Karmaşık değişken teorisi. Karmaşık bir değişkenin fonksiyonları. Karmaşık bir değişkenin fonksiyonlarının farklılaşması. Cauchy-Riemann koşulları

Federal Eğitim Ajansı

___________________________________

Saint Petersburg Eyaleti

Elektroteknik Üniversitesi "LETI"

_______________________________________

Karmaşık bir değişkenin fonksiyonları teorisi

Yönergeler

uygulamalı alıştırmalara

yüksek matematikte

Sankt Petersburg

Saint-Petersburg Elektroteknik Üniversitesi "LETI" yayınevi

UDC 512.64(07)

TFKP: Problem çözme yönergeleri / kompozisyon: V.G. Dyumin, A.M. Kotochigov, N.N. Sosnovsky St.Petersburg: St.Petersburg Yayınevi

Onaylı

üniversitenin redaksiyon ve yayın kurulu

kılavuz olarak

© Saint Petersburg Elektroteknik Üniversitesi "LETI", 2010

Genel durumda karmaşık değişkenin işlevleri, gerçek düzlemin eşlemelerinden farklıdır.
kendi içinde yalnızca kayıt biçimi. Önemli ve son derece yararlı bir nesne, karmaşık bir değişkenin bir işlevinin sınıfıdır,

tek değişkenli fonksiyonlarla aynı türevi olan. Birkaç değişkenli fonksiyonların kısmi ve yönlü türevlerinin olabileceği bilinmektedir, ancak kural olarak farklı yönlerdeki türevler çakışmaz ve bir noktada türevden bahsetmek mümkün değildir. Bununla birlikte, karmaşık bir değişkenin fonksiyonları için, farklılaşmayı kabul ettikleri koşulları açıklamak mümkündür. Karmaşık bir değişkenin türevlenebilir fonksiyonlarının özelliklerinin incelenmesi, kılavuzların içeriğidir. Talimatlar, bu tür fonksiyonların özelliklerinin çeşitli problemleri çözmek için nasıl kullanılabileceğini göstermeye yöneliktir. Karmaşık sayılarla hesaplamada temel beceriler ve bir karmaşık sayının gerçek ve hayali kısımları ile ilgili eşitsizlikler, modülü ve argümanı açısından tanımlanan en basit geometrik nesnelere aşinalık olmadan sunulan materyalde başarılı bir şekilde ustalaşmak imkansızdır. Bunun için gerekli tüm bilgilerin bir özeti yönergelerde bulunabilir.

Matematiksel analizin standart aygıtı: sınırlar, türevler, integraller, seriler, kılavuz metinlerinde yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu kavramların kendi özelliklerine sahip olduğu durumlarda, bir değişkenli fonksiyonlarla karşılaştırıldığında, karşılık gelen açıklamalar verilir, ancak çoğu durumda gerçek ve hayali kısımları ayırmak ve bunlara standart gerçek analiz aparatını uygulamak yeterlidir.

1. Karmaşık bir değişkenin temel fonksiyonları

Karmaşık bir değişkenin fonksiyonlarının türevlenebilirlik koşullarını tartışmaya hangi temel fonksiyonların bu özelliğe sahip olduğunu açıklayarak başlamak doğaldır. Açık ilişkiden

Herhangi bir polinomun türevlenebilirliği aşağıdaki gibidir. Ve, kuvvet serileri yakınsaklık dairesi içinde terim terim türevlenebildiğinden,

o zaman herhangi bir fonksiyon, etrafında bir Taylor serisinde genişletilebileceği noktalarda türevlenebilir. Bu yeterli bir koşuldur, ancak yakında netleşeceği gibi, aynı zamanda gerekli bir koşuldur. Fonksiyonun grafiğinin davranışını kontrol ederek, bir değişkenli fonksiyonların türev yoluyla incelenmesini desteklemek uygundur. Karmaşık değişkenli fonksiyonlar için bu mümkün değildir. Grafiğin noktaları 4, boyutundaki bir uzayda bulunur.

Bununla birlikte, karmaşık düzlemin yeterince basit kümelerinin görüntüleri dikkate alınarak, fonksiyonun bazı grafik temsilleri elde edilebilir.
Belirli bir işlevin etkisi altında ortaya çıkan. Örneğin, bu bakış açısından birkaç basit işlevi ele alalım.

