Dalgacık dönüşümü teorisinin temelleri. Alekseev. Dalgacıklar, Yaklaşım ve İstatistiksel Uygulamalar

öğretici

Dalgacıklar şu anda çok popüler. Matematikte deneyimsiz insanlar bile muhtemelen onların yardımıyla görüntüleri ve videoları kabul edilebilir kaliteyi korurken sıkıştırmanın mümkün olduğunu duymuşlardır. Ama bir dalgacık nedir? Wikipedia bu soruyu, özü görmenin o kadar kolay olmadığı bir sürü formülle yanıtlıyor.

hadi deneyelim basit örnekler dalgacıkların nereden geldiğini ve sıkıştırmada nasıl kullanılabileceğini öğrenin. Okuyucunun temel bilgilere aşina olduğu varsayılmaktadır. lineer Cebir, vektör ve matris kelimelerinden korkmaz ve bunları çarpmayı da bilir. (Ve hatta bir şey programlamayı deneyin.)

Görüntü Sıkıştırma

Basitçe söylemek gerekirse, görüntü, hücrelerinde her pikselin renklerini depolayan bir tablodur. Siyah beyaz (veya daha doğrusu gri) bir görüntüyle çalışıyorsak, hücreler renk yerine segmentten gelen parlaklık değerleriyle doldurulur. Bu durumda 0 siyaha, 1 beyaza karşılık gelir. Ancak kesirlerle çalışmak sakıncalıdır, bu nedenle parlaklık değerleri genellikle 0 ile 255 arasında tamsayılar olarak alınır. O zaman her değer tam olarak 1 bayt alacaktır.

Küçük resimler bile çok fazla depolama alanı gerektirir. Bu nedenle, her pikselin parlaklığını bir bayt olarak kodlarsak, o zaman FullHD formatında (1920 × 1080) bir karenin görüntüsü neredeyse iki megabayt alacaktır. Bir buçuk saatlik bir filmi depolamanın ne kadar bellek gerektirdiğini bir düşünün!

Bu nedenle, görüntüler sıkıştırma eğilimindedir. Yani, depolama için daha az bellek gerektirecek şekilde kodlayın. Ve görüntülerken, belleğe kaydedilen verilerin kodunu çözer ve orijinal çerçeveyi elde ederiz. Ancak bu sadece idealdir.

Birçok veri sıkıştırma algoritması vardır. Sayıları, modern arşivleyiciler tarafından desteklenen biçimlere göre değerlendirilebilir: ZIP, 7Z, RAR, ACE, GZIP, HA, BZ2 vb. Bilim adamlarının ve programcıların aktif çalışmaları sayesinde, veri sıkıştırma derecesinin artık teorik sınıra yaklaşması şaşırtıcı değil.

Kötü haber şu ki, bu teorik sınır bir görüntü için o kadar da iyi değil. Fotoğrafı kaydetmeye çalışın (özellikle büyük miktar küçük parçalar) PNG formatı- Ortaya çıkan dosyanın boyutu sizi üzebilir.

Bunun nedeni, gerçek dünyadaki görüntülerde (örneğin fotoğraflar), bitişik pikseller için bile parlaklık değerlerinin nadiren aynı olmasıdır. Her zaman insan gözünün göremediği, ancak sıkıştırma algoritmasının dürüstçe hesaba katmaya çalıştığı küçük dalgalanmalar vardır.

Sıkıştırma algoritmaları, verilerde bir model olduğunda buna bayılır. Uzun sıfır dizileri en iyi şekilde sıkıştırılır (desen burada açıktır). Nitekim, hafızaya 100 sıfır yazmak yerine, sadece 100 sayısını yazabilirsiniz (tabii ki bunun tam olarak sıfır sayısı olduğunu not ederek). Kod çözme programı, sıfırların kastedildiğini "anlayacak" ve onları yeniden üretecektir.

Ancak dizimizde aniden ortada bir birim belirirse, kendimizi 100 sayısıyla sınırlamak mümkün olmayacaktır.

Ama neden kesinlikle her ayrıntıyı kodlayasınız? Sonuçta, bir fotoğrafa baktığımızda, resmin tamamı bizim için önemlidir ve parlaklıkta en ufak bir dalgalanma fark etmeyeceğiz. Böylece, kodlama yaparken, iyi kodlaması için görüntüyü biraz değiştirebiliriz. Bu durumda, sıkıştırma oranı hemen artacaktır. Doğru, kodu çözülmüş görüntü orijinalinden biraz farklı olacak, ancak bunu kim fark edecek?

Haar dönüşümü

Dolayısıyla amacımız, görüntüyü klasik algoritmalar tarafından iyi bir şekilde sıkıştırılacak şekilde dönüştürmektir. Uzun sıfır dizileri elde etmek için onu nasıl değiştireceğimizi düşünelim.

Fotoğraflar gibi "gerçek" görüntülerin bir özelliği vardır - bitişik piksellerin parlaklığı genellikle küçük bir miktar farklılık gösterir. Gerçekten de, dünyada parlaklıkta keskin, zıt değişiklikler görmek nadirdir. Ve eğer öyleyse, görüntünün sadece küçük bir bölümünü kaplarlar.

Bilinen "Lenna" görüntüsünden (şekilde) ilk parlaklık sırasının bir parçasını ele alalım.

154, 155, 156, 157, 157, 157, 158, 156

Komşu sayıların çok yakın olduğu görülebilir. İstenilen sıfırları veya en azından onlara yakın bir şeyi elde etmek için, ilk sayıyı ayrı ayrı kodlayabilir ve ardından her sayının yalnızca bir öncekinden farklarını düşünebilirsiniz.

Biz:

154, 1, 1, 1, 0, 0, 1, -2.

Zaten daha iyi! Böyle bir yöntem aslında kullanılır ve buna delta kodlama denir. Ama o var ciddi dezavantaj- yerel değil. Yani bu parçadan önceki tüm değerlerin kodunu çözmeden dizinin bir parçasını alıp tam olarak hangi parlaklıkların içinde kodlandığını bulmak imkansızdır.

Aksini yapmaya çalışalım. Hemen iyi bir dizi elde etmeye çalışmayacağız, en azından biraz geliştirmeye çalışacağız.

Bunu yapmak için tüm sayıları çiftlere ayırır ve her birindeki değerlerin yarı toplamlarını ve yarı farklarını buluruz.

(154, 155), (156, 157), (157, 157), (158, 156)
(154.5, 0.5), (156.5, 0.5), (157, 0.0), (157, -1.0)

Neden tam olarak yarım toplamlar ve yarım farklar? Ve her şey çok basit! Yarım toplam, bir piksel çiftinin ortalama parlaklık değeridir. Ve yarı fark, bir çiftteki değerler arasındaki farklar hakkında bilgi taşır. Açıkçası, a'nın yarı toplamını ve d'nin yarı farkını bilerek, değerleri kendiniz bulabilirsiniz:
çiftteki ilk değer = a - d,
çiftteki ikinci değer = a + d.

