مفهوم تابع. نمودار تابع روش های تعیین توابع مفهوم تابع یک متغیر

مبحث 4.تابع یک متغیر

زمان: 2 ساعت

هدف از سخنرانی: مفهوم تابع را به روز کنید. ایده های موجود در مورد تابع را گسترش دهید، ویژگی های اصلی تابع را معرفی کنید.

طرح کلی سخنرانی:

مفهوم تابع.

توابع عددی نمودار تابع روش های تعیین یک تابع

تابع معکوس

عملکرد پیچیده

مفهوم تابع.

مفهوم تابع یکی از مفاهیم اساسی در ریاضیات است. با برقراری ارتباط بین عناصر دو مجموعه همراه است.

اجازه دهید دو مجموعه غیر خالی داده شود Xو Y. مکاتبه f، که هر عنصر را با یک و تنها یک عنصر مطابقت می دهد
، تماس گرفت تابع و ثبت می شود
یا
. آنها همچنین می گویند که یک تابع یک مجموعه را نمایش می دهد Xبرای بسیاری Y.

X

X

Y

Y

X

Y

Y

. .

X

به عنوان مثال، کبریتf و g نشان داده شده در شکل توابع و و تو - نه در صورت  - هر عنصر مطابقت ندارد
. در صورتو - شرط عدم ابهام برقرار نیست.

عنصر
، که مربوط به یک داده شده است، نامیده می شود راه عنصر Xتمام عناصری که این با آن مطابقت دارد
، تماس گرفت یک نمونه اولیه کامل عنصر در.

بسیاری Xتماس گرفت حوزه تعریف توابع fو تعیین شده است D (f). تعداد زیادی از همه
، که یک تصویر معکوس در آن وجود دارد X، تماس گرفت مجموعه معانی توابع fو تعیین شده است E(f ).

توابع عددی نمودار تابع. روش های تکلیف.

اجازه دهید تابع داده شود
. اگر عناصر مجموعه ها Xو Yاعداد واقعی هستند، سپس تابع فراخوانی می شود تابع عددی . در آینده ما توابع عددی را مطالعه خواهیم کرد، آنها را به سادگی توابع نامیده و نشان خواهیم داد
.

متغیر Xتماس گرفت استدلال یا متغیر مستقل ، A در ‒ تابع یا متغیر وابسته . در مورد خود مقادیر Xو درمی گویند وارد هستند وابستگی عملکردی .

ارزش خصوصی توابع
در x=aیادداشت کنید
. به عنوان مثال، اگر
، آن
,

جی

م(X;در)

در

X

1

در مورد

به عنوان مثال، نمودار تابع
نیم دایره بالایی شعاع است آر=1 با مرکز در مورد(0;0).

برای تعریف یک تابع، لازم است یک قاعده تعریف شود که اجازه می دهد، دانستن X، مقدار مربوط به تابع را پیدا کنید.

رایج ترین سه روش برای تعریف یک تابع عبارتند از تحلیلی، جدولی و گرافیکی.

روش تحلیلی : تابع در قالب یک یا چند فرمول یا معادله مشخص می شود.

اگر دامنه یک تابع مشخص نشده باشد، فرض بر این است که با مجموعه تمام مقادیر آرگومان که فرمول مربوطه برای آن معنا دارد، مطابقت دارد. بنابراین، دامنه تعریف تابع
یک بخش است
.

روش تحلیلی پیشرفته ترین است، زیرا با روش های تجزیه و تحلیل ریاضی همراه است که مطالعه کامل تابع را ممکن می سازد.
.

روش گرافیکی : نمودار تابع مشخص شده است. با استفاده از نمودار، مقدار تابع مربوط به آن را پیدا کنید ارزش داده شدهاستدلال و بالعکس مزایا - دید. معایب - عدم دقت.

روش جدولی زمانی استفاده می شود که توصیه می شود جفت ها را مشخص کنید Xو درانتقال

ویژگی های اصلی توابع

تابع
، در مجموعه تعریف شده است D، تماس گرفت حتی ، اگر
شرایط برآورده شده است
و
; عجیب و غریب ، اگر
شرایط برآورده شده است
و
.