Doğrusal fonksiyon

Bu basit fonksiyonçok önemlidir, çünkü herhangi bir türevlenebilir fonksiyon yerel olarak lineer bir fonksiyona benzer. Fonksiyonun eylemini maksimum ayrıntıyla düşünün

Burada
-- karmaşık sayı modülü Ve onun argümanıdır. Böylece lineer fonksiyon germe, döndürme ve kesme işlemlerini gerçekleştirir. Bu nedenle, doğrusal bir eşleme, herhangi bir kümeyi benzer bir kümeye eşler. Özellikle, doğrusal bir eşlemenin etkisi altında, çizgiler çizgilere ve daireler dairelere dönüşür.

İşlev

Bu işlev, karmaşıklık açısından doğrusal olandan sonra gelir. Herhangi bir doğruyu bir doğruya ve bir daireyi bir daireye götürmesini beklemek zordur, basit örnekler bunun olmadığını göstermektedir, yine de bu fonksiyonun tüm doğrular ve çemberler kümesini kendi içine aldığı gösterilebilir. . Bunu doğrulamak için, eşlemenin gerçek (koordinat) açıklamasına geçmek uygundur.

Kanıt, ters eşlemenin bir açıklamasını gerektirir

Denklemi düşünün eğer
, o zaman düz bir çizginin genel denklemini elde ederiz. Eğer
, O

Bu nedenle, ne zaman
keyfi bir çemberin denklemi elde edilir.

not eğer
Ve
, sonra daire orijinden geçer. Eğer
Ve
, o zaman orijinden geçen düz bir çizgi elde edersiniz.

Tersine çevirme eylemi altında, dikkate alınan denklem şu şekilde yeniden yazılacaktır:

, (
)

veya . Bunun da daireleri veya düz çizgileri tanımlayan bir denklem olduğu görülebilir. Denklemde katsayıların olduğu gerçeği Ve
takas, tersine çevirme sırasında 0'dan geçen doğruların daireye, 0'dan geçen dairelerin de doğruya dönüşeceği anlamına gelir.

Güç fonksiyonları

Bu işlevler ile daha önce ele alınanlar arasındaki temel fark, bunların bire bir olmamasıdır (
). fonksiyon olduğunu söyleyebiliriz.
karmaşık düzlemi aynı düzlemin iki örneğine eşler. Bu konunun dikkatli bir şekilde ele alınması, Riemann yüzeylerinin hantal aparatlarının kullanılmasını gerektirir ve burada ele alınan soruların kapsamı dışındadır. Karmaşık düzlemin, her biri karmaşık düzlemde bire bir eşlenen sektörlere bölünebileceğini anlamak önemlidir. Bu, işlevin dökümüdür
şuna benziyor, Örneğin, üst yarım düzlem, fonksiyon tarafından karmaşık düzleme bire bir eşlenir.
. Bu tür görüntüler için geometri bozulmalarının tanımlanması, tersine çevirme durumunda olduğundan daha zordur. Alıştırma olarak, üst yarım düzlemin dikdörtgen koordinat ızgarasının görüntülendiğinde nereye gittiğini izleyebilirsiniz.

Dikdörtgen koordinat ızgarasının sistemi oluşturan bir parabol ailesine dönüştüğü görülebilir. eğrisel koordinatlar uçakta
. Yukarıda açıklanan düzlemin bölümü, fonksiyon olacak şekildedir.
her birini görüntüler tüm düzlemde sektörler. İleri ve geri eşlemenin açıklaması şuna benzer

Yani fonksiyon
sahip çeşitli ters fonksiyonlar,

uçağın farklı sektörlerinde verilen

Bu gibi durumlarda, eşlemenin çok sayfalı olduğu söylenir.

Zhukovski işlevi

Zhukovsky tarafından yaratılan uçak kanadı teorisinin temelini oluşturduğu için işlevin kendi adı vardır (bu tasarımın açıklaması kitapta bulunabilir). Fonksiyonun bir dizi ilginç özelliği var, bunlardan birine odaklanalım - bu fonksiyonun bire bir hangi kümelerde çalıştığını öğrenelim. Eşitliği düşünün

, Neresi
.

Bu nedenle, Zhukovsky işlevi, herhangi bir etki alanında birebirdir. Ve onların çarpımı birliğe eşit değildir. Bunlar, örneğin, açık birim çemberdir.
ve kapalı birim çemberin tümleyeni
.

Zhukovsky fonksiyonunun daire üzerindeki eylemini düşünün, sonra

Gerçek ve sanal kısımları ayırarak elipsin parametrik denklemini elde ederiz.

,
.

Eğer
, sonra bu elipsler tüm düzlemi doldurur. Benzer şekilde, segment görüntülerinin hiperbol olduğu doğrulanmıştır.

