Dalgacık dönüşümü teorisinin temelleri. Ayrık dalgacık dönüşümleri

Uygulamada, DTWS sonlu uzunluktaki sinyallere uygulanmalıdır. Bu nedenle, belirli bir uzunluktaki bir sinyalden aynı uzunlukta bir katsayı dizisi elde etmek için değiştirilmelidir. Ortaya çıkan dönüşüm, ayrık dalgacık dönüşümü (DWT) olarak adlandırılır.

Önce DWT'yi matris biçiminde ve ardından sinyal işlemede en sık kullanılan filtre bankaları temelinde tanımlıyoruz.

Her iki durumda da, bazın çalıştığını varsayarız ve
kompakt olarak tanımlanmıştır. Bu otomatik olarak dizilerin sonlu olduğunu garanti eder. Ve . Ayrıca, dönüştürülecek sinyalin uzunluğa sahip olduğunu varsayalım.
.

1. Matris açıklaması dwt

vektör ile göster sonlu uzunluk dizisi bazı . Bu vektör bir vektöre dönüştürülür
dizileri içeren
Ve
, her yarım uzunluk. Dönüşüm bir matris çarpımı olarak yazılabilir.
, burada matris
- kare ve sıfırlardan ve elemanlardan oluşur çarpılır
. özellikler nedeniyle Bölüm 2.3'te elde edilen matris
ortonormaldir ve ters matrisi, devrik olana eşittir. Bir örnek olarak, aşağıdaki örneği göz önünde bulundurun. Bir uzunluk filtresi alalım
, uzunluk dizisi
ve başlangıç ​​değeri olarak -
. sonraki dan almak formül (2.35) ile, burada
. Daha sonra matris-vektör çarpma işlemi şu şekilde temsil edilecektir:

. (2.52)

Ters dönüşüm çarpmadır
ters matrise
:

. (2.53)

Böylece ifade (2.51) bir DWT adımıdır. Tam DWT, vektörün üst yarısını yinelemeli olarak çarpmaktır.
bir kare matrise
, boyutu
. Bu prosedür tekrar edilebilir D vektörün uzunluğu 1 olana kadar

Matrisin (2.51) dördüncü ve sekizinci satırlarında dizi dairesel kaydırılmış: sağdaki matrisin dışında kalan katsayılar solda aynı satıra yerleştirilir. Bu, DWT'nin tam olarak bir uzunluğa sahip olduğu anlamına gelir. N DTWS sinyali sonsuz periyodik devam ile elde edilen . Dolayısıyla DWT, bu şekilde tanımlandığında, DFT'de olduğu gibi sinyalin periyodikliğini kullanır.

DWT'nin matris açıklaması kısa ve nettir. Bununla birlikte, sinyal işlemede, DWT çoğunlukla bir analiz-sentez sistemininkine benzer bir blok diyagram kullanılarak tanımlanır (bkz. Şekil 1.1).

1. dwt'nin filtre blokları aracılığıyla açıklaması

Bölüm 1'deki alt-bant dönüşümlerini göz önünde bulundurarak, (2.45) ve (2.46)'ya benzer eşitlikleri filtreleme ve ardından ikiye katlama olarak yorumladık. Beri bu durum iki filtre var Ve , o zaman filtre bankası iki bantlıdır ve Şekil 2.5'te gösterildiği gibi gösterilebilir.

Filtreler F Ve e filtrelere göre ortalama filtreleme Ve
, sırasıyla. Devrenin alt kolunda alçak geçiren filtreleme yapılır. Sonuç, sinyalin bir miktar yaklaşımı, ayrıntıdan yoksun bir düşük frekanslı (LF) alt banttır. Devrenin tepesinde bir yüksek frekanslı (HF) alt bant tahsis edilmiştir. Sinyalleri işlerken, sabitin
daima filtre bankasından alınır ve sinyal 2 ile çarpılır (bkz. Şekil 3.2, Bölüm 3).

Böylece, Şekil 2.5'teki devre seviye sinyalini böler
iki seviyeli sinyaller için
. Ayrıca dalgacık dönüşümü, bu şemanın LF kısmına yinelemeli olarak uygulanmasıyla elde edilir. Bir görüntünün dalgacık dönüşümü gerçekleştirilirken, algoritmanın her yinelemesi önce görüntünün satırlarında, ardından sütunlarında gerçekleştirilir (Mallat piramidi olarak adlandırılır). ADV6xx video codec bileşenlerinde, her yinelemede hem satırlarda hem de sütunlarda mutlaka bir dönüşüm gerçekleştirilmediğinde, değiştirilmiş bir Mallat piramidi kullanılır. Bu, bir kişinin görsel algısını daha iyi hesaba katmak için yapılır.

