Понятие функции. График функции. Способы заданий функций. Понятие функции одной переменной

Тема 4 . Функция одной переменной.

Время: 2 часа

Цель лекции: Актуализировать понятие функции; расширить имеющиеся представления о функции, познакомить с основными характеристиками функции.

План лекции:

Понятие функции.

Числовые функции. График функции. Способы задания функции.

Обратная функция.

Сложная функция.

Понятие функции.

Понятие функции является одним из основных в математике. Оно связано с установлением соответствия между элементами двух множеств.

Пусть даны два непустых множества Х и Y . Соответствие f , которое каждому элементу сопоставляет один и только один элемент
, называется функцией и записывается
или
. Говорят ещё, что функция отображает множество Х на множество Y .

X

X

Y

Y

X

Y

Y

. .

X

Например, соответствия f и g , изображённые на рисунке, являются функциями, а  и u ‒ нет. В случае  ‒ не каждому соответствует элемент
. В случае и ‒ не соблюдается условие однозначности.

Элемент
, который соответствует данному , называют образом элемента х. Все элементы , которым соответствует данный
, называют полным прообразом элемента у .

Множество Х называется областью определения функции f и обозначается D (f ). Множество всех
, для которых существует прообраз в Х , называется множеством значений функции f и обозначается Е (f ).

Числовые функции. График функции. Способы задания.

Пусть задана функция
. Если элементами множеств Х и Y являются действительные числа, то функцию называют числовой функцией . В дальнейшем будем изучать числовые функции, называть их просто функциями и обозначать
.

Переменная х называется аргументом или независимой переменной , а у ‒ функцией или зависимой переменной . Относительно самих величин х и у говорят, что они находятся в функциональной зависимости .

Частное значение функции
при х=а записывают
. Например, если
, то
,

Г

М (х ;у )

у

х

1

О

Например, графиком функции
является верхняя полуокружность радиуса R =1 с центром О (0;0).

Чтобы задать функцию, необходимо задать правило, позволяющее, зная х , находить соответствующее значение функции.

Наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналитический, табличный и графический.

Аналитический способ : функция задаётся в виде одной или нескольких формул или уравнений.

Если область определения функции не указана, то предполагается, что она совпадает с множеством всех значений аргумента, при которых соответствующая формула имеет смысл. Так, областью определения функции
является отрезок
.

Аналитический способ является наиболее совершенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию
.

Графический способ : задаётся график функции; по графику находят значение функции, соответствующее данному значению аргумента и наоборот. Преимущества ‒ наглядность; недостатки ‒ неточность.

Табличный способ применяется, когда целесообразно задать пары х и у перечислением.

Основные характеристики функций.

Функция
, определённая на множестве D , называется чётной , если
выполняются условия
и
; нечётной , если
выполняются условия
и
.

График чётной функции симметричен относительно оси Оу , а нечётной ‒ относительно начала координат.

Например,
,
,
‒ чётные функции, а
,
‒ нечётные функции;
,
‒ функции общего вида.

Пусть функция
определёна на множестве D и пусть
. Если для любых значений аргументов
из неравенства
вытекает неравенство:

а)
, то функция называется возрастающей на множестве (большему значению аргумента соответствует большее значение функции);

б)
, то функция называется неубывающей на множестве ;

в)
, то функция называется убывающей на множестве (большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции);

г)
, то функция называется невозрастающей на множестве .

‒2 О 1 3 4 х

у

Апример, функция, заданная графиком на рисунке, убывает на промежутке
, не убывает на
, возрастает на
.

Возрастающие, невозрастающие, убывающие, неубывающие функции на множестве называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие ‒ строго монотонными . Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервалами монотонности .

Ф

у=М

у

х

у= ‒М

Ункцию, определённую на множестве D называют ограниченной
, что для всех
выполняется неравенство:
.

:

.

Отсюда следует, что график ограниченной функции лежит между прямыми у =‒М и у=М .