.

üstel fonksiyon

Fonksiyon, tüm karmaşık düzlemde mutlak olarak yakınsayan bir kuvvet serisinde genişletilebilir, bu nedenle her yerde türevlenebilir. Fonksiyonun birebir olduğu kümeleri açıklayalım. Açık eşitlik
düzlemin, her biri fonksiyon tarafından tüm karmaşık düzlem üzerinde bire bir eşlenen bir şerit ailesine bölünebileceğini gösterir. Bu bölümleme, ters fonksiyonun veya daha doğrusu ters fonksiyonların nasıl çalıştığını anlamak için gereklidir. Şeritlerin her birinde, ters harita doğal olarak tanımlanır

Ters fonksiyon da bu durumda çok değerlidir ve ters fonksiyonların sayısı sonsuzdur.

Eşlemenin geometrik açıklaması oldukça basittir: düz çizgiler
kirişlere dönüş
, segmentler

daire içine almak
.

Nerede
gerçek sayılardır ve - özel karakter, denilen hayali birim . Hayali birim için tanım gereği şu varsayılır:
.

(4.1) – cebirsel biçim karmaşık sayı ve
isminde gerçek kısım karmaşık sayı ve
-hayali kısım .

Sayı
isminde karmaşık eşlenik numaraya
.

İki karmaşık sayı verilsin
,
.

1. toplam
Karışık sayılar Ve karmaşık sayı denir

2. fark
Karışık sayılar Ve karmaşık sayı denir

3. iş
Karışık sayılar Ve karmaşık sayı denir

4. Özel karmaşık bir sayıyı bölmekten bir karmaşık sayıya
karmaşık sayı denir

.

Açıklama 4.1. Yani, karmaşık sayılar üzerindeki işlemler, cebirdeki gerçek ifadeler üzerindeki aritmetik işlemlerin olağan kurallarına göre tanıtılır.

Örnek 4.1. Karmaşık sayılar verilir. Bulmak

.

Çözüm. 1) .

4) Pay ve paydayı paydanın karmaşık eşleniği ile çarparak şunu elde ederiz:

trigonometrik biçim karmaşık sayı:

Nerede
karmaşık bir sayının modülüdür,
bir karmaşık sayının argümanıdır. Köşe belirsiz bir şekilde tanımlanmış, bir terime kadar
:

,
.

- koşul tarafından belirlenen bağımsız değişkenin ana değeri

, (veya
).

gösterge formu karmaşık sayı:

.

Kök
inci sayı derecesi sahip formül tarafından bulunan farklı değerler

Nerede
.

Değerlere karşılık gelen noktalar
, bir normalin köşeleridir
yarıçaplı bir daire içine yazılmış bir kare
orijin merkezlidir.

Örnek 4.2. Tüm kök değerleri bul
.

Çözüm. Karmaşık bir sayı hayal edin
trigonometrik formda:

,

, Neresi
.

Daha sonra
. Bu nedenle, formül (4.2) ile
dört anlamı vardır:

,
.

varsayarak
, bulduk

,
,

, .

Burada argümanın değerlerini ana değerine çevirdik.

Karmaşık düzlemde kümeler

Karmaşık sayı
bir uçakta tasvir edilmiş
nokta
koordinatlı
. Modül
ve argüman
noktanın kutupsal koordinatlarına karşılık gelir
.

Eşitsizliği hatırlamakta fayda var.
bir noktada merkezli bir daire tanımlar yarıçap . eşitsizlik
düz çizginin sağında bulunan bir yarım düzlemi tanımlar
ve eşitsizlik
- düz bir çizginin üzerinde bulunan bir yarım düzlem
. Ayrıca eşitsizlik sistemi
ışınlar arasındaki açıyı ayarlar
Ve
koordinatların orijininden giden.

Örnek 4.3. Eşitsizliklerle tanımlanan alanı çizin:
.

Çözüm.İlk eşitsizlik, bir noktada merkezli bir halkaya karşılık gelir.
ve iki yarıçap 1 ve 2, daire alana dahil değildir (Şekil 4.1).

İkinci eşitsizlik, ışınlar arasındaki açıya karşılık gelir.
(4. koordinat açısının açıortayı) ve
(pozitif eksen yönü
). Işınların kendileri bölgeye girmez (Şekil 4.2).

