Od 10 do 16 online systém. Binární osmičková hexadecimální číselná soustava

1. Pořadové počítání v různých číselných soustavách.

V moderní život používáme poziční číselné soustavy, tedy soustavy, ve kterých číslo označené číslicí závisí na poloze číslice v zápisu čísla. Proto se v budoucnu budeme bavit pouze o nich, vynecháme pojem „poziční“.

Abychom se naučili překládat čísla z jedné soustavy do druhé, pochopme, jak probíhá sekvenční zaznamenávání čísel pomocí desítkové soustavy jako příkladu.

Protože máme desítkovou číselnou soustavu, máme k sestavení čísel 10 znaků (číslic). Začneme ordinálním počítáním: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Čísla jsou u konce. Zvýšíme kapacitu čísla a vynulujeme dolní řád: 10. Poté opět zvyšujeme nízký řád, dokud nedojdou všechny číslice: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Zvyšte vysoký řád o 1 a dolní řád nastavíme na nulu: 20. Když použijeme všechny číslice pro obě číslice (dostaneme číslo 99), opět zvýšíme kapacitu číslic čísla a vynulujeme stávající číslice: 100. A tak dále.

Zkusme udělat totéž ve 2., 3. a 5. systému (zaveďme zápis pro 2. systém, pro 3. atd.):

Pokud má číselný systém základ větší než 10, pak budeme muset zadat další znaky, je obvyklé zadávat písmena latinské abecedy. Například pro šestnáctkovou soustavu potřebujeme kromě deseti číslic dvě písmena ( a ):

2.Převod z desítkové soustavy čísel do jakékoli jiné.

Chcete-li převést celé kladné desetinné číslo na číselnou soustavu s jiným základem, musíte toto číslo vydělit základem. Výsledný podíl se opět dělí základem a dále, dokud není podíl menší než základ. V důsledku toho zapište poslední podíl a všechny zbytky na jeden řádek, počínaje posledním.

Příklad 1 Převeďte desetinné číslo 46 na binární systém zúčtování.

Příklad 2 Převeďte desetinné číslo 672 na osmičkový systém zúčtování.

Příklad 3 Přeložme desetinné číslo 934 do hexadecimální číselné soustavy.

3. Překlad z libovolné číselné soustavy do desítkové soustavy.

Abychom se naučili překládat čísla z jakéhokoli jiného systému do desítkové soustavy, pojďme analyzovat nám známý desítkový zápis.
Například desetinné číslo 325 je 5 jednotek, 2 desítky a 3 stovky, tzn.

Úplně stejná situace je i v jiných číselných soustavách, jen nebudeme násobit 10, 100 atd., ale stupněm základu číselné soustavy. Vezměme si například číslo 1201 v ternární číselné soustavě. Číslice číslujeme zprava doleva počínaje nulou a naše číslo představujeme jako součet součinů číslice trojicí ve stupni číslice:

Jedná se o desítkový zápis našeho čísla, tzn.

Příklad 4 Pojďme přeložit do desítková soustava osmičkové číslo 511.

Příklad 5 Převeďme šestnáctkové číslo 1151 do desítkové číselné soustavy.

4. Převod z dvojkové soustavy do soustavy se základem „mocniny dvou“ (4, 8, 16 atd.).

Chcete-li převést binární číslo na číslo se základem "mocniny dvou", je nutné rozdělit binární posloupnost do skupin počtem číslic rovným stupni zprava doleva a nahradit každou skupinu odpovídající číslicí nový systém zúčtování.

Převeďme například binární číslo 1100001111010110 na osmičkové. Chcete-li to provést, rozdělme jej do skupin po 3 znacích počínaje zprava (protože ), a pak použijte tabulku shody a nahraďte každou skupinu novým číslem:

Naučili jsme se, jak vytvořit korespondenční tabulku v odstavci 1.

Tito.

Příklad 6 Převedeme binární číslo 1100001111010110 na šestnáctkovou soustavu.

