تابع یک متغیر کتاب درسی روش های ریاضی در جغرافیا

دانلود از Depositfiles

مقدمه ای بر تجزیه و تحلیل تابع متغیر تک

سخنرانی شماره 13. مبحث 1: توابع

1.1. تعریف یک تابع

هنگام مطالعه فرآیندهای خاص در دنیای واقعی، با کمیت هایی مواجه می شویم که آنها را مشخص می کند، که در طول مطالعه این فرآیندها تغییر می کنند. در این حالت، تغییر در یک کمیت با تغییر در مقدار دیگر همراه است. به عنوان مثال، با حرکت یکنواخت یکنواخت، ارتباط بین مسافت طی شده استس، سرعت vو زمان تی با فرمول بیان می شود. با سرعت معینvطول مسیر س بستگی به زمان داردتی .

در این حالت، تغییر در یک مقدار (تی ) دلخواه است و دیگری (س ) به اولی بستگی دارد. بعد می گویند داده شده استوابستگی عملکردیاجازه دهید یک توجیه ریاضی برای این مفهوم ارائه دهیم.

بگذارید دو مجموعه داده شودXو Y .

تعریف. تابع قانون یا قاعده ای است که طبق آن هر عنصر
یک عنصر منفرد مطابقت دارد
، در حین نوشتن

یا
.

عنصر نامیده می شودآرگومان تابعf، و عنصر مقدار تابعبسیاری X ، که در آن تابع تعریف شده است، فراخوانی می شوددامنه تابع، و مجموعه Y  ناحیه تغییر عملکرد. این مجموعه ها بر این اساس مشخص می شوند
و
.

نمونه هایی از توابع:

1. سرعت سقوط آزاد بدن
. اینجاXو Y  مجموعه ای از اعداد غیر منفی واقعی

2. مساحت دایره
. اینجاXو Y  مجموعه ای از اعداد حقیقی مثبت

3. اجازه دهید X  بسیاری از دانش آموزان در گروه، به عنوان مثال.
، A
 چندین نمره در امتحان در اینجا به عنوان یک تابعf معیار سنجش دانش در نظر گرفته می شود.

در ادامه، زیر مجموعه هاXو Y منظور ما مجموعه ای از اعداد است و به علامت گذاری می چسبیم. برای وضوح بیشتر، از نمایش هندسی مجموعه ها و به صورت مجموعه ای از نقاط روی محور واقعی استفاده خواهیم کرد. بیایید به برخی از رایج ترین مجموعه های عددی (فاصله ها) نگاه کنیم.:

- بخش؛

- فاصله

 محور اعداد (مجموعه اعداد واقعی)؛

یا -    همسایگی یک نقطهالف .

الف
X

تبصره 1. ما به تعریف نگاه کردیمبدون ابهام توابع اگر طبق برخی قاعده ها، هر کدام مربوط به مجموعه ای از اعداد باشدy ، سپس این قانون تعیین می شودمبهم تابع . به عنوان مثال، .

نمونه ها دامنه ها و مقادیر توابع را پیدا کنید:

1. .

2. .

3. .

4. .

1.2. روش ها تخصیص عملکرد

1. روش تحلیلی.اول از همه، توابع را می توان با استفاده از فرمول ها مشخص کرد. برای این منظور از توابع و عملیات جبری از قبل مطالعه شده و مشخص شده استفاده می شود.

مثال ها:

1.
. 2.
. 3.
.

در موارد زیر از نمادهای ریاضی کوتاه (کمی سازها) استفاده خواهیم کرد:  برای همه، هر کسی؛  وجود دارد، می توانید مشخص کنید.

اجازه دهید برخی از عناصر رفتار تابع را به یاد بیاوریم. تابع فراخوانی می شودافزایش (کاهش) ) در یک فاصله زمانی، اگر
از این بازه نابرابری برقرار است
یا
و بنویس
یا
به ترتیب. توابع افزایش و کاهش نامیده می شودیکنواخت . تابع فراخوانی می شودمحدود است در یک فاصله زمانی، اگر
شرط برقرار است
. در غیر این صورت تابع فراخوانی می شودنامحدود

تابع فراخوانی می شودزوج (فرد ) اگر دارای مال باشد . توابع باقی مانده توابع نامیده می شوندنمای کلی

تابع فراخوانی می شوددوره ای با دوره تی، در صورت احراز شرط
.

به عنوان مثال، تابع
در حال افزایش است
و کاهش می یابد
. تابع
یکنواخت است تابع
محدود برای، زیرا
. توابع:
یکنواخت هستند و توابع
 عجیب و غریب تابع
 دوره ای با دوره
.