نمودار یک تابع زوج نسبت به محور متقارن است اوه، و فرد - نسبت به مبدا.

به عنوان مثال،
,
,
حتی توابع هستند و
,
- توابع فرد؛
,
- توابع نمای کلی.

اجازه دهید تابع
در مجموعه تعریف شده است Dو اجازه دهید
. اگر برای هر یک از مقادیر آرگومان
از نابرابری
نابرابری زیر به شرح زیر است:

الف)
، سپس تابع فراخوانی می شود افزایش می یابد روی یک مجموعه (مقدار آرگومان بزرگتر مربوط به مقدار تابع بزرگتر است).

ب)
، سپس تابع فراخوانی می شود بدون کاهش روی یک مجموعه ;

V)
، سپس تابع فراخوانی می شود در حال کاهش است روی یک مجموعه (مقدار آرگومان بزرگتر مربوط به مقدار تابع کوچکتر است).

جی )
، سپس تابع فراخوانی می شود غیر افزایشی روی یک مجموعه .

‒2 در مورد 1 3 4 X

در

به عنوان مثال، تابع مشخص شده توسط نمودار در شکل در طول بازه زمانی کاهش می یابد
، کاهش نمی یابد
، افزایش می یابد
.

توابع افزایشی، غیرافزاینده، کاهشی، غیر کاهشی در یک مجموعه نامیده می شوند یکنواخت در این مجموعه، و افزایش و کاهش ‒ کاملا یکنواخت . بازه هایی که تابع یکنواخت است نامیده می شوند فواصل یکنواختی .

اف

y=M

در

X

y= ‒M

تابعی که روی یک مجموعه تعریف شده است Dتماس گرفت محدود است
این برای همه است
نابرابری برقرار است:
.

:

.

از آن نتیجه می شود که نمودار عملکرد محدودبین خطوط مستقیم قرار دارد در=‒مو y=M.

تابع
، در مجموعه تعریف شده است D، تماس گرفت دوره ای در این مجموعه، اگر چنین عددی وجود داشته باشد تی >0 ، که برای هر
معنی
و
. در این مورد شماره تیتماس گرفت دوره عملکرد . اگر تیدوره تابع است، سپس دوره های آن نیز اعداد خواهند بود PT، کجا
بله، برای
دوره ها اعداد خواهند بود
دوره اصلی (کوچکترین مثبت) دوره است
. به طور کلی کوچکترین عدد مثبت برای دوره اصلی گرفته می شود تی، ارضای برابری
.

تابع معکوس

اجازه دهید تابع داده شود
با دامنه Dو معانی بسیار E. اگر برای همه
فقط یک نمونه اولیه وجود دارد D، سپس می توانیم عناصر را مطابقت دهیم
عناصر
، یعنی یک تابع تعریف کنید
با دامنه Eو معانی بسیار D. این تابع
تماس گرفت معکوس برای عملکرد
و ثبت می شود
. درباره توابع
و
گفته می شود که آنها متقابل معکوس هستند.. توجه داشته باشید که برای تابع استدلال میانیتابع پیچیده

به عنوان مثال،
، برهم نهی دو تابع وجود دارد
و
. یک تابع پیچیده می تواند چندین آرگومان میانی داشته باشد.

تعاریف و مفاهیم اساسی

یکی از مفاهیم اساسی ریاضیات عدد است. اعداد کامل و کسری اعم از مثبت و منفی همراه با عدد صفر نامیده می شوند منطقیاعداد اعداد گویا را می توان به صورت کسر متناهی یا نامتناهی نشان داد. اعدادی که به صورت کسرهای نامتناهی اما غیر تناوبی نشان داده می شوند نامیده می شوند غیر منطقی.

به مجموعه تمام اعداد گویا و غیر منطقی مجموعه می گویند معتبر، یا واقعیاعداد اعداد واقعی را می توان با نقاط روی محور اعداد نشان داد. محور اعدادخط مستقیم نامتناهی نامیده می شود که بر روی آن موارد زیر انتخاب می شوند:

1) نقطه ای O که مبدأ نامیده می شود.