5. Převod ze systému se základní "mocninou dvou" (4, 8, 16 atd.) do binárního.

Tento překlad je podobný předchozímu provedenému v opačná strana: každou číslici nahradíme skupinou číslic ve dvojkové soustavě z vyhledávací tabulky.

Příklad 7 Přeložme hexadecimální číslo C3A6 do binární číselné soustavy.

Za tímto účelem nahradíme každou číslici čísla skupinou 4 číslic (protože ) z korespondenční tabulky a v případě potřeby doplníme skupinu nulami na začátku:

Hexadecimální číselná soustava(Taky - hexadecimální kód) je polohový systém počítání s celočíselným základem 16. Někdy se v literatuře také používá výraz hex (vyslovuje se „hex“, zkratka anglického hexadecimálního). Čísla tohoto číselného systému jsou běžně používané arabské číslice 0-9, stejně jako první znaky latinské abecedy A-F. Písmena odpovídají následujícím desetinným hodnotám:

• * A-10;
• *B-11;
• *C-12;
• *D-13;
• * E - 14;
• * F - 15.

Deset arabských číslic spolu se šesti latinskými písmeny tedy tvoří šestnáct číslic systému.

Mimochodem, na našem webu můžete převést jakýkoli text na desítkové, šestnáctkové, binární kód pomocí online kalkulačky kódů.

aplikace. Hexadecimální kódširoce používán v nízkoúrovňovém programování, stejně jako v různých počítačových referenčních dokumentech. Oblíbenost systému je odůvodněna architektonickým řešením moderní počítače: mají bajt (skládající se z osmi bitů) jako minimální jednotku informace - a je vhodné zapsat hodnotu bajtu pomocí dvou hexadecimálních číslic. Hodnota bajtu se může pohybovat od #00 do #FF (0 až 255 v desítkovém zápisu) - jinými slovy, pomocí hexadecimální kód, můžete zapsat libovolný stav bajtu, přičemž v nahrávce nejsou použity žádné "nadbytečné" číslice.

Zakódováno Unicodečtyři hexadecimální číslice představují číslo znaku. Zápis barev RGB (červená, zelená, modrá) také často používá hexadecimální kód (například #FF0000 je jasně červený zápis).

Způsob, jak napsat hexadecimální kód.

Matematický způsob psaní. V matematickém zápisu se základ systému zapisuje v desítkovém tvaru v dolním indexu napravo od čísla. Desetinný zápisčíslo 3032 lze zapsat jako 3032 10 , v šestnáctkové soustavě se toto číslo zapíše jako BD8 16 .

V syntaxi programovacích jazyků. Syntax různé jazyky programování nastavuje formát čísel jinak pomocí hexadecimální kód:

* V syntaxi některých variant jazyka symbolických instrukcí se používá latinské písmeno „h“, které je umístěno napravo od čísla, například: 20Dh. Pokud číslo začíná latinským písmenem, pak mu předchází nula, například: 0A0Bh. To se provádí za účelem odlišení hodnot od konstant pomocí hexadecimální kód;

* Jiné varianty assembleru, stejně jako Pascal (a jeho rozmanitosti jako Delphi) a některé základní dialekty používají předponu „$“: $A15;

*V jazyce HTML značení, stejně jako v kaskádě css soubory, k určení barvy v RGB formát s hexadecimálním zápisem se používá předpona "#": #00DC00.

Jak přeložit hexadecimální kód do jiného systému?

Převod z šestnáctkové soustavy na desítkovou. Chcete-li provést převod z hexadecimální soustavy na desítkovou, je nutné uvést původní číslo jako součet součinů číslic v číslicích. hexadecimální číslo do stupně založení.

Například musíte přeložit hexadecimální číslo A14: má tři číslice. Pomocí pravidla to zapíšeme jako součet mocnin se základem 16:

A14 16 = 10,16 2 + 1,16 1 + 4,16 0 = 10,256 + 1,16 + 4,1 = 2560 + 16 + 4 = 2580 10

Převod čísel z binárních do hexadecimálních a naopak.