Bu dönüşüm 1909'da Alfred Haar tarafından önerildi ve onun adını taşıyor.

Sıkıştırma nerede?

Ortaya çıkan sayılar, yarım toplamları ve yarım farkları bölerek "sinekleri ayrı, pirzolaları ayrı" ilkesine göre yeniden gruplandırılabilir:

154.5, 156.5, 157, 157; 0.5, 0.5, 0.0, -1.0.

Dizinin ikinci yarısındaki sayılar genellikle küçük olacaktır (tam sayı olmadıkları gerçeği, sizi henüz rahatsız etmesin). Nedenmiş?

Daha önce öğrendiğimiz gibi, gerçek görüntülerde komşu pikseller nadiren birbirinden önemli ölçüde farklılık gösterir. Birinin değeri büyükse, diğeri de büyüktür. Bu gibi durumlarda, komşu piksellerin ilişkili olduğu söylenir.

Aslında, komşu piksellerin ilk 2000 çiftini ele alalım ve her bir çifti grafik üzerinde bir nokta olarak gösterelim.

Tüm noktalar tek bir düz çizgi boyunca sıralanır. Ve böylece neredeyse tüm gerçek görüntülerde. Resmin sol üst ve sağ alt köşeleri neredeyse her zaman boştur.

Ve şimdi noktaların yarı toplamlar ve yarı farklar olacağı bir grafik düşünün.

Yarı farkların çok daha dar bir değer aralığında olduğu görülmektedir. Ve bu, onlara bir bayttan daha az harcayabileceğiniz anlamına gelir. Ne-hayır ve sıkıştırma.

Haydi matematik yapalım!

Haar dönüşümünü açıklayan matematiksel ifadeleri yazmaya çalışalım.

Böylece, bir çift pikselimiz (vektör) vardı ve bir çift .

Böyle bir dönüşüm bir matris ile tanımlanır.

Aslında İhtiyacımız olan şey buydu.

Dikkatli okuyucu, son iki grafikteki nokta desenlerinin aynı olduğunu fark etmiş olmalıdır. Tek fark 45° döndürmedir.

Matematikte, döndürmeler ve esnetmeler afin dönüşümler olarak adlandırılır ve sadece bir matrisin bir vektörle çarpılmasıyla tanımlanır. Yukarıda elde ettiğimiz şey buydu. Yani, Haar dönüşümü, noktaların uygun ve kompakt bir şekilde kodlanabilecekleri bir şekilde basitçe döndürülmesidir.

Doğru, bir nüans var. Afin dönüşümler bir şeklin alanını değiştirebilir. Kötü olduğundan değil, ama bir şekilde özensizdi. Bildiğiniz gibi alan değişim katsayısı matrisin determinantına eşittir. Haar dönüşümü için ne olduğunu görelim.

Determinant olabilmesi için bire eşit matrisin her elemanını ile çarpmak yeterlidir. Bu, dönüş açısını (ve dolayısıyla dönüşümün "sıkıştırma kabiliyetini") etkilemeyecektir.

Sonunda bir matris elde ederiz.

Şifre nasıl çözülür?

Bildiğiniz gibi, bir matrisin determinantı sıfıra eşit değilse, onun için eylemini "iptal eden" bir ters matris vardır. H için bir ters matris bulursak, kod çözme basitçe vektörleri onunla yarı toplamlar ve yarı farklarla çarpmaktan oluşacaktır.

Genel olarak konuşursak, bir matrisin tersini bulmak o kadar kolay bir iş değildir. Ama belki bu görevi bir şekilde basitleştirmek mümkün olacak?

Matrisimize daha yakından bakalım. İki satır vektöründen oluşur: ve . Onlara v 1 ve v 2 diyelim.

İlginç özelliklere sahipler.

Birincisi, uzunlukları 1'e eşittir, yani . Burada T harfi transpozisyon anlamına gelir. Bir satır vektörünün devrik bir satır vektörü ile çarpılması bir iç çarpımdır.

İkincisi, ortogonaldirler, yani .

Satırları belirtilen özelliklere sahip bir matrise ortogonal denir. Bu tür matrislerin son derece önemli bir özelliği, onlar için ters matrisin basit bir transpozisyonla elde edilebilmesidir.

Bu ifadenin geçerliliği, H'nin ters matris ile çarpılmasıyla doğrulanabilir. Köşegende, satır vektörlerinin skaler çarpımlarını kendi başlarına, yani 1'i ve köşegenlerin dışında, satır vektörlerinin birbirleriyle skaler çarpımlarını, yani 0'ı elde ederiz. kimlik matrisine eşit olacaktır.

Ortogonal matrisleri seviyoruz!

Puan sayısını artırmak

Yukarıdakilerin tümü iki nokta için iyi çalışıyor. Ama ya daha fazla puan varsa?

Bu durumda, dönüşümü bir matrisle, ancak daha büyük boyutta açıklamak da mümkündür. Bu matrisin köşegeni H matrislerinden oluşacaktır, bu nedenle başlangıç değerleri vektöründe, Haar dönüşümünün bağımsız olarak uygulanacağı çiftler seçilecektir.

Yani. orijinal vektör basitçe çiftler halinde bağımsız olarak işlenir.

Filtreler

Haar dönüşümünü nasıl yapacağımızı öğrendiğimize göre bize ne verdiğini anlamaya çalışalım.

Ortaya çıkan "yarım toplamlar" (2'ye bölmediğimiz için tırnak işaretleri kullanmak zorundayız), daha önce öğrendiğimiz gibi, piksel çiftleri cinsinden ortalama değerlerdir. Yani, aslında, yarı toplam değerler, orijinal görüntünün küçültülmüş bir kopyasıdır! Yarım toplamlar orijinal piksellerden iki kat daha az olduğu için azaltıldı.

Ama farklılıklar nelerdir?

Yarım toplamlar, parlaklık değerlerinin ortalamasını alır, yani rastgele değer patlamalarını "filtreler". Bunun bir çeşit frekans filtresi olduğunu varsayabiliriz.

Benzer şekilde, değerler arasında "seçilen" pikseller arası "patlama" farklılıkları ve sabit bileşeni ortadan kaldırır. Yani "filtreliyorlar" düşük frekanslar.

Bu nedenle, Haar dönüşümü, sinyali düşük frekanslı ve yüksek frekanslı bileşenlere ayıran bir çift filtredir. Orijinal sinyali almak için bu bileşenleri tekrar birleştirmeniz yeterlidir.