Функция
, определённая на множестве D , называется периодической на этом множестве, если существует такое число T >0 , что при каждом
значение
и
. При этом число Т называется периодом функции . Если Т ‒ период функции, то её периодами будут также числа пТ , где
Так, для
периодами будут числа
Основной период (наименьший положительный) ‒ это период
. Вообще за основной период берут наименьшее положительное число Т , удовлетворяющее равенству
.

Обратная функция.

Пусть задана функция
с областью определения D и множеством значений Е . Если для каждого
существует единственный прообраз в D , то можно поставить в соответствие элементам
элементы
, т.е. определить функцию
с областью определения Е и множеством значений D . Такая функция
называется обратной к функции
и записывается
. Про функции
и
говорят, что они являются взаимно обратными. . Заметим, что для функции промежуточным аргументом сложной функции.

Например,
, есть суперпозиция двух функций
и
. Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.

Основные определения и понятия

Одним из основных понятий математики является число. Числа целые и дробные, как положительные, так и отрицательные, вместе с числом ноль называются рациональными числами. Рациональные числа могут быть представлены в виде конечных или бесконечных периодических дробей. Числа, которые представляются в виде бесконечных, но непериодических дробей, называются иррациональными .

Совокупность всех рациональных и иррациональных чисел называется множеством действительных , или вещественных чисел. Действительные числа можно изображать точками числовой оси. Числовой осью называется бесконечная прямая, на которой выбраны:

1) некоторая точка О, называемая началом отсчёта;

2) положительное направление, указываемое стрелкой;

3) масштаб для измерения длин.

Между всеми действительными числами и всеми точками числовой оси существует взаимно-однозначное соответствие , т.е. каждому действительному числу соответствует точка числовой оси и наоборот.

Абсолютной величиной (или модулем ) действительного числа x называется неотрицательное действительное число Рx Р, определяемое следующим образом: Рx Р = x , если x ? 0, и Рx Р = -x , если x < 0.

Переменной величиной называется величина, которая принимает различные численные значения. Величина, численные значения которой не меняются, называется постоянной величиной.

упорядоченной , если известна область её изменения и про каждое из двух любых её значений можно сказать, какое из них предыдущее и какое последующее. Частным случаем такой величины является числовая последовательность

Переменная величина называется возрастающей (убывающей ), если каждое её последующее значение больше (меньше) предыдущего. Возрастающие и убывающие переменные величины называются монотонными . Переменная величина называется ограниченной , если существует такое постоянное число M > 0, что все последующие значения переменной, начиная с некоторого, удовлетворяют условию:

M ? x ? M, т.е. Рx Р? M.

Переменная величина y называется (однозначной) функцией переменной величины x, если каждому значению переменной величины x, принадлежащему множеству действительных чисел X, соответствует одно определённое действительное значение переменной величины y .

Переменная x называется в этом случае аргументом , или независимой переменной , а множество X - областью определения функции.

Запись y = f(x) означает, что y является функцией x . Значение функции f(x) при x = a обозначают через f(a).

Область определения функции в простейших случаях представляет собой: интервал (открытый промежуток ) (a, b ), т.е. совокупность значений x , удовлетворяющих условию a < x < b ; сегмент (отрезок или замкнутый промежуток ) , т.е. совокупность значений x , удовлетворяющих условию a ? x ? b ; полуинтервал (т.е. a < x ? b ) или (т.е. a ? x < b ); бесконечный интервал (a, + ?) (т.е. a < x < + ?) или (- ?, b ) (т.е. - ? < x < b ) или (- ?, + ?) (т.е. - ? < x < + ?); совокупность нескольких интервалов или сегментов и т. п.

Графиком функции y = f(x) называется геометрическое место точек плоскости xOy, координаты которых удовлетворяют уравнению y = f(x).

Функция f(x) называется чётной, если для любого значения x . График чётной функции расположен симметрично относительно оси ординат. Функция f(x) называется нечётной , если для любого значения x . График нечётной функции расположен симметрично относительно начала координат.

