Yeni bir değişken tanıtarak entegrasyon. İkame entegrasyonu

Bu derste, belirsiz integralleri çözme sürecinde kullanılan en önemli ve en yaygın hilelerden biri olan değişken yöntemini değiştirme ile tanışacağız. Malzemenin başarılı bir şekilde ustalaşması şunları gerektirir: temel bilgi ve entegrasyon becerileri. Eğer bir boşluk hissi varsa tam çaydanlık integral hesabında, önce erişilebilir bir biçimde bir integralin ne olduğunu açıkladığım ve yeni başlayanlar için temel örnekleri ayrıntılı olarak analiz ettiğim materyali okumalısınız.

Teknik olarak, belirsiz bir integralde bir değişkeni değiştirme yöntemi iki şekilde uygulanır:

– Fonksiyonu diferansiyelin işareti altına getirmek;
– Değişkenin gerçek değişimi.

Aslında aynı şey ama çözümün tasarımı farklı görünüyor.

Daha basit bir durumla başlayalım.

Diferansiyel işaretinin altına bir fonksiyon getirme

Derste belirsiz integral Çözüm örnekleri diferansiyel açmayı öğrendik, verdiğim örneği hatırlıyorum:

Yani diferansiyeli açmak biçimsel olarak türevi bulmakla hemen hemen aynıdır.

örnek 1

Bir kontrol çalıştırın.

İntegraller tablosuna bakarız ve benzer bir formül buluruz: . Ancak sorun şu ki, sinüsün altında sadece "x" harfi değil, karmaşık bir ifade var. Ne yapalım?

Fonksiyonu diferansiyelin işareti altına getiriyoruz:

Diferansiyeli genişleterek şunları kontrol etmek kolaydır:

aslında ve aynı bir kayıttır.

Ancak yine de soru şu: İlk adımda integralimizi tam olarak şu şekilde yazmamız gerektiği fikrine nasıl vardık: ? Neden öyleyse ve başka türlü değil?

formül (ve diğer tüm tablo formülleri) geçerlidir ve YALNIZCA bir değişken için DEĞİL, aynı zamanda herhangi bir karmaşık ifade için de YALNIZCA İŞLEV ARGUMENTI(- bizim örneğimizde) VE FARK İŞARETİ ALTINDAKİ İFADE AYNISI .

Bu nedenle, çözerken zihinsel akıl yürütme şöyle bir şey olmalıdır: “İntegrali çözmem gerekiyor. Tabloya baktım ve benzer bir formül buldum. . Ancak karmaşık bir argümanım var ve formülü hemen kullanamıyorum. Ancak, diferansiyelin işareti altına girmeyi başarırsam, o zaman her şey yoluna girecek. Yazarsam, o zaman. Ancak orijinal integralde üçlü çarpan yoktur, bu nedenle integralin değişmemesi için onu " ile çarpmam gerekir. Yaklaşık olarak böyle bir zihinsel akıl yürütme sırasında bir kayıt doğar:

Artık e-tabloyu kullanabilirsiniz :

Hazır

Tek fark, "x" harfine değil, karmaşık bir ifadeye sahip olmamızdır.

Bir kontrol yapalım. Türev tablosunu açın ve cevabı ayırt edin:

Orijinal integral elde edildi, yani integral doğru bulundu.

Doğrulama sırasında farklılaşma kuralını kullandığımızı lütfen unutmayın. karmaşık fonksiyon . Aslında, fonksiyonu diferansiyelin işareti altına getirmek ve karşılıklı olarak ters iki kuraldır.

Örnek 2

İntegrand fonksiyonunu analiz ediyoruz. Burada bir kesirimiz var ve payda doğrusal bir fonksiyondur (birinci derecede "x" ile). İntegraller tablosuna bakarız ve en benzer şeyi buluruz: .

