نحوه تبدیل عدد باینری سیستم های اعداد سیستم اعداد موقعیتی باینری

| 6 کلاس | برنامه ریزی درسی برای سال تحصیلی | تبدیل اعداد باینری به سیستم اعشاریحساب کردن

درس 5
تبدیل اعداد باینری به سیستم اعداد اعشاری
کار با برنامه ماشین حساب

تبدیل اعداد اعشاری صحیح به کد باینری

روش 1

بیایید سعی کنیم عدد 1409 را به عنوان مجموع اعضای ردیف دوم نشان دهیم.

بیایید از روش تفاوت استفاده کنیم. بیایید نزدیکترین عضو ردیف دوم را به عدد اصلی بگیریم، اما از آن بیشتر نشود، و تفاوت را جبران کنیم:

1409 - 1024 = 385.

بیایید نزدیکترین عضو ردیف دوم را به اختلاف به دست آمده، اما از آن بیشتر نکنیم، و تفاوت را جبران کنیم:

385 - 256 = 129.

به طور مشابه، ما تفاوت را ایجاد می کنیم: 129 - 128 = 1.

در نتیجه، دریافت می کنیم:

1409 = 1024 + 256 + 128 + 1 = 1 1024 + 0 512 + 1 256 + + 1 128 + 0 64 + 0 32 + 0 16 + 0 8 + 0 4 + 0 2 + 1 1.

می بینیم که هر یک از اعضای ردیف دوم یا نمی توانند در جمع گنجانده شوند یا فقط یک بار در آن گنجانده شوند.

اعداد 1 و 0 که عبارت های سری دوم در آنها ضرب می شوند نیز عدد اصلی 1409 را تشکیل می دهند، اما در دیگری، نماد دودویی: 10110000001.

نتیجه به این صورت نوشته شده است:

1409 10 = 10110000001 2 .

عدد اصلی را با استفاده از 0 و 1 نوشتیم، به عبارت دیگر کد باینری این عدد را دریافت کردیم یا عدد را در سیستم اعداد باینری نشان دادیم.

روش 2

این روش برای دریافت کد باینری عدد اعشاریبر اساس ثبت باقی مانده حاصل از تقسیم عدد اصلی و ضرایب حاصل بر 2 است، تا زمانی که ضریب بعدی برابر با 0 شود، ادامه می یابد.

مثال:

اولین خانه ردیف بالا شامل عدد اصلی و هر سلول بعدی شامل نتیجه تقسیم عدد قبلی بر 2 است.

سلول های خط پایین حاوی باقیمانده های تقسیم بندی آنهایی هستند که در آن ایستاده اند خط بالاییاعداد بر 2

آخرین سلول ردیف پایین خالی می ماند. کد دودویی عدد اعشاری اصلی با نوشتن متوالی تمام باقیمانده ها، از آخرین مورد شروع می شود: 1409 10 = 10110000001 2 به دست می آید.

20 عضو اول سری طبیعی در سیستم باینری به شرح زیر نوشته می شوند: 1، 10، 11، 100، 101، 110، 111، 1000، 1001، 1010، 1011،1100، 1101،1110،1010.10.10.10.10.10.10.10.10. 11 .10100.

تبدیل اعداد صحیح از باینری به اعشاری

روش 1

بگذارید یک عدد 111101 2 وجود داشته باشد. می توان آن را به این صورت نشان داد:

روش 2

بیایید همان عدد 111101 2 را در نظر بگیریم. بیایید واحد رقم ششم (اولین رقم از سمت چپ در رکورد عدد) را به واحدهای رقم 5 تبدیل کنیم که برای آن عدد 1 را در 2 ضرب می کنیم، زیرا واحد رقم ششم در سیستم باینری شامل 2 واحد از رقم 5 است.

به 2 واحد دریافتی از دسته 5، واحد موجود از دسته 5 را اضافه می کنیم. بیایید این 3 واحد از دسته 5 را به دسته 4 ترجمه کنیم و واحد موجود دسته 4 را اضافه کنیم: 3 2 + 1 = 7.

بیایید 7 واحد از دسته 4 را به دسته 3 تبدیل کنیم و واحد موجود دسته 3 را اضافه کنیم: 7 2 + 1 = 15.

بیایید 15 واحد از دسته 3 را به دسته 2 ترجمه کنیم: 15 2 \u003d 30. هیچ واحدی در شماره اصلی در دسته 2 وجود ندارد.

