Překladač binárních čísel. Převod čísel do různých číselných soustav s řešením

většina krátký systém počítání je binární. Je zcela založen na pozičním formulářičíselné položky. Hlavní charakteristikou je princip zdvojnásobení číslice při provádění přechodu z určité polohy do další. Z jednoho číselného systému do druhého můžete přenášet jako pomocí speciální program, stejně jako ručně.

V kontaktu s

Historické uznání

Vzhled binárních SS v historii je spojen s vědcem matematik V.G. Leibniz. Byl to on, kdo poprvé hovořil o pravidlech pro provádění operací s číselnými hodnotami tohoto druhu. Ale zpočátku tento princip zůstal nevyzvednuté. Algoritmus získal celosvětové uznání a uplatnění na úsvitu počítačů.

Pohodlí a snadnost operace vedly k potřebě podrobnějšího studia této podsekce aritmetiky, která se stala nepostradatelnou při vývoji počítačová technologie S software. Poprvé se takové mechanismy objevily na německém a francouzském trhu.

Pozornost! Konkrétní bod nad nadřazeností dvojkové soustavy ve vztahu k desítkové soustavě v tomto odvětví byl uveden v roce 1946 a zdůvodněn v článku A. Beckse, H. Goldsteina a J. Von Neumanna.

Převod čísla z desítkové na binární.

Vlastnosti binární aritmetiky

Všechny binární SS jsou založeny pouze na aplikaci dvě postavy, které se velmi úzce shodují s funkcemi digitální obvod. Každý ze symbolů je zodpovědný za konkrétní akci, která často znamená dva stavy:

• přítomnost díry nebo její nepřítomnost, například děrné štítky nebo děrné pásky;
• na magnetických médiích odpovídá za stav magnetizace nebo demagnetizace;
• úroveň signálu, vysoká nebo nízká.

Ve vědě, ve které se SS používá, byla zavedena určitá terminologie, její podstata je následující:

• Bit - binární číslice, který se skládá ze dvou složek, které nesou určitý význam. Umístěný vlevo je definován jako nejstarší a je prioritou a vpravo - nejmladší, což je méně významné.
• Bajt je jednotka, která se skládá z osm bitů.

Mnoho modulů vnímá a zpracovává informace části nebo slova. Každé slovo má jiná hmotnost a může se skládat z 8, 16 nebo 32 bitů.

Pravidla pro převody z jednoho systému do druhého

Jedním z nejdůležitějších faktorů strojové aritmetiky je převod z jedné RZ do druhé. Věnujme proto pozornost hlavním algoritmům pro provádění procesu, které ukážou, jak převést číslo do dvojkové soustavy.

Převod desítkové soustavy na dvojkovou

Nejprve se zaměříme na otázku, jak přeložit systém z desítkové soustavy do binární. Pro toto existuje překladové pravidlo z desítkové na binární, což znamená matematické operace.

Je vyžadováno desetinné číslo dělit 2. Dělení se provádí, dokud nezůstane kvocient jednotka. Pokud je potřeba binární číselný systém, překlad se provede následovně:

186:2=93 (zbytek 0)

93:2=46 (zbytek 1)

46:2=23 (rozlišení 0)

23:2=11 (zbytek 1)

11:2=5 (zbytek 1)

5:2=2 (zbytek.1)

Po dokončení procesu dělení se jednotka v kvocientu a všechny zbytky zapisují postupně v opačném pořadí. To znamená, 18610=1111010. Vždy je třeba dodržet pravidlo pro převod desetinných čísel na SS.

Převod čísla z desítkové na binární.

Převod desítkové soustavy na osmičkovou

Podobný proces se provádí při převodu z desítkové SS na osmičkovou. Říká se tomu také " substituční pravidlo". Pokud byla v předchozím příkladu data dělena 2, tak zde je to nutné dělit 8. Algoritmus pro převod čísla X10 na osmičkové se skládá z následujících kroků:

1. Číslo X10 se začne dělit 8. Výsledný podíl se vezme pro další dělení a zbytek se zapíše jako bit nízkého řádu.
2. Pokračujeme v dělení, dokud nezískáme podíl rovný výsledku nula nebo zbytek, který ve svém významu méně než osm. V tomto případě zapíšeme všechny zbytky jako nižší bitové řády.

Například musíte převést číslo 160110 na osmičkovou.

1601:8=200 (zbytek 1)

200:8=25 (rozlišení 0)

25:8=3 (zbytek.1)

Takže dostaneme: 161010=31018.

Převod z desítkové soustavy na osmičkovou.