Bize ne veriyor? Diyelim ki bir portre fotoğrafımız var. Düşük frekanslı bileşen, yüzün genel şekli ve parlaklıktaki yumuşak değişiklikler hakkında bilgi taşır. Yüksek frekans, gürültü ve küçük ayrıntılardır.

Genellikle, bir portreye baktığımızda, daha çok düşük frekanslı bileşenle ilgileniriz, bu da sıkıştırma sırasında bazı yüksek frekanslı verilerin atılabileceği anlamına gelir. Ayrıca, öğrendiğimiz gibi, genellikle daha küçük değerlere sahiptir, bu da daha kompakt bir şekilde kodlandığı anlamına gelir.

Sıkıştırma oranı, Haar dönüşümü birden çok kez uygulanarak artırılabilir. Aslında, yüksek frekans bileşeni, tüm sayı kümesinin yalnızca yarısıdır. Ancak, prosedürümüzü bir kez daha düşük frekanslı verilere uygulamamızı engelleyen nedir? Tekrarlanan uygulamadan sonra, yüksek frekanslı bilgiler zaten %75'i işgal edecektir.

Şimdiye kadar tek boyutlu sayı zincirlerinden bahsetmiş olsak da, bu yaklaşım iki boyutlu verilere de uygulanabilir. 2B Haar dönüşümü (veya benzer bir şey) gerçekleştirmek için bunu her satır ve her sütun için yapmanız yeterlidir.

Örneğin, Lihtenştayn Kalesi'nin bir fotoğrafına tekrar tekrar başvurduktan sonra, aşağıdaki resmi elde ederiz.

Siyah alanlar, düşük parlaklığa, yani sıfıra yakın değerlere karşılık gelir. Uygulamada görüldüğü gibi, değer yeterince küçükse, kodu çözülmüş resme fazla zarar vermeden yuvarlanabilir veya sıfıra sıfırlanabilir.

Bu işleme niceleme denir. Ve bu aşamada bazı bilgiler kaybolur. (Bu arada, JPEG'de aynı yaklaşım kullanılır, ancak Haar dönüşümü yerine ayrık kosinüs dönüşümü kullanılır.) Sıfırlanabilir katsayıların sayısını değiştirerek, sıkıştırma oranını kontrol edebilirsiniz!

Tabii ki, çok fazla sıfırlarsanız, bozulma gözle görülür hale gelecektir. Her şeyin bir ölçüye ihtiyacı var!

Tüm bu işlemlerden sonra, birçok sıfır içeren bir matrisle baş başa kalacağız. Bir dosyaya satır satır yazılabilir ve bir tür arşivleyici tarafından sıkıştırılabilir. Örneğin, aynı 7Z. Sonuç iyi olacak.

Kod çözme ters sırada gerçekleştirilir: arşivi paketinden çıkarın, ters Haar dönüşümünü uygulayın ve kodu çözülmüş görüntüyü bir dosyaya yazın. İşte!

Haar dönüşümü nerede etkilidir?

Haar dönüşümü ne zaman verecek en iyi sonuç? Açıkçası, çok fazla sıfır aldığımızda, yani görüntü uzun bölümler içerdiğinde. aynı değerler parlaklık. O zaman tüm farklılıklar geçersiz kılınacaktır. Örneğin, bir röntgen, taranmış bir belge olabilir.

Haar dönüşümünün sabit bileşeni ortadan kaldırdığını (aynı zamanda sıfırıncı sıra anıdır), yani sabitleri sıfıra çevirdiğini söylerler.

Ama yine de gerçek fotoğraflarda aynı parlaklığa sahip çok fazla alan yok. Doğrusal bileşeni de geçersiz kılacak şekilde dönüşümü iyileştirmeye çalışalım. Yani parlaklık değerleri doğrusal olarak artarsa onlar da sıfırlanacak.

Bu problem ve daha karmaşık olanlar (yüksek dereceli anların ortadan kaldırılması), dalgacık teorisinin yaratıcılarından biri olan Ingrid Daubechies tarafından çözüldü.

Daubechies dönüşümü

İyileştirilmiş dönüşümümüz için iki puan yeterli olmayacaktır. Bu nedenle, her seferinde iki kaydırarak dört değer alacağız.

Yani, orijinal dizi 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., N-1, N ise, o zaman dörtlüleri (1, 2, 3, 4), (3, 4) alacağız. , 5, 6) vb.Son dört sırayı kuyruğundan ısırır: (N-1, N, 1, 2).

Aynı şekilde iki filtre oluşturmaya çalışalım: yüksek geçiren ve alçak geçiren. Her dördü iki sayı ile değiştirilecektir. Dörtlüler üst üste geldiği için dönüşüm sonrası değer sayısı değişmeyecektir.

Dörtlüdeki parlaklık değerleri x, y, z, t olsun. Daha sonra forma ilk filtreyi yazıyoruz.

Dönüşüm matrisinin satır vektörünü oluşturan dört katsayı bizim için hala bilinmiyor.

İkinci filtrenin katsayılarının satır vektörünü birinciye dik yapmak için, aynı katsayıları alır, ancak yeniden düzenler ve işaretleri değiştiririz:

Dönüşüm matrisi şöyle görünecektir.

Diklik gereksinimi, birinci ve ikinci sıralar için otomatik olarak karşılanır. 1. ve 3. satırların da ortogonal olmasını şart koşuyoruz:

Vektörlerin birim uzunluğu olmalıdır (aksi takdirde determinant birim olmayacaktır):

Dönüşüm, bir özdeş değerler zincirini sıfırlamalıdır (örneğin, (1, 1, 1, 1)):

Dönüşüm, doğrusal olarak büyüyen bir değerler zincirini sıfırlamalıdır (örneğin, (1, 2, 3, 4)):

Bu arada, eğer bu dördü sıfırlanırsa, doğrusal olarak artan veya doğrusal olarak azalan diğer herhangi biri de sıfırlanacaktır. Bu, karşılık gelen denklemi yazarak ve tüm katsayıları birinci faktöre bölerek kolayca doğrulanabilir.

Katsayılarla ilgili 4 denklem alındı. Onları çözerek şunu elde ederiz:

Bunları matriste değiştirerek, istenen dönüşümü elde ederiz. Fotoğraflara uyguladıktan sonra, görüntüyü daha güçlü bir şekilde sıkıştırmamızı sağlayacak daha fazla sıfır ve küçük katsayılar elde ediyoruz.

Bir başka güzel özellik de, nicelemeden sonraki eserler o kadar fark edilmeyecektir.

Bu dönüşüme D4 dalgacığı denir (okuyucu bu alfanümerik ismin gizemini kendi başına çözmeye davet edilir).

