کد هگزادسیمال سیستم های اعداد هگزادسیمال و باینری

بسیاری از کاربران کامپیوتر می دانند که کامپیوتر در سیستم باینری کار می کند. به طور سنتی، حالت های یک سیستم دودویی با اعداد 0 و 1 نشان داده می شود، اگرچه به طور دقیق تر، هر حالت نشان دهنده وجود یا عدم وجود یک سیگنال است، یعنی درست تر است که حالت ها را "خاموش" و "روشن" صدا کنیم. یا "نه" و "بله". حالت "خاموش" یا "خیر" با عدد 0 و حالت "روشن" یا "بله" مربوط به عدد 1 است. کاربران معمولیمعمولاً نیازی به درک کامل ساختار یک رایانه نیست، با این حال سیستم اعداد باینری خود را در قالب محدودیت‌های مختلف بر اساس توان دو احساس می‌کند. نسخه فشرده تر سیستم باینری هگزادسیمال نامیده می شود. عدد شانزده توان چهارم از دو است. از این نتیجه می شود که ترجمه دنباله های دوتایی طولانی صفر و یک به هگزادسیمال بسیار آسان است. برای انجام این کار، کافی است دنباله باینری را به گروه های چهار رقمی (رقمی) تقسیم کنید که از کمترین رقم (در سمت راست) شروع می شود و هر گروه را با مقدار هگزادسیمال مربوطه جایگزین کنید.

سیستم هگزا دسیمال معمولاً برای راحتی ادراک داده های باینری استفاده می شود، زیرا ترجمه ها از هگزادسیمال به باینری و بالعکس به سادگی با جایگزینی رشته ها انجام می شود. رایانه منحصراً با دنباله‌های باینری کار می‌کند، و نماد هگزادسیمال این دنباله چهار برابر فشرده‌تر است، زیرا این سیستم دارای پایه 16 (2 16) و باینری 2 است. یک دنباله باینری می‌تواند کاملاً دست و پا گیر باشد. به عنوان مثال، نوشتن عدد 513 به ده رقم باینری (1000000001) نیاز دارد، در حالی که هگزادسیمال فقط به سه (201) نیاز دارد. با این حال، برای نشان دادن هر عدد هگزادسیمال شانزده مورد نیاز است شخصیت های مختلفو نه ده، که در سیستم اعداد اعشاری که ما به آن عادت داریم استفاده می شود. ده کاراکتر اول کاراکترهایی در بازه 0 تا 9 هستند، بقیه حروف الفبای لاتین در محدوده A تا F هستند. حروف معمولاً (اما نه همیشه) با حروف بزرگ (بزرگ) با نماد هگزادسیمال یک عدد نوشته می‌شوند. . ده کاراکتر اول (از 0 تا 9) مانند ارقام در سیستم اعداد اعشاری نوشته شده و با آنها مطابقت دارد. حروف در محدوده A تا F با مقادیری در محدوده 10 تا 15 مطابقت دارند.

مطابقت اعداد از 0 تا 15 با سیستم های اعداد هگزا دسیمال و باینری را در نظر بگیرید.

ورودی های 10، 11 و غیره به صورت اعشاری، باینری و هگزادسیمال مطابقت ندارند. بیایید یک مثال کوچک را در نظر بگیریم. بگذارید داشته باشیم عدد هگزادسیمالشماره 1A5E. برای انتقال به نماد دودوییبه سادگی ارقام هگزا دسیمال را با گروه های باینری مربوطه جایگزین کنید. معلوم می شود 0001 1010 0101 1110. اگر صفرهای ناچیز را جلوی عدد برداریم و بدون جداکننده بنویسیم، 1101001011110 به دست می آید. برای ترجمه معکوس، عدد را به گروه های چهار رقمی تقسیم می کنیم که از پایین ترین (سمت راست) شروع می شود. سمت)، و همچنین برای راحتی، صفرهای ناچیز را به آن اضافه می کنیم گروه ارشدتا 4 رقم ما 0001 1010 0101 1110 دریافت می کنیم. گروه ها را با گروه های مربوطه جایگزین می کنیم مقادیر هگزادسیمال، 1A5E می گیریم.

