod z jednoho systému do druhého

Číslo zapište v binárním zápisu a mocniny dvou zprava doleva. Například chceme převést binární číslo 10011011 2 na desetinné číslo. Nejprve si to zapišme. Poté zapíšeme mocniny dvou zprava doleva. Začněme s 2 0 , což se rovná "1". Pro každé další číslo zvyšujeme stupeň o jeden. Přestaneme, když se počet prvků v seznamu rovná počtu číslic v binárním čísle. Číslo v našem příkladu, 10011011, má osm číslic, takže seznam osmi položek by vypadal takto: 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1

Zapište číslice binárního čísla pod odpovídající mocniny dvou. Nyní stačí napsat 10011011 pod čísla 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2 a 1 tak, aby každý binární číslice odpovídalo jeho mocnině dvojky. „1“ binárního čísla zcela vpravo se musí shodovat s „1“ nejvíce vpravo z mocnin dvou atd. Pokud vám to vyhovuje, můžete napsat dvojkové číslo nad mocniny dvou. Nejdůležitější je, aby se k sobě hodily.

Spojte číslice v binárním čísle s odpovídajícími mocninami dvou. Nakreslete čáry (zprava doleva), které spojují každou následující číslici binárního čísla s mocninou dvou nad ním. Začněte kreslit čáry spojením první číslice binárního čísla s první mocninou dvou nad ním. Potom nakreslete čáru od druhé číslice binárního čísla k druhé mocnině dvojky. Pokračujte v připojování každé číslice k odpovídající mocnině dvou. To vám pomůže vizuálně vidět spojení mezi těmito dvěma různé sadyčísla.

Zapište konečnou hodnotu každé mocniny dvou. Projděte každou číslici binárního čísla. Pokud je toto číslo 1, napište pod číslo příslušnou mocninu dvou. Pokud je toto číslo 0, napište pod číslo 0.

• Protože "1" odpovídá "1", zůstane "1". Protože "2" odpovídá "1", zůstane "2". Protože "4" odpovídá "0", stane se "0". Protože „8“ odpovídá „1“, stane se „8“, a protože „16“ odpovídá „1“, stane se „16“. „32“ odpovídá „0“ a stává se „0“, „64“ odpovídá „0“, a proto se stává „0“, zatímco „128“ odpovídá „1“ a stává se 128.

Poznámka 1

Chcete-li převést číslo z jedné číselné soustavy do druhé, je výhodnější je nejprve převést do desítkové číselné soustavy a teprve poté převést z desítkové číselné soustavy do jakékoli jiné číselné soustavy.

Pravidla pro převod čísel z libovolné číselné soustavy na desítkovou

V počítačová věda, který využívá strojní aritmetiku, hraje důležitou roli převod čísel z jedné číselné soustavy do druhé. Níže uvádíme základní pravidla pro takové transformace (překlady).

Při převodu binárního čísla na desítkové je požadováno reprezentovat binární číslo jako polynom, jehož každý prvek je reprezentován jako součin číslice čísla a odpovídající mocniny základního čísla, v tento případ$2$, a pak musíte vypočítat polynom podle pravidel desítkové aritmetiky:

$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$

Obrázek 1. Tabulka 1

Příklad 1

Převeďte číslo $11110101_2$ do desítkové soustavy čísel.

Řešení. Pomocí výše uvedené tabulky $1$ stupňů základny $2$ reprezentujeme číslo jako polynom:

$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 64 +128 + + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10)$

Chcete-li převést číslo z osmičkové na desítkové číslo, musíte jej znázornit jako polynom, jehož každý prvek je reprezentován jako součin číslice čísla a odpovídající mocniny základního čísla, v tomto případě $8$, a poté musíte vypočítat polynom podle pravidel desítkové aritmetiky:

$X_8 = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$

Obrázek 2. Tabulka 2

Příklad 2

Převeďte číslo $75013_8$ do desítkové soustavy čísel.