Diğer dalgacıklar

Elbette bunun ötesine geçip parabolik bileşenin (2. mertebe moment) vb. ortadan kaldırılmasını talep edebiliriz. Sonuç olarak, D6, D8 ve diğer dalgacıkları elde ederiz.

Her şeyi manuel olarak saymamak için katsayılar Wikipedia'da görüntülenebilir.

Daubechies çok açıldı ilginç yol bu dönüşümlerin katsayılarını elde etmek, ancak ne yazık ki bu zaten makalemizin kapsamı dışında.

Ev ödevi

Sonunda temel bilgileri almak için, en sevdiğiniz dilde bir görüntüyü açan, bir Haar (hatta D4) dönüşümü gerçekleştiren, sonucu niceleyen ve ardından sonucu bir dosyaya kaydeden bir program yazmanızı öneririm. Bu dosyayı favori arşivleyicinizle sıkıştırmayı deneyin. İyi sıkıştırıyor mu?

Ters dönüştürmeyi deneyin. Resimdeki eserlerin doğasını nasıl açıklarsınız?

Çözüm

Bu nedenle, ayrık dalgacık dönüşümünün ana fikirlerini kısaca gözden geçirdik.

Tabii ki, bu makale pek çok ilginç matematiksel detayı kapsamadı ve pratik uygulamalar dalgacık dönüşümleri. Ama enginliği kucaklayamazsınız. Evet ve matan derecesini yükseltmeden pek çok şeyi açıklamak zordur. Umarım yazdıklarım birilerinin işine yarar. Etiket ekle

Dalgacık dönüşümleri (veya ayrık dalga dönüşümleri) esas olarak durağan olmayan sinyallerin analizi için kullanılır ve bu türden birçok problem için Fourier dönüşümünden daha etkilidir.

Fourier dönüşümü, sinyali sinüs ve kosinüs şeklinde bileşenlere ayrıştırır, yani Fourier uzayında yerelleştirilmiş fonksiyonlar; aksine, dalgacık dönüşümü, olumsuzlama sembolünün karmaşık eşlenik anlamına geldiği ve bir fonksiyon olduğu integral dönüşüm (1.40) ile ifade edilebilir. İşlev keyfi olarak seçilebilir, ancak belirli kuralları karşılaması gerekir.

Gördüğünüz gibi, dalgacık dönüşümü, onu hesaplamak için kullanılan değerlendirme fonksiyonuna bağlı olarak aslında sonsuz sayıda farklı dönüşümdür. Ayrık bir dalgacık dönüşümü geliştirmek için ortogonal dalgacıkları ve sürekli bir dönüşüm geliştirmek için ortogonal olmayan dalgacıkları kullanabilirsiniz. Bu iki tür dönüşüm aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1. Ayrık dalgacık dönüşümü, girişle aynı uzunlukta bir veri vektörü döndürür. Genellikle, bu vektörde bile, birçok veri neredeyse sıfırdır. Bu, paralel öteleme ve ölçeklemelerine ortogonal olan bir dizi dalgacık (fonksiyon) halinde ayrıştırıldığı gerçeğine karşılık gelir. Bu nedenle, benzer bir sinyali aynı veya daha küçük sayı sinyal veri noktalarının sayısı olan dalgacık spektrumunun katsayıları. Benzer bir dalgacık spektrumu, örneğin sinyal işleme ve sıkıştırma için uygulanabilir, çünkü burada herhangi bir gereksiz bilgi alamıyoruz.

2. Öte yandan sürekli dalgacık dönüşümü, girdi verisinden bir boyut daha büyük bir dizi döndürür. Tek boyutlu veriler için, zaman-frekans düzleminin bir görüntüsünü elde ederiz. Sinyal süresi boyunca sinyal frekanslarındaki değişimi kolayca takip edebilir ve bu spektrumu diğer sinyallerin spektrumları ile karşılaştırabilirsiniz. Burada ortogonal olmayan bir dalgacık seti kullanıldığından, veriler yüksek oranda ilişkilidir ve çok fazla fazlalığa sahiptir. Bu, sonucu insan algısına daha yakın bir biçimde görmeye yardımcı olur.

Ayrık Dalgacık Dönüşümü

Ayrık Dalgacık Dönüşümü (DWT), ayrı bir dalgacık ölçekleri seti ve bazı özel kurallara uyan ötelemeler kullanan bir dalgacık dönüşümünün bir uygulamasıdır. Başka bir deyişle, bu dönüşüm sinyali, sürekli dalgacık dönüşümünden (CWT) veya bazen sürekli ayrık zamanlı dalgacık dönüşümü (DT) olarak adlandırılan ayrık zaman serileri için uygulanmasından temel fark olan, karşılıklı olarak ortogonal bir dalgacık kümesine ayrıştırır. -CWT).

Daha önce gösterildiği gibi, ölçeklenebilirlik özelliklerini açıklayan bir ölçek fonksiyonundan bir dalgacık oluşturulabilir. Ölçek işlevinin kendi işlevine dik olması gerektiği kısıtlaması ayrık dönüşümler, bazılarını ima eder matematiksel kısıtlamalar her yerde adı geçenler, yani. homojenlik denklemi

burada ölçek faktörü (genellikle 2 olarak seçilir).

Ayrıca, fonksiyonun altındaki alan normalleştirilmeli ve ölçekleme fonksiyonu sayısal çevirilerine ortogonal olmalıdır, yani

Bazı ek koşullar getirildikten sonra (yukarıdaki kısıtlamalar benzersiz bir çözüme yol açmadığından), tüm bu denklemlerin sonucu elde edilebilir, yani. dalgacık kadar ölçekleme işlevini de tanımlayan sonlu bir katsayılar kümesi. Dalgacık, nerede bir çift tamsayı olduğu gibi ölçekleme fonksiyonundan elde edilir. Dalgacık seti daha sonra sinyali ayrıştırmak için kullandığımız ortogonal bir temel oluşturur. Genellikle birkaç katsayının sıfırdan farklı olacağına dikkat edilmelidir, bu da hesaplamaları basitleştirir.

