Překladová tabulka z jednoho číselného systému do druhého. Převod čísel do dvojkové, šestnáctkové, desítkové, osmičkové číselné soustavy
Poznámka 1
Pokud chcete převést číslo z jedné číselné soustavy do druhé, je výhodnější začít převodem na desítková soustavačíslování a teprve potom z desítkové soustavy do jakékoli jiné číselné soustavy.
Pravidla pro převod čísel z libovolné číselné soustavy na desítkovou
V počítačová věda, který využívá strojní aritmetiku, hraje důležitou roli převod čísel z jedné číselné soustavy do druhé. Níže uvádíme základní pravidla pro takové transformace (překlady).
Při převodu binární číslo v desítkové soustavě je požadováno reprezentovat binární číslo ve formě polynomu, jehož každý prvek je reprezentován jako součin číslice čísla a odpovídající mocniny čísla základu, v tento případ$2$, a pak musíte vypočítat polynom podle pravidel desítkové aritmetiky:
$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$
Obrázek 1. Tabulka 1
Příklad 1
Převeďte číslo $11110101_2$ do desítkové soustavy čísel.
Řešení. Pomocí výše uvedené tabulky $1$ stupňů základny $2$ reprezentujeme číslo jako polynom:
$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 64 +128 + + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10)$
Chcete-li převést číslo z osmičkové na desítkové číslo, musíte jej znázornit jako polynom, jehož každý prvek je reprezentován jako součin číslice čísla a odpovídající mocniny základního čísla, v tomto případě $8$, a poté musíte vypočítat polynom podle pravidel desítkové aritmetiky:
$X_8 = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$
Obrázek 2. Tabulka 2
Příklad 2
Převeďte číslo $75013_8$ do desítkové soustavy čísel.
Řešení. Pomocí výše uvedené tabulky $2$ stupňů základny $8$ reprezentujeme číslo jako polynom:
$75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$
Chcete-li převést číslo z hexadecimálního na desítkové číslo, musíte jej znázornit jako polynom, jehož každý prvek je reprezentován jako součin číslice čísla a odpovídající mocniny základního čísla, v tomto případě $16$, a poté musíte vypočítat polynom podle pravidel desítkové aritmetiky:
$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$
Obrázek 3. Tabulka 3
Příklad 3
Převeďte číslo $FFA2_(16)$ na desítkovou soustavu čísel.
Řešení. S použitím výše uvedené tabulky $3$ základních mocnin 8$ reprezentujeme číslo jako polynom:
$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$
Pravidla pro převod čísel z desítkové číselné soustavy do jiné
- Chcete-li převést číslo z desítkové soustavy na binární, je nutné je postupně dělit $2$, dokud nezůstane zbytek menší nebo roven $1$. Číslo ve dvojkové soustavě je reprezentováno jako posloupnost posledního výsledku dělení a zbytku dělení v opačném pořadí.
Příklad 4
Převeďte číslo $22_(10)$ do binární číselné soustavy.
Řešení:
Obrázek 4
$22_{10} = 10110_2$
- Chcete-li převést číslo z desítkové soustavy na osmičkovou, je nutné je postupně dělit $8$, dokud nezůstane zbytek menší nebo roven $7$. Uveďte číslo v osmičkové soustavě jako posloupnost číslic posledního výsledku dělení a zbytku dělení v opačném pořadí.
Příklad 5
Převeďte číslo $571_(10)$ na osmičkovou číselnou soustavu.
Řešení:
Obrázek 5
$571_{10} = 1073_8$
- Chcete-li převést číslo z desítkové soustavy na hexadecimální soustava musí se postupně dělit 16 $, dokud nezůstane zbytek menší nebo roven 15 $. Vyjádřete číslo v šestnáctkové soustavě jako posloupnost číslic posledního výsledku dělení a zbytku dělení v opačném pořadí.
Příklad 6
Převeďte číslo $7467_(10)$ na hexadecimální číselnou soustavu.
Řešení:
Obrázek 6
$7467_(10) = 1D2B_(16)$
Aby bylo možné převést správný zlomek z desítkové číselné soustavy na nedesítkovou, je nutné vynásobit zlomkovou část převáděného čísla základem soustavy, do které se má převádět. Zlomek v nový systém budou prezentovány ve formě celých částí prací, počínaje první.