Napište desetinné číslo v šestnáctkové soustavě

Převod z desítkové do šestnáctkové SS se provádí obdobně pomocí substitučního systému. Kromě čísel ale také používají písmena latinské abecedy A B C D D E F F

107:16=6 (zbytek 11 - nahradit B)

6 je méně než šestnáct. Zastavíme dělení a zapíšeme 10710 = 6B16.

Přechod z jiného systému na binární

Další otázkou je, jak převést z osmičkového na binární zápis. Převod čísel z libovolného systému na binární je poměrně jednoduchý. Asistent v této věci je tabulka pro číselné soustavy.

| 6 tříd | Plánování výuky na školní rok | Překlad binární čísla PROTI desítková soustava zúčtování

Lekce 5
Převod binárních čísel na desítkovou číselnou soustavu
Práce s aplikací Kalkulačka

Převod celých desítkových čísel na binární kód

Metoda 1

Zkusme znázornit číslo 1409 jako součet členů druhé řady.

Použijme rozdílovou metodu. Vezměme člen druhé řady, který je nejblíže původnímu číslu, ale nepřesahuje jej, a vyrovnáme rozdíl:

1409 - 1024 = 385.

Vezměme člen druhé řady, který je nejblíže získanému rozdílu, ale nepřesahuje jej, a doplňte rozdíl:

385 - 256 = 129.

Podobně uděláme rozdíl: 129 - 128 = 1.

V důsledku toho získáme:

1409 = 1024 + 256 + 128 + 1 = 1 1024 + 0 512 + 1 256 + + 1 128 + 0 64 + 0 32 + 0 16 + 0 8 + 0 4 + 0 2 + 1 1.

Vidíme, že každý člen druhé řady buď nemůže být do součtu zahrnut, nebo do něj může být zahrnut pouze jednou.

Čísla 1 a 0, kterými se násobí členy druhé řady, tvoří také původní číslo 1409, ale v jeho druhém, binární zápis: 10110000001.

Výsledek je zapsán takto:

1409 10 = 10110000001 2 .

Původní číslo jsme napsali pomocí 0 a 1, jinými slovy, dostali jsme binární kód tohoto čísla, neboli reprezentovali číslo v binární číselné soustavě.

Metoda 2

Tato metoda získání binárního kódu dekadického čísla je založena na zaznamenávání zbytků z dělení původního čísla a výsledných podílů 2, přičemž se pokračuje, dokud se další podíl nerovná 0.

Příklad:

První buňka horního řádku obsahuje původní číslo a každá další buňka obsahuje výsledek celočíselného dělení předchozího čísla dvěma.

Buňky spodního řádku obsahují zbytky z dělení těch, kteří stojí v horní liniečísla po 2.

Poslední buňka spodního řádku je ponechána prázdná. Binární kód původního dekadického čísla se získá postupným zápisem všech zbytků, počínaje posledním: 1409 10 = 10110000001 2 .

Prvních 20 členů přirozené řady ve dvojkové soustavě je zapsáno takto: 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011,1100, 1101,1110,10111,10111,010.0.0.0. 11 .10100.

Převod celých čísel z binárních na desítkové

Metoda 1

Nechť existuje číslo 111101 2 . Může být reprezentován takto:

Metoda 2

Vezměme stejné číslo 111101 2 . Jednotku 6. číslice (první zleva v záznamu čísla) přeložme na jednotky 5. číslice, pro které vynásobíme 1 2, protože jednotka 6. číslice ve dvojkové soustavě obsahuje 2 jednotky 5. číslice.

K přijatým 2 jednotkám 5. kategorie připočítáváme stávající jednotku 5. kategorie. Přeložme tyto 3 jednotky 5. kategorie do 4. kategorie a přidejme stávající jednotku 4. kategorie: 3 2 + 1 = 7.

Přeložme 7 jednotek 4. kategorie do 3. kategorie a přidejme stávající jednotku 3. kategorie: 7 2 + 1 = 15.

Přeložme 15 jednotek 3. kategorie do 2. kategorie: 15 2 \u003d 30. Ve 2. kategorii nejsou žádné jednotky v původním počtu.

Přeložme 30 jednotek 2. kategorie do 1. kategorie a připočtěme jednotku, která je zde k dispozici: 30 2 + 1 \u003d 61. Došli jsme, že původní číslo obsahuje 61 jednotek 1. kategorie.

Písemné výpočty jsou pohodlně uspořádány takto:

Pomocí aplikace můžete převádět celá čísla z desítkové na binární a naopak Kalkulačka.

Udělejme malý experiment .