Şek. 2.1 bazı ölçeklendirme fonksiyonlarını ve dalgacıkları gösterir. Ortonormal dalgacıkların en ünlü ailesi Daubechies ailesidir. Dalgacıkları genellikle sıfır olmayan katsayıların sayısıyla gösterilir, bu nedenle genellikle Daubechies 4, Daubechies 6 dalgacıklarından (4 ve 6, dalgacık sırası anlamına gelir) vb. Kabaca söylemek gerekirse, katsayı sayısı arttıkça dalgacık fonksiyonları daha pürüzsüz hale gelir. Bahsedilen diğer bir dalgacık, en basit Haar dalgacığıdır. kare dalgasıölçekleme işlevi olarak

Haar ölçeklendirme işlevi ve dalgacık (solda) ve bunların frekans bileşenleri (sağda)

Daubechies 4 ölçekleme işlevi ve dalgacık (solda) ve bunların frekans bileşenleri (sağda)

Daubechies 20 ölçekleme fonksiyonu ve dalgacık (solda) ve bunların frekans bileşenleri (sağda). 2.1

Dalgacık dönüşümünün temel farkı, verilerin sinüzoidallere (Fourier dönüşümünde olduğu gibi) değil, dalgacık üreteçleri adı verilen diğer işlevlere göre ayrıştırılmasıdır. Dalgacık oluşturucu fonksiyonlar, sonsuz salınımlı sinüsoidlerin aksine, argümanlarının bazı sınırlı bölgelerinde lokalizedir ve bundan çok uzakta, sıfıra eşittir veya ihmal edilebilir düzeydedir. "Meksika şapkası" olarak adlandırılan böyle bir işlevin bir örneği, Şekil 1'de gösterilmektedir. 2.2.

Şekil 2.2 Sinüzoidal ve dalgacık fonksiyonunun karşılaştırması

Koşulun olduğu keyfi bir sinyalin olduğu bilinmektedir. ortogonal bir fonksiyon sistemi ile temsil edilebilir:

, (18)

katsayılar ilişkiden belirlenir

Nerede normun karesi veya temel fonksiyonun enerjisidir. Seri (18), genelleştirilmiş Fourier serisi olarak adlandırılır. Bu durumda, (18) serisinde yer alan formun ürünleri, sinyalin spektral yoğunluğunu temsil eder ve katsayılar, sinyalin spektrumunu temsil eder. Sinyalin spektral analizinin özü, katsayıları belirlemektir. Bu katsayıları bilerek, sabit sayıda sıra için sinyalleri sentezlemek (yaklaşık) mümkündür:

için genelleştirilmiş Fourier serisi verilen sistem temel fonksiyonlar ve terim sayısı, değer olarak anlaşılan minimum kök-ortalama-kare hatası kriterine göre en iyi sentezi sağlar.

Bilinen dönüşümler (Hadamard, Karhunen-Loev, Fourier) "kötü" genişleme katsayılarında durağan olmayan sinyali temsil eder. Bunu aşağıdaki örnekte gösterelim. Durağan olmayan bir fonksiyon verilsin

ve Fourier dönüşümü (Şekil 9).

Şek. Şekil 9, zaman sinyalinin durağan olmamasının çok sayıda sıfır olmayan yüksek frekans katsayıları tarafından temsil edildiğini göstermektedir. Bu, aşağıdaki sorunlara neden olur:

Fourier görüntüsünden bir zaman sinyalini analiz etmek zordur;

Çok sayıda yüksek frekans katsayısı dikkate alındığında, zaman sinyalinin kabul edilebilir bir yaklaşımı mümkündür;

Düşük frekanslı katsayılarla yeniden oluşturulan gerçek görüntülerin zayıf görsel kalitesi; ve benzeri.

Mevcut sorunlar, geliştirmeyi zorunlu kıldı. matematiksel aparat sabit olmayan sinyallerin dönüştürülmesi. Biri olası yollar bu tür sinyallerin analizi, dalgacık dönüşümü (WT) haline geldi.

Pirinç. 9. Sinüzoidal bir sinyalin sıfır geçişinde küçük adımlarla Fourier dönüşümü

Tek boyutlu bir sinyalin VP'si, hem uzamsal hem de frekans alanlarında lokalize edilmiş bir temel fonksiyonlar sistemi üzerinden genelleştirilmiş bir Fourier serisi veya Fourier integrali biçiminde temsilidir. Böyle bir temel fonksiyonun bir örneği, ifade ile tanımlanan Haar dalgacığıdır.

(20)

Grafiksel olarak, Haar dalgacığı şu şekilde temsil edilir:

Pirinç. 10. Haar dalgacığının temel işlevi

Haar temel fonksiyonları sisteminde sinyal ayrıştırma sürecini ele alalım. İlk temel fonksiyon, sonrakilerden farklı olarak düz bir çizgidir. Normalize edilmiş bir temel durumunda, birinci temel fonksiyonun orijinal sinyal ile evrişimi ortalama değerini belirleyecektir. Bir örnek uzunluğu ile ayrık bir sinyal verilsin. Aralıktaki normalleştirilmiş temel işlev, ifadeyle tanımlanır. Daha sonra bu fonksiyonun sinyal ile evrişimi ifadeye yol açar.

Sentezleme fonksiyonunu kullanarak katsayı ile sinyal sentezini gerçekleştirirsek, sinyalin ortalama değerine karşılık gelen sabit bir bileşen elde ederiz. Sinyali daha detaylı tanımlayabilmek için, ifade (20) ile temsil edilen temel fonksiyonu kullanarak ikinci katsayıyı hesaplıyoruz:

Bu ifadenin analizi, katsayının, sinyalin yarısının ortalama değerlerindeki farklılıkları karakterize ettiğini göstermektedir. Şimdi, ikinci katsayı için bir sentezleme temel fonksiyonu ile iki katsayı üzerinde bir sentez gerçekleştirirsek

aşağıdaki yaklaşımı elde ederiz:

Analizin sonraki işlemi, yani. katsayıların ve sentezin hesaplanması, tüm eylemlerin sinyalin yarısı, ardından dörtte biri vb. için tekrarlanması farkıyla dikkate alınana benzer. En son iterasyonda, rastgele değişken çiftleri için analiz yapılır (Şekil 11).

Pirinç. 11. Rastgele değişken çiftlerinin dönüşümü

Sonuç olarak, orijinal sinyal tam olarak Haar dalgacık dönüşümünün katsayıları ile tanımlanır. Sinyalin (19) dalgacık katsayıları Şekil 2'de gösterilmiştir. 10.

Sinyalin durağan olmamasının (keskin düşüşler) az sayıda dalgacık katsayısında lokalize olduğu şekilden görülebilir. Bu, durağan olmayan sinyalin eksik verilerden daha iyi yeniden oluşturulması olasılığına yol açar.

Pirinç. 12. Fonksiyonun bir periyoduna ait dalgacık katsayıları (19)

Dalgacık katsayıları hesaplanırken temel fonksiyonlar analiz edilen sinyali şu şekilde kapsamaktaydı (Şekil 12). Şek. Şekil 12, ayrı bir uzayda Haar temel fonksiyonları sisteminin iki parametre ile belirtilmesi gerektiğini gösterir: kaydırma ve frekans (ölçek):

temel fonksiyonun ölçeği nerede; - vardiya. Ayrık durumda, herhangi bir pozitif tamsayı olan ölçek parametresi, kaydırma parametresidir. Böylece, tüm temel fonksiyonlar kümesi şu şekilde yazılabilir:

İleri ve ters ayrık VP formüllerle hesaplanır

Örnek sayısı ise, maksimum değerin olduğu belirtilmelidir. Akım için en büyük değer .