Například: $0,3125_((10))$ v osmičkové soustavě bude vypadat jako $0,24_((8))$.
V tomto případě můžete narazit na problém, kdy konečný desetinný zlomek může odpovídat nekonečnému (periodickému) zlomku v jiné než desítkové číselné soustavě. V tomto případě bude počet číslic ve zlomku zastoupeném v novém systému záviset na požadované přesnosti. Je třeba také poznamenat, že celá čísla zůstávají celými čísly a vlastní zlomky zůstávají zlomky v jakékoli číselné soustavě.
Pravidla pro převod čísel z binární číselné soustavy do jiné
- Chcete-li převést číslo z binárního na osmičkové, musí být rozděleno do trojic (trojic číslic), počínaje nejméně významnou číslicí, je-li to nutné, přidáním nul k nejvyšší trojici a poté nahrazením každé trojice odpovídající osmičkovou číslicí podle tabulky 4.
Obrázek 7. Tabulka 4
Příklad 7
Převeďte číslo $1001011_2$ na osmičkovou číselnou soustavu.
Řešení. Pomocí tabulky 4 převedeme číslo z binárního do osmičkového:
$001 001 011_2 = 113_8$
- Chcete-li převést číslo z binárního na hexadecimální, mělo by být rozděleno na tetrady (čtyři číslice), počínaje nejméně významnou číslicí, v případě potřeby doplněním starší tetrády nulami, poté by měla být každá tetrada nahrazena odpovídající osmičkovou číslicí podle Tabulka 4.
V tomto článku se budu zabývat základy počítačová technologie je binární systém. Tohle je nejvíc nízká úroveň, to jsou čísla, na kterých počítač pracuje. A naučíte se překládat z jednoho systému
Tabulka 1 - Zastoupení čísel v různé systémy
kalkul (začátek)
Číselné soustavy |
||||
Desetinný |
Binární |
osmičkový |
Hexadecimální |
binární desítkové |
Pro převod z desítkové soustavy na binární lze použít dvě možnosti.
1) Například číslo 37 je potřeba převést z desítkové soustavy na binární, pak ji vydělit dvěma a poté zkontrolovat zbytek dělení. Pokud je zbytek lichý, pak dole podepíšeme jedničku a další cyklus dělení prochází sudým číslem, pokud je zbytek dělení sudý, pak píšeme nulu. Na konci to musí nutně dopadnout 1. A teď převedeme výsledek na binární a číslo jde zprava doleva.
Krok za krokem: 37 je liché číslo, takže 1 , pak 36/2 = 18. Číslo je sudé, takže 0. 18/2 = 9 je liché číslo, takže 1 , pak 8/2 = 4. Číslo je sudé, počítejte 0. 4/2 = 2, sudé číslo znamená 0, 2/2 = 1.
Takže máme číslo. Nezapomeňte, že počet jde zprava doleva: 100101 - zde máme číslo v binární podobě. Obecně je to zapsáno jako rozdělení do sloupce, jak můžete vidět na obrázku níže:
2) Existuje však i druhý způsob. Mám ho radši. Převod z jednoho systému do druhého probíhá následovně:
kde ai- i-tá číslicečísla;
k - počet číslic ve zlomkové části čísla;
m - počet číslic v celé části čísla;
N je základ číselné soustavy.
Základ číselné soustavy N ukazuje, kolikrát je "váha" i-té číslice větší než "váha" (i-1) číslice. Celočíselná část čísla je oddělena od zlomkové části tečkou (čárkou).
Celočíselná část čísla AN1 se základem N1 se převede na číselnou soustavu se základem N2 postupným dělením celé části čísla AN1 základem N2 zapsaným jako číslo se základem N1, dokud není zbytek Výsledná frakce se opět vydělí bází N2 a tento proces je nutné opakovat, dokud není částice menší než dělitel. Výsledné zbytky z dělení a poslední část se zapisují v obráceném pořadí získaném při dělení. Vygenerované číslo bude celé číslo se základem N2.