1. Spusťte aplikaci Kalkulačka a spusťte příkaz [View-Engineering]. Dávejte pozor na skupina přepínačů, které určují číselnou soustavu:

2. Ujistěte se, že je kalkulačka nastavena tak, aby fungovala desetinnýčíselný systém. Pomocí klávesnice nebo myši zadejte do vstupního pole libovolné dvoumístné číslo. Aktivujte spínač Zásobník a sledujte změny ve vstupním okně. Návrat do desítkové soustavy. Vymažte vstupní pole.

3. Opakujte krok 2 několikrát pro další desetinná čísla.

4. Nastavte kalkulačku tak, aby pracovala v binárním systému. Věnujte pozornost tomu, která tlačítka Kalkulačka a číselné klávesy na klávesnici jsou vám k dispozici. Střídavě zadávejte binární kódy 5., 10. a 15. členů přirozené řady a použijte přepínač prosinec převést je do desítkové číselné soustavy.

Převod čísel z jedné číselné soustavy do druhé je důležitou součástí strojové aritmetiky. Zvažte základní pravidla překladu.

1. K převodu binárního čísla na desítkové je nutné jej zapsat jako polynom sestávající ze součinů číslic čísla a odpovídající mocniny čísla 2 a vypočítat podle pravidel desítkové aritmetiky:

Při překladu je vhodné použít tabulku mocnin dvou:

Tabulka 4. Mocniny 2

Příklad.

2. K překladu osmičkové číslo v desítkové soustavě je nutné jej zapsat jako polynom, který se skládá ze součinů číslic čísla a odpovídající mocniny čísla 8, a vypočítat podle pravidel desítkové aritmetiky:

Při překladu je vhodné použít tabulku mocnin osmi:

Tabulka 5. Mocniny 8

Příklad. Převeďte číslo na desítkovou číselnou soustavu.

3. K překladu hexadecimální číslo v desítkové soustavě je nutné ji zapsat jako polynom sestávající ze součinů číslic čísla a odpovídající mocniny čísla 16 a vypočítat podle pravidel desítkové aritmetiky:

Při překladu je pohodlné používat blesk sil 16:

Tabulka 6. Mocniny 16

Příklad. Převeďte číslo na desítkovou číselnou soustavu.

4. Chcete-li převést desetinné číslo do dvojkové soustavy, je třeba je postupně dělit 2, dokud není zbytek menší nebo roven 1. Číslo ve dvojkové soustavě se zapisuje jako posloupnost posledního výsledku dělení a zbytek dělení v opačném pořadí.

Příklad. Převeďte číslo na binární číselnou soustavu.

5. Chcete-li převést desetinné číslo na osmičkový systém musí se postupně dělit 8, dokud není zbytek menší nebo roven 7. Číslo v osmičkové soustavě se zapisuje jako posloupnost číslic posledního výsledku dělení a zbytek dělení v obráceném pořadí.

Příklad. Převeďte číslo na osmičkovou číselnou soustavu.

6. Chcete-li převést desetinné číslo na hexadecimální soustava musí se postupně dělit 16, dokud není zbytek menší nebo roven 15. Číslo v šestnáctkové soustavě se zapisuje jako posloupnost číslic posledního výsledku dělení a zbytek dělení v obráceném pořadí.

Příklad. Převeďte číslo na šestnáctkové.

První polohový systémúčtování vzniklo ve starověkém Babylonu. V Indii systém funguje ve formě

poziční desítkové číslování pomocí nuly, mezi hinduisty tento systémčísla

vypůjčené arabským národem, ty zase vzali Evropané. V Evropě se tento systém stal

říkat arabsky.

Polohový systém- hodnota všech číslic závisí na pozici (číslici) této číslice v čísle.

Příklady, standardní 10. číselná soustava je poziční soustava. Řekněme, že číslo je 453.

Číslo 4 znamená stovky a odpovídá číslu 400, 5 - počet desítek a odpovídá hodnotě 50,

a 3 - jednotky a hodnota 3. Je snadné vidět, že s rostoucím výbojem se hodnota zvyšuje.

Dané číslo tedy zapíšeme jako součet 400+50+3=453.

Binární číselná soustava.

Existují pouze 2 číslice - 0 a 1. Základy binárního systému- číslo 2.

Číslo, které se nachází od samého okraje doprava, označuje počet jednotek, druhé číslo -

Ve všech číslicích je možná pouze jedna číslice - buď nula, nebo jedna.

Pomocí binární číselné soustavy je možné reprezentací zakódovat libovolné přirozené číslo

je číslo ve tvaru posloupnosti nul a jedniček.