İçin sürekli sinyaller aşağıdaki integral ifadeler geçerli olacaktır:

Böylece, dalgacık fonksiyonları belirlenerek, sürekli veya ayrık sinyallerin dalgacık bazında açılımı gerçekleştirilebilir.

Pirinç. 13. Sinyal analizinde temel Haar fonksiyonlarının dağılımı

Bir fonksiyon, aşağıdaki koşulları sağlıyorsa bir dalgacık temeli oluşturabilir:

1. Normun sınırlandırılması:

2. Dalgacık fonksiyonu hem zaman hem de frekans olarak sınırlandırılmalıdır:

Ve , de .

Karşı örnek: delta işlevi ve harmonik fonksiyon bu koşulu sağlamayın.

3. Sıfır demek:

Bu durumu genelleştirirsek, formülü elde edebiliriz. , işlevin düzgünlük derecesini belirler. Temel fonksiyonun pürüzsüzlük derecesi ne kadar yüksekse, yaklaşım özelliklerinin o kadar iyi olduğuna inanılmaktadır.

Örnek olarak, aşağıdaki iyi bilinen dalgacık fonksiyonlarını sunuyoruz:

, .

VP ve DFT için bir algoritma var hızlı dönüşüm. Haar'ın Başkan Yardımcılığını tekrar düşünün. Şek. Şekil 13, küçük ölçekli bir faktöre sahip fonksiyonların, büyük ölçekli bir faktöre sahip fonksiyonlar olarak katsayıları hesaplamak için aynı sinyal örneklerini kullandığını göstermektedir. Bu durumda, aynı numuneleri toplama işlemi art arda tekrarlanır. Bu nedenle, hesaplama hacmini azaltmak için IP'nin en küçük ölçek faktöründen hesaplanması tavsiye edilir. Sonuç olarak, ortalama değerler olan dalgacık katsayılarını elde ederiz. ve farklılıklar . katsayılar için tekrarlamak bu prosedür. Bu durumda, katsayıların ortalaması dört sinyal örneğinin ortalamasına karşılık gelir, ancak bir çarpma işlemi ve bir toplama işlemi harcanır. Ayrıştırma işlemi, tüm spektrum katsayıları hesaplanana kadar tekrarlanır.

Hızlı Haar dalgacık dönüşümünün algoritmasını matris formunda yazalım. vektöre izin ver boyut 8 element. Haar dönüşüm matrisi şu şekilde yazılabilir:

Dalgacık dönüşümü, Fourier dönüşümüne benzer (veya pencereli Fourier dönüşümüne çok benzeyen) tamamen farklı bir değerlendirme fonksiyonuna sahip bir dönüşümdür. Temel fark şu şekildedir: Fourier dönüşümü, sinyali sinüs ve kosinüs şeklinde bileşenlere ayrıştırır, yani Fourier uzayında yerelleştirilmiş fonksiyonlar; aksine, dalgacık dönüşümü hem gerçek hem de Fourier uzayında yerelleştirilmiş işlevleri kullanır. Genel olarak, dalgacık dönüşümü aşağıdaki denklemle ifade edilebilir:

burada *, karmaşık eşlenikliğin ve işlevin simgesidir ψ - bazı işlevler. İşlev keyfi olarak seçilebilir, ancak belirli kuralları karşılaması gerekir.

Gördüğünüz gibi, dalgacık dönüşümü, onu hesaplamak için kullanılan değerlendirme fonksiyonuna bağlı olarak aslında sonsuz sayıda farklı dönüşümdür. tabirinin temel sebebi budur. « Dalgacık dönüşümü» çok çeşitli durumlarda kullanılır ve çeşitli uygulamalar. Dalgacık dönüşümü seçeneklerinin birçok sınıflandırma türü de vardır. Burada sadece dalgacık ortogonalliğine dayalı bölünmeyi gösteriyoruz. Kullanılabilir ortogonal dalgacıklar ayrık dalgacık dönüşümü için ve ortogonal olmayan dalgacıklar sürekli için. Bu iki tür dönüşüm aşağıdaki özelliklere sahiptir:

Ayrık dalgacık dönüşümü, girdiyle aynı uzunlukta bir veri vektörü döndürür. Genellikle, bu vektörde bile, birçok veri neredeyse sıfırdır. Bu, paralel öteleme ve ölçeklemelerine ortogonal olan bir dizi dalgacık (fonksiyon) halinde ayrıştırıldığı gerçeğine karşılık gelir. Bu nedenle, böyle bir sinyali, sinyal veri noktalarının sayısı ile aynı veya daha az dalgacık spektrum katsayılarına ayrıştırırız. Böyle bir dalgacık spektrumu, örneğin burada gereksiz bilgi almadığımız için sinyal işleme ve sıkıştırma için çok iyidir.
Sürekli dalgacık dönüşümü, aksine, girdiden bir boyut daha büyük bir dizi döndürür. Tek boyutlu veriler için, zaman-frekans düzleminin bir görüntüsünü elde ederiz. Süresi boyunca sinyal frekanslarındaki değişimi kolayca takip edebilir ve bu spektrumu diğer sinyallerin spektrumları ile karşılaştırabilirsiniz. Burada ortogonal olmayan bir dalgacık seti kullanıldığından, veriler yüksek oranda ilişkilidir ve çok fazla fazlalığa sahiptir. Bu, sonucu insan algısına daha yakın bir biçimde görmeye yardımcı olur.

Dalgacık dönüşümüyle ilgili ek ayrıntılar, web'deki dalgacıklarla ilgili binlerce internet kaynağında veya örneğin burada mevcuttur.

Gwyddion veri işleme kitaplığı, bu dönüşümlerin her ikisini de uygular ve dalgacık dönüşümünü kullanan modüller menüde mevcuttur Veri işleme → integral dönüşümler.

Ayrık Dalgacık Dönüşümü

Ölçeklenebilirlik özelliklerini açıklayan bir ölçekleme işlevinden bir dalgacık oluşturulabilir. Sınırlama, ölçek fonksiyonunun ayrık dönüşümlerine ortogonal olması gerektiğidir, bu da her yerde bahsedilen bazı matematiksel kısıtlamaları ima eder, yani. homojenlik denklemi

Nerede S- ölçek faktörü (genellikle 2 olarak seçilir). Ayrıca, fonksiyonun altındaki alan normalleştirilmeli ve ölçekleme fonksiyonu sayısal çevirilerine ortogonal olmalıdır, yani

Bazı ek koşullar getirdikten sonra (yukarıdaki kısıtlamalar tek bir çözüme yol açmadığından), tüm bu denklemlerin sonucunu elde edebiliriz, yani. sonlu katsayılar kümesi bir k dalgacık kadar ölçekleme işlevini de tanımlar. Dalgacık, ölçekleme işlevinden şu şekilde elde edilir: N Nerede N- bir çift tamsayı. Dalgacık seti daha sonra sinyali ayrıştırmak için kullandığımız ortonormal bir temel oluşturur. Genellikle sadece birkaç katsayı olduğuna dikkat edilmelidir. bir k sıfırdan farklı olacaktır, bu da hesaplamaları basitleştirir.