Pro překlad se používá tabulka sešitů. Chcete-li převést číslo z binárního na desítkové, je nutné je rozdělit na samostatné tetrády zprava doleva a poté pomocí tabulky nahradit každou tetrádu odpovídající hexadecimální číslicí. V tomto případě, pokud počet číslic není násobkem čtyř, pak je nutné přidat odpovídající počet nul vpravo od čísla, takže celkový počet binární číslice stal se násobkem čtyř.

Tabulka sešitů pro překlad.

Chcete-li převést z hexadecimální na binární, musíte provést opačnou operaci: nahradit každou číslici tetrádou z tabulky.

Příklad převod z hexadecimální na binární: A5E 16 = 1010 0101 1110 = 101001011110 2

Příklad převod z binárního na hexadecimální: 111100111 2 = 0001 1110 0111 = 1E7 16

V tomto příkladu nebyl počet číslic v původním binárním čísle čtyři (9), takže byly přidány koncové nuly, aby byl celkový počet číslic 12.

Automatický překlad. Rychlý převod z hexadecimální číselné soustavy na jednu ze tří populární systémy(binární, osmičkové a desítkové), stejně jako zpětný překlad, lze provést pomocí standardní kalkulačka dodávané s OS Windows. Otevřete kalkulačku, z nabídky vyberte Zobrazit -> Programátor. V tento režim můžete nastavit číselný systém používaný v tento moment(viz levé menu: Hex, Dec, Oct, Bin). V tomto případě se změna aktuálního číselného systému automaticky přeloží.

Můžete zadat buď celá čísla, například 34 , nebo zlomková čísla, například 637,333 . U zlomkových čísel je uvedena přesnost překladu za desetinnou čárkou.

S touto kalkulačkou se také používají následující:

Způsoby reprezentace čísel

Algoritmus pro převod čísel z jedné číselné soustavy do druhé

Příklad #1.



Překlad od 2 do 8 až 16 číselné soustavy.
Tyto systémy jsou násobky dvou, proto se překlad provádí pomocí korespondenční tabulky (viz níže).

K převodu čísla z binární číselné soustavy na osmičkové (hexadecimální) číslo je nutné rozdělit dvojkové číslo na skupiny po třech (u šestnáctkové soustavy čtyř) číslic od čárky doprava a doleva, přičemž krajní skupiny doplníme nulami. Pokud je potřeba. Každá skupina je nahrazena odpovídající osmičkovou nebo hexadecimální číslicí.

Příklad č. 2. 1010111010,1011 = 1,010,111,010,101,1 = 1272,51 8
zde 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101 = 5; 001=1

Při převodu do šestnáctkové soustavy musíte číslo rozdělit na části, každá po čtyřech číslicích, podle stejných pravidel.
Příklad #3. 1010111010.1011 = 10.1011.1010.1011 = 2B12.13 HEX
zde 0010=2; 1011=B; 1010 = 12; 1011=13

Převod čísel z 2, 8 a 16 do desítkové soustavy se provádí rozdělením čísla na samostatná a vynásobením základem soustavy (ze kterého se číslo překládá) umocněnou na jemu odpovídající mocninu. sériové číslo v přeloženém čísle. V tomto případě jsou čísla číslována nalevo od desetinné čárky (první číslo má číslo 0) s rostoucím a napravo s klesajícím (tj. se záporným znaménkem). Získané výsledky se sečtou.

Příklad #4.
Příklad převodu z dvojkové do desítkové číselné soustavy.