Příklad: 10112 = 1*2 3 + 0*2*2+1*2 1 +1*2 0 =1*8 + 1*2+1=1110

binární číselný systém, stejně jako desítková číselná soustava, často používaný v oblasti výpočetní techniky

technika. Počítač ukládá text a čísla do své paměti binární kód A programově transformuje

do obrazu na obrazovce.

Sčítání, odčítání a násobení binárních čísel.

Sčítací tabulka ve dvojkové soustavě:

Tabulka odčítání ve dvojkové soustavě:

Příklad přidání "sloupce" (14 10 + 5 10 = 19 10 nebo 1110 2 + 101 2 = 10011 2):

Tabulka násobení v binární soustavě:

Příklad násobení "sloupcem" (14 10 * 5 10 = 70 10 nebo 1110 2 * 101 2 = 1000110 2):

Převod čísel ve dvojkové soustavě.

Pro převod z binárního na desítkové použijte následující tabulku exponentů

důvody 2:

Počínaje jedničkou se každé číslo násobí 2. Zavolá se tečka po jedničce binární bod.

Převod binárních čísel na desítková.

Nechť existuje binární číslo 110001 2 . Chcete-li převést na desítkovou soustavu, zapište ji jako součet

pořadí takto:

1 * 2 5 + 1 * 2 4 + 0 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 49

Trochu jinak:

1 * 32 + 1 * 16 + 0 * 8 + 0 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1 = 49

Výpočet je také dobré zaznamenat jako tabulku:

Pohybujeme se zprava doleva. Pod všechny binární jednotky zapíšeme její ekvivalent na řádek níže.

proměna zlomkové binární čísla na desítkové.

Cvičení: převeďte číslo 1011010, 101 2 na desítkové.

Dané číslo zapíšeme v tomto tvaru:

1*2 6 +0*2 5 +1*2 4 +1*2 3 +0 *2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0 + 1 * 2 -1 + 0 * 2 -2 + 1 * 2 -3 = 90,625

Další možnost zápisu:

1*64+0*32+1*16+1*8+0*4+1*2+0*1+1*0,5+0*0,25+1*0,125 = 90,625

Nebo ve formě tabulky:

Převod desítkových čísel na binární.

Nechte, musíte převést číslo 19 na binární. Můžeme to udělat takto:

19 /2 = 9 se zbytkem 1

9 /2 = 4 se zbytkem 1

4 /2 = 2 beze stopy 0

2 /2 = 1 beze stopy 0

1 /2 = 0 se zbytkem 1

To znamená, že každý podíl se vydělí 2 a zbytek se zapíše na konec binárního zápisu. Divize

pokračuje, dokud není podíl nula. Souhrn se píše zprava doleva. Tito. dolní

číslo (1) bude číslo úplně vlevo atd. Takže jsme dostali číslo 19 v binárním zápisu: 10011.

Převod zlomkových desetinných čísel na binární.

Když je v daném čísle přítomna celočíselná část, převede se odděleně od zlomkové části. Překlad

zlomkové číslo z desítkové soustavy na binární se vyskytuje takto:

• Zlomek se vynásobí základem binární číselné soustavy (2);

• V přijatém práce je přidělena celá část, která je akceptována jako senior

číslice čísla v binární číselné soustavě;

• Algoritmus končí, pokud je zlomková část výsledného produktu rovna nule nebo pokud

je dosaženo požadované přesnosti výpočtů. Jinak výpočty pokračují

zlomková část produktu.

Příklad: Je třeba převést zlomkové desetinné číslo 206.116 na zlomkové binární číslo.

Převedením celé části dostaneme 206 10 =11001110 2 . Zlomková část 0,116 se vynásobí základem 2,

za desetinnou čárkou vložíme celé části produktu v číslicích:

0,116 . 2 = 0,232

0,232 . 2 = 0,464

0,464 . 2 = 0,928

0,928 . 2 = 1,856

0,856 . 2 = 1,712

0,712 . 2 = 1,424

0,424 . 2 = 0,848

0,848 . 2 = 1,696

0,696 . 2 = 1,392

0,392 . 2 = 0,784

Výsledek: 206,116 10 ≈ 11001110,0001110110 2

Algoritmus pro převod čísel z jedné číselné soustavy do druhé.

1. Ze soustavy desítkových čísel:

• číslo vydělíme základem překládaného číselného systému;

• najděte zbytek z dělení celé části čísla;

• zapište všechny zbytky dělení v opačném pořadí;

2. Z binární číselné soustavy:

• pro převod na desítkové najdeme součet součinů základu 2 by

vhodný stupeň vybití;