Aşağıdaki şekilde bazı ölçeklendirme işlevleri ve dalgacıklar gösterilmektedir. Ortonormal dalgacıkların en ünlü ailesi Daubechies ailesidir. Dalgacıkları genellikle sıfır olmayan katsayıların sayısı ile gösterilir. bir k, bu nedenle genellikle Daubechies 4, Daubechies 6 vb. dalgacıklardan bahsederiz. Kabaca söylemek gerekirse, dalgacık katsayılarının sayısı arttıkça fonksiyonlar daha pürüzsüz hale gelir. Bu, aşağıda sunulan Daubechies 4 ve 20 dalgacıkları karşılaştırıldığında açıkça görülmektedir. Bahsedilen başka bir dalgacık, ölçekleme işlevi olarak dikdörtgen darbe kullanan en basit Haar dalgacığıdır.

Haar ölçekleme işlevi ve dalgacık (solda) ve bunların frekans bileşenleri (sağda).

Daubechies 4 ölçekleme fonksiyonu ve dalgacık (solda) ve bunların frekans bileşenleri (sağda).

Daubechies 20 ölçekleme fonksiyonu ve dalgacık (solda) ve bunların frekans bileşenleri (sağda).

Ayrık dalgacık dönüşümü algoritmasının çeşitli uygulama türleri vardır. En eski ve en ünlüsü Mull algoritmasıdır (piramidal). Bu algoritmada, düzleştirme ve yumuşatma olmayan iki filtre, dalgacık katsayılarından oluşur ve bu filtreler, mevcut tüm ölçekler için veri elde etmek için tekrar tekrar uygulanır. Tam veri seti kullanılıyorsa D = 2 N ve sinyal uzunluğu L, veriler önce hesaplanır D/2ölçek için L /2 N - 1, sonra veri ( G /2)/2ölçek için L /2 N - 2, … ölçek için 2 veri öğesi elde edene kadar L/2. Bu algoritmanın sonucu, girdiyle aynı uzunlukta bir dizi olacaktır; burada veriler genellikle en çok sıralanır. büyük ölçekli en küçüğüne

Gwyddion, ayrık dalgacık dönüşümünü hesaplamak için piramidal bir algoritma kullanır. DWT modülünde 2B uzayda ayrık dalgacık dönüşümü mevcuttur.

Ayrık dalgacık dönüşümü basit ve hızlı kaldırma gürültülü bir sinyalden gelen gürültü. Ayrık dalgacık dönüşümünün yalnızca sınırlı sayıda en yüksek spektral katsayılarını alırsak ve ters dalgacık dönüşümünü (aynı temelde) gerçekleştirirsek, az ya da çok gürültüden arındırılmış bir sinyal elde edebiliriz. Kaydedilecek oranları seçmenin birkaç yolu vardır. Gwyddion, Universal Threshold, Scale-Adaptive Threshold ve Scale-Space-Adaptive Threshold uygular. Bu yöntemlerde eşiği belirlemek için, önce tarafından verilen gürültü varyansı tahminini belirleriz.

Nerede Y ij ayrıştırmanın en yüksek ölçek alt aralığının tüm katsayılarına karşılık gelir (burada gürültünün çoğunun mevcut olması beklenir). Alternatif olarak, gürültü varyansı bağımsız olarak, örneğin hiçbir tarama yapılmadığında AFM sinyalinin varyansı olarak elde edilebilir. En yüksek frekans alt bandı (evrensel eşik) veya her bir alt bant için (ölçek uyarlamalı eşik için) veya alt banttaki her bir pikselin çevresi için (ölçek ve uzay uyarlamalı eşik için), varyans şu şekilde hesaplanır:

Eşik değeri, nihai formda şu şekilde hesaplanır:

Belirli bir ölçek için eşik değeri bilindiğinde, eşik değerinin altındaki tüm katsayıları kaldırabiliriz (sert eşik) veya bu katsayıların mutlak değerini eşik değeri (yumuşak eşik) kadar azaltabiliriz.

DWT gürültü giderme menüde mevcuttur Veri işleme → integral dönüşümler→ DWT gürültü giderme.

Sürekli Dalgacık Dönüşümü

Sürekli dalgacık dönüşümü (CWT), keyfi ölçekler ve pratik olarak keyfi dalgacıklar kullanan bir dalgacık dönüşümü uygulamasıdır. Kullanılan dalgacıklar ortogonal değildir ve bu dönüşümden elde edilen veriler oldukça ilişkilidir. Ayrık zaman dizileri için, bu dönüşüm, en az dalgacığın taşıdığı kısıtlamanın veri örneklemesine eşit olması gerektiği için de kullanılabilir. Bu bazen ayrık zamanlı sürekli dalgacık dönüşümü (DT-CWT) olarak adlandırılır ve gerçek dünya uygulamalarında CWT'yi hesaplamak için en yaygın kullanılan yöntemdir.

Prensip olarak, sürekli dalgacık dönüşümü doğrudan dalgacık dönüşümü tanımını kullanarak çalışır; ölçeklenmiş dalgacık ile sinyal evrişimini hesaplıyoruz. Her ölçek için, bu şekilde aynı uzunlukta bir dizi elde ederiz. N, hangisi Giriş sinyali. kullanma M keyfi olarak seçilen ölçekler, bir alan elde ederiz N×M, doğrudan zaman-frekans düzlemini temsil eder. Bu hesaplama için kullanılan algoritma, doğrudan evrişime veya Fourier uzay çarpımı aracılığıyla evrişime dayalı olabilir (buna bazen hızlı dalgacık dönüşümü denir).