2) جهت مثبت که با فلش نشان داده شده است.

3) مقیاس برای اندازه گیری طول.

بین تمام اعداد واقعی و تمام نقاط روی خط اعداد مکاتبات یک به یک وجود دارد، یعنی هر عدد واقعی مربوط به یک نقطه در محور عدد است و بالعکس.

ارزش مطلق(یا ماژول) عدد واقعی xعدد حقیقی غیر منفی P نامیده می شود x P، به شرح زیر تعریف می شود: P x P = x، اگر x? 0 و P x P = - x، اگر x< 0.

مقدار متغیرکمیتی است که مقادیر عددی متفاوتی به خود می گیرد. کمیتی که مقادیر عددی آن تغییر نمی کند نامیده می شود مقدار ثابت

منظم، اگر مساحت تغییر آن مشخص باشد و در مورد هر یک از دو مقدار آن مشخص باشد، می توان گفت کدام یک قبلی و کدام یک بعدی است. یک مورد خاص از چنین کمیتی، دنباله اعداد است

متغیر نامیده می شود افزایش می یابد(در حال کاهش است، اگر هر مقدار بعدی بزرگتر (کمتر) از مقدار قبلی باشد. متغیرهای افزایشی و کاهشی نامیده می شوند یکنواخت. متغیر نامیده می شود محدود استاگر یک عدد ثابت M > 0 وجود داشته باشد، به طوری که تمام مقادیر بعدی متغیر، از مقدار معینی شروع شود، شرط را برآورده کند:

م؟ x م، یعنی آر x R؟ م.

متغیر y نامیده می شود (تک مقدار) تابعمتغیر x، اگر هر مقدار از متغیر x متعلق به مجموعه اعداد واقعی X با یک مقدار واقعی خاص از متغیر مطابقت داشته باشد. y.

متغیر x در این حالت فراخوانی می شود استدلال، یا مستقل متغیر، و مجموعه X است حوزه تعریفتوابع

ضبط کنید y = f(x)یعنی y یک تابع است x. مقدار تابع f(x)در x = aنشان داده شده با f(a).

دامنه تعریف یک تابع در ساده ترین موارد عبارت است از: فاصله (دهانه باز) (الف، ب) ، یعنی مجموعه ای از ارزش ها x، ارضای شرط الف< x < b ; بخش (بخشیا بسته فاصله) ، یعنی مجموعه ای از ارزش ها x، ارضای شرط یک x ب; نیم فاصله(آنها الف< x ? b ) یا (یعنی یک x< b ); فاصله بی نهایت (یک،+؟) (یعنی الف< x < + ?) или (- ?, ب) (یعنی - ?< x< b ) یا (- ?، + ?) (یعنی - ?< x < + ?); совокупность нескольких интервалов или сегментов и т. п.

برنامه ریزی کنیدتوابع y = f(x)مکان هندسی نقاط در صفحه xOy است که مختصات آن معادله را برآورده می کند y = f(x).

تابع f(x)حتی اگر برای هر مقداری فراخوانی شود x. نمودار یک تابع زوج به طور متقارن در مورد مصداق قرار دارد. تابع f(x) فراخوانی می شود عجیب و غریب، اگر برای هر مقدار x. نمودار یک تابع فرد به طور متقارن نسبت به مبدا قرار دارد.

تابع f(x)تماس گرفت دوره ای، اگر یک عدد مثبت T وجود داشته باشد نامیده می شود دورهتوابعی که برای هر مقدار xبرابری برآورده می شود.

کوچکترینهمان دورهتابع کوچکترین عدد مثبتی است که برای آن f(x + ?) = f(x)در هر x. باید در نظر داشت که f(x + k؟) = f(x)، کجا ک- هر عدد صحیح

توابع مشخص شده است:

1) به صورت تحلیلی (به شکل فرمول)، به عنوان مثال، ;

2) گرافیکی (به صورت نمودار)؛

3) جدولی (به شکل جدول)، به عنوان مثال جدول لگاریتم.

