Функция одной переменной. Учебное пособие по Математическим методам в географии

Скачать с Depositfiles

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Лекция № 13. Тема 1 : Функции

1.1. Определение функции

При изучении определённых процессов реального мира мы встречаемся с характеризующими их величинами, которые меняются во время изучения этих процессов. При этом изменение одной величины сопутствует изменению другой. Например, при прямолинейном равно-мерном движении связь между пройденным путём s , скоростью v и вре-менем t выражается формулой . При заданной скорости v величина пути s зависит от времени t .

В этом случае изменение одной величины (t ) произвольно, а другая (s ) зависит от первой. Тогда говорят, что задана функциональная зависимость. Дадим математическое обоснование этому понятию.

Пусть заданы два множества X и Y .

Определение. Функцией называется закон или правило, согласно которому каждому элементу
ставится в соответствие единственный элемент
, при этом пишут

или
.

Элемент называется аргументом функции f , а элемент значением функции. Множество X , при котором функция опреде-лена, называется областью определения функции , а множество Y  областью изменения функции . Эти множества соответственно обозначаются
и
.

Примеры функций:

1. Скорость свободного падения тела
. Здесь X и Y  множества действительных неотрицательных чисел.

2. Площадь круга
. Здесь X и Y  множества положитель-ных действительных чисел.

3. Пусть X  множество студентов группы, т.е.
, а
 множество оценок на экзамене. Здесь в качестве функции f рассматривается критерий оценки знаний.

В дальнейшем под множествами X и Y будем подразумевать множества чисел и придерживаться обозначения . Для большей наглядности будем использовать геометрическое представление множеств и в виде множества точек на действительной оси. Рассмотрим некоторые наиболее употребительные числовые множества (промежутки) :

 отрезок;

 интервал;

 числовая ось (множество действительных чисел);

или     окрестность точки a .

а
х

Замечание 1. Мы рассмотрели определение однозначной функции. Если же каждому соответствует по некоторому правилу определённое множество чисел y , то таким правилом определена многозначная функция . Например, .

Примеры. Найти области определения и значений функций :

1. .

2. .

3. .

4. .

1.2. Способы задания функции

1. Аналитический способ. Прежде всего, функции могут задаваться при помощи формул. Для этого используются уже изученные и специально обозначенные функции и алгебраические действия.

Примеры:

1.
. 2.
. 3.
.

В дальнейшем будем использовать краткие математические обозначения (кванторы):  для всех, любых;  существует, можно указать.

Напомним некоторые элементы поведения функций. Функция называется возрастающей (убывающей ) на некотором промежутке, если
из этого промежутка выполняется неравенство
или
и пишут
или
соответственно . Возрастающие и убывающие функции называются монотонными . Функция называется ограниченной на некотором промежутке, если
выполняется условие
. В противном случае функция называется неограниченной.

Функция называется четной (нечетной ), если она обладает свойством . Остальные функции называются функциями общего вида .

Функция называется периодической с периодом Т , если выполня-ется условие
.

Например, функция
является возрастающей
и убывающей
. Функция
является монотонной . Функция
ограничена для , так как
. Функции:
являются четными, а функции
 нечетными. Функция
 периодическая с периодом
.

Функция может быть задана и уравнением вида

(1)

Если существует такая функция , что
, то уравнение (1) определяет функцию заданную неявно . Например, в приме-ре 2 функция задана неявно, это уравнение определяет много-значную функцию
.

Пусть
, а
, тогда функция
называется сложной функцией или суперпозицией двух функций F и f . Например, в примере 3 функция является суперпозицией двух функций
и
.

Если в качестве аргумента рассмотреть переменную у , а в качестве функции – переменную х , то получим функцию, которая называется для однозначной функции обратной и обозначается
. Например, для функции
обратной функцией служит
или
, если придерживаться общепринятых обозначений аргумента и функции.

Замечание 2. Функция может быть задана и с помощью описания соответствия (описательный способ ). Например, поставим в соответствие каждому числу
число 1, а каждому
число 0. В результате получим единичную функцию

Следует отметить, что всякая формула является символической записью некоторого описанного соответствия и поэтому различие между заданием функции с помощью формул и описания соответствия чисто внешнее.