تابع را می توان با یک معادله فرم نیز مشخص کرد

(1)

اگر تابعی وجود داشته باشد که
، سپس معادله (1) تابع داده شده را تعریف می کندبه طور ضمنی . مثلاً در مثال 2تابع به طور ضمنی داده می شود، این معادله یک تابع چند ارزشی را تعریف می کند
.

اجازه دهید
، A
، سپس تابع
تماس گرفتتابع پیچیدهیا برهم نهی دو تابع افو f . مثلاً در مثال 3تابع برهم نهی دو تابع است
و
.

اگر متغیر را به عنوان آرگومان در نظر بگیریمدرو به عنوان یک تابع - یک متغیرX، سپس تابعی دریافت می کنیم که برای یک تابع تک مقداری فراخوانی می شودمعکوس و تعیین شده است
. به عنوان مثال، برای تابع
به عنوان یک تابع معکوس عمل می کند
یا
، اگر به نماد پذیرفته شده عمومی برای آرگومان و تابع پایبند باشیم.

تبصره 2. این تابع همچنین می تواند با استفاده از شرح مکاتبات مشخص شود (روش توصیفی). به عنوان مثال، بیایید هر عدد را اختصاص دهیم
شماره 1، و به همه
شماره 0. در نتیجه تابع واحد را بدست می آوریم

لازم به ذکر است که هر فرمول یک رکورد نمادین از برخی مطابقت های توصیف شده است و بنابراین تفاوت بین تعیین یک تابع با استفاده از فرمول ها و توصیف مطابقت کاملاً خارجی است.

یک نمایش گرافیکی از یک تابع همچنین می تواند برای تعیین یک وابستگی عملکردی مفید باشد.

2. روش گرافیکیتابع در قالب یک نمودار مشخص می شود. نمونه ای از تخصیص عملکرد گرافیکی، قرائت یک اسیلوسکوپ است.

د

تابع را می توان با استفاده از جداول مشخص کرد:

3. روش جدولیبرای برخی از مقادیر متغیرx مقادیر متغیر مربوطه نشان داده شده استy . نمونه هایی از این نوع انتساب جداول مقادیر توابع مثلثاتی، جداول نشان دهنده رابطه بین مقادیر اندازه گیری شده و غیره است.

برای کار بر روی کامپیوتر، عملکرد مشخص شده استالگوریتمیراه

1.3. توابع ابتدایی

به اصلی یا ساده ترین توابع ابتدایی عبارتند از:. قسمت صحیح عدد، جایی که x  بزرگترین عدد صحیح که بیشتر از آن نباشدx به عنوان مثال،
.

تابع تک متغیری

توابع یک متغیر

مقدمه

در ریاضیات، مفاهیم اساسی مفهوم یک مجموعه، یک عنصر از یک مجموعه است. تجزیه و تحلیل ریاضی در درجه اول با مجموعه های عددی سروکار دارد.

در موارد زیر از نمادهای زیر استفاده خواهیم کرد:

N - مجموعه ای از اعداد طبیعی؛

Z - مجموعه ای از اعداد صحیح؛

Q - مجموعه ای از اعداد گویا.

R - مجموعه ای از اعداد واقعی؛

ج - مجموعه اعداد مختلط؛

به عنوان مثال، نماد نمادین " X ON$ yروشن: ( y> x Ú y< x) خوانده می شود «برای هر عدد طبیعی Xیک عدد طبیعی وجود دارد درچیزی شبیه به آن y> x، یا y< x».

همانطور که می دانید، هر عدد واقعی با یک نقطه از خط اعداد مرتبط است. بنابراین، در آینده با شناسایی اصطلاحات "عدد واقعی" و "نقطه" خط اعداد موافقت خواهیم کرد. برای فواصل عددی از نماد زیر استفاده می کنیم:

[الف; ب] یا الف£ x £ ب– شکاف بسته یا بخشاز یک نقطه شروع می شود الفو به یک نقطه ختم می شود ب;

(الف; ب) یا الف< x < ب– فضای باز یا فاصله;

(الف; ب] یا الف< x £ ب,

[الف; ب) یا الف£ x < ب

- فضاهای نیمه باز یا نیمه باز.

[الف; +¥) یا x³ الف , (–¥; ب] یا x £ ب- پرتوها؛

(الف; +¥) یا x> الف , (–¥ ; ب) یا x < ب- پرتوهای باز؛

(–¥ ; +¥) یا –¥< X < +¥ – координатная прямая (множество R действительных чисел).