İstenen alan, elde edilen iki alanın kesişimidir (Şekil 4.3)

4.2. Karmaşık bir değişkenin işlevleri

Tek değerli bir fonksiyona izin ver
etki alanında tanımlanmış ve sürekli
, A içinde uzanan parçalı-düz kapalı veya kapalı olmayan yönlü bir eğridir.
. Her zamanki gibi,
,, Nerede
,
- değişkenlerin gerçek fonksiyonları Ve .

Bir fonksiyonun integralini hesaplama
karmaşık değişken sıradan eğrisel integrallerin hesaplanmasına indirgenir, yani

eğer işlev
basit bağlantılı bir alanda analitiktir
içeren noktalar Ve , o zaman Newton-Leibniz formülü şunu tutar:

Nerede
- işlev için bazı ters türevler
, yani
bölgede
.

Karmaşık bir değişkenin fonksiyonlarının integrallerinde, değişken değiştirilebilir ve parçalara göre entegrasyon, gerçek bir değişkenin fonksiyonlarının integrallerini hesaplarken nasıl yapıldığına benzer.

İntegrasyon yolunun noktadan başlayan düz bir çizginin parçası olduğuna da dikkat edin. veya bir noktada ortalanmış bir dairenin parçası , o zaman formun değişkenini değiştirmekte fayda var
. İlk durumda
, A - gerçek entegrasyon değişkeni; ikinci durumda
, A gerçek entegrasyon değişkenidir.

Örnek 4.4. Hesaplamak
bir parabol boyunca
noktadan
diyeceğim şey şu ki
(Şekil 4.4).

Örnek 4.5.İntegrali hesapla
, Nerede - bir çemberin yayı
,
(Şekil 4.5) .

İşlev
, halkada tek değerli ve analitik
, bu halkada ayrışır Laurent serisi

Formül (4.5)'te seri
isminde Ana bölüm Laurent serisi ve serisi
isminde sağ kısım Laurent sırası.

Tanım 4.1. Nokta ismindeizole tekil nokta fonksiyonlar
fonksiyonun bulunduğu bu noktanın bir komşuluğu varsa
noktanın kendisi dışında her yerde analitiktir .

İşlev
noktanın yakınında bir Laurent serisinde genişletilebilir. Üç olası var farklı fırsat Laurent serisi olduğunda:

1) negatif fark dereceli terimler içermez
, yani

(Laurent serisi ana bölümü içermez). Bu durumda isminde çıkarılabilir tekil nokta fonksiyonlar
;

2) negatif fark derecesine sahip sonlu sayıda terim içerir
, yani

,

Ve
. Bu durumda nokta isminde düzen direği fonksiyonlar
;

3) içerir sonsuz sayı negatif dereceli terimler:

.

Bu durumda nokta isminde temel nokta fonksiyonlar
.

Yalıtılmış bir tekil noktanın doğasını belirlerken, bir Laurent serisi açılımı aramaya gerek yoktur. Yalıtılmış anahtar noktaların çeşitli özelliklerini kullanabilirsiniz.

1) işlevin çıkarılabilir tekil noktasıdır
fonksiyonun sonlu bir limiti varsa
noktada :

.

2) fonksiyonun bir kutbu
, Eğer

.

3) fonksiyonun önemli bir tekil noktasıdır
, eğer
fonksiyonun limiti yoktur, ne sonlu ne de sonsuz.

Tanım 4.2. Nokta ismindesıfır
emir (veya çokluklar ) fonksiyonlar
aşağıdaki koşullar karşılanırsa:

…,

.

Açıklama 4.2. Nokta o zaman ve ancak o zaman sıfırdır
emir fonksiyonlar
bu noktanın bazı mahallelerinde eşitlik

,

fonksiyon nerede
noktada analitiktir Ve

4) nokta düzenin direğidir (
) fonksiyonlar
eğer bu nokta siparişin sıfırı ise işlev için
.

5) izin ver - bir fonksiyonun yalıtılmış tekil noktası
, Nerede
- bir noktada analitik fonksiyonlar . Ve nokta olsun sipariş sıfır mı fonksiyonlar
ve sıfır sipariş fonksiyonlar
.

-de
nokta düzenin direğidir
fonksiyonlar
.

-de
nokta işlevin çıkarılabilir tekil noktasıdır
.

Örnek 4.6. Yalıtılmış noktaları bulun ve işlev için türlerini belirleyin
.

Çözüm. Fonksiyonlar
Ve
- tüm karmaşık düzlemde analitik. Dolayısıyla, fonksiyonun tekil noktaları
paydanın sıfırları, yani noktaları
. Böyle sonsuz sayıda nokta vardır. İlk olarak, nokta bu
denklemi sağlayan noktaların yanı sıra
. Buradan
Ve
.