Zlomková část čísla AN1 se základem N1 se převede do číselné soustavy se základem N2 postupným násobením zlomkové části čísla AN1 základem N2 zapsaným jako číslo se základem N1. Při každém násobení je celočíselná část součinu brána jako další číslice odpovídající číslice a zlomková část zbývající části je brána jako nové násobení. Počet násobení určuje kapacitu získaného výsledku, který představuje zlomkovou část čísla AN1 v číselné soustavě N2. Zlomková část čísla při překladu je často znázorněna nepřesně.
Udělejme to na příkladu:
Převod z desítkové soustavy na binární
37 v desítkové soustavě je třeba převést na binární. Pojďme pracovat s tituly:
2 0 = 1
2 1 = 2
2 2 = 4
2 3 = 8
2 4 = 16
2 5 = 32
2 6 = 64
2 7 = 128
2 8 = 256
2 9 = 512
2 10 = 1024 a tak dále... do nekonečna
Takže: 37 - 32 \u003d 5. 5 - 4 \u003d 1. Odpověď je v binárním kódu následující: 100101.
Převedeme číslo 658 z desítkové soustavy na binární:
658-512=146
146-128=18
18-16=2. V binární podobě bude číslo vypadat takto: 1010010010.
Převod desítkové soustavy na osmičkovou
Pokud potřebujete převést z desítkové soustavy na osmičkovou, musíte nejprve převést na binární a poté převést z dvojkové soustavy na osmičkovou. To znamená, že je to jednodušší, i když můžete okamžitě překládat. Podle algoritmu podobného tomu v binární konverzi, viz výše.
Převod z desítkové soustavy na šestnáctkovou
Pokud potřebujete převést z desítkové soustavy na šestnáctkovou, musíte nejprve převést na binární a poté převést z binární na šestnáctkové. To znamená, že je to jednodušší, i když můžete okamžitě překládat. Podle algoritmu podobného tomu v binární konverzi, viz výše.
Převod binární soustavy na osmičkovou
Chcete-li převést číslo z binárního na osmičkové, musíte dvojkové číslo rozdělit na tři čísla.
Například výsledné číslo 1010010010 se rozdělí na tři čísla a členění jde zprava doleva: 1 010 010 010 = 1222. Viz tabulka na samém začátku.
Převod z binárního na hexadecimální
Chcete-li převést číslo z binárního na hexadecimální, musíte je rozdělit na tetrády (každá čtyři)
10 1001 0010 = 292
Zde je několik příkladů, které si můžete prohlédnout:
Překlad je z dvojkové soustavy do osmičkové soustavy, poté do šestnáctkové soustavy a poté z dvojkové soustavy do desítkové soustavy
(2) = 11101110
(8) = 11 101 110 = 276
(16) = 1110 1110 = EE
(10) = 1*128+ 1*64+ 1*32+ 0 +1*8 + 1*4 + 1*2+ 0= 238
3) (8) = 657
Překlad je z šestnáctkové soustavy do dvojkové soustavy, poté do osmičkové soustavy a poté z dvojkové soustavy na desítkovou
(16) = 6E8
(2) = 110 1110 1000
(8) = 11 011 101 000 = 2250
(10) = 1*1024+1*512+ 0 +1*128+ 1*64+ 1*32+ 8 = 1768
|
Úspěšné složení zkoušky a nejen... Je zvláštní, že ve školách v hodinách informatiky většinou žákům ukazují ten nejsložitější a nejnepohodlnější způsob, jak překládat čísla z jedné soustavy do druhé. Tato metoda spočívá v postupném dělení původního čísla základem a sběru zbytku dělení v opačném pořadí. Například musíte převést číslo 810 10 na binární systém: Výsledek se zapisuje v obráceném pořadí zdola nahoru. Vyjde to 81010 = 11001010102 Pokud potřebujete převést na binární systém, docela velká čísla, pak dělící schodiště nabývá velikosti vícepodlažní budovy. A jak můžete posbírat všechny jedničky s nulami a neminout ani jednu? V USE program informatika zahrnuje několik úkolů souvisejících s překladem čísel z jednoho systému do druhého. Zpravidla se jedná o převod mezi 8- a 16-člennými systémy a binárními. Jedná se o sekce A1, B11. Problémy jsou ale i s jinými číselnými soustavami, například v sekci B7. Pro začátek si připomeňme dvě tabulky, které by bylo dobré znát nazpaměť pro ty, kteří si informatiku volí jako své budoucí povolání. Tabulka mocnin čísla 2:
Lze jej snadno získat vynásobením předchozího čísla dvěma. Pokud si tedy nepamatujete všechna tato čísla, není těžké získat zbytek z těch, která si pamatujete. Tabulka binárních čísel od 0 do 15 s hexadecimálním zobrazením:
Chybějící hodnoty lze také snadno vypočítat přidáním 1 ke známým hodnotám. Překlad celého čísla Začněme tedy převodem přímo do dvojkové soustavy. Vezměme stejné číslo 810 10 . Musíme toto číslo rozložit na členy rovné mocninám dvou.