Řešení. Pomocí výše uvedené tabulky $2$ stupňů základny $8$ reprezentujeme číslo jako polynom:

$75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$

Chcete-li převést číslo z hexadecimálního na desítkové číslo, musíte jej znázornit jako polynom, jehož každý prvek je reprezentován jako součin číslice čísla a odpovídající mocniny základního čísla, v tomto případě $16$, a poté musíte vypočítat polynom podle pravidel desítkové aritmetiky:

$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$

Obrázek 3. Tabulka 3

Příklad 3

Převeďte číslo $FFA2_(16)$ na desítkovou soustavu čísel.

Řešení. S použitím výše uvedené tabulky $3$ základních mocnin 8$ reprezentujeme číslo jako polynom:

$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$

Pravidla pro převod čísel z desítkové číselné soustavy do jiné

• Chcete-li převést číslo z desítková soustava na binární, musí se postupně dělit $2$, dokud nezůstane zbytek menší nebo roven $1$. Číslo ve dvojkové soustavě je reprezentováno jako posloupnost posledního výsledku dělení a zbytku dělení v opačném pořadí.

Příklad 4

Převeďte číslo $22_(10)$ do binární číselné soustavy.

Řešení:

Obrázek 4

$22_{10} = 10110_2$

• Chcete-li převést číslo z desítkové soustavy na osmičkovou, je nutné je postupně dělit $8$, dokud nezůstane zbytek menší nebo roven $7$. Uveďte číslo v osmičkové soustavě jako posloupnost číslic posledního výsledku dělení a zbytku dělení v opačném pořadí.

Příklad 5

Převeďte číslo $571_(10)$ na osmičkový systém zúčtování.

Řešení:

Obrázek 5

$571_{10} = 1073_8$

• Chcete-li převést číslo z desítkové soustavy na šestnáctkovou, je nutné je postupně dělit $16$, dokud nezůstane zbytek menší nebo roven $15$. Vyjádřete číslo v šestnáctkové soustavě jako posloupnost číslic posledního výsledku dělení a zbytku dělení v opačném pořadí.

Příklad 6

Převeďte číslo $7467_(10)$ na hexadecimální číselnou soustavu.

Řešení:

Obrázek 6

$7467_(10) = 1D2B_(16)$

Aby bylo možné převést správný zlomek z desítkové číselné soustavy na nedesítkovou, je nutné vynásobit zlomkovou část převáděného čísla základem soustavy, do které se má převádět. Frakce v novém systému budou prezentovány jako celé části produktů, počínaje první.

Například: $0,3125_((10))$ v osmičkové soustavě bude vypadat jako $0,24_((8))$.

V tomto případě můžete narazit na problém, kdy konečný desetinný zlomek může odpovídat nekonečnému (periodickému) zlomku v jiné než desítkové číselné soustavě. V tomto případě bude počet číslic ve zlomku zastoupeném v novém systému záviset na požadované přesnosti. Je třeba také poznamenat, že celá čísla zůstávají celými čísly a vlastní zlomky zůstávají zlomky v jakékoli číselné soustavě.

Pravidla pro převod čísel z binární číselné soustavy do jiné

• Chcete-li převést číslo z binárního na osmičkové, musí být rozděleno do trojic (trojic číslic), počínaje nejméně významnou číslicí, je-li to nutné, přidáním nul k nejvyšší trojici a poté nahrazením každé trojice odpovídající osmičkovou číslicí podle tabulky 4.

Obrázek 7. Tabulka 4

Příklad 7

Převeďte číslo $1001011_2$ na osmičkovou číselnou soustavu.

Řešení. Pomocí tabulky 4 převedeme číslo z binárního do osmičkového:

$001 001 011_2 = 113_8$

• Chcete-li převést číslo z binárního na hexadecimální, mělo by být rozděleno na tetrady (čtyři číslice), počínaje nejméně významnou číslicí, v případě potřeby doplněním starší tetrády nulami, poté by měla být každá tetrada nahrazena odpovídající osmičkovou číslicí podle Tabulka 4.