در علم و عمل ما باید با انواع کمیت ها سر و کار داشته باشیم. برخی از آنها، تحت شرایط خاص، بدون تغییر (ثابت) باقی می مانند، برخی دیگر (متغیرها) تغییر می کنند. مثلاً حجم مخاطب و قوطی ها ثابت است ولی حجم بادکنک متغیر است.

در تجزیه و تحلیل ریاضیما فقط به بیان عددی این یا آن کمیت علاقه مند خواهیم بود و نه به ماهیت آن، یعنی. در نظر خواهیم گرفت چکیدهمقادیر بنابراین، مقدار ثابتی را که مقداری ثابت و خاص (حتی ناشناخته) به خود می گیرد، می نامیم. این را نشان خواهیم داد: X- پایان اغلب، ثابت ها با حروف اولیه الفبای لاتین نشان داده می شوند: الف, ب, ج، ... یا یونانی a, b, e, l, ... .

ما متغیری را متغیری در نظر می گیریم که می تواند مقادیر عددی دلخواه را از مجموعه اعداد خاصی بگیرد. متغیرها اغلب با حروف انتهای الفبای لاتین مشخص می شوند: X, در, z, تی،... . مجموعه ای که یک متغیر از آن مقادیر می گیرد، دامنه تعریف این متغیر نامیده می شود و نوشته می شود: xÎD.

تابع تک متغیری

در کنار مفهوم یک مجموعه و یک عنصر از یک مجموعه، مفاهیم اساسی ریاضیات شامل مفهوم مطابقت است. نوع خاصی از مکاتبات تابع نامیده می شود.

اجازه دهید یک مجموعه X با عناصر داده شود Xو مجموعه Y که از عناصر تشکیل شده است در(مجموعه های X و Y خالی نیستند، عناصر آنها می توانند از هر ماهیتی باشند).

تعریف 1.1اگر هر عنصر Xاوه طبق برخی از قوانین(قاعده) fیک عنصر منفرد مطابقت دارد درО У، سپس می گویند که مجموعه X داده شده است تابع y = f(x), X OH یا نمایش داده شود f: X → Y X را در مجموعه Y قرار دهید.

اصطلاحات زیر اتخاذ شده است:

X- متغیر مستقل یا آرگومان،

X دامنه تعریف تابع و هر عنصر است X OH - مقدار آرگومان،

در– متغیر وابسته یا تابع آرگومان X,

Y محدوده مقادیر تابع و هر عنصر است در OU به گونه ای است که
y = f(x) برای برخی X OH مقدار تابع نامیده می شود.

بسته به مجموعه های X و Y، توابع دارای نام ها و نمادهای خاصی هستند:

اگر X، Y زیرمجموعه های مجموعه اعداد واقعی R باشند، تابع در = f (x) تابع واقعی یک آرگومان واقعی یا تابعی از یک متغیر نامیده می شود.

اگر ХÌR، УУС - تابع پیچیدهآرگومان واقعی نشان داده شده است z = f(x);

اگر XOS، Y OS یک تابع پیچیده از یک آرگومان پیچیده است که نشان داده می شود w = f(z);

اگر XÌN، UÌR تابعی از یک آرگومان طبیعی یا یک دنباله است y n = f(n);

اگر XÌR 2 (یعنی مجموعه نقاط ( x, در) هواپیما)، UÌR، zОУ – تابع واقعی دو متغیر z = f(x, در);

اگر XÌR n (nفضای حسابی بعدی)، UÌR – تابع واقعی nمتغیرها و =f(x 1 ,X 2 , …, x n). این و توابع فوق نامیده می شوند عددیتوابع؛

اگر XМ R، UM V 2 (مجموعه بردارهای هندسی روی صفحه) یک تابع برداری از آرگومان اسکالر باشد، ` r(تی)= x(تی) +y(تی) ;

اگر XÌ R 2، UÌ V 2 یک تابع برداری از دو آرگومان اسکالر باشد، «اف(x, y) = P( x, y) + Q( x, y) ;

در تحلیل ریاضی، توابع عددی عمدتا مورد مطالعه قرار می گیرند. اجازه دهید ابتدا تابع واقعی یک متغیر را در نظر بگیریم. از آنجایی که هم آرگومان و هم تابع یک مقدار عددی واقعی هستند، اغلب از آن در جنسیت مؤنث استفاده می‌کنیم: متغیر مستقل، متغیر وابسته.

در این مورد، تعریف 1.1 را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

تعریف 1.2 اگر هر مقدار متغیر Xاز مجموعه اعداد XÌR طبق برخی از قانون fبه یک عدد واقعی خاص اختصاص داده شده است در، سپس می گویند که در مجموعه X یک تابع عددی داده شده است = f (x). در عین حال Xتماس گرفت مستقلمتغیر (استدلال) در – وابستهمتغیر (تابع)، X دامنه تعریف تابع است و با X = D ( f) .