توابع ابتدایی اولیهتوابع زیر به صورت تحلیلی تعریف شده اند:

1. عملکرد قدرت :، کجا؟ - عدد واقعی

2. تابع نمایی: , کجا الف > 0, الف ? 1.

3. تابع لگاریتمی : , کجا الف > 0, الف ? 1.

4. توابع مثلثاتی: y= گناه x، y= cos x، y= tg x، y=ctg x,

y= ثانیه x، y= کوزک x

5. معکوس توابع مثلثاتی :

y= آرکسین x، y= آرکوس x، y= آرکتان x، y= arcctg x، y= arcsec x,

y= arccosec x.

اگر y تابعی از تو، A تویک تابع از وجود دارد x، سپس y نیز بستگی دارد x. اجازه دهید y= F( تو), تو = ?(x). سپس y= F(?( x)). آخرین تابع فراخوانی می شود تابع از تابع، یا تابع پیچیدهبه عنوان مثال، y= گناه تو, تو= . تابع y= sin() یک تابع پیچیده از است x.

تابع ابتداییتابعی است که می توان آن را با یک فرمول واحد مشخص کرد y = f(x)، جایی که بیان f(x)متشکل از توابع ابتدایی و ثابت با استفاده از تعداد محدودی از عملیات جمع، تفریق، ضرب، تقسیم و گرفتن تابعی از یک تابع.

به عنوان مثال، y= پ x P = ; ; .

مثال 1. پیدا کنید اگر.

راه حل. بیایید مقادیر این تابع را وقتی پیدا کنیم x = aو x = b:

سپس می گیریم

مثال 2. تعیین کنید کدام یک از این توابع زوج یا فرد است:

راه حل. الف) از آن زمان

آن ها f(- x) = - f(x).بنابراین، تابع فرد است.

ب) داریم، یعنی.

f(- x) = f(x). بنابراین، عملکرد یکنواخت است.

ج) در اینجا، یعنی.

f(- x) = f(x).بنابراین، عملکرد یکنواخت است.

د) اینجا. بنابراین، تابع نه زوج است و نه فرد.

مثال 3

راه حل. تابع تعریف شده اگر 2 x- 1؟ 0، یعنی اگر بنابراین، دامنه تعریف یک تابع مجموعه ای از دو بازه است:

مثال 4. دامنه تعریف تابع را پیدا کنید.

راه حل. تابع تعریف می شود اگر x- 1؟ 0 و 1+ x> 0، یعنی اگر x? 1 و x> - 1. دامنه تعریف یک تابع مجموعه ای از دو بازه است: (- 1، 1) و (1، + ?).

مثال 5.دامنه یک تابع را پیدا کنید

راه حل.عبارت اول مقادیر واقعی 1-2 را می گیرد x? 0 و دومی در. بنابراین، برای یافتن دامنه تعریف یک تابع معین، لازم است سیستم نابرابری ها را حل کنیم:

بنابراین، دامنه تعریف، بخش خواهد بود

تابع تک متغیری

توابع یک متغیر

مقدمه

در ریاضیات، مفاهیم اساسی مفهوم یک مجموعه، یک عنصر از یک مجموعه است. تجزیه و تحلیل ریاضی در درجه اول با مجموعه های عددی سروکار دارد.

در موارد زیر از نمادهای زیر استفاده خواهیم کرد:

N - مجموعه ای از اعداد طبیعی؛

Z - مجموعه ای از اعداد صحیح؛

Q - مجموعه ای از اعداد گویا.

R - مجموعه ای از اعداد واقعی؛

ج - مجموعه اعداد مختلط؛

به عنوان مثال، نماد نمادین " X IN$ yروشن: ( y> x Ú y< x) خوانده می شود «برای هر عدد طبیعی Xیک عدد طبیعی وجود دارد درچیزی شبیه به آن y> x، یا y< x».