Fonksiyonu diferansiyelin işareti altına getiriyoruz:

Hangi kesirle çarpılacağını hemen anlamayı zor bulanlar, farkı bir taslakta hızlı bir şekilde ortaya çıkarabilirler:. Evet, hiçbir şeyin değişmemesi için integrali ile çarpmam gerekiyor.
Sonra, elektronik tablo formülünü kullanıyoruz :

Muayene:

Orijinal integral elde edildi, yani integral doğru bulundu.

Örnek 3

Bulmak belirsiz integral. Bir kontrol çalıştırın.

Örnek 4

Belirsiz integrali bulun. Bir kontrol çalıştırın.

Bu için bir örnek bağımsız çözüm. Dersin sonunda cevap verin.

İntegral çözme konusunda biraz deneyim sahibi olarak, benzer örnekler hafif görünecek ve fındık gibi tıklayın:

Bu paragrafın sonunda, “ücretsiz” durum üzerinde durmak istiyorum. doğrusal fonksiyon değişken bir birim katsayı ile girer, örneğin:

Kesin olarak, çözüm şöyle görünmelidir:

Gördüğünüz gibi, fonksiyonu diferansiyelin işareti altına getirmek, herhangi bir çarpma olmaksızın "acısız" oldu. Bu nedenle, uygulamada, bu kadar uzun bir çözüm genellikle ihmal edilir ve hemen şu şekilde yazılır: . Ancak gerekirse öğretmene nasıl karar verdiğinizi açıklamaya hazır olun! Çünkü tabloda hiç integral yoktur.

belirsiz integralde değişken değiştirme yöntemi

Belirsiz integralde değişkenleri değiştirme yöntemi olan genel durumun değerlendirilmesine dönüyoruz.

Örnek 5

Belirsiz integrali bulun.

Örnek olarak, dersin başında ele aldığımız integrali aldım. Daha önce de söylediğimiz gibi, integrali çözmek için tablo formülünü beğendik. ve her şeyi ona indirgemek istiyorum.

Değiştirme yönteminin arkasındaki fikir, karmaşık bir ifadeyi (veya bazı işlevleri) bir harfle değiştirin.
İÇİNDE bu durum yalvarır:
İkinci en popüler yedek harf harftir.
Prensip olarak, diğer harfleri kullanabilirsiniz, ancak biz yine de geleneklere bağlı kalıyoruz.

Bu yüzden:
Ama değiştirirken ayrıldık! Muhtemelen birçoğu, yeni bir değişkene geçiş yapılırsa, o zaman yeni integralde her şeyin harf aracılığıyla ifade edilmesi gerektiğini ve diferansiyele hiç yer olmadığını tahmin etmiştir.
gerekli olduğuna dair mantıksal bir sonuca varır. yalnızca bağlı olan bir ifadeye dönüşür.

Eylem aşağıdaki gibidir. Bir yedek seçtikten sonra, bu örnek, , diferansiyeli bulmamız gerekiyor . Farklılıklarla, sanırım zaten herkes için dostluk kuruldu.

O zamandan beri

Diferansiyel ile hesaplaşmanın ardından, nihai sonucu olabildiğince kısa bir şekilde yeniden yazmanızı tavsiye ederim:
Şimdi orantı kurallarına göre ihtiyacımız olanı ifade ediyoruz:

Sonunda:
Böylece:

Ve bu en tablolu integral (integraller tablosu elbette değişken için de geçerlidir).

Sonuç olarak, ters değiştirmeyi gerçekleştirmeye devam ediyor. Bunu hatırlıyoruz.

Hazır.

Bu örneğin son tasarımı şöyle görünmelidir:

“

Değiştirelim:

“

İkon herhangi bir matematiksel anlam taşımamaktadır, ara açıklamalar için çözümü yarıda kestik anlamına gelmektedir.

Defterde bir örnek yaparken, ters yerine basit bir kurşun kalemle üst simge koymak daha iyidir.

Dikkat! Aşağıdaki örneklerde, diferansiyeli bulma ayrıntılı olarak açıklanmayacaktır.