ارزش های زیادی که می گیرد در، تماس گرفت محدوده عملکردو با E نشان داده می شود f) . نامه fنماد قاعده ای است که با آن مطابقت بین برقرار می شود Xو در. به همراه نامه fاز حروف دیگری نیز استفاده می شود: y = g(x), y = ساعت(x), y = تو(x) . تابع را نیز می توان نشان داد z= j( تی), x = f (z) ، s = S ( ص) و غیره، یعنی. هر دو متغیر مستقل و متغیر وابسته را می توان با هر حروف الفبای لاتین نشان داد.

دو عملکرد برابراگر و فقط اگر دامنه تعریف یکسانی داشته باشند و برای هر مقدار آرگومان مقدار یکسانی را بگیرند.

تعریف تابع به معنای تعیین قاعده ای است که با کمک آن برای هر مقدار آرگومان می توان مقدار تابع مربوطه را پیدا کرد.

روش های اصلی برای تعیین یک تابع:

1) تحلیلی- به عنوان مثال با استفاده از یک یا چند فرمول

y= گناه3 x + x 2 , ,

(دو تابع آخر گاهی اوقات توابع تحلیلی تکه ای یا مرحله ای نامیده می شوند). اگر یک تابع به صورت تحلیلی (با یک فرمول) مشخص شود، دامنه تعریف به عنوان مجموعه ای از مقادیر آرگومان درک می شود. X، که با استفاده از یک فرمول می توان مقدار مربوطه را برای آن محاسبه کرد در(یعنی تمام عملیات مشخص شده در فرمول امکان پذیر است).

اگر در فرمولی که یک تابع را توصیف می کند، متغیر وابسته از طریق یک متغیر مستقل بیان شود، چنین تابعی نامیده می شود. بدیهی است داده شده است. توابع فوق به صراحت مشخص شده اند.

اگر برابری توصیف کننده تابع با توجه به متغیر وابسته حل نشود، تابع فراخوانی می شود. به طور ضمنی داده شده است، به عنوان مثال

X 2 + 3xy – در 3 = 1 یا ln( x+3y) = y 2 .

یک تابع ضمنی را می توان در فرم نشان داد

کجا تی- پارامتری که مقادیری را از یک مجموعه خاص می گیرد. این تابع نامیده می شود تابع تعریف شده به صورت پارامتری. به عنوان مثال،

, تیО R تابع را تعریف می کند y =(X –1) 2 ,

یک تابع را تعریف می کند .

مشخصات پارامتریک یک تابع به طور گسترده در مکانیک استفاده می شود: اگر X = X(تی) و در = در(تی) قوانین تغییر مختصات یک نقطه متحرک، سپس معادلات را تعریف می کنم خط سیرحرکات

2) کلامی. به عنوان مثال، "قسمت صحیح یک عدد" بزرگترین عدد صحیح است که بیشتر از آن نباشد X. این تابع تعیین شده است در = [x].

3) جدولی. به عنوان مثال

به این ترتیب توابع مشخص می شوند که معمولاً از نتایج تجربه، آزمایش یا محاسبه به دست می آیند.

4) گرافیک.

تعریف 1.3. نمودار تابع در = f (x) مکان هندسی نقاط صفحه مختصات XOU با مختصات ( X, f(x)) کجا X OD( f).

تصویر یک وابستگی تابعی به صورت خط (گراف) می باشد به صورت گرافیکی تابع را مشخص می کند. به عنوان مثال، قرائت اسیلوسکوپ، نوار قلب و غیره. یک نمایش گرافیکی از رابطه بین کمیت های مورد مطالعه است.

توجه داشته باشید که برای یک تابع تک مقدار، نمودار آن تنها یک نقطه تقاطع با هر خطی دارد X = الف, الفО D( f).

خواص توابع.

I. عملکرد در = f (x), xÎD، تماس گرفت محدود استدر مجموعه D، اگر اعداد واقعی A، B وجود داشته باشند به طوری که " x OD شرط A £ f(x) £ B. نمودار چنین تابعی در برخی قرار دارد نوار افقیبین خطوط مستقیم در= A و در= B (شکل 1a). اگر چنین اعداد A و B وجود نداشته باشند، گفته می شود که تابع در مجموعه D نامحدود است.

اگر " xÎD Þ f(x) £ B، سپس تابع در بالا محدود شده است(شکل 1 ب).

اگر " xÎD Þ f(x) ³ A، سپس تابع در زیر محدود شده است(شکل 1c).