بیایید 30 واحد از دسته 2 را به دسته 1 ترجمه کنیم و واحد موجود در آنجا را اضافه کنیم: 30 2 + 1 \u003d 61. دریافتیم که شماره اصلی شامل 61 واحد از دسته 1 است.

محاسبات کتبی به راحتی به صورت زیر مرتب می شوند:

با استفاده از اپلیکیشن می توانید اعداد صحیح را از اعشار به باینری و بالعکس تبدیل کنید ماشین حساب.

بیایید یک آزمایش کوچک انجام دهیم .

1. برنامه Calculator را اجرا کنید و دستور را اجرا کنید [نمایش-مهندسی]. توجه کن به گروهی از سوئیچ ها که سیستم اعداد را تعیین می کنند:

2. مطمئن شوید که ماشین حساب برای کار کردن تنظیم شده است اعشاریسیستم شماره با استفاده از صفحه کلید یا ماوس، یک عدد دو رقمی دلخواه را در قسمت ورودی وارد کنید. سوئیچ را فعال کنید صندوقچهو مراقب تغییرات در پنجره ورودی باشید. به سیستم اعشاری برگردید. قسمت ورودی را پاک کنید.

3. مرحله 2 را چندین بار برای اعداد اعشاری دیگر تکرار کنید.

4. ماشین حساب را برای کار در سیستم باینری تنظیم کنید. به کدام دکمه ها توجه کنید ماشین حسابو کلیدهای شماره صفحه کلید در دسترس شما هستند. متناوبا وارد شوید کدهای باینریاعضای 5، 10 و 15 از سری طبیعی و با استفاده از سوئیچ دسامبرآنها را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید.

دستورالعمل

ویدیو های مرتبط

در سیستم شمارشی که ما هر روز استفاده می کنیم، ده رقم وجود دارد - از صفر تا نه. به همین دلیل به آن اعشاری می گویند. اما در محاسبات فنی، به ویژه محاسبات مربوط به کامپیوتر، سایر سیستم های، به طور خاص باینری و هگزادسیمال. بنابراین، شما باید بتوانید ترجمه کنید شمارهاز یکی سیستم هایحساب کردن به دیگری

شما نیاز خواهید داشت

• - یک تکه کاغذ؛
• - مداد یا خودکار؛
• - ماشین حساب.

دستورالعمل

سیستم باینری ساده ترین است. این فقط دو رقم دارد - صفر و یک. هر رقم باینری شماره، که از انتها شروع می شود، با توان دو مطابقت دارد. دو برابر یک، اولی برابر دو، دومی برابر چهار، سومی برابر هشت و غیره.

فرض کنید به شما داده شده است عدد باینری 1010110. واحدهای موجود در آن از پایان در رتبه های دوم، سوم، پنجم و هفتم قرار دارند. بنابراین در اعشار این عدد 2^1 + 2^2 + 2^4 + 2^6 = 2 + 4 + 16 + 64 = 86 است.

مسئله معکوس - اعشاری شمارهسیستم. فرض کنید عدد 57 را دارید. برای بدست آوردن رکورد آن، باید این عدد را به ترتیب بر 2 تقسیم کنید و باقیمانده تقسیم را یادداشت کنید. عدد باینری از انتها به ابتدا ساخته خواهد شد.
مرحله اول آخرین رقم را به شما می دهد: 57/2 = 28 (باقی مانده 1).
سپس دومی را از آخر دریافت می کنید: 28/2 = 14 (باقی مانده 0).
مراحل بعدی: 14/2 = 7 (باقی مانده 0)؛
7/2 = 3 (باقی مانده 1)؛
3/2 = 1 (باقی مانده 1)؛
1/2 = 0 (باقی مانده 1).
این آخرین مرحله است زیرا نتیجه تقسیم صفر است. در نتیجه شما عدد باینری 111001 را دریافت می کنید.
بررسی کنید که آیا پاسخ شما صحیح است: 111001 = 2^0 + 2^3 + 2^4 + 2^5 = 1 + 8 + 16 + 32 = 57.