برای تبدیل یک عدد هگزادسیمال به نمایش اعشاری، می توانید از طرحی استفاده کنید که با آن اعداد اعشاری را می نویسیم. در یک عدد اعشاری، هر رقم نشان دهنده توان مربوط به ده است که از صفر شروع می شود و از راست به چپ افزایش می یابد. مثلا، عدد اعشاری 123 مخفف 1*10 2 + 2*10 1 + 3*10 0 است. با استفاده از روش مشابه، عدد 1A5E را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل می کنیم. در هگزادسیمال و همچنین در اعشار، هر رقم نشان دهنده توان متناظر شانزده است که از صفر شروع می شود و از راست به چپ افزایش می یابد. کاراکترهای 1 و 5 در هگزادسیمال با مقادیر 1 و 5 در اعشار مطابقت دارند و کاراکترهای A و E مربوط به 10 و 14 است. سپس 1A5E را می توان به صورت اعشاری به صورت 1*16 3 + 10*16 2 + 5 نشان داد. *16 1 + 14 * 16 0 = 6750. با این حال، برای ارزیابی اعداد هگزادسیمال، تبدیل آنها به اعشار اصلاً ضروری نیست. قوانین مقایسه، جمع و ضرب در این سیستم مانند سیستم اعشاری است، نکته اصلی این است که فراموش نکنید که هر رقم می تواند حاوی مقادیری از 0 تا 15 باشد. انتقال سریعشماره بین سیستم شماره ای که می توانید استفاده کنید ماشین حساب استاندارددر ویندوز، برای این کار کافی است سیستم شماره را در حالت پیشرفته ماشین حساب انتخاب کنید، یک عدد در آن وارد کنید و انتخاب کنید. سیستم مورد نظرحسابی که در آن نتیجه نمایش داده می شود.

از آنجایی که اعداد هگزادسیمال که فقط از اعداد تشکیل شده اند، به راحتی با اعداد اعشاری اشتباه گرفته می شوند، معمولاً به گونه ای علامت گذاری می شوند که مشخص باشد از نماد هگزادسیمال استفاده شده است. ورودی‌های هگزادسیمال معمولاً یا با اضافه کردن یک حرف کوچک به انتها یا با اضافه کردن «0x» قبل از عدد مشخص می‌شوند. بنابراین، عدد هگزادسیمال 1A5E را می توان به صورت 1A5Eh یا 0x1A5E نوشت، که در آن "h" در پایان یا "0x" در ابتدا نشان دهنده استفاده از نماد هگزا دسیمال است.

منشا آن بابل باستان است. در هند، این سیستم در قالب شماره دهی موقعیتی با استفاده از صفر، برای هندی ها کار می کند این سیستماعداد توسط ملت عرب وام گرفته شده است، آنها نیز به نوبه خود توسط اروپایی ها گرفته شده است. در اروپا، این سیستم شروع به نام عربی کرد.

سیستم موقعیتحساب کردن- مقدار همه ارقام به موقعیت (رقم) این رقم در عدد بستگی دارد.

مثال ها، سیستم اعداد اعشاری استاندارد یک سیستم موقعیتی است. فرض کنید به شما یک عدد داده شده است453 . عدد 4 مخفف صدها و مربوط به یک عدد است400, 5 - تعداد ده ها و مربوط به مقدار است50 ، آ 3 - واحدها و ارزش3 . به راحتی می توان فهمید که با افزایش رقم، مقدار آن افزایش می یابد. بنابراین عدد داده شده را به صورت مجموع می نویسیم400+50+3=453.

سیستم اعداد هگزادسیمال

سیستم اعداد هگزادسیمال(اعداد هگزادسیمال) - سیستم اعداد موقعیتی. پایه سیستم اعداد هگزادسیمالعدد 16 است.