Функция f(x) называется периодической , если существует такое положительное число T, называемое периодом функции, что для любого значения x выполняется равенство.

Наименьшим же периодом функции называется наименьшее положительное число?, для которого f(x + ?) = f(x) при любом x . Следует иметь в виду, что f(x + k?) = f(x) , где k - любое целое число.

Функции задаются:

1) аналитически (в виде формулы), например, ;

2) графически (в виде графика);

3) таблично (в виде таблицы), например таблица логарифмов.

Основными элементарными функциями являются следующие, аналитически заданные функции:

1. Степенная функция : , где? - действительное число.

2. Показательная функция : , где a > 0, a ? 1.

3. Логарифмическая функция : , где a > 0, a ? 1.

4. Тригонометрические функции : y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x ,

y = sec x, y = cosec x.

5. Обратные тригонометрические функции :

y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x, y = arcsec x ,

y = arccosec x .

Если y является функцией от u , а u есть функция от x , то y также зависит от x . Пусть y = F(u ), u = ?(x ). Тогда y = F(?(x )). Последняя функция называется функцией от функции , или сложной функцией. Например, y = sin u , u = . Функция y = sin () есть сложная функция от x .

Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана одной формулой вида y = f(x) , где выражение f(x) составлено из основных элементарных функций и постоянных при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.

Например, y = Рx Р = ; ; .

Пример 1 . Найти, если.

Решение . Найдём значения данной функции при x = a и x = b :

Тогда получим

Пример 2 . Определить, какая из данных функций чётная или нечётная:

Решение . а) Так как, то

т.е. f(- x) = - f(x). Следовательно, функция нечётная.

б) Имеем, т.е.

f(- x) = f(x). Следовательно, функция чётная.

в) Здесь,т.е.

f(- x) = f(x). Следовательно, функция чётная.

г) Здесь. Таким образом, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Пример 3

Решение . Функция определена, если 2x - 1 ? 0, т.е. если. Таким образом, областью определения функции является совокупность двух интервалов:

Пример 4 . Найти область определения функции.

Решение . Функция определена, если x - 1 ? 0 и 1+ x > 0, т.е. если x ? 1 и x > - 1. Область определения функции есть совокупность двух интервалов: (- 1, 1) и (1, + ?).

Пример 5. Найти область определения функции

Решение. Первое слагаемое принимает вещественные значения при 1 -2x ? 0, а второе при. Таким образом, для нахождения области определения заданной функции необходимо решить систему неравенств: Получаем

Следовательно, областью определения будет сегмент

Функция одной переменной

Функции одной переменной.

Введение

В математике основополагающими понятиями являются понятие множества, элемента множества. Математический анализ имеет дело, в основном, с числовыми множествами.

В дальнейшем будем использовать следующую символику:

N - множество натуральных чисел;

Z - множество целых чисел;

Q - множество рациональных чисел;

R - множество действительных чисел;

С – множество комплексных чисел;

Например, символьная запись "х ÎN $ y ÎN: (y > x Ú y < x ) читается «для любого натурального числа х найдется натуральное число у такое, что либо y > x , либо y < x ».

Как известно, каждому действительному числу ставится в соответствие единственная точка на числовой прямой. Поэтому в дальнейшем договоримся отождествлять термины «действительное число» и «точка» числовой прямой. Для числовых промежутков будем использовать следующие обозначения:

[a ; b ] или a £ x £ b – замкнутый промежуток или отрезок с началом в точке а и концом в точке b ;

(a ; b ) или a < x < b – открытый промежуток или интервал ;

(a ; b ] или a < x £ b ,

[a ; b ) или a £ x < b

– полуоткрытые промежутки или полуинтервалы;

[a ; +¥) или x ³ a , (–¥; b ] или x £ b – лучи;

(a ; +¥) или x > a , (–¥ ; b ) или x < b – открытые лучи;

(–¥ ; +¥) или –¥ < х < +¥ – координатная прямая (множество R действительных чисел).