توابع در محدوده تعریف خود محدود هستند در= گناه xو y= cos x، زیرا برای همه ارزش ها Xدر حال اجرا

-1 پوند گناه x 1 پوند و -1 پوند هزینه x 1 پوند

تابع از بالا محدود شده است، زیرا برای تمام ارزش های واقعی Xشرط برقرار است در£ 1. مثالی از یک تابع محدود شده از زیر تابع نمایی است در=، زیرا > 0 برای همه مقادیر واقعی X.

II. تابع در = f (x), xÎD، تماس گرفت افزایش می یابد، اگر برای هر یک از مقادیر آرگومان باشد X 1 , X 2 OD طوری که X 1 < X 2، شرط برقرار است f(x 1) < f(x 2) (یعنی مقدار بزرگتر آرگومان با مقدار بزرگتر تابع مطابقت دارد، شکل 2a).

تابع در = f (x), xÎD، تماس گرفت در حال کاهش است، اگر " X 1 ,X 2 OD طوری که X 1 < X 2، شرط ( f(x 1) > f(x 2) (مقدار بزرگتر آرگومان مربوط به مقدار کوچکتر تابع است، شکل 2b). توابع افزایش و کاهش نامیده می شود یکنواختتوابع اگر نابرابری های شدید با نابرابری های غیر دقیق جایگزین شوند، تابع بر این اساس غیر کاهشی و غیر افزایشی نامیده می شود.

III. تابع در = f (x), xÎD، تماس گرفت حتی، اگر

" XÎD Þ (– XÎD و f (–x) =f (x)).

نمودار تابع زوج با توجه به محور op-amp متقارن است (شکل 3a).

تابع در = f (x), xÎD، تماس گرفت عجیب و غریب، اگر

" XÎD Þ (– XÎD و f (–x) =f (x)).

نمودار یک تابع فرد با توجه به مبدا متقارن است (شکل 3b).

IV. تابع در= f (x), xÎD، تماس گرفت دوره ای، اگر

$T > 0: " XÎD Þ ( X± ТÎD و f (x) = f (x± T)).

دو مجموعه اعداد را در نظر بگیرید Xو Y. fقانون ، که بر اساس آن هر عدد xI X با عدد مفرد مطابقت دارد yI Y ، تماس گرفتتابع عددی ، در مجموعه تعریف شده است X Y.

و معانی متعددی به خود می گیرد

بنابراین، تعریف یک تابع به معنای تعیین سه شی است: ، در مجموعه تعریف شده است 1) مجموعه

(حوزه تعریف تابع)؛ Y 2) مجموعه

(محدوده عملکرد)؛ f 3) قانون تطبیق

(خود تابع). به عنوان مثال، بیایید هر عدد را با مکعب آن مرتبط کنیم. از نظر ریاضی، این را می توان به صورت نوشتاری نوشت y=x 3 f. در این مورد قانون Xبالا بردن یک عدد است Xتا درجه سوم به طور کلی، اگر همه fطبق قاعده yمنطبق بر تنها ، می نویسند y = f(x). Xاینجا" " تماس بگیریدیا متغیر مستقلاستدلال y" -، الف"متغیر وابسته (از آنجایی که عبارتی مانند x 3 X) یا تا زمانی که مقداری مشخص نشده باشد، خودش مقدار عددی خاصی نداردتابع Xاز Xو y. در مورد مقادیر Xگفته می شود که آنها با وابستگی عملکردی مرتبط هستند. دانستن تمام معانی fو قانون درشما می توانید تمام مقادیر را پیدا کنید . به عنوان مثال، اگر x=2 ، سپس تابع f(x) =x 3 مقدار y را می گیرد.

= f (2) = 2 3 = 8

روش تحلیلی.تابع fروش های مختلفی برای تعیین یک تابع وجود دارد. به صورت فرمول ارائه شده است y=f(x). به عنوان مثال، y=3cos(x)+2x2 x. yاین روش در تحقیقات ریاضی غالب است و در درس کلاسیک ریاضیات به تفصیل مورد بحث قرار می گیرد. در مطالعات جغرافیایی مطابقت بین متغیرها

و همیشه نمی توان آن را به عنوان یک فرمول یادداشت کرد.در بسیاری از موارد فرمول ناشناخته است. سپس از روش های دیگری برای بیان وابستگی عملکردی استفاده می شود.روش گرافیکی در ایستگاه های هواشناسی می توانید عملکرد ضبط کننده هایی را مشاهده کنید که فشار اتمسفر، دمای هوا و رطوبت را در هر زمانی از روز ثبت می کنند. از نمودار به دست آمده، می توانید مقادیر این مقادیر را در هر زمان تعیین کنید.