نوشتن اعداد در سیستم اعداد اکتالیما عبارات نسبتا فشرده ای دریافت می کنیم، اما در هگزادسیمال عباراتی را می گیریم که فشرده تر هستند.

ده رقم اول از شانزده رقم هگزادسیمال فاصله استاندارد است 0 - 9 ، شش رقم بعدی با استفاده از حروف اول الفبای لاتین بیان می شود: آ, ب, سی, D, E, اف. تبدیل از سیستم هگزادسیمال به سیستم باینری و به سمت معکوسهمین فرآیند را برای سیستم اکتال.

کاربرد سیستم اعداد هگزادسیمال

از سیستم اعداد هگزادسیمال به خوبی استفاده می شود کامپیوترهای مدرن, مثلابا کمک آن رنگ را نشان دهید: #FFFFFF- رنگ سفید.

تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر.

تبدیل اعداد از هگزادسیمال به اعشاری.

برای تبدیل یک عدد هگزادسیمال به اعشاری، باید عدد داده شده را به صورت مجموع حاصل ضرب درجات پایه سیستم اعداد هگزادسیمال با ارقام مربوطه در ارقام عدد هگزادسیمال بیاورید.

مثلا، عدد هگزادسیمال را ترجمه کنید 5A3به اعشار اینجا 3 شماره. بر اساس قانون فوق، آن را به صورت مجموع درجات با مبنای 16 می آوریم:

5A3 16 = 3 16 0 +10 16 1 +5 16 2 = 3 1+10 16+5 256 = 3+160+1280 = 1443 10

تبدیل اعداد از باینری به هگزادسیمال و بالعکس.

برای ترجمه چند ارزشی عدد باینریدر سیستم هگزادسیمال، باید آن را از راست به چپ به تتراد تقسیم کنید و تمام تترادهای مربوطه را تغییر دهید. رقم هگزادسیمال. برای تبدیل یک عدد از هگزادسیمال به باینری، باید تمام ارقام را به تترادهای مربوطه از جدول تبدیل تغییر دهید که در زیر مشاهده می کنید.

مثلا:

010110100011 2 = 0101 1010 0011 = 5A3 16

جدول تبدیل اعداد

الگوریتم تبدیل اعداد از یک سیستم عددی به سیستم دیگر.

1. از سیستم اعشاریمحاسبه:

• ما عدد را بر پایه سیستم اعدادی که ترجمه می شود تقسیم می کنیم.
• باقیمانده از تقسیم عدد صحیح را پیدا کنید.
• تمام باقی مانده های تقسیم را به ترتیب معکوس بنویسید.

2. از سیستم اعداد باینری:

• برای تبدیل به سیستم اعداد اعشاری، مجموع حاصل از پایه 2 را با درجه تخلیه مربوطه پیدا می کنیم.
• برای تبدیل یک عدد به هشتی، عدد را به سه تایی تقسیم می کنیم.

به عنوان مثال، 1000110 = 1000 110 = 1068

• برای تبدیل یک عدد از باینری به هگزادسیمال، عدد را به گروه های 4 رقمی تقسیم می کنیم.

به عنوان مثال، 1000110 = 100 0110 = 4616.

جداول ترجمه:

نتیجه قبلاً دریافت شده است!

سیستم های اعداد

سیستم اعداد موقعیتی و غیر موقعیتی وجود دارد. سیستم اعداد عربی که ما در زندگی روزمره از آن استفاده می کنیم، موقعیتی است، در حالی که سیستم رومی نیست. که در سیستم های موقعیتیدر محاسبه، موقعیت یک عدد به طور منحصر به فرد بزرگی عدد را تعیین می کند. این را با استفاده از مثال عدد 6372 در سیستم اعداد اعشاری در نظر بگیرید. با شروع از صفر این عدد را از راست به چپ شماره گذاری می کنیم:

سپس عدد 6372 را می توان به صورت زیر نشان داد:

6372=6000+300+70+2 =6 10 3 +3 10 2 +7 10 1 +2 10 0 .