Metoda 1: Uspořádejte 1 podle číslic, kterými se ukázaly být indikátory termínů. V našem příkladu jsou to 9, 8, 5, 3 a 1. Zbývající místa budou nuly. Dostali jsme tedy binární reprezentaci čísla 810 10 = 1100101010 2 . Jednotky jsou na 9., 8., 5., 3. a 1. místě, počítají se zprava doleva od nuly. Metoda 2: Zapišme členy jako mocniny dvou pod sebe, počínaje největší. 810 = To je vše. Po cestě se objevil problém „kolik jednotek v binární zápisčíslo 810?" Odpověď je tolik, kolik je členů (mocnin dvou) v tomto zobrazení. 810 má 5. Nyní je příklad jednodušší. Přeložme číslo 63 do 5členné číselné soustavy. Nejbližší mocnina 5 až 63 je 25 (čtverec 5). Kostka (125) už bude hodně. To znamená, že 63 leží mezi druhou mocninou 5 a krychlí. Poté vybereme koeficient pro 5 2 . Toto je 2. Dostaneme 63 10 = 50 + 13 = 50 + 10 + 3 = 2 * 5 2 + 2 * 5 + 3 = 223 5 . A nakonec velmi snadné překlady mezi 8- a 16-desetinnými systémy. Protože jejich základem je mocnina dvou, překlad se provádí automaticky, jednoduše nahrazením číslic jejich binární reprezentací. V osmičkové soustavě je každá číslice nahrazena třemi binárními číslicemi a v šestnáctkové soustavě čtyřmi. V tomto případě jsou povinné všechny úvodní nuly, kromě nejvýznamnější číslice. Přeložme číslo 547 8 do dvojkové soustavy.
Ještě jeden, například 7D6A 16.
Přeložme číslo 7368 do šestnáctkové soustavy. Nejprve zapište čísla po trojicích a poté je rozdělte na čtyři od konce: 736 8 \u003d 111 011 110 \u003d 1 1101 1110 \u003d 1DE 16. Převeďme číslo C25 16 na 8člennou soustavu. Nejprve zapíšeme čísla do čtyř a poté je rozdělíme na trojky od konce: C25 16 \u003d 1100 0010 0101 \u003d 110 000 100 101 \u003d 6045 8. Nyní zvažte převod zpět na desítkové. Není to těžké, hlavní věcí není dělat chyby ve výpočtech. Číslo rozložíme na polynom se základními stupni a koeficienty na nich. Poté vše namnožíme a přidáme. E68 16 = 14 * 16 2 + 6 * 16 + 8 = 3688. 732 8 \u003d 7 * 8 2 + 3 * 8 + 2 \u003d 474 . Překlad záporných čísel Zde je třeba vzít v úvahu, že číslo bude zastoupeno v doplňkový kód. K překladu čísla do doplňkového kódu je potřeba znát konečnou velikost čísla, tedy do čeho ho chceme zapsat - do bajtu, do dvou bajtů, do čtyř. Nejvýznamnější číslice čísla znamená znaménko. Pokud je 0, pak je číslo kladné, pokud 1, pak záporné. Vlevo je číslo doplněno znaménkovým bitem. Neuvažujeme čísla bez znaménka, jsou vždy kladná a nejvýznamnější číslice v nich slouží jako informační. Pro překlad záporné číslo V binárním doplňkovém kódu musíte převést kladné číslo na binární systém, poté změnit nuly na jedničky a jedničky na nuly. Poté k výsledku přidejte 1. Přeložme tedy číslo -79 do dvojkové soustavy. Číslo nám zabere jeden bajt. Převedeme 79 do binárního systému, 79 = 1001111. K velikosti bajtu přidáme nuly doleva, 8 bitů, dostaneme 01001111. Změníme 1 na 0 a 0 na 1. Dostaneme 10110000. K výsledku přidáme 1, dostaneme odpověď 10110001. Cestou odpovídáme na USE otázku „kolik jednotek je v binární reprezentaci čísla -79?