Ve şimdi ilk çözümü hatırlamanın zamanı geldi:

Fark ne? Temel bir fark yoktur. Aslında aynı şey. Ancak görevin tasarımı açısından, işlevi diferansiyelin işareti altına getirme yöntemi çok daha kısadır..

Bir soru ortaya çıktı. İlk yol daha kısaysa, neden replace yöntemini kullanıyorsunuz? Gerçek şu ki, bir dizi integral için, fonksiyonu diferansiyelin işareti altına "uydurmak" o kadar kolay değildir.

Örnek 6

Belirsiz integrali bulun.

Bir değişiklik yapalım: (burada başka bir değişiklik düşünmek zor)

Gördüğünüz gibi, değiştirmenin bir sonucu olarak, orijinal integral büyük ölçüde basitleştirildi - normale indirgendi güç fonksiyonu. Değiştirmenin amacı budur - integrali basitleştirmek.

Tembel gelişmiş insanlar, fonksiyonu diferansiyel işareti altına getirerek bu integrali kolayca çözebilir:

Başka bir şey de, böyle bir çözümün tüm öğrenciler için açık olmamasıdır. Ek olarak, zaten bu örnekte, diferansiyel işareti altına bir fonksiyon getirme yönteminin kullanımı kararda karışıklık riskini önemli ölçüde artırır.

Örnek 7

Belirsiz integrali bulun. Bir kontrol çalıştırın.

Örnek 8

Belirsiz integrali bulun.

Yenisiyle değiştirme:
Ne olacağı görülmeye devam ediyor

Peki, ifade ettik ama payda kalan “X” ile ne yapmalı?!
İntegral çözme sürecinde zaman zaman şu numara ortaya çıkar: Aynı yer değiştirmeden ifade edeceğiz !

Örnek 9

Belirsiz integrali bulun.

Bu bir kendin yap örneğidir. Dersin sonunda cevap verin.

Örnek 10

Belirsiz integrali bulun.

Elbette bazıları referans tablomun değişken değiştirme kuralına sahip olmadığını fark etmiştir. Kasten yapıldı. Kural, yukarıdaki örneklerde açıkça görülmediği için açıklama ve anlayışı karıştıracaktır.

Değişken ikame yöntemini kullanmanın temel dayanağı hakkında konuşmanın zamanı geldi: integral, bir fonksiyon ve onun türevini içermelidir:(işlevler üründe olmayabilir)

Bu bağlamda, integralleri bulurken, genellikle türev tablosuna bakmak gerekir.

Bu örnekte, payın derecesinin paydanın derecesinden bir eksik olduğunu görüyoruz. Türevler tablosunda, dereceyi bir azaltan formülü buluyoruz. Ve bu nedenle, paydayı belirtirseniz, payın iyi bir şeye dönüşme olasılığı yüksektir.

Gizliliğiniz bizim için önemlidir. Bu nedenle, bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik politikamızı okuyun ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya belirli bir kişiyle iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde herhangi bir zamanda kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda, toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

Sitede bir başvuru yaptığınızda, toplayabiliriz çeşitli bilgiler adınız, telefon numaranız, adresiniz dahil E-posta vesaire.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

bizim tarafımızdan toplandı kişisel bilgi sizinle iletişim kurmamızı ve benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler hakkında sizi bilgilendirmemizi sağlar.
Zaman zaman kişisel bilgilerinizi size önemli bildirimler ve mesajlar göndermek için kullanabiliriz.
Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri iyileştirmek ve hizmetlerimizle ilgili size önerilerde bulunmak için denetimler, veri analizleri ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi dahili amaçlar için de kullanabiliriz.
Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir teşvike girerseniz, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Üçüncü şahıslara ifşa

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü taraflara ifşa etmiyoruz.