عدد 10 سیستم اعداد (in این مورد 10 است). مقادیر موقعیت عدد داده شده به عنوان درجه در نظر گرفته می شود.

عدد اعشاری واقعی 1287.923 را در نظر بگیرید. آن را با شروع از موقعیت صفر عدد از نقطه اعشار به سمت چپ و به راست شماره گذاری می کنیم:

سپس عدد 1287.923 را می توان به صورت زیر نشان داد:

1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1 10 3 +2 10 2 +8 10 1 +7 10 0 +9 10 -1 +2 10 -2 +3 10 -3 .

به طور کلی، فرمول را می توان به صورت زیر نشان داد:

C n س n + C n-1 س n-1 +...+C 1 س 1 + C 0 s 0 + D -1 s -1 + D -2 s -2 + ... + D -k s -k

که در آن C n یک عدد صحیح در موقعیت است n، D -k - عدد کسری در موقعیت (-k)، س- سیستم شماره

چند کلمه در مورد سیستم اعداد. مجموعه ای از ارقام (0،1، 2،3،4،5،6،7)، در سیستم باینری - از مجموعه ارقام (0.1)، در سیستم اعداد هگزا دسیمال - از مجموعه ارقام (0، 1،2،3،4،5،6، 7،8،9،A،B،C،D،E،F)، که در آن A،B،C،D،E،F با اعداد 10،11 مطابقت دارد، 12،13،14،15. در جدول 1 اعداد ارائه شده در سیستم های مختلفحساب کردن

تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر

برای ترجمه اعداد از یک سیستم عددی به سیستم دیگر، ساده ترین راه این است که ابتدا عدد را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید و سپس از سیستم اعداد اعشاری، آن را به سیستم اعداد مورد نیاز ترجمه کنید.

تبدیل اعداد از هر سیستم عددی به سیستم عددی اعشاری

با استفاده از فرمول (1)، می توانید اعداد را از هر سیستم عددی به سیستم اعشاری تبدیل کنید.

مثال 1. عدد 1011101.001 را از سیستم اعداد باینری (SS) به SS اعشاری تبدیل کنید. راه حل:

1 2 6 + 0 2 5 + 1 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 + 0 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125

مثال2. عدد 1011101.001 را از سیستم اعداد هشتگانه (SS) به SS اعشاری تبدیل کنید. راه حل:

مثال 3 . عدد AB572.CDF را از هگزادسیمال به SS اعشاری تبدیل کنید. راه حل:

اینجا آ 10 جایگزین شد، ب- ساعت 11 سی- در ساعت 12، اف- ساعت 15

تبدیل اعداد از سیستم اعداد اعشاری به سیستم عددی دیگر

برای تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد اعشاری به سیستم اعداد دیگر، باید قسمت صحیح عدد و قسمت کسری عدد را جداگانه ترجمه کنید.

قسمت صحیح عدد از SS اعشاری به سیستم اعداد دیگری ترجمه می شود - با تقسیم متوالی قسمت صحیح عدد بر پایه سیستم اعداد (برای SS باینری - بر 2، برای SS 8 رقمی - بر 8، برای 16 رقم - توسط 16 و غیره) برای به دست آوردن کل باقیمانده، کمتر از پایه SS.

مثال 4 . بیایید عدد 159 را از SS اعشاری به SS باینری ترجمه کنیم:

همانطور که در شکل دیده میشود. 1، عدد 159، وقتی بر 2 تقسیم می شود، ضریب 79 و باقیمانده 1 می شود. علاوه بر این، عدد 79، وقتی بر 2 تقسیم می شود، ضریب 39 و باقیمانده 1 می شود و غیره. در نتیجه، با ساختن یک عدد از باقیمانده تقسیم (از راست به چپ)، یک عدد در SS باینری بدست می آوریم: 10011111 . بنابراین، می توانیم بنویسیم:

159 10 =10011111 2 .

مثال 5 . بیایید عدد 615 را از SS اعشاری به SS هشتی تبدیل کنیم.