همانطور که می دانید، هر عدد واقعی با یک نقطه از خط اعداد مرتبط است. بنابراین، در آینده با شناسایی عبارات "عدد واقعی" و "نقطه" خط اعداد موافقت خواهیم کرد. برای فواصل عددی از نماد زیر استفاده می کنیم:

[الف; ب] یا الف£ x £ ب– شکاف بسته یا بخشاز یک نقطه شروع می شود الفو به یک نقطه ختم می شود ب;

(الف; ب) یا الف< x < ب– فضای باز یا فاصله;

(الف; ب] یا الف< x £ ب,

[الف; ب) یا الف£ x < ب

- فضاهای نیمه باز یا نیمه باز.

[الف; +¥) یا x³ الف , (–¥; ب] یا x £ ب- پرتوها؛

(الف; +¥) یا x> الف , (–¥ ; ب) یا x < ب- پرتوهای باز؛

(–¥ ; +¥) یا –¥< X < +¥ – координатная прямая (множество R действительных чисел).

در علم و عمل ما باید با انواع کمیت ها سر و کار داشته باشیم. برخی از آنها، تحت شرایط خاص، بدون تغییر (ثابت) باقی می مانند، برخی دیگر (متغیرها) تغییر می کنند. مثلاً حجم مخاطب و قوطی ها ثابت است ولی حجم بادکنک متغیر است.

در تجزیه و تحلیل ریاضیما فقط به بیان عددی این یا آن کمیت علاقه مند خواهیم بود و نه به ماهیت آن، یعنی. در نظر خواهیم گرفت چکیدهمقادیر بنابراین، مقدار ثابتی را که مقداری ثابت و خاص (حتی ناشناخته) به خود می گیرد، می نامیم. ما به این اشاره خواهیم کرد: X- پایان اغلب، ثابت ها با حروف اولیه الفبای لاتین نشان داده می شوند: الف, ب, ج، ... یا یونانی a, b, e, l, ... .

ما متغیری را متغیری در نظر می گیریم که می تواند مقادیر عددی دلخواه را از مجموعه اعداد خاصی بگیرد. متغیرها اغلب با حروف انتهای الفبای لاتین مشخص می شوند: X, در, z, تی،... . مجموعه ای که یک متغیر از آن مقادیر می گیرد، دامنه تعریف این متغیر نامیده می شود و نوشته می شود: xÎD.

تابع تک متغیری

در کنار مفهوم یک مجموعه و یک عنصر از یک مجموعه، مفاهیم اساسی ریاضیات شامل مفهوم مطابقت است. نوع خاصی از مکاتبات تابع نامیده می شود.

اجازه دهید یک مجموعه X با عناصر داده شود Xو مجموعه Y که از عناصر تشکیل شده است در(مجموعه های X و Y خالی نیستند، عناصر آنها می توانند از هر ماهیتی باشند).

تعریف 1.1اگر هر عنصر Xاوه طبق برخی از قوانین(قاعده) fیک عنصر منفرد مطابقت دارد درО У، سپس می گویند که مجموعه X داده شده است تابع y = f(x), X OH یا نمایش داده شود f: X → Y X را در مجموعه Y قرار دهید.

اصطلاحات زیر اتخاذ شده است:

X- متغیر مستقل یا آرگومان،

X دامنه تعریف تابع و هر عنصر است X OH - مقدار آرگومان،

در– متغیر وابسته یا تابع آرگومان X,

Y محدوده مقادیر تابع و هر عنصر است در OU به گونه ای است که
y = f(x) برای برخی X OH مقدار تابع نامیده می شود.

بسته به مجموعه‌های X و Y، توابع نام‌ها و نشانه‌های خاصی دارند:

اگر X، Y زیرمجموعه‌ای از مجموعه اعداد واقعی R باشند، تابع در = f (x) تابع واقعی یک آرگومان واقعی یا تابعی از یک متغیر نامیده می شود.