1. Běžný účet v různé systémy zúčtování.

V moderní život používáme poziční systémyčíslovky, tedy soustavy, ve kterých číslo označované číslicí závisí na poloze číslice v zápisu čísla. Proto se v budoucnu budeme bavit pouze o nich, vynecháme pojem „poziční“.

Abychom se naučili překládat čísla z jedné soustavy do druhé, pochopme, jak probíhá sekvenční zaznamenávání čísel pomocí desítkové soustavy jako příkladu.

Protože máme desítkovou číselnou soustavu, máme k sestavení čísel 10 znaků (číslic). Začneme ordinálním počítáním: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Čísla jsou u konce. Zvýšíme kapacitu čísla a vynulujeme dolní řád: 10. Poté opět zvyšujeme nízký řád, dokud nedojdou všechny číslice: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Zvyšte vysoký řád o 1 a dolní řád nastavíme na nulu: 20. Když použijeme všechny číslice pro obě číslice (dostaneme číslo 99), opět zvýšíme kapacitu číslic čísla a vynulujeme stávající číslice: 100. A tak dále.

Zkusme udělat totéž ve 2., 3. a 5. systému (zaveďme zápis pro 2. systém, pro 3. atd.):

Pokud má číselný systém základ větší než 10, pak budeme muset zadat další znaky, je obvyklé zadávat písmena latinské abecedy. Například pro šestnáctkovou soustavu potřebujeme kromě deseti číslic dvě písmena ( a ):

2.Převod z desítkové soustavy čísel do jakékoli jiné.

Chcete-li převést celé kladné desetinné číslo na číselnou soustavu s jiným základem, musíte toto číslo vydělit základem. Výsledný podíl se opět dělí základem a dále, dokud není podíl menší než základ. V důsledku toho zapište poslední podíl a všechny zbytky na jeden řádek, počínaje posledním.

Příklad 1 Přeložme desetinné číslo 46 do dvojkové číselné soustavy.

Příklad 2 Přeložme desetinné číslo 672 do osmičkové číselné soustavy.

Příklad 3 Přeložme desetinné číslo 934 do hexadecimální číselné soustavy.

3. Překlad z libovolné číselné soustavy do desítkové soustavy.

Abychom se naučili překládat čísla z jakéhokoli jiného systému do desítkové soustavy, pojďme analyzovat nám známý desítkový zápis.
Například desetinné číslo 325 je 5 jednotek, 2 desítky a 3 stovky, tzn.

Úplně stejná situace je i v jiných číselných soustavách, jen nebudeme násobit 10, 100 atd., ale stupněm základu číselné soustavy. Vezměme si například číslo 1201 v ternární číselné soustavě. Číslice číslujeme zprava doleva počínaje nulou a naše číslo představujeme jako součet součinů číslice trojicí ve stupni číslice:

Tak to je desítkový zápis naše číslo, tzn.

Příklad 4 Převést na desítkovou číselnou soustavu osmičkové číslo 511.

Příklad 5 Převést na desítkovou číselnou soustavu hexadecimální číslo 1151.

4. Převod z dvojkové soustavy do soustavy se základem „mocniny dvou“ (4, 8, 16 atd.).

Chcete-li převést binární číslo na číslo se základem "mocniny dvou", je nutné rozdělit binární posloupnost do skupin počtem číslic rovným stupni zprava doleva a nahradit každou skupinu odpovídající číslicí nový systém zúčtování.

Převeďme například binární číslo 1100001111010110 na osmičkové. Chcete-li to provést, rozdělme jej do skupin po 3 znacích počínaje zprava (protože ), a pak použijte tabulku shody a nahraďte každou skupinu novým číslem:

Naučili jsme se, jak vytvořit korespondenční tabulku v odstavci 1.

Tito.

Příklad 6 Převedeme binární číslo 1100001111010110 na šestnáctkovou soustavu.