Bir noktayı düşünün
. Bu noktada şunu elde ederiz:

,
,

,
.

sıfırın sırası
.

,
,

,
,

,
,

,
.

.

Yani nokta
ikinci dereceden bir kutuptur (
).

. Daha sonra

,
.

Sıfır payın sırası
.

,
,
.

Sıfır payda sırası
. Bu nedenle noktalar
de
birinci dereceden kutuplardır ( basit direkler ).

Teorem 4.1. (Cauchy kalıntı teoremi ). eğer işlev
sınırda analitiktir alanlar
ve sonlu sayıda tekil nokta dışında bölge içindeki her yerde
, O

.

İntegralleri hesaplarken, fonksiyonun tüm tekil noktalarını dikkatlice bulmaya değer.
, ardından bir kontur ve özel noktalar çizin ve bundan sonra sadece entegrasyon konturunun içindeki noktaları seçin. Resim olmadan doğru seçimi yapmak genellikle zordur.

Kesintiyi hesaplama yöntemi
tekil noktanın türüne bağlıdır. Bu nedenle kalıntıyı hesaplamadan önce tekil noktanın türünü belirlemeniz gerekir.

1) bir noktada işlev kalıntısı Laurent açılımındaki eksi birinci kuvvetin katsayısına eşittir
noktanın yakınında :

.

Bu ifade, tüm yalıtılmış nokta türleri için geçerlidir ve bu nedenle bu durumda tekil bir noktanın türünü belirlemek gerekli değildir.

2) çıkarılabilir tekil noktadaki kalıntı sıfıra eşittir.

3) eğer basit bir kutuptur (birinci dereceden kutup) ve fonksiyon
olarak temsil edilebilir
, Nerede
,
(bu durumda unutmayın
), ardından noktadaki kalıntı eşittir

.

özellikle, eğer
, O
.

4) eğer basit bir direk, o zaman

5) eğer - kutup
inci sıra fonksiyonu
, O

Örnek 4.7.İntegrali hesapla
.

Daha sonra formül (4.7) ile bu noktada kalıntıyı buluruz:

Teorem 4.1 sayesinde şunu buluruz:

Karmaşık bir değişkenin fonksiyonları.
Karmaşık bir değişkenin fonksiyonlarının farklılaşması.

Bu makale, karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi ile ilgili tipik problemleri ele alacağım bir dizi ders açmaktadır. Örneklerde başarılı bir şekilde ustalaşmak için, karmaşık sayılar hakkında temel bilgiye sahip olmanız gerekir. Malzemeyi pekiştirmek ve tekrarlamak için sayfayı ziyaret etmeniz yeterlidir. bulmak için becerilere de ihtiyacınız olacak. ikinci dereceden kısmi türevler. İşte bunlar, bu kısmi türevler... Şimdi bile ne sıklıkta ortaya çıktıklarına biraz şaşırdım...

Analiz etmeye başladığımız konu özellikle zor değil ve karmaşık bir değişkenin işlevlerinde prensipte her şey açık ve erişilebilir. Asıl mesele, ampirik olarak benim tarafımdan türetilen temel kurala bağlı kalmaktır. Okumaya devam etmek!

Karmaşık bir değişkenin işlevi kavramı

İlk olarak, bir değişkenin okul işlevi hakkındaki bilgilerimizi tazeleyelim:

Bir değişkenin işlevi bağımsız değişkenin (tanım alanından) her değerinin, işlevin bir ve yalnızca bir değerine karşılık geldiği bir kuraldır. Doğal olarak, "x" ve "y" gerçek sayılardır.

Karmaşık durumda işlevsel bağımlılık aynı şekilde ayarlanır:

Karmaşık bir değişkenin tek değerli işlevi kural herkesin kapsayıcı bağımsız değişkenin değeri (alandan) bir ve yalnızca bire karşılık gelir kapsayıcı işlev değeri. Teorik olarak, çok değerli ve diğer bazı fonksiyon türleri de dikkate alınır, ancak basitlik için bir tanıma odaklanacağım.

Karmaşık bir değişkenin işlevi nedir?