“. Odpověď je 4. Přidáním 1 k převrácené hodnotě čísla se odstraní rozdíl mezi reprezentacemi +0 = 00000000 a -0 = 11111111. Ve dvojkovém kódu doplňku budou zapsány stejně 00000000. Překlad zlomkových čísel Zlomková čísla se překládají obráceným způsobem k dělení celých čísel základem, o kterém jsme uvažovali na samém začátku. Tedy postupným násobením novým základem se sbíráním celých částí. Části celého čísla získané násobením se shromažďují, ale neúčastní se následujících operací. Násobí se pouze zlomky. Pokud je původní číslo větší než 1, pak se celá a zlomková část přeloží odděleně a pak se slepí dohromady. Přeložme číslo 0,6752 do dvojkové soustavy.
V procesu lze pokračovat dlouhou dobu, dokud nedostaneme všechny nuly ve zlomkové části nebo není dosaženo požadované přesnosti. Zastavme se zatím u 6. znamení. Ukazuje se 0,6752 = 0,101011. Pokud by číslo bylo 5,6752, pak v binárním systému by to bylo 101,101011 . |
|
Dostaneme: 173 10 \u003d 255 8
Příklad 2.13. Převeďte desítkové číslo 173 10 na hexadecimální číselnou soustavu:
Dostaneme: 173 10 = AD 16 .
Příklad 2.14. Převeďte desítkové číslo 11 10 na binární číselnou soustavu. Posloupnost akcí zvažovaných výše (algoritmus překladu) je pohodlněji znázorněna takto:
Dostáváme: 11 10 \u003d 1011 2.
Příklad 2.15. Někdy je vhodnější napsat překladový algoritmus ve formě tabulky. Přeložme desetinné číslo 363 10 na binární číslo.
|
Dělič |
|||||||||
Dostáváme: 363 10 \u003d 101101011 2
2.3.2. Překlad zlomkových čísel z jedné číselné soustavy do druhé
Je možné sestavit algoritmus pro převod vlastního zlomku se základem p do zlomku se zákl q:
1. Vyjádřete základ nové číselné soustavy pomocí původní číselné soustavy a proveďte všechny následné akce v původní číselné soustavě.
2. Postupně násobte dané číslo a výsledné zlomkové části součinů základem nového systému, dokud se zlomková část součinu nerovná nule nebo dokud není dosaženo požadované přesnosti vyjádření čísla.
3. Výsledné celočíselné části součinů, kterými jsou číslice čísla v nové číselné soustavě, jsou uvedeny do souladu s abecedou nové číselné soustavy.
4. Sestavte zlomkovou část čísla v nové číselné soustavě, počínaje celočíselnou částí prvního součinu.
Příklad 2.17. Převeďte číslo 0,65625 10 na osmičkovou číselnou soustavu.
Dostaneme: 0,65625 10 \u003d 0,52 8
Příklad 2.17. Převeďte číslo 0,65625 10 na hexadecimální číselnou soustavu.
|
X 16 |
|
Dostaneme: 0,65625 10 \u003d 0,A8 1
Příklad 2.18. Převeďte desítkové 0,5625 10 na binární číselnou soustavu.
|
X 2 |
|
|
X 2 |
|
|
X 2 |
|
|
X 2 |
|
Dostaneme: 0,5625 10 \u003d 0,1001 2
Příklad 2.19. Převést na binární desítkovou 0,7 10 .