دومی که در مسائل کامپیوتری استفاده می شود، هگزادسیمال است. نه ده، بلکه شانزده رقم دارد. تا جدید نباشد نمادها، ده رقم اول هگزادسیمال سیستم هایبا اعداد معمولی نشان داده می شوند و شش باقی مانده - با حروف لاتین: A، B، C، D، E، F. آنها با نماد اعشاری مطابقت دارند شماره m از 10 تا 15. برای جلوگیری از سردرگمی، قبل از یک عدد نوشته شده در هگزادسیمال یک علامت # یا نویسه 0x قرار می گیرد.

برای شماره گذاری از هگزادسیمال سیستم های، باید هر یک از ارقام آن را در توان متناظر شانزده ضرب کنید و نتایج را اضافه کنید. به عنوان مثال، #11A در نماد اعشاری 10*(16^0) + 1*(16^1) + 1*(16^2) = 10 + 16 + 256 = 282 است.

ترجمه معکوس از اعشار سیستم هایبه هگزادسیمال با همان روش باقیمانده در باینری انجام می شود. به عنوان مثال، عدد 10000 را در نظر بگیرید. با تقسیم آن بر 16 متوالی و نوشتن باقی مانده، به دست می آید:
10000/16 = 625 (بقیه 0).
625/16 = 39 (باقيمانده 1).
39/16 = 2 (باقی مانده 7).
2/16 = 0 (باقی مانده 2).
نتیجه محاسبه عدد هگزادسیمال #2710 خواهد بود.
پاسخ خود را بررسی کنید: #2710 = 1*(16^1) + 7*(16^2) + 2*(16^3) = 16 + 1792 + 8192 = 10000.

انتقال شمارهاز هگزادسیمال سیستم هایباینری خیلی راحت تره عدد 16 یک دو است: 16 = 2^4. بنابراین، هر یک رقم هگزادسیمالرا می توان به صورت یک عدد باینری چهار رقمی نوشت. اگر به صورت باینری کمتر از چهار رقم دریافت کردید، صفرها را به ابتدا اضافه کنید.
برای مثال، #1F7E = (0001)(1111)(0111)(1110) = 1111101111110.
بررسی کنید که آیا پاسخ شما صحیح است: هر دو شمارهدر نماد اعشاری 8062 هستند.

برای ترجمه، باید عدد باینری را به گروه‌های چهار رقمی تقسیم کنید، از انتها شروع کنید، و هر گروه را با یک رقم هگزادسیمال جایگزین کنید.
به عنوان مثال، 11000110101001 تبدیل به (0011)(0001)(1010)(1001) می شود که در هگزادسیمال #31A9 است. صحت پاسخ با ترجمه به تایید می شود نماد دهی: هر دو شمارهبرابر با 12713 هستند.

توصیه 5: چگونه یک عدد را به باینری تبدیل کنیم

به دلیل استفاده محدود از نمادها، سیستم باینری راحت ترین برای استفاده در رایانه و سایر موارد است دستگاه های دیجیتال. فقط دو کاراکتر وجود دارد: 1 و 0، بنابراین این سیستمدر رجیسترها استفاده می شود.

دستورالعمل

باینری موقعیتی است، یعنی. موقعیت هر رقم در عدد مربوط به یک رقم معین است که در درجه مربوطه برابر با دو است. درجه از صفر شروع می شود و با حرکت از راست به چپ افزایش می یابد. مثلا، عدد 101 برابر است با 1*2^0 + 0*2^1 + 1*2^2 = 5.

سیستم های اکتال، هگزادسیمال و اعشاری نیز به طور گسترده ای در بین سیستم های موقعیتی استفاده می شوند. و اگر روش دوم برای دو مورد اول کاربرد بیشتری دارد، هر دو برای ترجمه از قابل استفاده هستند.

عدد اعشاری را تا باینری در نظر بگیرید سیستمروش تقسیم متوالی بر 2. برای ترجمه اعشار عدد 25 اینچ

تبصره 1

اگر می خواهید عددی را از یک سیستم اعدادی به سیستم دیگر تبدیل کنید، راحت تر است که ابتدا آن را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید و تنها پس از آن آن را از سیستم اعداد اعشاری به هر سیستم اعداد دیگری منتقل کنید.

قوانین تبدیل اعداد از هر سیستم عددی به اعشاری

که در علوم کامپیوتر، که از حساب ماشینی استفاده می کند، تبدیل اعداد از یک سیستم عددی به سیستم اعداد دیگر نقش مهمی دارد. در زیر قوانین اساسی برای چنین تبدیل (ترجمه) را ارائه می دهیم.