Temel fark, sayıların karmaşık olmasıdır. İroni yapmıyorum. Bu tür sorulardan genellikle bir şaşkınlığa düşüyorlar, makalenin sonunda harika bir hikaye anlatacağım. Derste aptallar için karmaşık sayılarşeklinde bir karmaşık sayı ele aldık. Şu andan itibaren "Z" harfi oldu değişken, o zaman şu şekilde göstereceğiz: , "x" ve "y" farklı alabilirken geçerli değerler. Kabaca konuşursak, karmaşık bir değişkenin işlevi, "olağan" değerler alan ve değişkenlerine bağlıdır. İtibaren bu gerçek mantıksal olarak şu noktayı takip eder:

Karmaşık bir değişkenin işlevi şu şekilde yazılabilir:
, burada ve ikinin iki işlevidir geçerli değişkenler.

işlev denir gerçek kısım işlevler .
işlev denir hayali kısım işlevler .

Yani, karmaşık bir değişkenin işlevi iki gerçek işleve bağlıdır ve . Sonunda her şeyi açıklığa kavuşturmak için pratik örneklere bakalım:

örnek 1

Çözüm: Bağımsız değişken "z", hatırladığınız gibi şu şekilde yazılmıştır, bu nedenle:

(1) Orijinal fonksiyonda değiştirildi.

(2) Birinci terim için indirgenmiş çarpma formülü kullanılmıştır. Dönem içinde parantezler açıldı.

(3) Bunu unutmadan dikkatli bir şekilde gönyesini alın.

(4) Terimlerin yeniden düzenlenmesi: önce terimleri yeniden yazın hayali birimin olmadığı(birinci grup), sonra terimler, olduğu yerde (ikinci grup). Terimleri karıştırmanın gerekli olmadığına dikkat edilmelidir ve bu aşama atlanabilir (aslında bunu sözlü olarak yapıyor).

(5) İkinci grup parantezden çıkarılır.

Sonuç olarak, fonksiyonumuzun şu şekilde temsil edildiği ortaya çıktı:

Cevap:
fonksiyonun gerçek kısmıdır.
fonksiyonun hayali kısmıdır.

Bu işlevler nelerdir? Bu kadar popüler bulunabilen iki değişkenin en sıradan fonksiyonları kısmi türevler. Merhametsiz - bulacağız. Ama biraz sonra.

Kısaca, çözülen problemin algoritması şu şekilde yazılabilir: orijinal fonksiyonun yerine koyarız, sadeleştirmeler yaparız ve tüm terimleri hayali bir birim olmadan (gerçek kısım) ve hayali bir birim ile (hayali kısım) iki gruba ayırırız.

Örnek 2

Bir fonksiyonun gerçek ve hayali kısmını bulun

Bu için bir örnek bağımsız çözüm. Taslaklarla karmaşık uçakta kendinizi savaşa atmadan önce, size en iyisini vereyim. önemli tavsiye Bu konuda:

DİKKAT OLMAK! Elbette her yerde dikkatli olmalısınız, ancak karmaşık sayılarda her zamankinden daha dikkatli olmalısınız! Unutmayın, parantezleri dikkatlice genişletin, hiçbir şey kaybetmeyin. Gözlemlerime göre en sık yapılan hata işaretin kaybolması. Acele etmeyin!

Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Şimdi küp. Kısaltılmış çarpma formülünü kullanarak şunu elde ederiz:
.

Formüller, çözüm sürecini büyük ölçüde hızlandırdıkları için pratikte kullanımları çok uygundur.

Karmaşık bir değişkenin fonksiyonlarının farklılaşması.

İki haberim var: iyi ve kötü. İyi bir tane ile başlayacağım. Karmaşık değişkenli bir fonksiyon için türev alma kuralları ve temel fonksiyonların türev tablosu geçerlidir. Böylece türev, gerçek değişkenli bir fonksiyon durumunda olduğu gibi tam olarak aynı şekilde alınır.

Kötü haber şu ki, karmaşık bir değişkenin birçok fonksiyonu için hiçbir türev yoktur ve sizin bulmanız gerekir. türevlenebilir bir işlev veya başka bir işlev. Ve kalbinizin nasıl hissettiğini "anlamak" ek sorunlarla ilişkilidir.

Karmaşık bir değişkenin bir fonksiyonunu düşünün. İçin verilen fonksiyon türevlenebilir gerekli ve yeterliydi:

1) Birinci mertebeden kısmi türevler olması. Bu gösterimleri hemen unutun, çünkü karmaşık bir değişkenin işlevi teorisinde geleneksel olarak gösterimin başka bir versiyonu kullanılır: .

2) Sözde gerçekleştirmek için Cauchy-Riemann koşulları:

Sadece bu durumda türev var olacak!