Je zřejmé, že tento proces může pokračovat donekonečna a dává stále více znaků v obrazu binárního ekvivalentu čísla 0,7 10 . Takže ve čtyřech krocích dostaneme číslo 0,1011 2 a v sedmi krocích číslo 0,1011001 2, což je přesnější vyjádření čísla 0,7 10 v binárním číselný systém a atd. Takový nekonečný proces je v určitém kroku přerušen, když se má za to, že byla dosažena požadovaná přesnost zobrazení čísla.
2.3.3. Překlad libovolných čísel
Překlad libovolných čísel, tzn. čísla obsahující celočíselnou a zlomkovou část se provádějí ve dvou fázích: celočíselná část se překládá samostatně a zlomková část se překládá zvlášť. V konečném záznamu výsledného čísla je část celého čísla oddělena od zlomkové čárky (tečky).
Příklad 2.20. Převeďte číslo 17,25 10 na binární číselnou soustavu.
Dostáváme: 17,25 10 \u003d 1001,01 2
Příklad 2.21. Převeďte číslo 124,25 10 na osmičkovou soustavu.
Dostaneme: 124,25 10 \u003d 174,2 8
2.3.4. Převod čísel z číselné soustavy se základem 2 na číselnou soustavu se základem 2 n a naopak
Překlad celých čísel. Pokud je základem q-ární číselné soustavy mocnina 2, pak převod čísel z q-ární číselné soustavy do 2-ární číselné soustavy a naopak lze provést za více než jednoduchá pravidla. Abyste mohli napsat binární celé číslo v číselné soustavě se základem q=2 n, potřebujete:
1. Rozdělte binární číslo zprava doleva do skupin po n číslicích.
2. Pokud je v poslední levé skupině méně než n číslic, pak je třeba ji doplnit zleva nulami až do správné číslo výboje.
Příklad 2.22. Přeložme číslo 101100001000110010 2 do osmičkové číselné soustavy.
Číslo rozdělíme zprava doleva na trojice a pod každou z nich napíšeme odpovídající osmičkovou číslici:
Získáme osmičkovou reprezentaci původního čísla: 541062 8 .
Příklad 2.23.Číslo 1000000000111110000111 2 bude převedeno na hexadecimální číselnou soustavu.
Číslo rozdělíme zprava doleva na tetrády a pod každou zapíšeme odpovídající hexadecimální číslici:
Dostaneme hexadecimální znázornění původního čísla: 200F87 16 .
Překlad zlomkových čísel. Abyste mohli zapsat zlomkové binární číslo v číselné soustavě se základem q=2 n, potřebujete:
1. Rozdělte binární číslo zleva doprava do skupin po n číslicích.
2. Pokud je v poslední pravé skupině méně než n číslic, pak je třeba ji zprava doplnit nulami na požadovaný počet číslic.
3. Každou skupinu považujte za n-bitové binární číslo a zapište je s odpovídající číslicí v číselné soustavě se základem q=2 n .
Příklad 2.24. Přeložme číslo 0,10110001 2 do osmičkové číselné soustavy.
Číslo rozdělíme zleva doprava na trojice a pod každou zapíšeme odpovídající osmičkovou číslici:
Dostaneme osmičkovou reprezentaci původního čísla: 0,542 8 .
Příklad 2.25. Přeložme číslo 0,100000000011 2 do hexadecimální číselné soustavy. Číslo rozdělíme zleva doprava na tetrády a pod každou zapíšeme odpovídající hexadecimální číslici:
Získáme hexadecimální vyjádření původního čísla: 0,803 16
Překlad libovolných čísel. Abyste mohli napsat libovolné binární číslo v číselné soustavě se základem q=2 n, potřebujete:
1. Rozdělte celočíselnou část tohoto binárního čísla zprava doleva a zlomkovou část zleva doprava na skupiny po n číslicích.
2. Pokud je v poslední levé a/nebo pravé skupině méně než n číslic, pak je třeba je vlevo a/nebo vpravo doplnit nulami až do požadovaného počtu číslic;
3. Každou skupinu považujte za n-bitové binární číslo a zapište je jako odpovídající číslici v číselné soustavě se základem q=2 n
Příklad 2.26. Přeložme číslo 111100101.0111 2 do osmičkové číselné soustavy.
Celou a zlomkovou část čísla rozdělíme na trojice a pod každou zapíšeme odpovídající osmičkovou číslici:
Dostaneme osmičkovou reprezentaci původního čísla: 745,34 8 .