هنگام تبدیل یک عدد از SS اعشاری به SS هشتی، باید عدد را به ترتیب بر 8 تقسیم کنید تا زمانی که یک باقیمانده عدد صحیح کمتر از 8 بدست آورید. در نتیجه، یک عدد از باقیمانده تقسیم (از راست به چپ) می سازیم. یک عدد در SS octal بدست آورید: 1147 (شکل 2 را ببینید). بنابراین، می توانیم بنویسیم:

615 10 =1147 8 .

مثال 6 . بیایید عدد 19673 را از سیستم اعداد اعشاری به SS هگزادسیمال ترجمه کنیم.

همانطور که از شکل 3 مشاهده می شود، با تقسیم متوالی عدد 19673 بر 16، باقی مانده های 4، 12، 13، 9 را به دست می آوریم. عدد هگزادسیمال ما 4CD9 است.

برای تبدیل اعشار صحیح ( عدد واقعیبا یک عدد صحیح صفر) به یک سیستم اعداد با پایه s، این عدد باید به طور متوالی در s ضرب شود تا زمانی که قسمت کسری یک صفر خالص شود یا تعداد ارقام لازم را بدست آوریم. اگر حاصل ضرب عددی با جزء صحیح غیر از صفر باشد، این قسمت صحیح در نظر گرفته نمی شود (آنها به ترتیب در نتیجه گنجانده می شوند).

بیایید با مثال به موارد بالا نگاه کنیم.

مثال 7 . بیایید عدد 0.214 را از سیستم اعشاری به SS باینری ترجمه کنیم.

همانطور که از شکل 4 مشاهده می شود، عدد 0.214 به صورت متوالی در 2 ضرب می شود. و عدد با یک عدد صحیح صفر نوشته می شود. اگر با ضرب عددی با جزء صحیح صفر به دست آید، در سمت چپ آن صفر نوشته می شود. فرآیند ضرب تا زمانی ادامه می یابد که در قسمت کسری یک صفر خالص به دست آید یا تعداد ارقام لازم به دست آید. با نوشتن اعداد پررنگ (شکل 4) از بالا به پایین، عدد مورد نیاز را در سیستم باینری بدست می آوریم: 0. 0011011 .

بنابراین، می توانیم بنویسیم:

0.214 10 =0.0011011 2 .

مثال 8 . بیایید عدد 0.125 را از سیستم اعداد اعشاری به SS باینری ترجمه کنیم.

برای تبدیل عدد 0.125 از SS اعشاری به باینری این عدد متوالی در 2 ضرب می شود در مرحله سوم 0 به دست آمد بنابراین نتیجه زیر به دست آمد:

0.125 10 =0.001 2 .

مثال 9 . بیایید عدد 0.214 را از سیستم اعداد اعشاری به SS هگزادسیمال ترجمه کنیم.

به دنبال مثال های 4 و 5، اعداد 3، 6، 12، 8، 11، 4 را به دست می آوریم. اما در SS هگزادسیمال، اعداد C و B با اعداد 12 و 11 مطابقت دارند. بنابراین، داریم:

0.214 10 = 0.36C8B4 16.

مثال 10 . بیایید عدد 0.512 را از سیستم اعداد اعشاری به SS هشتی ترجمه کنیم.

بدست آورد:

0.512 10 =0.406111 8 .

مثال 11 . بیایید عدد 159.125 را از سیستم اعداد اعشاری به SS باینری ترجمه کنیم. برای این کار، قسمت صحیح عدد (مثال 4) و قسمت کسری عدد (مثال 8) را جداگانه ترجمه می کنیم. با ترکیب این نتایج بدست می آوریم:

159.125 10 =10011111.001 2 .

مثال 12 . بیایید عدد 19673.214 را از سیستم اعداد اعشاری به SS هگزادسیمال ترجمه کنیم. برای این کار، قسمت صحیح عدد (مثال 6) و قسمت کسری عدد (مثال 9) را جداگانه ترجمه می کنیم. با ترکیب بیشتر این نتایج به دست می آوریم.