1010010.101 2 = 1 2 6 +0 2 5 +1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +0 2 0 + 1 2 -1 +0 2 - 2 +1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0,5+0+0,125 = 82,625 10 Příklad převodu z osmičkové na desítkovou číselnou soustavu. 108,5 8 = 1* 8 2 +0 8 1 +8 8 0 + 5 8 -1 = 64+0+8+0,625 = 72,625 10 Příklad převodu z hexadecimální na desítkovou číselnou soustavu. 108,5 16 = 1 16 2 +0 16 1 +8 16 0 + 5 16 -1 = 256+0+8+0,3125 = 264,3125 10

Ještě jednou zopakujeme algoritmus pro převod čísel z jedné číselné soustavy do jiné PSS

1. Ze soustavy desítkových čísel:
   • vydělte číslo základem překládaného číselného systému;
   • najděte zbytek po dělení celé části čísla;
   • zapište všechny zbytky z dělení v opačném pořadí;
2. Z dvojkové soustavy
   • Chcete-li převést na desítkovou číselnou soustavu, musíte najít součet součinů základu 2 podle odpovídajícího stupně vybití;
   • Chcete-li převést číslo na osmičkovou, musíte číslo rozdělit na trojice.
     Například 1000110 = 1000 110 = 106 8
   • Chcete-li převést číslo z binárního na hexadecimální, musíte číslo rozdělit do skupin po 4 číslicích.
     Například 1000110 = 100 0110 = 46 16

Tabulka pro převod do osmičkové číselné soustavy

Nějaké potíže a nedorozumění s převodem čísel z binární do hexadecimální číselné soustavy? Přihlašte se na jednotlivé lekce informatiky a ICT. Na soukromých lekcích s mými studenty rozebíráme nejen teoretickou část, ale řešíme také obrovské množství různých tematických cvičení.

Musíte vědět, co je binární nebo binární číselná soustava

Než začnete přemýšlet o tom, jak přeložit číslo od 2 do 16, musíte dobře porozumět tomu, jaká čísla jsou v binární číselné soustavě. Dovolte mi připomenout, že abeceda binárního číselného systému se skládá ze dvou přípustných prvků - 0 A 1 . To znamená, že absolutně jakékoli číslo zapsané v binární podobě se bude skládat ze sady nul a jedniček. Zde jsou příklady čísel zapsaných v binární reprezentaci: 10010, 100, 111101010110, 1000001.

Musíte vědět, co je hexadecimální číselná soustava

Přišli jsme na dvojkovou soustavu, zapamatovali si základní body, teď si povíme o šestnáctkové soustavě. Abeceda hexadecimálního číselného systému se skládá ze šestnácti různých znaků: 10 arabských číslic (od 0 do 9) a 6 prvních velkých písmen latinská písmena(od "A" do "F"). To znamená, že absolutně jakékoli číslo zapsané v hexadecimálním tvaru se bude skládat ze znaků výše uvedené abecedy. Zde jsou příklady čísel zapsaných v šestnáctkové soustavě:

Promluvme si o algoritmu pro převod čísla z 2 do hexadecimální číselné soustavy

Budeme potřebovat v bez chyby zvažte kódovací tabulku Tetrady. Bez použití této tabulky bude poměrně obtížné rychle přeložit čísla od 2 do 16 systému.

Účelem kódovací tabulky Tetrad je jednoznačně porovnat znaky binární číselné soustavy a hexadecimální číselné soustavy.

Tabulka Tetrad má následující strukturu:

Řekněme, že potřebujeme převést číslo 101011111001010 2 na šestnáctkovou soustavu. V první řadě potřebujete originál binární kód být rozdělen do skupin po čtyřech číslicích, a což je velmi důležité, dělení musí nutně začínat zprava doleva.

101 . 0111 . 1100 . 1010

Po rozdělení jsme dostali čtyři skupiny: 101, 0111, 1100 a 1010. Zvláštní pozornost vyžaduje segment zcela vlevo, tedy segment 101. Jak vidíte, jeho délka je 3 číslice a je nutné, aby byla stejná na čtyři, proto doplníme tento segment vedoucí nulou:

101 -> 0 101.

Můžete mi říct, na základě čeho přidáme nějakou 0 nalevo od čísla? Jde o to, že přidání nevýznamných nul nemá žádný vliv na hodnotu původního čísla. Proto máme plné právo přidejte nalevo od binárního čísla nejen jednu nulu, ale v zásadě libovolný počet nul a dostanete číslo požadované délky.