Örnek 3

Çözüm birbirini izleyen üç aşamaya ayrılır:

1) Fonksiyonun gerçek ve sanal kısımlarını bulun. Bu görev önceki örneklerde analiz edildi, bu yüzden yorum yapmadan yazacağım:

O zamandan beri:

Böylece:

fonksiyonun hayali kısmıdır.

bir tanesinde daha duracağım teknik nokta: hangi sırayla Gerçel ve sanal kısımdaki terimleri yazar mısınız? Evet, temelde önemli değil. Örneğin, gerçek kısım şu şekilde yazılabilir: ve hayali - bunun gibi: .

2) Cauchy-Riemann koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edelim. İki tane var.

Durumu kontrol ederek başlayalım. Bulduk kısmi türevler:

Böylece şart yerine getirilmiş olur.

Şüphesiz, iyi haber şu ki, kısmi türevler neredeyse her zaman çok basittir.

İkinci koşulun yerine getirilip getirilmediğini kontrol ediyoruz:

Aynı şey çıktı ama zıt işaretlerle yani koşul da yerine getirildi.

Cauchy-Riemann koşulları sağlanır, bu nedenle fonksiyon türevlenebilir.

3) Fonksiyonun türevini bulun. Türev de çok basittir ve olağan kurallara göre bulunur:

Farklılaşmadaki hayali birim bir sabit olarak kabul edilir.

Cevap: - gerçek kısım hayali kısımdır.
Cauchy-Riemann koşulları sağlanır, .

Türevi bulmanın iki yolu daha vardır, bunlar elbette daha az kullanılır, ancak bilgiler ikinci dersi anlamak için faydalı olacaktır - Karmaşık bir değişkenin işlevi nasıl bulunur?

Türev aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

İÇİNDE bu durum:

Böylece

Ters problemi çözmek gereklidir - ortaya çıkan ifadede, izole etmeniz gerekir . Bunu yapmak için, terim olarak ve parantezleri çıkarmak gerekir:

ters eylem, birçoğunun fark ettiği gibi, gerçekleştirmek biraz daha zordur, doğrulama için bir ifadeyi ve bir taslakta almak veya parantezleri sözlü olarak geri açmak, tam olarak ortaya çıkacağından emin olmak her zaman daha iyidir.

Türevi bulmak için ayna formülü:

Bu durumda: , Bu yüzden:

Örnek 4

Bir fonksiyonun reel ve sanal kısımlarını belirleme . Cauchy-Riemann koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edin. Cauchy-Riemann koşulları sağlanıyorsa, fonksiyonun türevini bulun.

Kısa bir çözüm ve dersin sonunda yaklaşık bir bitirme örneği.

Cauchy-Riemann koşulları her zaman karşılanır mı? Teorik olarak, olduğundan daha sık yerine getirilmezler. Ancak pratik örneklerde, uygulanmadıkları bir durumu hatırlamıyorum =) Dolayısıyla, kısmi türevleriniz "yakınlaşmadıysa", o zaman çok yüksek bir olasılıkla bir yerde hata yaptığınızı söyleyebiliriz.

Fonksiyonlarımızı karmaşıklaştıralım:

Örnek 5

Bir fonksiyonun reel ve sanal kısımlarını belirleme . Cauchy-Riemann koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edin. Hesaplamak

Çözüm:Çözüm algoritması tamamen korunur, ancak sonunda yeni bir heves eklenir: bir noktadaki türevi bulmak. Küp için gerekli formül zaten türetilmiştir:

Bu fonksiyonun reel ve sanal kısımlarını tanımlayalım:

Dikkat ve tekrar dikkat!

O zamandan beri:


Böylece:
fonksiyonun gerçek kısmıdır;
fonksiyonun hayali kısmıdır.

İkinci koşulun kontrol edilmesi:

Aynı şey çıktı ama zıt işaretlerle yani koşul da yerine getirildi.

Cauchy-Riemann koşulları karşılanır, bu nedenle fonksiyon türevlenebilir:

Gerekli noktada türevin değerini hesaplayın:

Cevap:, , Cauchy-Riemann koşulları sağlanıyor,

Küplü işlevler yaygındır, bu nedenle birleştirmek için bir örnek:

Örnek 6

Bir fonksiyonun reel ve sanal kısımlarını belirleme . Cauchy-Riemann koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edin. Hesaplamak .

Ders sonunda karar verme ve örnek bitirme.

Karmaşık analiz teorisinde, karmaşık bir argümanın diğer işlevleri de tanımlanır: üstel, sinüs, kosinüs vb. Bu işlevlerin alışılmadık ve hatta tuhaf özellikleri var - ve bu gerçekten ilginç! Size gerçekten söylemek istiyorum, ama burada öyle oldu, bir referans kitabı veya ders kitabı değil, bir çözüm, bu yüzden aynı görevi bazı ortak işlevlerle ele alacağım.