Графическое изображение функции также может служить для задания функциональной зависимости.

2. Графический способ. Функция задаётся в виде графика. Примером графического задания функции может служить показания осциллографа.

d

Функцию можно задавать с помощью таблиц:

3. Табличный способ. Для некоторых значений переменной x указываются соответствующие значения переменной y . Примерами такого способа заданий являются таблицы значений тригонометрических функ-ций, таблицы, представляющие собой зависимость между измеряемыми величинами и др.

Для работы на ЭВМ функцию задают алгоритмическим способом.

1.3. Элементарные функции

К основным или простейшим элементарным функциям относятся: . целая часть числа, где x  наибольшее целое число, не превосходящее x , например,
.

Функция одной переменной

Функции одной переменной.

Введение

В математике основополагающими понятиями являются понятие множества, элемента множества. Математический анализ имеет дело, в основном, с числовыми множествами.

В дальнейшем будем использовать следующую символику:

N - множество натуральных чисел;

Z - множество целых чисел;

Q - множество рациональных чисел;

R - множество действительных чисел;

С – множество комплексных чисел;

Например, символьная запись "х ÎN $ y ÎN: (y > x Ú y < x ) читается «для любого натурального числа х найдется натуральное число у такое, что либо y > x , либо y < x ».

Как известно, каждому действительному числу ставится в соответствие единственная точка на числовой прямой. Поэтому в дальнейшем договоримся отождествлять термины «действительное число» и «точка» числовой прямой. Для числовых промежутков будем использовать следующие обозначения:

[a ; b ] или a £ x £ b – замкнутый промежуток или отрезок с началом в точке а и концом в точке b ;

(a ; b ) или a < x < b – открытый промежуток или интервал ;

(a ; b ] или a < x £ b ,

[a ; b ) или a £ x < b

– полуоткрытые промежутки или полуинтервалы;

[a ; +¥) или x ³ a , (–¥; b ] или x £ b – лучи;

(a ; +¥) или x > a , (–¥ ; b ) или x < b – открытые лучи;

(–¥ ; +¥) или –¥ < х < +¥ – координатная прямая (множество R действительных чисел).

В науке и практике приходится иметь дело с разного рода величинами. Одни из них в конкретных условиях остаются неизменными (постоянными), другие – меняются (переменные). Например, объем аудитории, банки – постоянны, а объем воздушного шарика – переменный.

В математическом анализе нас будет интересовать только численное выражение той или иной величины, а не ее природа, т.е. будем рассматривать абстрактные величины. Поэтому, постоянной величиной мы будем называть ту величину, которая принимает фиксированное, конкретное (пусть даже неизвестное) значение. Обозначать это будем: х – const. Чаще всего постоянные обозначают начальными буквами латинского алфавита: a , b , c , ... или греческими a, b, e, l, ... .

Переменной величиной считаем ту, которая может принимать произвольные числовые значения из некоторого множества чисел. Обозначают переменные чаще всего буквами конца латинского алфавита: х , у , z , t ,... . Множество, из которого переменная величина принимает значения, называют областью определения этой переменной и пишут: x ÎD.

Функция одной переменной

Наряду с понятием множества и элемента множества, к основным понятиям математики относят и понятие соответствия. Определенный вид соответствий носит название функции.

Пусть заданы множество Х с элементами х и множество У, состоящее из элементов у (множества Х и У – не пустые, элементы их могут быть любой природы).

Определение 1.1 Если каждому элементу х ÎХ по некоторому закону (правилу) f поставлен в соответствие единственный элемент у Î У, то говорят, что на множестве Х задана функция y = f (x ), х ÎХ или отображение f : Х → У множества Х в множество У.

При этом принята терминология:

х – независимое переменное, или аргумент,

Х – область определения функции, а каждый элемент х ÎХ – значение аргумента,

у – зависимое переменное, или функция от аргумента х ,

У – область значений функции, а каждый элемент у ÎУ такой, что
y = f (x ) для некоторого х ÎХ, называется значением функции.