В науке и практике приходится иметь дело с разного рода величинами. Одни из них в конкретных условиях остаются неизменными (постоянными), другие – меняются (переменные). Например, объем аудитории, банки – постоянны, а объем воздушного шарика – переменный.

В математическом анализе нас будет интересовать только численное выражение той или иной величины, а не ее природа, т.е. будем рассматривать абстрактные величины. Поэтому, постоянной величиной мы будем называть ту величину, которая принимает фиксированное, конкретное (пусть даже неизвестное) значение. Обозначать это будем: х – const. Чаще всего постоянные обозначают начальными буквами латинского алфавита: a , b , c , ... или греческими a, b, e, l, ... .

Переменной величиной считаем ту, которая может принимать произвольные числовые значения из некоторого множества чисел. Обозначают переменные чаще всего буквами конца латинского алфавита: х , у , z , t ,... . Множество, из которого переменная величина принимает значения, называют областью определения этой переменной и пишут: x ÎD.

Функция одной переменной

Наряду с понятием множества и элемента множества, к основным понятиям математики относят и понятие соответствия. Определенный вид соответствий носит название функции.

Пусть заданы множество Х с элементами х и множество У, состоящее из элементов у (множества Х и У – не пустые, элементы их могут быть любой природы).

Определение 1.1 Если каждому элементу х ÎХ по некоторому закону (правилу) f поставлен в соответствие единственный элемент у Î У, то говорят, что на множестве Х задана функция y = f (x ), х ÎХ или отображение f : Х → У множества Х в множество У.

При этом принята терминология:

х – независимое переменное, или аргумент,

Х – область определения функции, а каждый элемент х ÎХ – значение аргумента,

у – зависимое переменное, или функция от аргумента х ,

У – область значений функции, а каждый элемент у ÎУ такой, что
y = f (x ) для некоторого х ÎХ, называется значением функции.

В зависимости от множеств Х и У, функции имеют специфические названия и обозначения:

если Х, У – подмножества множества действительных чисел R, то функция у = f (x ) называется действительной функцией действительного аргумента или функцией одной переменной;

если ХÌR, УÌС – комплексная функция действительного аргумента, обозначается z = f (x );

если ХÌС, У ÌС – комплексная функция комплексного аргумента, обозначается w = f (z );

если ХÌN, УÌR – функция натурального аргумента или последовательность у п = f (п );

если ХÌR 2 (т.е. множество точек (x , у ) плоскости), УÌR, z ÎУ – действительная функция двух переменных z = f (x , у );

если ХÌR п (п -мерное арифметическое пространство), УÌR – действительная функция п переменных и = f (x 1 ,х 2 , …, х п ). Эту и перечисленные выше функции называют числовыми функциями;

если ХÌ R, УÌ V 2 (множество геометрических векторов на плоскости) –векторная функция скалярного аргумента, `r (t )= x (t ) +y (t ) ;

если ХÌ R 2 , УÌ V 2 – векторная функция двух скалярных аргументов, `F (x , y ) = P(x , y ) + Q(x , y ) ;

В математическом анализе, в основном, изучаются числовые функции. Рассмотрим сначала действительную функцию одного переменного. Поскольку и аргументом, и функцией при этом является действительная числовая величина, то часто будем употреблять ее в женском роде: независимая переменная, зависимая переменная.

В этом случае определение 1.1 может быть перефразировано так:

Определение 1.2 Если каждому значению переменной х из числового множества ХÌR по некоторому закону f поставлено в соответствие определенное действительное число у , то говорят, что на множестве Х задана числовая функция у = f (x ). При этом х называют независимой переменной (аргументом), у – зависимой переменной (функцией), Х – областью определения функции и обозначают Х = D(f ) .

Множество значений, которые принимает у , называется областью значений функции и обозначается Е(f ) . Буква f символизирует то правило, по которому устанавливается соответствие между х и у . Наряду с буквой f используются и другие буквы: y = g (x ), y = h (x ), y = u (x ) . Также функцию можно обозначить z = j(t ), x = f (z ) , s = S (p ) и т. п., т.е. и независимая переменная, и зависимая могут обозначаться любыми буквами латинского алфавита.