نمودار تابع y=f(x) مجموعه تمام نقاط هواپیما با مختصات (، مربوط به هر کدام X. به عنوان مثال، وابستگی دمای هوا (T) به زمان روز (t) در یک روز خاص را می توان در جدول نشان داد.

علیرغم معرفی گسترده کامپیوترها، بیشتر کارکردهایی که یک جغرافیدان در فعالیت های روزمره باید با آنها سر و کار داشته باشد، هنوز در قالب یک کار جدولی یا گرافیکی ارائه می شوند. وابستگی های جدول در نتیجه ثبت نام به دست می آید نتایج تجربی، آنالیزهای آزمایشگاهی، اندازه گیری های دوره ای اتمسفر یا سایر پارامترهای فیزیکی. متأسفانه، با استفاده از جدول فقط می توانید مقادیر تابعی را پیدا کنید که مقادیر آرگومان آنها در جدول موجود است. در عین حال، اغلب مشکلاتی پیش می‌آیند که نیاز به یافتن مقدار یک تابع برای مقدار آرگومانی است که در جدول گنجانده نشده است. علاوه بر این، این روش یک ایده به اندازه کافی واضح از ماهیت تغییر در تابع با تغییر در متغیر مستقل ارائه نمی دهد.نمودارهای به دست آمده در نتیجه کار، عاری از این اشکال هستند

دستگاه های اتوماتیک

تعریف. ، اما یک کار گرافیکی ممکن است همیشه برای تحقیقات بیشتر کافی نباشد. اف(Xبه عنوان مثال، چنین تابعی گاهی برای مطالعه روند یک فرآیند طبیعی باید تحت برخی عملیات ریاضی از جمله تمایز یا ادغام قرار گیرد. بنابراین، در بسیاری از موارد دانستن مشخصات تحلیلی یک تابع مهم است. از آنجایی که هیچ مشخصات تحلیلی دقیقی از تابع به دست آمده در نتیجه کار تجربی وجود ندارد، برای اهداف مطالعه از تکنیک زیر استفاده می شود: یک تابع مشخص شده در جدول (یک تابع مشخص شده به صورت گرافیکی همیشه می تواند به صورت جدول ارائه شود) در یک بخش خاص با تابع دیگری جایگزین می شود که ساده تر است، به نوعی به داده شده نزدیک تر است و یک عبارت تحلیلی دارد. دو روش اصلی برای چنین جایگزینی وجود دارد - درون یابی و تقریب یک تابع جدول.Y = اف(Xاجازه دهید مفاهیم یک تابع و خواص آن را تکرار کنیم، که برای ارائه بیشتر مطالب به آن نیاز داریم.Yتابعاف) قانونی است که به هر مقدار xX اجازه می دهد تا با یک مقدار منفرد مرتبط شود )Y، که در آن x یک متغیر مستقل (آگومان) است، - متغیر وابسته (مقدار تابع). عملکرد را می گویند(اف)= Xو دارد حوزه تعریف(اف) Y.

تعریف. DX, اف(X)): محدوده ارزش ها(افآر تعداد زیادی جفت (( اف .

XD

)) نامیده می شود نمودار تابع سه روش اصلی برای تعیین یک تابع وجود دارد:

)) نامیده می شود  چه زمانی تخصیص تابع به ترتیب خاصی نوشته می شود، مقادیر آرگومان و مقادیر تابع مربوطه.

)) نامیده می شود به صورت گرافیکی هنگام تعیین یک تابع، رابطه بین متغیرها با استفاده از یک نمودار منعکس می شود.

بیایید به برخی نگاه کنیم وابستگی های عملکردی، مورد استفاده در اقتصاد:

 تابع تقاضا- وابستگی به تقاضا - متغیر وابسته (مقدار تابع). عملکرد را می گویندبرای برخی از محصولات از قیمت آن پ;

 تابع پیشنهاد- وابستگی به عرضه اسبرخی از محصولات از قیمت آن پ;

 عملکرد سودمند- ارزیابی عددی ذهنی از مطلوبیت توسط یک فرد معین وو مقادیر ، در مجموعه تعریف شده استکالا برای او؛

 تابع هزینه- وابستگی به هزینه ها منبرای تولید ، در مجموعه تعریف شده استواحدهای تولیدی؛

 نرخ مالیات- وابستگی به نرخ مالیات نبه عنوان درصدی از درآمد سالانه س.

همه این توابع، به جز مورد آخر، بیان تحلیلی بسیار دشوار است. در صورت لزوم، آنها از طریق تجزیه و تحلیل دقیق پیدا می شوند. کارکرد دوم، برعکس، معمولاً برای کل جامعه کاملاً شناخته شده است و از نظر قانونی تأیید شده است.