اگر ХÌR، УУС - تابع پیچیدهآرگومان واقعی نشان داده شده است z = f(x);

اگر XOS، Y OS یک تابع پیچیده از یک آرگومان پیچیده است که نشان داده می شود w = f(z);

اگر XÌN، UÌR تابعی از یک آرگومان طبیعی یا یک دنباله است y n = f(n);

اگر XÌR 2 (یعنی مجموعه نقاط ( x, در) هواپیما)، UÌR، zОУ – تابع واقعی دو متغیر z = f(x, در);

اگر XÌR n (nفضای حسابی بعدی)، UÌR – تابع واقعی nمتغیرها و =f(x 1 ,X 2 , …, x n). این و توابع فوق نامیده می شوند عددیتوابع؛

اگر XМ R، UM V 2 (مجموعه بردارهای هندسی روی صفحه) یک تابع برداری از آرگومان اسکالر باشد، ` r(تی)= x(تی) +y(تی) ;

اگر XÌ R 2، UÌ V 2 یک تابع برداری از دو آرگومان اسکالر باشد، «اف(x, y) = P( x, y) + Q( x, y) ;

در تحلیل ریاضی، توابع عددی عمدتا مورد مطالعه قرار می گیرند. اجازه دهید ابتدا یک تابع واقعی از یک متغیر را در نظر بگیریم. از آنجایی که هم آرگومان و هم تابع یک مقدار عددی واقعی هستند، اغلب از آن در جنسیت مؤنث استفاده می‌کنیم: متغیر مستقل، متغیر وابسته.

در این مورد، تعریف 1.1 را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

تعریف 1.2 اگر هر مقدار متغیر Xاز مجموعه اعداد XÌR طبق برخی قانون fبه یک عدد واقعی خاص اختصاص داده شده است در، سپس می گویند که در مجموعه X یک تابع عددی داده شده است = f (x). در عین حال Xتماس گرفت مستقلمتغیر (استدلال)، در – وابستهمتغیر (تابع)، X دامنه تعریف تابع است و با X = D ( f) .

ارزش های زیادی که می گیرد در، تماس گرفت محدوده عملکردو با E نشان داده می شود f) . نامه fنماد قاعده ای است که مطابق آن بین برقرار می شود Xو در. به همراه نامه fاز حروف دیگری نیز استفاده می شود: y = g(x), y = ساعت(x), y = تو(x) . تابع را نیز می توان نشان داد z= j( تی), x = f (z) ، s = S ( ص) و غیره، یعنی. هم متغیر مستقل و هم متغیر وابسته را می توان با هر حروف الفبای لاتین نشان داد.

دو عملکرد برابراگر و فقط اگر دامنه تعریف یکسانی داشته باشند و برای هر مقدار آرگومان مقدار یکسانی را بگیرند.

تعریف تابع به معنای تعیین قاعده ای است که با کمک آن برای هر مقدار آرگومان می توان مقدار تابع مربوطه را پیدا کرد.

روش های اصلی برای تعیین یک تابع:

1) تحلیلی- به عنوان مثال با استفاده از یک یا چند فرمول

y= گناه3 x + x 2 , ,

(دو تابع آخر گاهی اوقات توابع تحلیلی تکه ای یا مرحله ای نامیده می شوند). اگر یک تابع به صورت تحلیلی (با یک فرمول) مشخص شود، دامنه تعریف به عنوان مجموعه ای از مقادیر آرگومان درک می شود. X، که با استفاده از یک فرمول می توان مقدار مربوطه را برای آن محاسبه کرد در(یعنی تمام عملیات مشخص شده در فرمول امکان پذیر است).

اگر در فرمولی که یک تابع را توصیف می کند، متغیر وابسته از طریق متغیر مستقل بیان شود، چنین تابعی نامیده می شود. بدیهی است داده شده است. توابع فوق به صراحت مشخص شده اند.

اگر برابری توصیف کننده تابع با توجه به متغیر وابسته حل نشود، تابع فراخوانی می شود. به طور ضمنی داده شده است، به عنوان مثال

X 2 + 3xy – در 3 = 1 یا ln( x+3y) = y 2 .

یک تابع ضمنی را می توان در فرم نشان داد

کجا تی- پارامتری که مقادیری را از یک مجموعه خاص می گیرد. این تابع نامیده می شود تابع تعریف شده به صورت پارامتری. به عنوان مثال،

, تیО R تابع را تعریف می کند y =(X –1) 2 ,

یک تابع را تعریف می کند .