В зависимости от множеств Х и У, функции имеют специфические названия и обозначения:

если Х, У – подмножества множества действительных чисел R, то функция у = f (x ) называется действительной функцией действительного аргумента или функцией одной переменной;

если ХÌR, УÌС – комплексная функция действительного аргумента, обозначается z = f (x );

если ХÌС, У ÌС – комплексная функция комплексного аргумента, обозначается w = f (z );

если ХÌN, УÌR – функция натурального аргумента или последовательность у п = f (п );

если ХÌR 2 (т.е. множество точек (x , у ) плоскости), УÌR, z ÎУ – действительная функция двух переменных z = f (x , у );

если ХÌR п (п -мерное арифметическое пространство), УÌR – действительная функция п переменных и = f (x 1 ,х 2 , …, х п ). Эту и перечисленные выше функции называют числовыми функциями;

если ХÌ R, УÌ V 2 (множество геометрических векторов на плоскости) –векторная функция скалярного аргумента, `r (t )= x (t ) +y (t ) ;

если ХÌ R 2 , УÌ V 2 – векторная функция двух скалярных аргументов, `F (x , y ) = P(x , y ) + Q(x , y ) ;

В математическом анализе, в основном, изучаются числовые функции. Рассмотрим сначала действительную функцию одного переменного. Поскольку и аргументом, и функцией при этом является действительная числовая величина, то часто будем употреблять ее в женском роде: независимая переменная, зависимая переменная.

В этом случае определение 1.1 может быть перефразировано так:

Определение 1.2 Если каждому значению переменной х из числового множества ХÌR по некоторому закону f поставлено в соответствие определенное действительное число у , то говорят, что на множестве Х задана числовая функция у = f (x ). При этом х называют независимой переменной (аргументом), у – зависимой переменной (функцией), Х – областью определения функции и обозначают Х = D(f ) .

Множество значений, которые принимает у , называется областью значений функции и обозначается Е(f ) . Буква f символизирует то правило, по которому устанавливается соответствие между х и у . Наряду с буквой f используются и другие буквы: y = g (x ), y = h (x ), y = u (x ) . Также функцию можно обозначить z = j(t ), x = f (z ) , s = S (p ) и т. п., т.е. и независимая переменная, и зависимая могут обозначаться любыми буквами латинского алфавита.

Две функции равны тогда и только тогда, когда они имеют одну область определения и при каждом значения аргумента принимают одно и то же значение.

Задать функцию – значит, указать правило, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции.

Основные способы задания функции:

1) Аналитический – с помощью одной или нескольких формул, например

y = sin3x + x 2 , ,

(последние две функции иногда называют кусочно-аналитическими или ступенчатыми функциями). Если функция задана аналитически (формулой), то под областью определения понимают множество значений аргумента х , для которых по заданной формуле можно вычислить соответствующее значение у (т.е. выполнимы все операции, указанные в формуле).

Если в формуле, описывающей функцию, зависимая переменная выражена через независимую переменную, то такая функция называется явно заданной . Приведенные выше функции заданы явно.

Если же равенство, описывающее функцию, не разрешено относительно зависимой переменной, то функция называется неявно заданной , например

х 2 + 3ху – у 3 = 1 или ln(x +3y ) = y 2 .

Неявно заданная функция может быть представлена в форме

где t – параметр, принимающий значения из некоторого множества. Такую функцию называют параметрически заданной функцией . Например,

, t Î R определяет функцию у = (х –1) 2 ,

определяет функцию .

Параметрическое задание функции широко применяется в механике: если х = х (t ) и у = у (t ) законы изменения координат движущейся точки, то уравнения определяю траекторию движения.

2) Словесный . Например, «целая часть числа» – наибольшее целое, не превосходящее х . Эту функцию обозначают у = [x ].

3) Табличный . Например

Так задаются функции, обычно получаемые по результатам опыта, эксперимента, расчета.

4) Графический.

Определение 1.3. Графиком функции у = f (x ) называется геометрическое место точек координатной плоскости ХОУ с координатами (х , f (x )), где х ÎD(f ).

Изображение функциональной зависимости в виде линии (графика) и является графическим заданием функции . Например, показания осциллографа, электрокардиограмма и т.п. – это графическое представление зависимости между изучаемыми величинами.

Заметим, что для однозначной функции ее график имеет только одну точку пересечения с любой прямой х = а , а Î D(f ).

Свойства функций.