İstisnalar:

Gerekli olması durumunda - yasaya, adli düzene uygun olarak, yasal işlemlerde ve / veya kamu taleplerine veya Rusya Federasyonu topraklarındaki devlet organlarından gelen taleplere dayanarak - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu amaçları için gerekli veya uygun olduğuna karar verirsek, hakkınızdaki bilgileri de ifşa edebiliriz. önemli durumlar.
Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda, topladığımız kişisel bilgileri ilgili üçüncü taraf halefe aktarabiliriz.

kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişim, ifşa, değiştirme ve imhaya karşı korumak için - idari, teknik ve fiziksel önlemler dahil - önlemler alıyoruz.

Gizliliğinizi şirket düzeyinde korumak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için, gizlilik ve güvenlik uygulamalarını çalışanlarımıza iletiyoruz ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

x=φ(t) fonksiyonunun sürekli bir türevi varsa, o zaman verilen belirsiz integral ∫f(x)dx'te, formülle her zaman yeni bir t değişkenine geçilebilir.

∫f(x)dx=∫f(φ(t))φ"(t)dt

Sonra sağ taraftaki integrali bulun ve orijinal değişkene dönün. Bu durumda bu eşitliğin sağındaki integral, bu eşitliğin solundaki integralinden daha basit, hatta tablo şeklinde olabilir. İntegrali bulmanın bu yöntemine değişken değiştirme yöntemi denir.

Örnek 7. ∫x√x-5dx

Kökten kurtulmak için √x-5=t yaparız. Dolayısıyla x=t 2 +5 ve dolayısıyla dx=2tdt. İkame ederek, art arda sahip olduk:

∫x√x-5dx=∫(t 2 +5) 2tdt=∫(2t 4 +10t 2)dt=2∫t 4 dt+10∫t 2 dt=

III. Parçalara göre entegrasyon yöntemi

Parça yöntemiyle entegrasyon aşağıdaki formüle dayanmaktadır:

∫udv=uv-∫vdu

burada u(x),v(x) sürekli türevlenebilen fonksiyonlardır. Formül, parçalara göre entegrasyon formülü olarak adlandırılır. Bu formül, ∫udv integralinin orijinal ∫vdu integralinden daha basit, hatta tablo halinde çıkabilen integrale götürdüğünü gösterir.

Örnek 12. ∫xe -2x dx belirsiz integralini bulun

Parçalara göre entegrasyon yöntemini kullanıyoruz. u=x, dv=e -2x dx olsun. O halde du=dx, v=∫xe -2x dx=-e -2x +C Bu nedenle, formüle göre: ∫xe -2x dx=x(-e -2x)-∫- -2 dx=-e - 2x -e -2x +C

23 . rasyonel kesir payı ve paydası polinom olan bir kesirdir.

Rasyonel kesirler. En basit rasyonel kesirler ve entegrasyonları

Herhangi bir rasyonel fonksiyon, rasyonel bir kesir olarak, yani iki polinomun oranı olarak temsil edilebilir:

Payın derecesi paydanın derecesinden küçükse kesre denir doğru, aksi halde kesre denir yanlış.

Kesir uygun değilse, payı paydaya bölerek (polinomları bölme kuralına göre), bu kesri bir polinom ve bazı normal kesirlerin toplamı olarak temsil edebilirsiniz: , Nerede M(x)- polinom, ancak uygun bir kesir.

Örnek: Uygunsuz bir rasyonel kesir verilsin.

Daha sonra , çünkü bir köşeye bölerken kalanı elde ederiz (4x-6).

Polinomların integrali hiçbir temel zorluk getirmediğinden, rasyonel kesirleri integral almadaki temel zorluk, uygun rasyonel kesirleri integral almada yatmaktadır.

Birkaç tür rasyonel kesir vardır:

II. Görünüm: (k-pozitif tamsayı ³2).

İ.Y. Görüş: (k-tamsayı³2).

Basit rasyonel kesirlerin integrallerini düşünün.

BEN. .

II. =A .

24 .Rasyonel kesirlerin entegrasyonu

İntegrand, derecelerin polinomları (polinomları) olan rasyonel bir kesir olsun. k Ve N sırasıyla. Genelliği kaybetmeden, şunu varsayabiliriz: k < N, aksi halde pay her zaman P(x) = Q(x)R(x) + S(x) şeklinde gösterilebilir, burada R(x) ve S(x) polinomlardır, bu durumda olduğu gibi genellikle denir gerçek sayılar, bölüm ve kalan ve polinomun derecesi S(x) küçüktür N. Daha sonra

, (1.1)

ve R(x) polinomunun integralini hesaplayabiliriz. (1.1) açılımının nasıl elde edilebileceğini bir örnekle gösterelim. P(x) = x 7 + 3x 6 + 3x 5 - 3x 3 + 4x 2 + x -2, Q(x) = x + 3x 2 + x-2 olsun. P(x) polinomunu Q(x) polinomuna tıpkı gerçek sayıları böldüğümüz gibi böleriz (çözüm bölme hesap makinesiyle elde edilir). Böylece, fraksiyonun tamsayı kısmını elde ettik (polinom P'nin Q polinomuna bölünmesinden elde edilen bölüm) R (x) \u003d x 4 + 2x 2 - 4x + 7 ve kalan S (x) \u003d 9x 2 - 14x Bu bölümden + 12. Cebirin temel teoremine göre, herhangi bir polinom en basit çarpanlara ayrıştırılabilir, yani, Q(x) polinomunun köklerinin çoklukları kadar tekrarlandığı şekilde temsil edilir. Q(x) polinomunun n farklı kökü olsun. Daha sonra uygun bir rasyonel kesir şu şekilde temsil edilebilir: , belirlenecek sayılar nerede. Eğer α çokluğun bir kökü ise, o zaman basit kesirlere açılımda α terimlerine karşılık gelir. . Eğer xj, gerçek katsayılara sahip bir polinomun karmaşık bir çokluk köküyse, o zaman karmaşık eşlenik de bu polinomun bir çokluk kökü α'dır. Rasyonel kesirleri entegre ederken karmaşık sayılarla uğraşmamak için, karmaşık eşlenik kök çiftlerine karşılık gelen düzenli bir rasyonel kesrin açılımındaki terimler birleştirilir ve if - çokluğun kökleri bir şeklinde yazılır. Çokluğun kökleri ise, o zaman terimlere karşılık gelirler ve karşılık gelen genişleme şu şekildedir:

Böylece uygun rasyonel kesirlerin integrali, parça parça integral alarak elde edilen yinelemeli formülle bulunabilen tablo halindeki en basit kesirlerin integraline indirgenmiştir. İntegraller, paydanın karmaşık köklere (diskriminant) sahip olması durumunda, tam bir karenin seçilmesi yoluyla, yer değiştirme yoluyla integrallere indirgenir. Uygun bir rasyonel kesrin açılımındaki katsayıları bulmanın bir yolu şudur: Ortaya çıkan belirsiz katsayılı açılımın sağ tarafı ortak bir paydaya indirgenir. Sağ ve sol tarafların paydaları eşit olduğu için polinom olan payların da eşit olması gerekir. Aynı güçlerdeki katsayıları eşitleyerek (çünkü aynı güçlerdeki katsayılar eşitse polinomlar da eşittir), bu katsayıları belirlemek için bir doğrusal denklem sistemi elde ederiz.

25. İrrasyonel fonksiyonların entegrasyonu - İrrasyonel ifadeleri entegre etmenin genel prensibi, integraldeki köklerden kurtulmanızı sağlayan değişkeni değiştirmektir. Bazı fonksiyon sınıfları için bu amaca standart ikameler kullanılarak ulaşılır.

formun integralleri .

formun integralleri veya değiştirilerek hesaplanır.

26 . İrrasyonel fonksiyonların entegrasyonu - İrrasyonel ifadeleri entegre etmenin genel prensibi, integraldeki köklerden kurtulmanızı sağlayan değişkeni değiştirmektir. Bazı fonksiyon sınıfları için bu amaca standart ikameler kullanılarak ulaşılır.

formun integralleri bağımsız değişkenlerinin rasyonel bir işlevi olduğu yerde, değiştirilerek hesaplanır .

formun integralleri veya değiştirilerek hesaplanır.

formun integralleri veya değiştirilerek hesaplanır. formun integralleri veya değiştirilerek hesaplanır.

A integralleri tabloya indirmenin yolları size verdik:

değişken değiştirme yöntemi;

parçalara göre entegrasyon yöntemi;

Doğrudan entegrasyon yöntemi

Rasyonel kesirlerin integralleri için belirsiz integralleri tablo şeklinde temsil etme yolları;

irrasyonel ifadelerin integralleri için tablo integralleri aracılığıyla belirsiz integralleri temsil etme yöntemleri;

trigonometrik fonksiyonların integralleri için belirsiz integralleri tablo halinde ifade etmenin yolları.

Bir güç fonksiyonunun belirsiz integrali

Üstel fonksiyonun belirsiz integrali

Ancak logaritmanın belirsiz integrali bir tablo integrali değildir; bunun yerine formül tablo şeklindedir:

Trigonometrik fonksiyonların belirsiz integralleri: Sinüs, kosinüs ve teğet integralleri

Ters trigonometrik fonksiyonlara sahip belirsiz integraller

tablolama veya doğrudan entegrasyon yöntemi. İntegrandın özdeş dönüşümlerinin yardımıyla, integral, temel integral alma kurallarının geçerli olduğu bir integrale indirgenir ve temel integraller tablosunu kullanmak mümkündür.

Örnek

Egzersiz yapmak. integrali bul

Çözüm.İntegralin özelliklerini kullanıyoruz ve bu integrali tablo haline getiriyoruz.

Cevap.

teknik olarak değişken değiştirme yöntemi belirsiz integralde iki şekilde uygulanır:

– Diferansiyel işareti altına bir fonksiyon getirme. – Değişkenin gerçek değişimi.

Diferansiyel işaretinin altına bir fonksiyon getirme

Örnek 2

Belirsiz integrali bulun. Bir kontrol çalıştırın.

İntegrand fonksiyonunu analiz ediyoruz. Burada bir kesirimiz var ve payda doğrusal bir fonksiyondur (birinci derecede "x" ile). İntegraller tablosuna bakarız ve en benzer şeyi buluruz: .

Fonksiyonu diferansiyelin işareti altına getiriyoruz:

Muayene: Orijinal integral elde edildi, yani integral doğru bulundu.

belirsiz integralde değişken değiştirme yöntemi

Örnek 5

Belirsiz integrali bulun.

Örnek olarak, dersin başında ele aldığımız integrali aldım. Daha önce de söylediğimiz gibi, integrali çözmek için tablo formülünü beğendik. ve her şeyi ona indirgemek istiyorum.

Değiştirme yönteminin arkasındaki fikir, karmaşık bir ifade (veya bazı işlevler) tek bir harfle değiştirilir. Bu durumda kendini gösteriyor: En popüler ikinci harf, harftir. Prensip olarak, diğer harfleri kullanabilirsiniz, ancak biz yine de geleneklere bağlı kalıyoruz.

Bu yüzden: Ama değiştirirken ayrıldık! Muhtemelen birçoğu, yeni bir değişkene geçiş yapılırsa, o zaman yeni integralde her şeyin harf aracılığıyla ifade edilmesi gerektiğini ve diferansiyele hiç yer olmadığını tahmin etmiştir. gerekli olduğuna dair mantıksal bir sonuca varır. yalnızca bağlı olan bir ifadeye dönüşür.

Eylem aşağıdaki gibidir. Bu örnekte bir ikame seçtikten sonra, farkı bulmamız gerekiyor. Farklılıklarla, sanırım zaten herkes için dostluk kuruldu.

O zamandan beri

Diferansiyel ile hesaplaşmanın ardından, nihai sonucu olabildiğince kısa bir şekilde yeniden yazmanızı tavsiye ederim: Şimdi, orantı kurallarına göre, ihtiyacımız olanı ifade ediyoruz:

Sonunda: Böylece: Ve bu en tablolu integral (integraller tablosu elbette değişken için de geçerlidir).