Zaman-frekans ayrıştırmasında kullanılacak dalgacığın seçimi en önemli şeydir. Bu seçim ile sonucun zaman ve frekans çözünürlüğünü etkileyebiliriz.Dalgacık dönüşümünün ana özelliklerini bu şekilde değiştirmek imkansızdır (düşük frekanslar iyi çözünürlük frekanslarda ve zamanda kötü; yüksek frekanslar zayıf frekans çözünürlüğüne ve iyi zaman çözünürlüğüne sahiptir), ancak genel frekansı veya zaman çözünürlüğünü biraz artırabilirsiniz. Bu, gerçek ve Fourier uzayında kullanılan dalgacığın genişliği ile doğru orantılıdır. Örneğin, Morlet dalgacığını kullanırsak (gerçek kısım sönümlü kosinüs fonksiyonudur), o zaman şunu bekleyebiliriz: yüksek çözünürlük frekanslarda, çünkü böyle bir dalgacık frekansta çok iyi lokalize edilmiştir. aksine, Türev Gauss (DOG) dalgacığı kullanarak, zaman içinde iyi bir yerelleştirme elde ederiz, ancak frekansta zayıf oluruz.

Sürekli dalgacık dönüşümü, menüde bulunan CWT modülünde uygulanır. Veri işleme → integral dönüşümler→ C.W.T.

kaynaklar

A. Bultheel: Boğa. Belg. Matematik. Sos.: (1995) 2

S. G. Chang, B. Yu, M. Vetterli: IEEE Trans. Görüntü İşleme, (2000) 9 s. 1532

S. G. Chang, B. Yu, M. Vetterli: IEEE Trans. Görüntü İşleme, (2000) 9 s. 1522

Uygulamada, DTWS sonlu uzunluktaki sinyallere uygulanmalıdır. Bu nedenle, belirli bir uzunluktaki bir sinyalden aynı uzunlukta bir katsayı dizisi elde etmek için değiştirilmelidir. Ortaya çıkan dönüşüm, Ayrık Dalgacık Dönüşümü (DWT) olarak adlandırılır.

İlk olarak, DWT'yi matris biçiminde ve ardından sinyal işlemede en sık kullanılan filtre bankaları temelinde tanımlıyoruz.

Her iki durumda da, bazın çalıştığını varsayarız ve
kompakt olarak tanımlanmıştır. Bu otomatik olarak dizilerin sonlu olduğunu garanti eder. Ve . Ayrıca, dönüştürülecek sinyalin uzunluğa sahip olduğunu varsayalım.
.

Matris açıklaması dwt

vektör ile göster sonlu uzunluk dizisi bazı . Bu vektör bir vektöre dönüştürülür
dizileri içeren
Ve
, her yarım uzunluk. Dönüşüm bir matris çarpımı olarak yazılabilir.
, burada matris
- kare ve sıfırlardan ve elemanlardan oluşur çarpılır
. özellikler nedeniyle Bölüm 2.3'te elde edilen matris
ortonormaldir ve ters matrisi, devrik olana eşittir. Bir örnek olarak, aşağıdaki örneği göz önünde bulundurun. Bir uzunluk filtresi alalım
, uzunluk dizisi
ve başlangıç değeri olarak -
. sonraki dan almak formül (2.35) ile, burada
. Daha sonra matris-vektör çarpma işlemi şu şekilde temsil edilecektir:

. (2.52)

Ters dönüşüm çarpmadır
ters matrise
:

. (2.53)

Böylece ifade (2.51) bir DWT adımıdır. Tam DWT, vektörün üst yarısını yinelemeli olarak çarpmaktır.
bir kare matrise
, boyutu
. Bu prosedür tekrar edilebilir D vektörün uzunluğu 1 olana kadar

Matrisin (2.51) dördüncü ve sekizinci satırlarında dizi dairesel kaydırılmış: sağdaki matrisin dışında kalan katsayılar solda aynı satıra yerleştirilir. Bu, DWT'nin tam olarak bir uzunluğa sahip olduğu anlamına gelir. N DTWS sinyali sonsuz periyodik devam ile elde edilen . Dolayısıyla DWT, bu şekilde tanımlandığında, DFT'de olduğu gibi sinyalin periyodikliğini kullanır.

DWT'nin matris açıklaması kısa ve nettir. Bununla birlikte, sinyal işlemede, DWT çoğunlukla bir analiz-sentez sistemininkine benzer bir blok diyagram kullanılarak tanımlanır (bkz. Şekil 1.1).

dwt'nin filtre blokları aracılığıyla açıklaması

Bölüm 1'deki alt-bant dönüşümlerini göz önünde bulundurarak, (2.45) ve (2.46)'ya benzer eşitlikleri filtreleme ve ardından ikiye katlama olarak yorumladık. Bu durumda iki filtre olduğundan Ve , o zaman filtre bankası iki bantlıdır ve Şekil 2.5'te gösterildiği gibi gösterilebilir.

Filtreler F Ve E filtrelere göre ortalama filtreleme Ve
, sırasıyla. Devrenin alt kolunda alçak geçiren filtreleme yapılır. Sonuç, sinyalin bir miktar yaklaşımıdır, ayrıntıdan yoksun bir düşük frekanslı (LF) alt banttır. Devrenin tepesinde bir yüksek frekanslı (HF) alt bant tahsis edilmiştir. Sinyalleri işlerken, sabitin
daima filtre bankasından alınır ve sinyal 2 ile çarpılır (bkz. Şekil 3.2, Bölüm 3).

Böylece, Şekil 2.5'teki devre seviye sinyalini böler
iki seviyeli sinyaller için
. Ayrıca dalgacık dönüşümü, bu şemanın LF kısmına yinelemeli olarak uygulanmasıyla elde edilir. Bir görüntünün dalgacık dönüşümü gerçekleştirilirken, algoritmanın her yinelemesi önce görüntünün satırlarında, ardından sütunlarında gerçekleştirilir (Mallat piramidi olarak adlandırılır). ADV6xx video codec bileşenlerinde, her yinelemede hem satırlarda hem de sütunlarda mutlaka bir dönüşüm gerçekleştirilmediğinde, değiştirilmiş bir Mallat piramidi kullanılır. Bu, bir kişinin görsel algısını daha iyi hesaba katmak için yapılır.

Ortaya çıkan dönüşüm (2.51)'e benzer. Ancak, bazı farklılıklar var. Sonlu uzunluktaki bir sinyali filtrelerken, onun sınırda devam etmesi sorunuyla karşılaşırız. DWT'nin matris uygulaması, sinyalin sınırda periyodik olarak devam etmesine eşdeğerdir. Bu tür bir devam ortogonal filtreler için zorunludur. Biortogonal filtreler söz konusu olduğunda, özelliklerinin simetrisinden dolayı başka bazı olasılıklar ortaya çıkar. Bu konu Bölüm 3'te daha ayrıntılı olarak tartışılacaktır.

DWT gerçekleştiren devre Şekil 2.6'da gösterildiği gibi de temsil edilebilir. Burada, özyinelemeli filtreleme ve kırdama, alt bant başına bir filtreleme işlemi ve bir kesme işlemi ile değiştirilir. Yinelemeli filtreler tanımlama Ve frekans alanında vermek en kolay olanıdır.