I. Функция у = f (x ), x ÎD, называется ограниченной на множестве D, если существуют действительные числа А, В такие, что " x ÎD выполняется условие A £ f (x ) £ B. График такой функции расположен в некоторой горизонтальной полосе между прямыми у = А и у = В (рис.1а). Если таких чисел А и В не существует, то функция называется неограниченной на множестве D.

Если " x ÎD Þ f (x ) £ B, то функция ограничена сверху (рис.1 б).

Если " x ÎD Þ f (x ) ³ А, то функция ограничена снизу (рис.1в).

Ограниченными в своей области определения являются функции у = sin x и y = cos x , т.к. для всех значений х выполняется

–1 £ sin x £ 1 и –1 £ cos x £ 1.

Функция ограничена сверху, т.к. для всех действительных значений х выполняется условие у £ 1. Примером ограниченной снизу функции служит показательная функция у = , т.к. > 0 для всех действительных значений х .

II. Функция у = f (x ), x ÎD, называется возрастающей , если для любых значений аргумента х 1 , х 2 ÎD таких, что х 1 < х 2 , выполняется условие f (x 1) < f (x 2) (т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции, Рис.2а).

Функция у = f (x ), x ÎD, называется убывающей , если "х 1 ,х 2 ÎD таких, что х 1 < х 2 , выполняется условие (f (x 1) > f (x 2) (большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, рис.2б). Возрастающие и убывающие функции называются монотонными функциями. Если строгие неравенства заменить нестрогими, то соответственно функция будет называться неубывающей и невозрастающей.

III. Функция у = f (x ), x ÎD, называется четной , если

" х ÎD Þ (–х ÎD и f (–x ) = f (x )).

График четной функции симметричен относительно оси ОУ (рис.3а).

Функция у = f (x ), x ÎD, называется нечетной , если

" х ÎD Þ (–х ÎD и f (–x ) = f (x )).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис. 3б).

IV. Функция у = f (x ), x ÎD, называется периодической , если

$ Т > 0: "х ÎD Þ (х ± ТÎD и f (x ) = f (x ± Т)).

Рассмотрим два числовых множества X и Y . Правило f , по которому каждому числу хI Х ставится в соответствие единственное число yI Y , называется числовой функцией , заданной на множестве Х и принимающей значения во множестве Y .

Таким образом, задать функцию, значит задать три объекта:

1) множество Х (область определения функции);

2) множество Y (область значений функции);

3) правило соответствия f (сама функция).

Например, поставим в соответствие каждому числу его куб. Математически это можно записать формулой y=x 3 . В этом случае правило f есть возведение числа х в третью степень. В общем случае, если каждому х по правилу f соответствует единственный y , пишут y = f(x). Здесь "х " называют независимой переменной или аргументом , а "y " -зависимой переменной (т.к. выражение типа x 3 само по себе не имеет определенного числового значения пока не указано значение х ) или функцией от х . О величинах х и y говорят, что они связаны функциональной зависимостью. Зная все значения х и правило f можно найти все значения у . Например, если х=2 , то функция f(x) =x 3 принимает значение у= f(2) =2 3 =8 .

Существуют несколько способов задания функции.

Аналитический способ. Функция f задается в виде формулы y=f(x). Например, y=3cos(x)+2x 2 . Этот способ является преобладающим в математических исследованиях и подробно рассматривается в классическом курсе математики. В географических исследованиях соответствие между переменными величинами x и y не всегда удается записать в виде формулы. Во многих случаях формула бывает неизвестна. Тогда для выражения функциональной зависимости используются другие способы.

Графический способ. На метеорологических станциях можно наблюдать работу приборов-самописцев, регистрирующих величины атмосферного давления, температуры воздуха, его влажности в любой момент времени суток. По полученному графику можно определить значения указанных величин в любой момент времени. Графиком функции y=f(x) называется множество всех точек плоскости с координатами (x, f(x) ). График содержит всю информацию о функции. Имея перед собой график, мы как бы "видим функцию".

Табличный способ . Этот способ является наиболее простым. В одной строке таблицы записываются все значения аргумента (числа), а в другой – значения f(x) , соответствующие каждому х . Например, зависимость температуры воздуха (Т) от времени суток (t) в определенный день можно представить таблицей.