هنگام تبدیل یک عدد باینری به اعشاری، باید عدد باینری را در فرم نمایش دهید چند جمله ایکه هر عنصر آن به صورت حاصل ضرب یک رقم یک عدد و توان متناظر عدد پایه نشان داده می شود، در این مورد$2$، و سپس باید چند جمله ای را طبق قوانین حساب اعشاری محاسبه کنید:

$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$

شکل 1. جدول 1

مثال 1

عدد $11110101_2$ را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید.

راه حل.با استفاده از جدول بالا $1$ از درجه پایه $2$، عدد را به صورت چند جمله ای نشان می دهیم:

$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 4 +6 +3 = 4 + 1 +3 245_ (10) دلار

برای تبدیل یک عدد از سیستم اعداد اکتالیتا اعشاری، باید آن را به صورت چند جمله ای نشان دهید، که هر عنصر آن به عنوان حاصلضرب یک رقم از یک عدد و توان متناظر عدد پایه، در این مورد 8 دلار نشان داده می شود، و سپس باید چند جمله ای را طبق قوانین حساب اعشاری محاسبه کنید:

$X_8 = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$

شکل 2. جدول 2

مثال 2

عدد $75013_8$ را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید.

راه حل.با استفاده از جدول بالا $2$ از درجه پایه $8$، عدد را به صورت چند جمله ای نشان می دهیم:

$75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$

برای تبدیل یک عدد از هگزادسیمال به اعشاری، باید آن را به صورت چند جمله ای نشان دهید، که هر عنصر آن به عنوان حاصلضرب یک رقم از عدد و توان متناظر عدد پایه، در این مورد 16 دلار نشان داده می شود، و سپس باید چند جمله ای را طبق قوانین حساب اعشاری محاسبه کنید:

$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + ... + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$

شکل 3. جدول 3

مثال 3

تبدیل عدد $FFA2_(16)$ به سیستم اعداد اعشاری.

راه حل.با استفاده از جدول فوق از توان های پایه $3$ از $8$، عدد را به صورت چند جمله ای نشان می دهیم:

$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$

قوانین تبدیل اعداد از یک سیستم اعشاری به سیستم دیگر

• برای تبدیل یک عدد از اعشار به دودویی، باید به طور متوالی بر 2$ تقسیم شود تا زمانی که باقیمانده کمتر یا مساوی با $1$ باقی بماند. یک عدد در سیستم باینری به عنوان دنباله ای از آخرین نتیجه تقسیم و باقیمانده تقسیم به ترتیب معکوس نشان داده می شود.

مثال 4

عدد $22_(10)$ را به سیستم اعداد باینری تبدیل کنید.

راه حل:

شکل 4

$22_{10} = 10110_2$

• برای تبدیل یک عدد از اعشار به اکتال، باید به ترتیب بر 8 دلار تقسیم شود تا زمانی که باقیمانده کمتر یا مساوی 7 دلار باشد. یک عدد را در سیستم اعداد هشتگانه به صورت دنباله ای از ارقام آخرین نتیجه تقسیم و باقیمانده تقسیم را به ترتیب معکوس ارائه دهید.

مثال 5

عدد $571_(10)$ را به سیستم اعداد هشتگانه تبدیل کنید.

راه حل:

شکل 5

$571_{10} = 1073_8$

• برای تبدیل یک عدد از اعشار به سیستم هگزادسیمالباید متوالی بر 16 دلار تقسیم شود تا زمانی که باقیمانده کمتر یا مساوی 15 دلار باشد. یک عدد را به صورت هگزادسیمال به صورت دنباله ای از ارقام آخرین نتیجه تقسیم و باقیمانده تقسیم را به ترتیب معکوس بیان کنید.

مثال 6

عدد $7467_(10)$ را به سیستم اعداد هگزادسیمال تبدیل کنید.

راه حل:

شکل 6

$7467_(10) = 1D2B_(16)$

به منظور ترجمه کسر مناسباز یک سیستم اعشاری به یک غیر اعشاری، لازم است قسمت کسری عدد تبدیل شده در پایه سیستمی که قرار است به آن تبدیل شود ضرب شود. کسر در سیستم جدیددر قالب بخش های کامل از آثار، از اول ارائه خواهد شد.

برای مثال: $0.3125_((10))$ در اکتال مانند $0.24_(((8))$ خواهد بود.