5. Převod ze systému se základní "mocninou dvou" (4, 8, 16 atd.) do binárního.

Tento překlad je podobný předchozímu provedenému v opačná strana: každou číslici nahradíme skupinou číslic ve dvojkové soustavě z vyhledávací tabulky.

Příklad 7 Přeložme hexadecimální číslo C3A6 do binární číselné soustavy.

Za tímto účelem nahradíme každou číslici čísla skupinou 4 číslic (protože ) z korespondenční tabulky a v případě potřeby doplníme skupinu nulami na začátku:

Můžete zadat buď celá čísla, například 34 , nebo zlomková čísla, například 637,333 . U zlomkových čísel je uvedena přesnost překladu za desetinnou čárkou.

S touto kalkulačkou se také používají následující:

Způsoby reprezentace čísel

Algoritmus pro převod čísel z jedné číselné soustavy do druhé

Příklad #1.



Překlad od 2 do 8 až 16 číselné soustavy.
Tyto systémy jsou násobky dvou, proto se překlad provádí pomocí korespondenční tabulky (viz níže).

K převodu čísla z binární číselné soustavy na osmičkové (hexadecimální) číslo je nutné rozdělit dvojkové číslo na skupiny po třech (u šestnáctkové soustavy čtyř) číslic od čárky doprava a doleva, přičemž krajní skupiny doplníme nulami. Pokud je potřeba. Každá skupina je nahrazena odpovídající osmičkovou nebo hexadecimální číslicí.

Příklad č. 2. 1010111010,1011 = 1,010,111,010,101,1 = 1272,51 8
zde 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101 = 5; 001=1

Při převodu do šestnáctkové soustavy musíte číslo rozdělit na části, každá po čtyřech číslicích, podle stejných pravidel.
Příklad č. 3. 1010111010.1011 = 10.1011.1010.1011 = 2B12.13 HEX
zde 0010=2; 1011=B; 1010 = 12; 1011=13

Převod čísel z 2, 8 a 16 do desítkové soustavy se provádí rozdělením čísla na samostatná a vynásobením základem soustavy (ze kterého se číslo překládá) umocněnou na jemu odpovídající mocninu. sériové číslo v přeloženém čísle. V tomto případě jsou čísla číslována nalevo od desetinné čárky (první číslo má číslo 0) s rostoucím a napravo s klesajícím (tj. se záporným znaménkem). Získané výsledky se sečtou.

Příklad #4.
Příklad převodu z dvojkové do desítkové číselné soustavy.

1010010.101 2 = 1 2 6 +0 2 5 +1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +0 2 0 + 1 2 -1 +0 2 - 2 +1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0,5+0+0,125 = 82,625 10 Příklad převodu z osmičkové na desítkovou číselnou soustavu. 108,5 8 = 1* 8 2 +0 8 1 +8 8 0 + 5 8 -1 = 64+0+8+0,625 = 72,625 10 Příklad převodu z hexadecimální na desítkovou číselnou soustavu. 108,5 16 = 1 16 2 +0 16 1 +8 16 0 + 5 16 -1 = 256+0+8+0,3125 = 264,3125 10

Ještě jednou zopakujeme algoritmus pro převod čísel z jedné číselné soustavy do jiné PSS

1. Ze soustavy desítkových čísel:
   • vydělte číslo základem překládaného číselného systému;
   • najděte zbytek po dělení celé části čísla;
   • zapište všechny zbytky z dělení v opačném pořadí;
2. Z dvojkové soustavy
   • Chcete-li převést na desítkovou číselnou soustavu, musíte najít součet součinů základu 2 podle odpovídajícího stupně vybití;
   • Chcete-li převést číslo na osmičkovou, musíte číslo rozdělit na trojice.
     Například 1000110 = 1000 110 = 106 8
   • Chcete-li převést číslo z binárního na hexadecimální, musíte číslo rozdělit do skupin po 4 číslicích.
     Například 1000110 = 100 0110 = 46 16

Tabulka pro převod do osmičkové číselné soustavy