Несмотря на повсеместное внедрение компьютеров большинство функций, с которыми приходится сталкиваться специалисту-географу в повседневной деятельности, до сих пор представлены в виде табличного или графического задания. Табличные зависимости получаются в результате регистрации результатов опытов, лабораторных анализов, периодических замеров атмосферных или иных физических параметров. К сожалению, по таблице можно найти лишь те значения функции, значения аргумента которых имеются в таблице. В то же время часто возникают задачи, требующие нахождения значения функции для значения аргумента, не входящего в таблицу. Кроме того этот способ не дает достаточно наглядного представления о характере изменения функции с изменением независимого переменного. От этого недостатка свободны графики, полученные в результате работы автоматических приборов, но и графическое задание не всегда может быть достаточным для дальнейших исследований. Например, такая функция иногда должна в целях исследования протекания природного процесса подвергаться каким-либо математическим операциям, в том числе, дифференцированию или интегрированию. Таким образом, во многих случаях важно знать аналитическое задание функции. Так как точного аналитического задания функции, полученной в результате экспериментальной работы не существует, то для целей исследования применяют следующий прием: функцию, заданную таблично (функцию, заданную графически всегда можно представить в табличном виде) заменяют на некотором отрезке другой функцией более простой, близкой в некотором смысле к данной и имеющей аналитическое выражение. Существует два основных приема такой замены - интерполирование и аппроксимация функции-таблицы.

Повторим понятия функции и её свойства, которые нам потребуются для дальнейшего изложения материала.

Определение. Функция F (X ) представляет собой правило, которое позволяет каждому значению хХ поставить в соответствие единственное значение Y = F (X )У, где х - независимая переменная (аргумент), Y - зависимая переменная (значение функции). Говорят, что функция F имеет Область определения D (F )= X и Область значений R (F ) Y .

Определение. Множество пар {(X , F (X )): XD (F )} называется Графиком функции F .

Существует три основных способа задания функции:

 при Аналитическом способе задания функции зависимость между переменными определяется формулой;

 при Табличном способе задания функции выписываются в определенном порядке значения аргумента и соответствующие значения функции;

 при Графическом способе задания функции зависимость между переменными отражается с помощью графика.

Рассмотрим некоторые функциональные зависимости, используемые в экономике:

 Функция спроса - зависимость спроса D на некоторый товар от его цены P ;

 Функция предложения - зависимость предложения S некоторого товара от его цены P ;

 Функция полезности - субъективная числовая оценка данным индивидом полезности И и количества Х товара для него;

 Функция издержек - зависимость издержек I на производство Х единиц продукции;

 Налоговая ставка - зависимость налоговой ставки N в процентах от величины годового дохода Q .

Все эти функции, кроме последней, весьма трудно выразить аналитически. При необходимости их находят путем кропотливого анализа. Последняя же функция, напротив, обычно довольно хорошо известна всему обществу и законодательно утверждена.

Определение. Функция F ( X ) имеет предел B , когда х стремится к а, если значения F (X ) сколь угодно близко приближаются к числу B , когда значения переменной х сколь угодно близко приближаются к числу а.

Обозначение. .

Следует отметить, что в этом определении рассматриваются значения Х , сколь угодно близкие к числу А , но не совпадающие с А .

Определение. Если функция F (X ) определена в точке а и выполняется равенство , то F (X ) называется непрерывной функцией в точке а.

Определение. Функция, непрерывная в каждой точке своей области определения, называется Непрерывной функцией . В противном случае функцию называют Разрывной .

График непрерывной функции можно начертить без отрыва руки.

Непрерывные функции обладают следующими свойствами:

 сумма или произведение непрерывных функций является непрерывной функцией;

 отношение двух непрерывных функций является функцией непрерывной во всех точках, в которых знаменатель отношения не обращается в нуль.

Замечание. Метод, эффективный при анализе непрерывных функций, может оказаться неэффективным при исследовании разрывных функций, хотя обратное не исключается .

Определение. Функция F (X ) называется Возрастающей (убывающей) на множестве X , если из того, что X 1 < X 2 вытекает, что F (X 1 )< F (X 2 ) (F (X 1 )> F (X 2 )). Функция F (X ) называется Неубывающей (невозрастающей) на множестве X , если из того, что X 1  X 2 , X 1 , X 2  X вытекает, что F (X 1 ) F (X 2 ) (F (X 1 ) F (X 2 )).