در این حالت، زمانی که یک کسر اعشاری متناهی می تواند با کسری نامتناهی (تناوبی) در یک سیستم اعداد غیر اعشاری مطابقت داشته باشد، ممکن است با مشکل مواجه شوید. در این مورد، تعداد ارقام در کسر نشان داده شده در سیستم جدید به دقت مورد نیاز بستگی دارد. همچنین باید توجه داشت که اعداد صحیح به صورت اعداد صحیح باقی می مانند و کسرهای مناسب در هر سیستم عددی کسر باقی می مانند.

قوانین تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد باینری به سیستم دیگر

• برای تبدیل یک عدد از دودویی به هشتی، باید آن را به سه گانه (سه رقمی) تقسیم کرد، با کمترین رقم شروع کرد، در صورت لزوم، صفرها را به بالاترین سه گانه اضافه کرد، سپس طبق جدول 4، هر سه گانه را با رقم هشتی مربوطه جایگزین کرد.

شکل 7. جدول 4

مثال 7

عدد $1001011_2$ را به سیستم اعداد هشتگانه تبدیل کنید.

راه حل. با استفاده از جدول 4، عدد را از باینری به هشتی ترجمه می کنیم:

$001 001 011_2 = 113_8$

• برای تبدیل یک عدد از دودویی به هگزا دسیمال، باید آن را به تتراد (چهار رقمی) تقسیم کرد، با کمترین رقم شروع کرد، در صورت لزوم، تتراد ارشد را با صفر تکمیل کرد، سپس طبق جدول 4، هر تتراد باید با رقم هشتی مربوطه جایگزین شود.

تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر بخش مهمی از محاسبات ماشین است. قوانین اساسی ترجمه را در نظر بگیرید.

1. برای تبدیل یک عدد دودویی به اعشاری باید آن را به صورت چند جمله ای متشکل از حاصل ضرب ارقام عدد و توان متناظر عدد 2 بنویسیم و بر اساس قواعد حساب اعشاری محاسبه کنیم:

هنگام ترجمه، استفاده از جدول قدرت های دو راحت است:

جدول 4. توان های 2

مثال.

2. برای ترجمه عدد اکتالدر اعشار، لازم است آن را به صورت چند جمله ای، متشکل از حاصل ضرب ارقام عدد و توان متناظر عدد 8، بنویسیم و طبق قوانین حساب اعشاری محاسبه کنیم:

هنگام ترجمه، استفاده از جدول توان های هشت راحت است:

جدول 5. توان های 8

مثال.تبدیل عدد به سیستم اعداد اعشاری.

3. برای ترجمه عدد هگزادسیمالدر اعشار لازم است آن را به صورت چند جمله ای متشکل از حاصل ضرب ارقام عدد و توان متناظر عدد 16 بنویسیم و طبق قوانین حساب اعشاری محاسبه کنیم:

هنگام ترجمه، استفاده از آن راحت است بلیتز از قدرت های 16:

جدول 6. توان های 16

مثال.تبدیل عدد به سیستم اعداد اعشاری.

4. برای تبدیل یک عدد اعشاری به سیستم دودویی، باید به طور متوالی بر 2 تقسیم شود تا زمانی که باقیمانده ای کمتر یا مساوی 1 باشد. یک عدد در سیستم باینری به عنوان دنباله ای از آخرین نتیجه تقسیم و باقی مانده تقسیم به ترتیب معکوس نوشته می شود.

مثال.تبدیل عدد به سیستم اعداد باینری

5. برای تبدیل یک عدد اعشاری به سیستم هشتی باید متوالی بر 8 تقسیم شود تا زمانی که باقیمانده ای کمتر یا مساوی 7 باشد. عددی در سیستم هشتی به صورت دنباله ای از ارقام آخرین نتیجه تقسیم و باقیمانده تقسیم به ترتیب معکوس نوشته می شود.

مثال.تبدیل عدد به سیستم اعداد هشتگانه.

6. برای تبدیل یک عدد اعشاری به سیستم هگزا دسیمال باید متوالی بر 16 تقسیم شود تا زمانی که باقیمانده کمتر یا مساوی 15 باشد. عدد در سیستم هگزادسیمال به صورت دنباله ای از ارقام آخرین نتیجه تقسیم و باقیمانده تقسیم به ترتیب معکوس نوشته می شود.

مثال.عدد را به هگزادسیمال تبدیل کنید.