Sözde hakkında ilk Euler formülleri:

Herkes için geçerli sayılar için aşağıdaki formüller geçerlidir:

Ayrıca not defterinize referans olarak kopyalayabilirsiniz.

Kesin olarak, yalnızca bir formül vardır, ancak genellikle kolaylık sağlamak için onlar da yazar özel durum eksi göstergesi ile. Parametrenin tek bir harf olması gerekmez, karmaşık bir ifade, bir işlev olabilir, yalnızca almaları önemlidir. sadece geçerli değerler. Aslında, hemen şimdi göreceğiz:

Örnek 7

Türevi bulun.

Çözüm: Partinin genel çizgisi sarsılmaz - işlevin gerçek ve hayali kısımlarını ayırmak gerekiyor. getireceğim detaylı çözüm, ve aşağıdaki her adımı yorumlayın:

O zamandan beri:

(1) "z" yerine.

(2) Yerine koyma işleminden sonra gerçek ve sanal kısımları ayırmak gerekir. üs içinde ilk sergileyenler Bunu yapmak için parantezleri açın.

(3) Göstergenin sanal kısmını, hayali birimi parantez dışına alarak gruplandırıyoruz.

(4) Okul eylemini güçlerle kullanın.

(5) Çarpan için Euler formülünü kullanırken .

(6) Sonuç olarak parantezleri açıyoruz:

fonksiyonun gerçek kısmıdır;
fonksiyonun hayali kısmıdır.

Daha fazla eylemler standarttır, Cauchy-Riemann koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol ederiz:

Örnek 9

Bir fonksiyonun reel ve sanal kısımlarını belirleme . Cauchy-Riemann koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edin. Öyle olsun, türevi bulamayacağız.

Çözüm:Çözüm algoritması önceki iki örneğe çok benzer, ancak çok önemli noktalar, Bu yüzden İlk aşama Adım adım tekrar yorum yapacağım:

O zamandan beri:

1) "z" yerine yerine koyarız.

(2) Önce gerçel ve hayali kısımları seçin sinüs içinde. Bunun için parantezleri açın.

(3) formülünü kullanırken, .

(4) Kullanım hiperbolik kosinüs paritesi: Ve hiperbolik sinüs tuhaflığı: . Hiperbolikler, bu dünyaya ait olmasalar da birçok yönden benzer trigonometrik fonksiyonlara benzerler.

Sonunda:
fonksiyonun gerçek kısmıdır;
fonksiyonun hayali kısmıdır.

Dikkat! Eksi işareti hayali kısmı ifade eder ve hiçbir durumda onu kaybetmemeliyiz! Görsel bir gösterim için, yukarıda elde edilen sonuç aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:

Cauchy-Riemann koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edelim:

Cauchy-Riemann koşulları sağlanır.

Cevap:, , Cauchy-Riemann koşulları karşılanır.

Kosinüs ile bayanlar ve baylar, kendi başımıza anlıyoruz:

Örnek 10

Fonksiyonun reel ve sanal kısımlarını belirleyiniz. Cauchy-Riemann koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edin.

Kasıtlı olarak daha karmaşık örnekler seçtim çünkü soyulmuş yer fıstığı gibi bir şeyi herkes kaldırabilir. Aynı zamanda dikkatinizi geliştirin! Dersin sonunda fındıkkıran.

Sonuç olarak, bir tane daha düşüneceğim ilginç örnek karmaşık bağımsız değişken payda olduğunda. Pratikte birkaç kez karşılaştık, hadi basit bir şeyi analiz edelim. Ah yaşlanıyorum...

Örnek 11

Fonksiyonun reel ve sanal kısımlarını belirleyiniz. Cauchy-Riemann koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edin.

Çözüm: Yine fonksiyonun reel ve sanal kısımlarını ayırmak gerekiyor.
eğer , o zaman

Soru ortaya çıkıyor, "Z" paydadayken ne yapmalı?

Her şey basit - standart yardımcı olacaktır eşlenik ifade ile pay ve paydayı çarpma yöntemi, zaten dersin örneklerinde kullanılmış aptallar için karmaşık sayılar. Okul formülünü hatırlayalım. Payda zaten elimizde, yani eşlenik ifade olacak. Bu nedenle, pay ve paydayı şu şekilde çarpmanız gerekir: