Resme göre orijinal işlevi bulun. İnternette benzer bir resim, fotoğraf, resim nasıl bulunur?

diferansiyel denklem nasıl çözülür
operasyonel hesap?

Bu derste, karmaşık analizin tipik ve yaygın bir görevi ayrıntılı olarak analiz edilecektir - işlemsel analiz yöntemiyle sabit katsayılarla 2. dereceden DE'nin belirli bir çözümünü bulma. Tekrar tekrar sizi malzemenin düşünülemeyecek kadar karmaşık ve erişilemez olduğu önyargısından kurtarıyorum. Komik ama örneklerde ustalaşmak için ayırt edemeyebilir, bütünleştiremeyebilir ve hatta ne olduğunu bilemeyebilirsiniz. Karışık sayılar. Uygulama becerisi gerektirir belirsiz katsayılar yöntemi makalede ayrıntılı olarak tartışılan Kesirli rasyonel fonksiyonların entegrasyonu. Aslında, ödevin temel taşı olağan cebirsel işlemlerdir ve eminim ki materyal bir okul çocuğu için bile mevcuttur.

İlk olarak, incelenen bölüm hakkında kısa ve öz teorik bilgiler matematiksel analiz. Ana nokta operasyonel hesap aşağıdakilerden oluşur: fonksiyon geçerli sözde kullanarak değişken Laplace dönüşümleri görüntülenen işlev Birleşik değişken :

Terminoloji ve gösterim:
işlev denir orijinal;
işlev denir görüntü;
büyük harf gösterir Laplace dönüşümü.

konuşmak sade dil, gerçek işlev (orijinal), belirli kurallara göre dönüştürülmelidir karmaşık fonksiyon(resim). Ok, bu dönüşümü gösterir. Ve "belirli kurallar" kendileri Laplace dönüşümü, sadece resmi olarak ele alacağımız, bu da problemleri çözmek için oldukça yeterli olacaktır.

Ters Laplace dönüşümü, görüntü orijinaline dönüştürüldüğünde de uygulanabilir:

Bütün bunlar neden gerekli? Bir dizi yüksek matematik probleminde, orijinallerden resimlere geçmek çok faydalı olabilir, çünkü bu durumda problemin çözümü büyük ölçüde basitleştirilmiştir (şaka yapıyorum). Ve ele alacağımız bu sorunlardan sadece biri. Operasyonel hesabı görecek kadar yaşadıysanız, formülasyon size aşina olmalıdır:

Verilen başlangıç ​​koşulları için sabit katsayılı ikinci dereceden homojen olmayan bir denklemin özel bir çözümünü bulun.

Not: bazen diferansiyel denklem homojen olabilir: , bunun için yukarıdaki formülasyonda işlemsel hesap yöntemi de uygulanabilir. Ancak pratik örneklerde 2. dereceden homojen DE son derece nadirdir ve ayrıca homojen olmayan denklemlerden bahsedeceğiz.

Ve şimdi üçüncü yöntem analiz edilecek - operasyonel hesap kullanarak DE'nin çözümü. Şu gerçeği bir kez daha vurguluyorum. belirli bir çözüm bulmakla ilgilidir, Ayrıca, başlangıç ​​koşulları kesinlikle şu şekildedir:("X'ler" sıfıra eşittir).

Bu arada, "X" hakkında. Denklem aşağıdaki biçimde yeniden yazılabilir:
, burada "x" bağımsız bir değişkendir ve "y" bir fonksiyondur. Bundan tesadüfen bahsetmiyorum, çünkü ele alınan problemde en çok başka harfler kullanılıyor:

Yani, bağımsız değişkenin rolünü "te" değişkeni ("x" yerine) ve işlevin rolünü "x" değişkeni ("y" yerine) oynar.

Elbette bunun uygunsuz olduğunu anlıyorum, ancak çoğu problemli kitap ve kılavuzda bulunan notasyona bağlı kalmak daha iyidir.

Böylece diğer harflerle olan görevimiz şu şekilde yazılır:

Verilen başlangıç ​​koşulları için sabit katsayılı homojen olmayan ikinci dereceden bir denklemin belirli bir çözümünü bulun .

Görevin anlamı hiç değişmedi, sadece harfler değişti.

Bu problem operasyonel hesap yöntemiyle nasıl çözülür?

Her şeyden önce, ihtiyacınız olacak orijinaller ve resimler tablosu. Bu önemli bir karar aracıdır ve onsuz yapamazsınız. Bu nedenle, mümkünse belirtilen referans malzemeyi yazdırmayı deneyin. Hemen "pe" harfinin ne anlama geldiğini açıklayacağım: karmaşık bir değişken (her zamanki "ze" yerine). Bu gerçek, problemlerin çözümü için özel bir öneme sahip olmasa da, “pe” çok “pe” dir.

Tabloyu kullanarak, orijinallerin bazı görüntülere dönüştürülmesi gerekir. Bunu bir dizi tipik eylem izler ve ters Laplace dönüşümü kullanılır (tabloda da vardır). Böylece istenen özel çözüm bulunacaktır.

Güzel olan tüm görevler oldukça katı bir algoritmaya göre çözülür.

örnek 1

, ,

Çözüm:İlk adımda, orijinallerden karşılık gelen görüntülere geçeceğiz. Kullanırız Sol Taraf.

Önce orijinal denklemin sol tarafını ele alalım. Laplace dönüşümü için, doğrusallık kuralları, bu nedenle tüm sabitleri yok sayar ve işlev ve onun türevleriyle ayrı ayrı çalışırız.

1 numaralı tablo formülüne göre, işlevi dönüştürüyoruz:

2 numaralı formüle göre , başlangıç ​​koşulunu dikkate alarak türevi çeviriyoruz:

3 numaralı formüle göre, başlangıç ​​koşulları göz önüne alındığında, ikinci türevi çeviriyoruz:

İşaretlerle kafanız karışmasın!

"Formüller" değil, "dönüşümler" demenin daha doğru olduğunu itiraf ediyorum ama basitlik için zaman zaman tablonun doldurulmasına formüller diyeceğim.

Şimdi ilgilenelim Sağ Taraf polinomu içeren . Aynı sebepten dolayı doğrusallık kuralları Laplace dönüşümleri için her terimle ayrı ayrı çalışıyoruz.

İlk terime bakıyoruz: - bu, bir sabitle çarpılan "te" bağımsız değişkenidir. Sabiti yok sayın ve tablonun 4 numaralı öğesini kullanarak dönüşümü gerçekleştirin:

İkinci terime bakıyoruz: -5. Bir sabit tek başına bulunduğunda, onu atlamak artık mümkün değildir. Tek bir sabitle bunu yaparlar: netlik için, bir çarpım: olarak temsil edilebilir ve birime bir dönüşüm uygulanır:

Böylece, tablo kullanılarak diferansiyel denklemin tüm öğeleri (orijinalleri) için karşılık gelen görüntüler bulunur:

Bulunan görüntüleri orijinal denklemde değiştirin:

Bir sonraki görev ifade etmektir. operatör kararı diğer her şey yoluyla, yani bir kesir aracılığıyla. Bu durumda, aşağıdaki prosedürü izlemeniz önerilir:

İlk olarak, sol taraftaki köşeli parantezleri açın:

Sol tarafta (varsa) benzer terimleri veriyoruz. İÇİNDE bu durum-2 ve -3 sayılarını ekleyin. Aptallar kaçırmamanızı şiddetle tavsiye eder bu aşama:

Solda mevcut olan terimleri bırakıyoruz, kalan terimleri işaret değişikliği ile sağa aktarıyoruz:

Sol tarafta operatör çözümünü çıkarıyoruz, sağ tarafta ifadeyi ortak bir paydaya getiriyoruz:

Soldaki polinom çarpanlara ayrılmalıdır (mümkünse). İkinci dereceden denklemi çözüyoruz:

Böylece:

Sağ tarafın paydasına sıfırlıyoruz:

Hedefe ulaşıldı - operatör çözümü bir kesir cinsinden ifade edildi.

Eylem iki. kullanma belirsiz katsayılar yöntemi, denklemin operatör çözümü, temel kesirlerin toplamına genişletilmelidir:

Katsayıları karşılık gelen güçlerde eşitleyin ve sistemi çözün:

Herhangi bir zorluk varsa lütfen makaleleri takip edin Kesirli-rasyonel bir fonksiyonun entegrasyonu Ve Bir denklem sistemi nasıl çözülür? Bu çok önemlidir, çünkü fraksiyonasyon aslında problemin en önemli parçasıdır.

Böylece katsayılar bulunur: , ve operatör çözümü demonte halde karşımıza çıkar:

Sabitlerin kesirlerin paylarında yazılmadığına dikkat edin. Bu yazı biçimi daha iyi . Ve daha karlı, çünkü nihai eylem karışıklık ve hatalar olmadan gerçekleşecek:

Görevin son adımı, ters Laplace dönüşümünü kullanarak görüntülerden karşılık gelen orijinallere geçmektir. Sağ sütunu kullanın orijinallerin ve görüntülerin tabloları.

Belki de herkes dönüşümü anlamıyor. Burada tablonun 5. paragrafının formülü kullanılmıştır: Daha ayrıntılı olarak: . Aslında, benzer durumlar için formül değiştirilebilir: . Evet ve 5 numaralı paragrafın tüm tablo formüllerini benzer şekilde yeniden yazmak çok kolaydır.

Tersine geçişten sonra, DE'nin istenen özel çözümü, mavi kenarlıklı gümüş bir tepside elde edilir:

Şuydu:

Dönüştü:

Cevap:özel çözüm:

Zaman izin verdiğinde, her zaman bir kontrol yapılması tavsiye edilir. Kontrol, derste zaten ele alınan standart şemaya göre yapılır. 2. dereceden homojen olmayan diferansiyel denklemler. Tekrar edelim:

İlk koşulun yerine getirilip getirilmediğini kontrol edelim:
- Tamamlandı.

Birinci türevi bulalım:

İkinci başlangıç ​​koşulunun yerine getirilip getirilmediğini kontrol edelim:
- Tamamlandı.

İkinci türevi bulalım:

Yerine geçmek , ve Sol Taraf orijinal denklem:

Orijinal denklemin sağ tarafı elde edilir.

Sonuç: görev doğru bir şekilde tamamlandı.

için küçük bir örnek bağımsız çözüm:

Örnek 2

İşlemsel hesabı kullanarak, verilen başlangıç ​​koşulları için bir diferansiyel denklemin özel bir çözümünü bulun.

Dersin sonunda bir final ödevi örneği.

Birçoğunun uzun zamandır fark ettiği gibi, diferansiyel denklemlerdeki en sık misafir üslerdir, bu yüzden onlarla akraba olan birkaç örneğe bakalım:

Örnek 3

, ,

Çözüm: Laplace dönüşüm tablosu (tablonun sol tarafı) yardımıyla orijinallerden karşılık gelen görüntülere geçeceğiz.

Önce denklemin sol tarafına bakalım. Birinci türevi yoktur. Peki ne olmuş? Harika. Az iş. Başlangıç ​​koşullarını göz önünde bulundurarak, tablo formülleri No. 1,3'e göre görüntüleri buluyoruz:

Şimdi sağ tarafa bakıyoruz: - iki fonksiyonun çarpımı. yararlanmak için doğrusallık özellikleri Laplace dönüşümü, parantezleri açmanız gerekir: . Sabitler ürünlerde olduğundan, onları puanlıyoruz ve tablo formüllerinin 5 numaralı grubunu kullanarak görüntüleri buluyoruz:

Bulunan görüntüleri orijinal denklemde değiştirin:

Bir sonraki görevin operatör çözümünü tek kesir cinsinden ifade etmek olduğunu hatırlatırım.

Sol tarafta bulunan terimleri bırakıyoruz, kalan terimleri sağ tarafa aktarıyoruz. Aynı zamanda sağ tarafta kesirleri yavaş yavaş ortak bir paydaya getirmeye başlıyoruz:

Solda parantezlerin dışına çıkarıyoruz, sağda ortak payda ifadesini getiriyoruz:

Sol tarafta, ayrıştırılamaz bir polinom elde edilir. Polinom çarpanlara ayırmazsa, o zaman zavallı adam, bacaklarını bir leğende betonlayarak hemen sağ tarafın dibine atılmalıdır. Ve payda, parantezleri açın ve benzer terimler verin:

En özenli aşama geldi: belirsiz katsayılar yöntemi denklemin operatör çözümünü temel kesirlerin toplamına genişletiriz:


Böylece:

Kesrin nasıl ayrıştırıldığına dikkat edin: Bunun neden böyle olduğunu yakında açıklayacağım.

Bitiş: resimlerden karşılık gelen orijinallere gidin, tablonun sağ sütununu kullanın:

Alttaki iki dönüşümde, tablonun 6 ve 7 numaralı formülleri kullanılmış ve kesir daha önce sadece tablo dönüşümlerine “düzeltmek” için ayrıştırılmıştı.

Sonuç olarak, belirli bir çözüm:

Cevap: istenen özel çözüm:

Kendin yap çözümü için benzer bir örnek:

Örnek 4

Operasyonel hesap yöntemiyle diferansiyel denklemin özel bir çözümünü bulun.

Kısa çözüm ve cevap dersin sonunda.

Örnek 4'te, başlangıç ​​koşullarından biri sıfırdır. Bu kesinlikle çözümü basitleştirir ve en mükemmel seçenek her iki başlangıç ​​koşulu da sıfır olduğunda: . Bu durumda, türevler kuyruksuz görüntülere dönüştürülür:

Daha önce de belirtildiği gibi, en zor teknik an problem bir kesrin genişlemesidir belirsiz katsayılar yöntemi ve elimde oldukça zaman alan örnekler var. Bununla birlikte, kimseyi canavarlarla korkutmayacağım, denklemin birkaç tipik çeşidini daha ele alalım:

Örnek 5

İşlemsel analiz yöntemini kullanarak, verilen başlangıç ​​koşullarını sağlayan diferansiyel denklemin belirli bir çözümünü bulun.
, ,

Çözüm: Laplace dönüşüm tablosunu kullanarak, orijinallerden karşılık gelen görüntülere geçelim. İlk koşullar göz önüne alındığında :

Sağ tarafta da sorun yok:

(Çarpan sabitlerinin yok sayıldığını hatırlatırım)

Ortaya çıkan görüntüleri orijinal denklemde değiştirin ve standart eylemleri gerçekleştirin, umarız zaten iyi çalışmışsınızdır:

Kesrin dışındaki paydadaki sabiti çıkarıyoruz, en önemlisi, sonra unutma:

Paydan ek bir ikili alıp almamayı düşündüm, ancak tahmin ettikten sonra şu sonuca vardım: bu adım bir sonraki kararı çok daha kolay hale getirir.

Görevin bir özelliği, ortaya çıkan kesirdir. Ayrışması uzun ve zor olacak gibi görünüyor, ancak izlenim aldatıcı. Doğal olarak, zor şeyler var, ama her durumda, korkmadan ve şüphe duymadan devam edin:

Bazı katsayıların kesirli çıkması utanç verici olmamalı, bu durum nadir değildir. Keşke hesaplama tekniği başarısız olmasaydı. Ayrıca, cevabı kontrol etmek her zaman mümkündür.

Sonuç olarak, operatör çözümü:

Görüntülerden karşılık gelen orijinallere geçelim:

Yani özel bir çözüm:

Problem şu şekilde ortaya konur: bir F(p) fonksiyonu verildiğinde, /( fonksiyonunu bulmak gerekir.<)>kimin görüntüsü F(p). Karmaşık p değişkeninin F(p) fonksiyonunun bir görüntü olarak hizmet etmesi için yeterli koşulları formüle edelim. Teorem 12. Eğer F(p) 1) fonksiyonu yarım düzlemde analitik herhangi bir yarım düzlemde olduğu gibi sıfıra eğilimliyse, bazı orijinal f(t) fonksiyonları arg'ye göre düzgün bir şekilde Rep = a > s0. Görev*. F(p) = ^ fonksiyonu, bazı orijinal fonksiyonların bir görüntüsü olarak hizmet edebilir mi? Görüntüden orijinali bulmanın bazı yollarını belirtelim. 3.1. Görüntü tablolarını kullanarak orijinali bulma Her şeyden önce, F (p) işlevini daha basit, "tablolu" bir forma getirmeye değer. Örneğin, F(p)'nin p argümanının kesirli bir rasyonel fonksiyonu olması durumunda, temel kesirlere ayrıştırılır ve Laplace dönüşümünün uygun özellikleri kullanılır. Örnek 1. F(p) fonksiyonunu şu şekilde yazalım Yer değiştirme teoremini ve Laplace dönüşümünün lineerlik özelliğini kullanarak, Örnek 2'yi elde ederiz. M fonksiyonunun orijinalini bulun. F(p)'yi şu şekilde yazalım: formu Dolayısıyla / 3.2. Ters çevirme teoremi ve sonuçlarının kullanılması Teorem 13 (ters çevirme). /Gauche fonksiyonu fit), s0 büyüme indeksli orijinal fonksiyondur ve F(p) onun görüntüsüdür, daha sonra f(t) fonksiyonunun sürekliliğinin herhangi bir noktasında aşağıdaki ilişki geçerlidir: burada integral herhangi bir düz çizgi boyunca alınır ve temel değer anlamında anlaşılmaktadır, yani Formül (1) Laplace dönüşümü ters çevirme formülü veya Mellin formülü olarak adlandırılmaktadır. Aslında, örneğin, f(t) her sonlu parçada parçalı düzgün olsun )