تعریف. تابع اف ( X ) محدودیت دارد ب , هنگامی که x به a تمایل دارد، اگر مقادیراف(X) هر چقدر که دوست دارید به عدد نزدیک شویدب، زمانی که مقادیر متغیر x به طور دلخواه به عدد a نزدیک می شوند.

تعیین. .

لازم به ذکر است که این تعریف مقادیر را در نظر می گیرد ، در مجموعه تعریف شده است، خودسرانه نزدیک به عدد الف، اما همزمان نیست الف.

تعریف. اگر تابعاف(X) در نقطه a تعریف می شود و برابری برقرار است ، آناف(X) یک تابع پیوسته در نقطه a نامیده می شود.

تعریف. تابعی که در هر نقطه از دامنه تعریف خود پیوسته باشد نامیده می شود عملکرد پیوسته. در غیر این صورت تابع فراخوانی می شود مواد منفجره.

نمودار یک تابع پیوسته را می توان بدون بلند کردن دست رسم کرد.

توابع پیوسته دارای ویژگی های زیر هستند:

 مجموع یا حاصلضرب توابع پیوسته یک تابع پیوسته است.

 نسبت دو تابع پیوسته یک تابع پیوسته در تمام نقاطی است که مخرج نسبت از بین نمی رود.

نظر دهید. روشی که در تجزیه و تحلیل توابع پیوسته مؤثر است ممکن است در مطالعه توابع ناپیوسته بی اثر باشد، اگرچه برعکس آن مستثنی نیست..

تعریف. تابعاف(X) نامیده می شود افزایش (نزولی)روی یک مجموعهX، اگر از این واقعیت است کهX1 < X2 به دنبال آن استاف(X1 )< اف(X2 ) (اف(X1 )> اف(X2 )). تابعاف(X) نامیده می شود بدون کاهش (غیر افزایشی)روی یک مجموعهX، اگر از این واقعیت است کهX1  X2 , X1 , X2  Xبه دنبال آن استاف(X1 ) اف(X2 ) (اف(X1 ) اف(X2 )).

قضیه. اجازه دهید تابعاف(X) در بازه (الف, ب). سپس:

 اگر اولین مشتق تابعدر همه جای این بازه، تابع در آن افزایش می یابد.

 اگر مشتق اولدر همه جای این بازه، تابع کاهش می یابد.

 مشتق اولدر هر جای این بازه، تابع در این بازه ثابت است.

تعریف. توابع افزایشی، کاهشی، غیر کاهشی، غیر افزایشی نامیده می شوند یکنواخت.

نظر دهید. یک تابع یکنواخت نباید پیوسته باشد.

مثال 1. بازه های یکنواختی یک تابع را بیابید اف(X)=(1- X2 )3 .

. پیدا کردن مشتق: معادله را حل می کنیم. می گیریم X1=0، x2=1، x3=-1. تابع اف(X) تعریف شده و پیوسته در طول کل خط اعداد. بنابراین نکات X1، x2، x3نقاط بحرانی هستند هیچ نقطه بحرانی دیگری وجود ندارد، زیرا در همه جا وجود دارد.

نقاط بحرانی را با تعیین علامت سمت چپ و راست هر نقطه بررسی می کنیم. برای کاهش محاسبات و برای وضوح، نوشتن این مطالعه در قالب یک جدول راحت است. 1:

جدول 1

خط اول شامل تمام نقاط بحرانی به ترتیب موقعیت آنها در محور اعداد است. نقاط میانی بین آنها درج می شود که در سمت چپ و راست نقاط بحرانی قرار دارند. خط دوم شامل علائم مشتق در نقاط میانی نشان داده شده است. خط سوم شامل یک نتیجه گیری در مورد رفتار تابع در فواصل مورد مطالعه است. در بازه (-؛ 0) تابع افزایش می یابد، در بازه (0؛ +) تابع کاهش می یابد.

تعریف. تابعاف(X) است تک وجهیدر بخش [الف, ب] اگر و فقط اگر در هر دو طرف تنها نقطه بهینه x* در بازه مورد بررسی یکنواخت باشد.

مثال 2. در اینجا نمونه هایی از نمودارهای توابع تک وجهی آورده شده است:

 در شکل 6 تابع پیوسته;

 در شکل 7 - عملکرد ناپیوسته;

 در شکل 8 - عملکرد گسسته.

مجموعه ای از توابع که در یک بازه تک وجهی هستند [ الف; ب] ، نشان خواهیم داد

س[ الف; ب] .