Sonuç olarak, ters değiştirmeyi gerçekleştirmeye devam ediyor. Bunu hatırlıyoruz.

Hazır.

Bu örneğin son tasarımı şöyle görünmelidir:

“

Değiştirelim:

“

İkon herhangi bir matematiksel anlam taşımamaktadır, ara açıklamalar için çözümü yarıda kestik anlamına gelmektedir.

Defterde bir örnek yaparken, ters yerine basit bir kurşun kalemle üst simge koymak daha iyidir.

Dikkat! Aşağıdaki örneklerde, diferansiyeli bulma ayrıntılı olarak açıklanmayacaktır.

Ve şimdi ilk çözümü hatırlamanın zamanı geldi:

Fark ne? Temel bir fark yoktur. Aslında aynı şey. Ancak görevi tasarlama açısından, işlevi diferansiyelin işareti altına getirme yöntemi çok daha kısadır. Bir soru ortaya çıktı. İlk yol daha kısaysa, neden replace yöntemini kullanıyorsunuz? Gerçek şu ki, bir dizi integral için, fonksiyonu diferansiyelin işareti altına "uydurmak" o kadar kolay değildir.

Parçalara göre entegrasyon. Çözüm örnekleri

logaritmaların integralleri

örnek 1

Belirsiz integrali bulun.

Klasik. Zaman zaman bu integral tablolarda bulunabilir, ancak öğretmen baharda beriberi olduğu ve çok azarlayacağı için hazır bir cevap kullanmak istenmez. Söz konusu integral hiçbir şekilde tablo şeklinde olmadığı için - parçalar halinde alınır. karar veriyoruz:

Ara açıklamalar için çözümü yarıda kesiyoruz.

Parçalara göre entegrasyon için formülü kullanıyoruz:

Formül soldan sağa uygulanır

Sol tarafa bakıyoruz:. Açıkçası, örneğimizde (ve ele alacağımız diğer tüm örneklerde), bir şeyin ile ve bir şeyin de ile gösterilmesi gerekir.

Dikkate alınan tipteki integrallerde,her zaman logaritma ile gösterilir.

Teknik olarak, çözümün tasarımı aşağıdaki gibi uygulanır, sütuna yazarız:

Yani, logaritmayı belirttiğimiz için ve - kalan kısım integrand.

Sonraki adım: farkı bulun:

Diferansiyel, türev ile hemen hemen aynıdır, onu nasıl bulacağımızı daha önceki derslerde tartışmıştık.

Şimdi fonksiyonu bulduk. Fonksiyonu bulmak için entegre etmek gerekir. Sağ Taraf alt eşitlik:

Şimdi çözümümüzü açıyoruz ve formülün sağ tarafını oluşturuyoruz: . Bu arada, burada küçük notlar içeren bir nihai çözüm örneği var.

Belirsiz integralde değişken değişimi. Diferansiyelleri dönüştürmek için formül. Entegrasyon örnekleri. Doğrusal ikame örnekleri.

Değişken değiştirme yöntemi

Bir değişken değişikliğinin yardımıyla basit integralleri hesaplayabilir ve bazı durumlarda daha karmaşık olanların hesaplanmasını basitleştirebilirsiniz.

Değişken değiştirme yöntemi, x olsun orijinal entegrasyon değişkeninden t olarak gösterdiğimiz başka bir değişkene geçmemizdir. Aynı zamanda, x ve t değişkenlerinin x = x ilişkisiyle ilişkili olduğunu varsayıyoruz. (T) veya t = t (X). Örneğin x = günlük t, x = günah, t = 2 adet + 1, ve benzeri. Görevimiz x ve t arasında öyle bir ilişki seçmek ki orijinal integral ya tablosal olana indirgenecek ya da daha basit hale gelecek.