Příklad 2.27.Číslo 11101001000,11010010 2 bude převedeno do hexadecimální číselné soustavy.
Celou a zlomkovou část čísla rozdělíme do sešitů a pod každý z nich zapíšeme odpovídající hexadecimální číslici:
Dostaneme hexadecimální reprezentaci původního čísla: 748,D2 16 .
Překlad čísel z číselných soustav se základem q=2n na binární. Chcete-li převést libovolné číslo zapsané v číselné soustavě se základem q=2 n na binární číselnou soustavu, musíte každou číslici tohoto čísla nahradit jejím n-ciferným ekvivalentem v binární číselné soustavě.
Příklad 2.28.Přeložme hexadecimální číslo 4AC35 16 do binární číselné soustavy.
Podle algoritmu:
Dostaneme: 1001010110000110101 2 .
Úkoly k seberealizaci (odpovědi)
2.38. Doplňte tabulku, v jejímž každém řádku musí být zapsáno stejné celé číslo v různých číselných soustavách.
|
Binární |
osmičkový |
Desetinný |
Hexadecimální |
2.39. Doplňte tabulku, v jejímž každém řádku musí být zapsáno stejné zlomkové číslo v různých číselných soustavách.
|
Binární |
osmičkový |
Desetinný |
Hexadecimální |
2,40. Doplňte tabulku, v jejímž každém řádku musí být zapsáno stejné libovolné číslo (číslo může obsahovat celé číslo i zlomkovou část) v různých číselných soustavách.
|
Binární |
osmičkový |
Desetinný |
Hexadecimální |
|
59 B |
Převod čísel z jedné číselné soustavy do druhé je důležitou součástí strojové aritmetiky. Zvažte základní pravidla překladu.
1. K převodu binárního čísla na desítkové je nutné jej zapsat jako polynom sestávající ze součinů číslic čísla a odpovídající mocniny čísla 2 a vypočítat podle pravidel desítkové aritmetiky:
Při překladu je vhodné použít tabulku mocnin dvou:
Tabulka 4. Mocniny 2
|
n (stupeň) |
|||||||||||
Příklad.
2. K překladu osmičkové číslo v desítkové soustavě je nutné jej zapsat jako polynom, který se skládá ze součinů číslic čísla a odpovídající mocniny čísla 8, a vypočítat podle pravidel desítkové aritmetiky:
Při překladu je vhodné použít tabulku mocnin osmi:
Tabulka 5. Mocniny 8
|
n (stupeň) |
|||||||
Příklad. Převeďte číslo na desítkovou číselnou soustavu.
3. K překladu hexadecimální číslo v desítkové soustavě je nutné ji zapsat jako polynom sestávající ze součinů číslic čísla a odpovídající mocniny čísla 16 a vypočítat podle pravidel desítkové aritmetiky:
Při překladu je pohodlné používat blesk sil 16:
Tabulka 6. Mocniny 16
|
n (stupeň) |
|||||||
Příklad. Převeďte číslo na desítkovou číselnou soustavu.
4. K překladu desetinné číslo do dvojkové soustavy, musí se postupně dělit 2, dokud není zbytek menší nebo roven 1. Číslo ve dvojkové soustavě se zapisuje jako posloupnost posledního výsledku dělení a zbytek dělení v obráceném pořadí .
Příklad. Převeďte číslo na binární číselnou soustavu.
5. Chcete-li převést desetinné číslo do osmičkové soustavy, je nutné je postupně dělit 8, dokud nezůstane zbytek menší nebo roven 7. Číslo v osmičkové soustavě se zapisuje jako posloupnost číslic posledního výsledku dělení. a zbytek dělení v obráceném pořadí.
Příklad. Převeďte číslo na osmičkovou číselnou soustavu.
6. Chcete-li převést desetinné číslo do šestnáctkové soustavy, je třeba je postupně dělit 16, dokud nezůstane zbytek menší nebo roven 15. Číslo v šestnáctkové soustavě se zapisuje jako posloupnost číslic posledního výsledku dělení. a zbytek dělení v obráceném pořadí.
Příklad. Převeďte číslo na šestnáctkové.