برای بررسی یکنواختی یک تابع اف(X) در عمل معمولاً از معیارهای زیر استفاده می شود:

1) اگر تابع اف(X) قابل تفکیک در بازه [ الف; ب] و مشتق در این بخش کاهش نمی یابد، پس اف(X) س[ الف; ب] ;

2) اگر تابع اف(X) دو بار متمایز در بازه [ الف; ب] و چه زمانی X[الف; ب] ، آن اف(X) س[ الف; ب] .X=-0.5. بنابراین، اگر Х-0.5و به ویژه چه زمانی X.با استفاده از دومین معیار unimodality، آن را به دست می آوریم اف(X) س .

تعریف. مجموعه را در نظر بگیرید SR. ما می توانیم مطابقت هر نقطه را تعیین کنیم XSیک مقدار عددی منفرد اختصاص داده شده است. این مکاتبات نامیده می شود تابع اسکالراف، در مجموعه تعریف شده استاس.

تعریف. در تئوری بهینه سازیافتماس گرفت تابع هدف ، Aاس - منطقه قابل قبول، مجموعه ای از نقاطی که محدودیت ها را برآورده می کنند یا محدوده ای از مقادیر مجاز x.

1) دامنه تابع و محدوده تابع.

دامنه یک تابع مجموعه ای از تمام مقادیر آرگومان معتبر معتبر است x(متغیر x) که برای آن تابع y = f(x)تعیین شده است. محدوده یک تابع مجموعه ای از تمام مقادیر واقعی است y، که تابع آن را می پذیرد.

در ریاضیات ابتدایی، توابع فقط بر روی مجموعه اعداد حقیقی مطالعه می شوند.

2) تابع صفر.

تابع صفر مقدار آرگومانی است که در آن مقدار تابع برابر با صفر است.

3) فواصل علامت ثابت یک تابع.

فواصل علامت ثابت یک تابع مجموعه ای از مقادیر آرگومان هستند که مقادیر تابع فقط مثبت یا فقط منفی هستند.

4) یکنواختی تابع.

تابع افزایشی (در یک بازه معین) تابعی است که در آن مقدار بزرگتر آرگومان از این بازه با مقدار بیشتری از تابع مطابقت دارد.

یک تابع کاهشی (در یک بازه زمانی معین) تابعی است که در آن مقدار بزرگتر آرگومان از این بازه با مقدار کوچکتری از تابع مطابقت دارد.

5) تابع زوج (فرد)..

تابع زوج تابعی است که دامنه تعریف آن نسبت به مبدا و برای هر یک متقارن است Xاز حوزه تعریف برابری f(-x) = f(x).

نمودار یک تابع زوج متقارن نسبت به ارتجاع است. Xتابع فرد تابعی است که دامنه تعریف آن نسبت به مبدا و برای هر یک متقارن است از حوزه تعریف، برابری صادق است f(-x) = - f(x

)..

نمودار یک تابع فرد نسبت به مبدا متقارن است.

6) توابع محدود و نامحدود.

اگر یک عدد مثبت M وجود داشته باشد که |f(x)| باشد، یک تابع محدود خوانده می شود ≤ M برای همه مقادیر x. اگر چنین عددی وجود نداشته باشد، تابع نامحدود است. 7) تناوب بودن تابعیک تابع f(x) تناوبی است اگر یک عدد غیرصفر T وجود داشته باشد به طوری که برای هر x از دامنه تعریف تابع، موارد زیر برقرار است: f(x+T) = f(x). این کوچکترین عدد دوره تابع نامیده می شود. همه

توابع مثلثاتی

دوره ای هستند. (فرمول های مثلثاتی).

19. توابع ابتدایی پایه، خواص و نمودارهای آنها. کاربرد توابع در اقتصاد.

توابع ابتدایی اولیه خواص و نمودارهای آنها 1. تابع خطی.

تابع خطی الفتابعی از شکل نامیده می شود که x یک متغیر است، a و b اعداد واقعی هستند.

شماره

که شیب خط نامیده می شود، برابر است با مماس زاویه میل این خط بر جهت مثبت محور آبسیسا. نمودار یک تابع خطی یک خط مستقیم است. با دو نقطه تعریف می شود.

ویژگی های یک تابع خطی

1. دامنه تعریف - مجموعه تمام اعداد واقعی: D(y)=R

4. تابع در کل دامنه تعریف افزایش (کاهش) می یابد.

5. یک تابع خطی در کل دامنه تعریف پیوسته، قابل تمایز و .

2. تابع درجه دوم.

تابعی از شکل که x یک متغیر است، ضرایب a، b، c اعداد واقعی هستند، نامیده می شود. درجه دوم