مشخصات پارامتریک یک تابع به طور گسترده در مکانیک استفاده می شود: اگر X = X(تی) و در = در(تی) قوانین تغییر مختصات یک نقطه متحرک، سپس معادلات را تعریف می کنم خط سیرحرکات

2) کلامی. به عنوان مثال، "قسمت صحیح یک عدد" بزرگترین عدد صحیح است که بیشتر از آن نباشد X. این تابع تعیین شده است در = [x].

3) جدولی. به عنوان مثال

به این ترتیب توابع مشخص می شوند که معمولاً از نتایج تجربه، آزمایش یا محاسبه به دست می آیند.

4) گرافیک.

تعریف 1.3. نمودار تابع در = f (x) مکان هندسی نقاط صفحه مختصات XOU با مختصات ( X, f(x)) کجا X OD( f).

تصویر یک وابستگی تابعی به صورت خط (گراف) می باشد به صورت گرافیکی تابع را مشخص می کند. به عنوان مثال، قرائت اسیلوسکوپ، نوار قلب و غیره. یک نمایش گرافیکی از رابطه بین کمیت های مورد مطالعه است.

توجه داشته باشید که برای یک تابع تک مقدار، نمودار آن تنها یک نقطه تقاطع با هر خطی دارد X = الف, الفО D( f).

خواص توابع.

I. عملکرد در = f (x), xÎD، تماس گرفت محدود استدر مجموعه D، اگر اعداد واقعی A، B وجود داشته باشند به طوری که " x OD شرط A £ f(x) £ B. نمودار چنین تابعی در برخی قرار دارد نوار افقیبین خطوط مستقیم در= A و در= B (شکل 1a). اگر چنین اعداد A و B وجود نداشته باشند، گفته می شود که تابع در مجموعه D نامحدود است.

اگر " xÎD Þ f(x) £ B، سپس تابع در بالا محدود شده است(شکل 1 ب).

اگر " xÎD Þ f(x) ³ A، سپس تابع در زیر محدود شده است(شکل 1c).

توابع از نظر دامنه تعریف محدود هستند در= گناه xو y= cos x، زیرا برای همه ارزش ها Xدر حال اجرا

-1 پوند گناه x 1 پوند و -1 پوند هزینه x 1 پوند

تابع از بالا محدود شده است، زیرا برای تمام ارزش های واقعی Xشرط برقرار است در£ 1. مثالی از یک تابع محدود شده از زیر تابع نمایی است در=، زیرا > 0 برای همه مقادیر واقعی X.

II. تابع در = f (x), xÎD، تماس گرفت افزایش می یابد، اگر برای هر یک از مقادیر آرگومان باشد X 1 , X 2 OD طوری که X 1 < X 2، شرط برقرار است f(x 1) < f(x 2) (یعنی مقدار بزرگتر آرگومان با مقدار بزرگتر تابع مطابقت دارد، شکل 2a).

تابع در = f (x), xÎD، تماس گرفت در حال کاهش است، اگر " X 1 ,X 2 OD طوری که X 1 < X 2، شرط ( f(x 1) > f(x 2) (مقدار بزرگتر آرگومان مربوط به مقدار کوچکتر تابع است، شکل 2b). توابع افزایش و کاهش نامیده می شود یکنواختتوابع اگر نابرابری های دقیق با نابرابری های غیر دقیق جایگزین شوند، تابع بر این اساس غیر کاهشی و غیر افزایشی نامیده می شود.

III. تابع در = f (x), xÎD، تماس گرفت حتی، اگر

" XÎD Þ (– XÎD و f (–x) =f (x)).

نمودار تابع زوج نسبت به محور op-amp متقارن است (شکل 3a).

تابع در = f (x), xÎD، تماس گرفت عجیب و غریب، اگر

" XÎD Þ (– XÎD و f (–x) =f (x)).

نمودار یک تابع فرد با توجه به مبدا متقارن است (شکل 3b).