Temel Değişken Değiştirme Formülü

İntegral işaretinin altındaki ifadeyi ele alalım. F olarak göstereceğimiz integralin çarpımından oluşur. (X) ve diferansiyel dx : . x = x ilişkisini seçerek yeni bir t değişkenine geçelim (T). O zaman f fonksiyonunu ifade etmeliyiz. (X) ve t değişkeni cinsinden diferansiyel dx.

f integralini ifade etmek için (X) t değişkeni aracılığıyla, x değişkeni yerine seçilen x = x oranını değiştirmeniz yeterlidir (T).

Diferansiyel dönüşüm şu şekilde yapılır:
.
Yani diferansiyel dx, x'in t ve diferansiyel dt'ye göre türevinin ürününe eşittir.

Daha sonra
.

Pratikte en yaygın durum, eskisinin fonksiyonu olarak yeni bir değişken seçerek bir yer değiştirme gerçekleştirdiğimiz zamandır: t = t (X). İntegrandın şu şekilde temsil edilebileceğini tahmin edersek:
,
nerede t' (X) t'nin x'e göre türevi, o zaman
.

Dolayısıyla, temel değişken değişim formülü iki biçimde temsil edilebilir.
(1) ,
burada x, t'nin bir fonksiyonudur.
(2) ,
burada t, x'in bir fonksiyonudur.

Önemli Not

İntegral tablolarında, entegrasyon değişkeni çoğunlukla x olarak gösterilir. Bununla birlikte, entegrasyon değişkeninin herhangi bir harfle gösterilebileceğini dikkate almakta fayda var. Ayrıca, entegrasyon değişkeni olarak herhangi bir ifade kullanılabilir.

Örnek olarak, tablo integralini düşünün
.

Burada x, başka herhangi bir değişkenle veya bir değişkenin işleviyle değiştirilebilir. İşte olası seçeneklere örnekler:
;
;
.

Son örnekte, x entegrasyon değişkenine geçerken diferansiyelin aşağıdaki gibi dönüştürüldüğünü dikkate almanız gerekir:
.
Daha sonra
.

Bu örnek, ikame entegrasyonunun özüdür. Yani, bunu tahmin etmeliyiz
.
Bundan sonra, integral tabloya indirgenir.
.

Bu integrali, formülü uygulayarak bir değişken değişikliği kullanarak değerlendirebilirsiniz. (2) . t = x olsun 2+x. Daha sonra
;
;

.

Değişken değişikliği ile entegrasyon örnekleri

1) İntegrali hesaplıyoruz
.
Bunu fark ettik (sin x)' = cos x. Daha sonra

.
Burada t = ikamesini uyguladık. günah x.

2) İntegrali hesaplıyoruz
.
Bunu fark ediyoruz. Daha sonra

.
Burada t = değişkenini değiştirerek entegrasyonu gerçekleştirdik. yay x.

3) entegre edelim
.
Bunu fark ediyoruz. Daha sonra

. Burada entegrasyon sırasında t = x değişkeninin değişimi 2 + 1 .

Doğrusal ikameler

Belki de en yaygın olanı doğrusal ikamelerdir. Bu, form değişkeninin bir ikamesidir
t = eksen + b
burada a ve b sabittir. Böyle bir değişiklik altında, diferansiyeller ilişki ile ilişkilidir.
.

Doğrusal ikamelerle entegrasyon örnekleri

A)İntegrali hesapla
.
Çözüm.
.

B) integrali bul
.
Çözüm.
Üstel fonksiyonun özelliklerini kullanalım.
.
2'de- bir sabittir. İntegrali hesaplıyoruz.

.

C)İntegrali hesapla
.
Çözüm.
Bir kesrin paydasındaki kare polinomu kareler toplamına getiriyoruz.
.
İntegrali hesaplıyoruz.

.

D) integrali bul
.
Çözüm.
Polinomu kökün altına dönüştürüyoruz.

.
Değişken değiştirme yöntemini kullanarak entegre ediyoruz.

.
Formülü daha önce elde etmiştik.
.
Buradan
.
Bu ifadeyi değiştirerek nihai cevabı elde ederiz.