V konečné fázi transformace je nutné převést každou z výsledných binárních skupin na odpovídající hodnotu podle kódovací tabulky Tetrad.

101011111001010 2 = 57CA 16

A nyní navrhuji, abyste se seznámili s multimediálním řešením, které ukazuje, jak se převádí z binárního stavu do hexadecimálního stavu:

Stručné závěry

V tomto krátkém článku jsme probrali téma „ Číselné soustavy: jak přeložit od 2 do 16". Pokud máte nějaké dotazy, nedorozumění, tak zavolejte a přihlaste se na mé individuální lekce informatiky a programování. Nabídnu vám vyřešit více než tucet těchto cvičení a nezůstane vám jediná otázka. Obecně jsou číselné soustavy nesmírně důležitým tématem, které tvoří základ používaný v celém kurzu.

Úspěšné složení zkoušky a nejen...

Je zvláštní, že ve školách v hodinách informatiky většinou žákům ukazují ten nejsložitější a nejnepohodlnější způsob, jak překládat čísla z jedné soustavy do druhé. Tato metoda spočívá v postupném dělení původního čísla základem a sběru zbytku dělení v opačném pořadí.

Například musíte převést číslo 810 10 na binární systém:

Výsledek se zapisuje v obráceném pořadí zdola nahoru. Vyjde to 81010 = 11001010102

Pokud potřebujete převést na binární systém, docela velká čísla, pak dělicí schodiště nabývá velikosti vícepodlažní budovy. A jak můžete posbírat všechny jedničky s nulami a neminout ani jednu?

V USE program informatika zahrnuje několik úkolů souvisejících s překladem čísel z jednoho systému do druhého. Zpravidla se jedná o převod mezi 8- a 16-člennými systémy a binárními. Jedná se o sekce A1, B11. Problémy jsou ale i s jinými číselnými soustavami, například v sekci B7.

Pro začátek si připomeňme dvě tabulky, které by bylo dobré znát nazpaměť pro ty, kteří si informatiku volí jako své budoucí povolání.

Tabulka mocnin čísla 2:

Stůl binární čísla od 0 do 15 s hexadecimálním zápisem:

Překlad celého čísla

Začněme tedy převodem přímo do dvojkové soustavy. Vezměme stejné číslo 810 10 . Musíme toto číslo rozložit na členy rovné mocninám dvou.

1. Hledáme nejbližší mocninu dvou k 810, nepřekračujeme ji. To je 29 = 512.
2. Odečteme 512 od 810, dostaneme 298.
3. Opakujte kroky 1 a 2, dokud nezůstane 1 nebo 0.
4. Dostali jsme to takto: 810 \u003d 512 + 256 + 32 + 8 + 2 \u003d 2 9 + 2 8 + 2 5 + 2 3 + 2 1.

Metoda 1: Uspořádejte 1 podle číslic, kterými se ukázaly být indikátory termínů. V našem příkladu jsou to 9, 8, 5, 3 a 1. Zbývající místa budou nuly. Dostali jsme tedy binární reprezentaci čísla 810 10 = 1100101010 2 . Jednotky jsou na 9., 8., 5., 3. a 1. místě, počítají se zprava doleva od nuly.

Metoda 2: Zapišme členy jako mocniny dvou pod sebe, počínaje největší.

810 =

A nyní dáme tyto kroky dohromady, jako by byl složený vějíř: 1100101010.

To je vše. Po cestě se objevil problém „kolik jednotek v binární zápisčíslo 810?"

Odpověď je tolik, kolik je členů (mocnin dvou) v tomto zobrazení. 810 má 5.

Nyní je příklad jednodušší.

Přeložme číslo 63 do 5členné číselné soustavy. Nejbližší mocnina 5 až 63 je 25 (čtverec 5). Kostka (125) už bude hodně. To znamená, že 63 leží mezi druhou mocninou 5 a krychlí. Poté vybereme koeficient pro 5 2 . Toto je 2.

Dostaneme 63 10 = 50 + 13 = 50 + 10 + 3 = 2 * 5 2 + 2 * 5 + 3 = 223 5 .

A nakonec velmi snadné překlady mezi 8- a 16-desetinnými systémy. Protože jejich základem je mocnina dvou, překlad se provádí automaticky, jednoduše nahrazením číslic jejich binární reprezentací. V osmičkové soustavě je každá číslice nahrazena třemi binárními číslicemi a v šestnáctkové soustavě čtyřmi. V tomto případě jsou povinné všechny úvodní nuly, kromě nejvýznamnější číslice.

Přeložme číslo 547 8 do dvojkové soustavy.

Ještě jeden, například 7D6A 16.

Přeložme číslo 7368 do šestnáctkové soustavy. Nejprve zapište čísla po trojicích a poté je rozdělte na čtyři od konce: 736 8 \u003d 111 011 110 \u003d 1 1101 1110 \u003d 1DE 16. Převeďme číslo C25 16 na 8člennou soustavu. Nejprve zapíšeme čísla do čtyř a poté je rozdělíme na trojky od konce: C25 16 \u003d 1100 0010 0101 \u003d 110 000 100 101 \u003d 6045 8. Nyní zvažte převod zpět na desítkové. Není to těžké, hlavní věcí není dělat chyby ve výpočtech. Číslo rozložíme na polynom se základními stupni a koeficienty na nich. Poté vše namnožíme a přidáme. E68 16 = 14 * 16 2 + 6 * 16 + 8 = 3688. 732 8 \u003d 7 * 8 2 + 3 * 8 + 2 \u003d 474 .

Překlad záporných čísel

Zde je třeba vzít v úvahu, že číslo bude zastoupeno v doplňkový kód. K překladu čísla do doplňkového kódu je potřeba znát konečnou velikost čísla, tedy do čeho ho chceme zapsat - do bajtu, do dvou bajtů, do čtyř. Nejvýznamnější číslice čísla znamená znaménko. Pokud je 0, pak je číslo kladné, pokud 1, pak záporné. Vlevo je číslo doplněno znaménkovým bitem. Neuvažujeme čísla bez znaménka, jsou vždy kladná a nejvýznamnější číslice v nich slouží jako informační.

Pro překlad záporné číslo V binárním doplňkovém kódu musíte převést kladné číslo na binární systém, poté změnit nuly na jedničky a jedničky na nuly. Poté k výsledku přidejte 1.

Přeložme tedy číslo -79 do dvojkové soustavy. Číslo nám zabere jeden bajt.

Převedeme 79 do binárního systému, 79 = 1001111. K velikosti bajtu přidáme nuly doleva, 8 bitů, dostaneme 01001111. Změníme 1 na 0 a 0 na 1. Dostaneme 10110000. K výsledku přidáme 1, dostaneme odpověď 10110001. Cestou odpovídáme na USE otázku „kolik jednotek je v binární reprezentaci čísla -79?“. Odpověď je 4.

Přidáním 1 k převrácené hodnotě čísla se odstraní rozdíl mezi reprezentacemi +0 = 00000000 a -0 = 11111111. Ve dvojkovém kódu doplňku budou zapsány stejně 00000000.

Překlad zlomkových čísel

Zlomková čísla se překládají obráceným způsobem k dělení celých čísel základem, o kterém jsme uvažovali na samém začátku. Tedy postupným násobením novým základem se sbíráním celých částí. Části celého čísla získané násobením se shromažďují, ale neúčastní se následujících operací. Násobí se pouze zlomky. Pokud je původní číslo větší než 1, pak se celá a zlomková část přeloží odděleně a pak se slepí dohromady.

Přeložme číslo 0,6752 do dvojkové soustavy.

V procesu lze pokračovat dlouhou dobu, dokud nedostaneme všechny nuly ve zlomkové části nebo není dosaženo požadované přesnosti. Zastavme se zatím u 6. znamení.

Ukazuje se 0,6752 = 0,101011.

Pokud by číslo bylo 5,6752, pak v binárním systému by to bylo 101,101011 .