Две функции равны тогда и только тогда, когда они имеют одну область определения и при каждом значения аргумента принимают одно и то же значение.

Задать функцию – значит, указать правило, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции.

Основные способы задания функции:

1) Аналитический – с помощью одной или нескольких формул, например

y = sin3x + x 2 , ,

(последние две функции иногда называют кусочно-аналитическими или ступенчатыми функциями). Если функция задана аналитически (формулой), то под областью определения понимают множество значений аргумента х , для которых по заданной формуле можно вычислить соответствующее значение у (т.е. выполнимы все операции, указанные в формуле).

Если в формуле, описывающей функцию, зависимая переменная выражена через независимую переменную, то такая функция называется явно заданной . Приведенные выше функции заданы явно.

Если же равенство, описывающее функцию, не разрешено относительно зависимой переменной, то функция называется неявно заданной , например

х 2 + 3ху – у 3 = 1 или ln(x +3y ) = y 2 .

Неявно заданная функция может быть представлена в форме

где t – параметр, принимающий значения из некоторого множества. Такую функцию называют параметрически заданной функцией . Например,

, t Î R определяет функцию у = (х –1) 2 ,

определяет функцию .

Параметрическое задание функции широко применяется в механике: если х = х (t ) и у = у (t ) законы изменения координат движущейся точки, то уравнения определяю траекторию движения.

2) Словесный . Например, «целая часть числа» – наибольшее целое, не превосходящее х . Эту функцию обозначают у = [x ].

3) Табличный . Например

Так задаются функции, обычно получаемые по результатам опыта, эксперимента, расчета.

4) Графический.

Определение 1.3. Графиком функции у = f (x ) называется геометрическое место точек координатной плоскости ХОУ с координатами (х , f (x )), где х ÎD(f ).

Изображение функциональной зависимости в виде линии (графика) и является графическим заданием функции . Например, показания осциллографа, электрокардиограмма и т.п. – это графическое представление зависимости между изучаемыми величинами.

Заметим, что для однозначной функции ее график имеет только одну точку пересечения с любой прямой х = а , а Î D(f ).

Свойства функций.

I. Функция у = f (x ), x ÎD, называется ограниченной на множестве D, если существуют действительные числа А, В такие, что " x ÎD выполняется условие A £ f (x ) £ B. График такой функции расположен в некоторой горизонтальной полосе между прямыми у = А и у = В (рис.1а). Если таких чисел А и В не существует, то функция называется неограниченной на множестве D.

Если " x ÎD Þ f (x ) £ B, то функция ограничена сверху (рис.1 б).

Если " x ÎD Þ f (x ) ³ А, то функция ограничена снизу (рис.1в).

Ограниченными в своей области определения являются функции у = sin x и y = cos x , т.к. для всех значений х выполняется

–1 £ sin x £ 1 и –1 £ cos x £ 1.

Функция ограничена сверху, т.к. для всех действительных значений х выполняется условие у £ 1. Примером ограниченной снизу функции служит показательная функция у = , т.к. > 0 для всех действительных значений х .

II. Функция у = f (x ), x ÎD, называется возрастающей , если для любых значений аргумента х 1 , х 2 ÎD таких, что х 1 < х 2 , выполняется условие f (x 1) < f (x 2) (т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции, Рис.2а).

Функция у = f (x ), x ÎD, называется убывающей , если "х 1 ,х 2 ÎD таких, что х 1 < х 2 , выполняется условие (f (x 1) > f (x 2) (большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, рис.2б). Возрастающие и убывающие функции называются монотонными функциями. Если строгие неравенства заменить нестрогими, то соответственно функция будет называться неубывающей и невозрастающей.

III. Функция у = f (x ), x ÎD, называется четной , если

" х ÎD Þ (–х ÎD и f (–x ) = f (x )).