IV. تابع در= f (x), xÎD، تماس گرفت دوره ای، اگر

$T > 0: " XÎD Þ ( X± ТÎD و f (x) = f (x± T)).

دو مجموعه اعداد را در نظر بگیرید Xو Y. fقانون ، که بر اساس آن هر عدد xI X با عدد مفرد مطابقت دارد yI Y تابع عددی، تماس گرفت X، در مجموعه تعریف شده است Y.

و معانی متعددی به خود می گیرد

بنابراین، تعریف یک تابع به معنای تعیین سه شی است: X 1) مجموعه

(حوزه تعریف تابع)؛ Y 2) مجموعه

(محدوده عملکرد)؛ f 3) قانون تطبیق

(خود تابع). به عنوان مثال، بیایید هر عدد را به مکعب آن اختصاص دهیم. از نظر ریاضی، این را می توان به صورت نوشتاری کرد y=x 3 f. در این مورد قانون Xبالا بردن یک عدد است Xتا درجه سوم به طور کلی، اگر همه fطبق قاعده yمنطبق بر تنها y = f(x).، می نویسند Xاینجا" " تماس بگیریدیا استدلالمتغیر مستقل y" -، الف"متغیر وابسته (از آنجایی که عبارتی مانند x 3 X) یا تابعتا زمانی که مقداری مشخص نشده باشد، خودش مقدار عددی خاصی ندارد Xاز Xو y. در مورد مقادیر Xگفته می شود که آنها با وابستگی عملکردی مرتبط هستند. دانستن تمام معانی fو قانون در. به عنوان مثال، اگر شما می توانید تمام مقادیر را پیدا کنید x=2 ، سپس تابع f(x) =x 3 مقدار y را می گیرد.

= f (2) = 2 3 = 8

روش های مختلفی برای تعیین یک تابع وجود دارد.روش تحلیلی. fتابع به صورت فرمول ارائه شده است y=f(x). به عنوان مثال، y=3cos(x)+2x2 x. yاین روش در تحقیقات ریاضی غالب است و در درس کلاسیک ریاضیات به تفصیل مورد بحث قرار می گیرد. در مطالعات جغرافیایی مطابقت بین متغیرها

و همیشه نمی توان آن را به عنوان یک فرمول یادداشت کرد.در بسیاری از موارد فرمول ناشناخته است. سپس از روش های دیگری برای بیان وابستگی عملکردی استفاده می شود.روش گرافیکی در ایستگاه های هواشناسی، می توانید عملکرد ضبط کننده هایی را که فشار اتمسفر، دمای هوا و رطوبت را در هر زمانی از روز ثبت می کنند، مشاهده کنید. از نمودار به دست آمده، می توانید مقادیر این مقادیر را در هر زمان تعیین کنید.

روش جدولینمودار تابع f(x) y=f(x) X. به عنوان مثال، وابستگی دمای هوا (T) به زمان روز (t) در یک روز خاص را می توان در جدول نشان داد.

علیرغم معرفی گسترده کامپیوترها، بیشتر کارکردهایی که یک جغرافیدان در فعالیت های روزمره باید با آنها سر و کار داشته باشد، هنوز در قالب یک کار جدولی یا گرافیکی ارائه می شوند. وابستگی های جدول در نتیجه ثبت نام به دست می آید نتایج تجربی، آنالیزهای آزمایشگاهی، اندازه گیری های دوره ای اتمسفر یا سایر پارامترهای فیزیکی. متأسفانه، با استفاده از جدول فقط می توانید مقادیر تابعی را پیدا کنید که مقادیر آرگومان آنها در جدول موجود است. در عین حال، اغلب مشکلاتی پیش می‌آیند که نیاز به یافتن مقدار یک تابع برای مقدار آرگومانی است که در جدول گنجانده نشده است. علاوه بر این، این روش یک ایده به اندازه کافی واضح از ماهیت تغییر در تابع با تغییر در متغیر مستقل ارائه نمی دهد.نمودارهای به دست آمده در نتیجه کار عاری از این اشکال هستند