Теорема. Пусть функция F (X ) дифференцируема на интервале (A , B ). Тогда:

 Если первая производная функции Всюду на этом интервале, то функция возрастает на нем;

 Если первая производная всюду на этом интервале, то функция убывает;

 Первая производная Всюду на этом интервале, то функция постоянна на этом интервале.

Определение. Возрастающие, убывающие, неубывающие, невозрастающие функции называются Монотонными.

Замечание. Монотонная функция не обязательно должна быть непрерывной.

Пример 1. Найти интервалы монотонности функции F (X )=(1- X 2 )3 .

. Находим производную: Решим уравнение . Получим Х1=0, х2=1, х3=-1 . Функция F (X ) определена и непрерывна на всей числовой оси. Поэтому точки Х1, х2, х3 являются критическими точками. Других критических точек нет, так как существует всюду.

Исследуем критические точки, определяя знак слева и справа от каждой этой точки. Для сокращения вычислений и для наглядности это исследование удобно записать в виде табл. 1:

Таблица 1

В первой строке помещены все критические точки в порядке расположения их на числовой оси; между ними вставлены промежуточные точки, расположенные слева и справа от критических точек. Во второй строке помещены знаки производной в указанных промежуточных точках. В третьей строке - заключение о поведении функции на исследуемых интервалах. На интервале (-; 0) функция возрастает, на интервале (0; +) функция убывает.

Определение. Функция F (X ) является Унимодальной на отрезке [ A , B ] в том и только в том случае, если она монотонна по обе стороны от единственной на рассматриваемом интервале оптимальной точки х*.

Пример 2. Приведем примеры графиков унимодальных функций:

 на рис. 6 непрерывная функция;

 на рис. 7 - разрывная функция;

 на рис. 8 - дискретная функция.

Множество функций, унимодальных на отрезке [ A ; B ] , будем обозначать

Q [ A ; B ] .

Для проверки унимодальности функции F (X ) на практике обычно используют следующие критерии:

1) если функция F (X ) дифференцируема на отрезке [ A ; B ] и производная Не убывает на этом отрезке, то F (X ) Q [ A ; B ] ;

2) если функция F (X ) дважды дифференцируема на отрезке [ A ; B ] и При Х[ A ; B ] , то F (X ) Q [ A ; B ] .Х=-0,5 . Следовательно, Если Х-0,5 и, в частности, при Х. Используя второй критерий унимодальности, получаем, что F (X ) Q .

Определение. Рассмотрим множество SR . Мы можем определить соответствие, с помощью которого каждой точке XS приписывается единственное числовой значение. Такое соответствие называется Скалярной функцией F , определенной на множестве S .

Определение. В теории оптимизации F называется Целевой функцией , а S - Допустимой областью , множеством точек, удовлетворяющих ограничениям, или областью допустимых значений х .

1) Область определения функции и область значений функции .

Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x ), при которых функция y = f(x) определена. Область значений функции - это множество всех действительных значений y , которые принимает функция.

В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.

2) Нули функции .

Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

3) Промежутки знакопостоянства функции .

Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

4) Монотонность функции .

Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

5) Четность (нечетность) функции .

Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x) . График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x ). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

6) Ограниченная и неограниченная функции .

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.

7) Периодическость функции .

Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).

19. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Применение функ-ций в экономике.

Основные элементарные функции. Их свойства и графики

1. Линейная функция.

Линейной функцией называется функция вида , где х - переменная, а и b - действительные числа.

Число а называют угловым коэффициентом прямой, он равен тангенсу угла наклона этой прямой к положительному направлению оси абсцисс. Графиком линейной функции является прямая линия. Она определяется двумя точками.

Свойства линейной функции

1. Область определения - множество всех действительных чисел: Д(y)=R

2. Множество значений - множество всех действительных чисел: Е(у)=R

3. Функция принимает нулевое значение при или.

4. Функция возрастает (убывает) на всей области определения.

5. Линейная функция непрерывная на всей области определения, дифференцируемая и .

2. Квадратичная функция.

Функция вида , где х - переменная, коэффициенты а, b, с - действительные числа, называетсяквадратичной.