График четной функции симметричен относительно оси ОУ (рис.3а).

Функция у = f (x ), x ÎD, называется нечетной , если

" х ÎD Þ (–х ÎD и f (–x ) = f (x )).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис. 3б).

IV. Функция у = f (x ), x ÎD, называется периодической , если

$ Т > 0: "х ÎD Þ (х ± ТÎD и f (x ) = f (x ± Т)).

Рассмотрим два числовых множества X и Y . Правило f , по которому каждому числу хI Х ставится в соответствие единственное число yI Y , называется числовой функцией , заданной на множестве Х и принимающей значения во множестве Y .

Таким образом, задать функцию, значит задать три объекта:

1) множество Х (область определения функции);

2) множество Y (область значений функции);

3) правило соответствия f (сама функция).

Например, поставим в соответствие каждому числу его куб. Математически это можно записать формулой y=x 3 . В этом случае правило f есть возведение числа х в третью степень. В общем случае, если каждому х по правилу f соответствует единственный y , пишут y = f(x). Здесь "х " называют независимой переменной или аргументом , а "y " -зависимой переменной (т.к. выражение типа x 3 само по себе не имеет определенного числового значения пока не указано значение х ) или функцией от х . О величинах х и y говорят, что они связаны функциональной зависимостью. Зная все значения х и правило f можно найти все значения у . Например, если х=2 , то функция f(x) =x 3 принимает значение у= f(2) =2 3 =8 .

Существуют несколько способов задания функции.

Аналитический способ. Функция f задается в виде формулы y=f(x). Например, y=3cos(x)+2x 2 . Этот способ является преобладающим в математических исследованиях и подробно рассматривается в классическом курсе математики. В географических исследованиях соответствие между переменными величинами x и y не всегда удается записать в виде формулы. Во многих случаях формула бывает неизвестна. Тогда для выражения функциональной зависимости используются другие способы.

Графический способ. На метеорологических станциях можно наблюдать работу приборов-самописцев, регистрирующих величины атмосферного давления, температуры воздуха, его влажности в любой момент времени суток. По полученному графику можно определить значения указанных величин в любой момент времени. Графиком функции y=f(x) называется множество всех точек плоскости с координатами (x, f(x) ). График содержит всю информацию о функции. Имея перед собой график, мы как бы "видим функцию".

Табличный способ . Этот способ является наиболее простым. В одной строке таблицы записываются все значения аргумента (числа), а в другой – значения f(x) , соответствующие каждому х . Например, зависимость температуры воздуха (Т) от времени суток (t) в определенный день можно представить таблицей.

Несмотря на повсеместное внедрение компьютеров большинство функций, с которыми приходится сталкиваться специалисту-географу в повседневной деятельности, до сих пор представлены в виде табличного или графического задания. Табличные зависимости получаются в результате регистрации результатов опытов, лабораторных анализов, периодических замеров атмосферных или иных физических параметров. К сожалению, по таблице можно найти лишь те значения функции, значения аргумента которых имеются в таблице. В то же время часто возникают задачи, требующие нахождения значения функции для значения аргумента, не входящего в таблицу. Кроме того этот способ не дает достаточно наглядного представления о характере изменения функции с изменением независимого переменного. От этого недостатка свободны графики, полученные в результате работы автоматических приборов, но и графическое задание не всегда может быть достаточным для дальнейших исследований. Например, такая функция иногда должна в целях исследования протекания природного процесса подвергаться каким-либо математическим операциям, в том числе, дифференцированию или интегрированию. Таким образом, во многих случаях важно знать аналитическое задание функции. Так как точного аналитического задания функции, полученной в результате экспериментальной работы не существует, то для целей исследования применяют следующий прием: функцию, заданную таблично (функцию, заданную графически всегда можно представить в табличном виде) заменяют на некотором отрезке другой функцией более простой, близкой в некотором смысле к данной и имеющей аналитическое выражение. Существует два основных приема такой замены - интерполирование и аппроксимация функции-таблицы.