Ortaya çıkan dönüşüm (2.51)'e benzer. Ancak, bazı farklılıklar var. Sonlu uzunluktaki bir sinyali filtrelerken, onun sınırda devam etmesi sorunuyla karşılaşırız. DWT'nin matris uygulaması, sinyalin sınırda periyodik olarak devam etmesine eşdeğerdir. Bu tür bir devam ortogonal filtreler için zorunludur. Biortogonal filtreler söz konusu olduğunda, özelliklerinin simetrisinden dolayı başka bazı olasılıklar ortaya çıkar. Bu konu Bölüm 3'te daha ayrıntılı olarak tartışılacaktır.

DWT gerçekleştiren devre Şekil 2.6'da gösterildiği gibi de temsil edilebilir. Burada, özyinelemeli filtreleme ve kırdama, alt bant başına bir filtreleme işlemi ve bir kesme işlemi ile değiştirilir. Yinelemeli filtreler tanımlama Ve frekans alanında vermek en kolay olanıdır.

12.3 Ayrık Dalgacık Dönüşümü Algoritması

Ayrık dalgacık dönüşümü için bir algoritma oluşturmak amacıyla, bazılarını tanıtıyoruz. doğrusal dönüşümler. Her şeyden önce, tüm sayıların toplamını modulo olarak belirtiyoruz S aşağıdaki gibi: ve ayrıca içinde bir vektör olduğunu varsayalım S eşit. Ardından, tanıtılan dönüşümleri aşağıdaki gibi koyarız:

,

hepsi için . Açıkçası, bu ifadeler, modulo toplamı kullanılarak verilerin periyodik olarak eklenmesi dikkate alındığında, yüksek frekanslı ve düşük frekanslı filtrelerin (12.1), (12.2) analoglarıdır. Açıktır ki, dönüşümler orijinal uzunluk vektörünün bölünmesini gerçekleştirir. S iki yarı uzunluklu vektöre bölünür.

Böylece, dalgacık dönüşümü algoritması, vektöre uygulanan yinelemeli bir - ve - dönüşüm prosedürünün uygulanmasına indirgenir. Bu tür dönüşümlerin sonucu vektörlerdir. , Yaklaştırma ve detaylandırma katsayıları.

Başka bir deyişle, yinelemeli olarak, bu algoritma şöyle görünür:

(12.12), (12.13) özyinelemelerinin kademeli algoritma ile olduğu halde, genişleme katsayıları için tanıtılan notasyonun katsayılar için gösterilen notasyona çok benzer olduğuna dikkat edin. Mesele şu ki, algoritmanın inşası ayrık dönüşüm tamamen dalgacık fonksiyonları temelinde ayrık dönüşüm teorisine dayanmaktadır (önceki paragrafa bakınız). Buradaki temel fark, istatistiksel uygulamalar katsayılar yalnızca yaklaşık olarak genleşme katsayılarına karşılık gelir.

Özyinelemelerin (12.12), (12.13) yaklaşım ve iyileştirme katsayılarının hesaplanmasında şu durumlar için de başarılı bir şekilde uygulanabileceğine dikkat edin: Gerçek şu ki, tümlenen diziler periyodiktir ve

,

.

Ters disket dönüşüm algoritması, yine veri periyodizasyonu koşulu altında ifadenin (12.11) uygulanmasına indirgenir. Algoritma vektörleri kurtararak başlar

,

ve vektörün restorasyonuna kadar devam eder olana kadar. Bu durumda veri kurtarma için özyinelemeli ifade şöyle görünür:

12.4 İstatistiksel Ayrık Dalgacık Analizi

Veri bölümleme

Bu nedenle, dalgacık tahminlerinin hesaplanması, yukarıda açıklanan ayrık dalgacık dönüşümüne dayanmaktadır. Gösterildiği gibi, böyle bir analiz, uzunluğu olan verilerle çalışmayı içerir. İLE- biraz bütün. Bununla birlikte, pratikte, incelenen verilerin uzunluğunun çoğu zaman 2'nin gücüne eşit olmadığı ortaya çıkar ve bu nedenle, bu tür verileri, düğüm sayısıyla eşit uzaklıkta bir ızgarada germek gerekli hale gelir. Söylenenler, hem dağılım yoğunluğunu tahmin etme problemleri hem de regresyon veri düzleştirme problemleri için doğrudur.

Yoğunluğu tahmin etmek için verileri aralıklara bölme prosedürleri ve regresyon analizi sırasıyla paragraf 10.2, 10.8'de sunulmuştur. İÇİNDE bu yer sentezlenen tahminlerin kalitesi üzerindeki bu tür bölümlemenin etkisi tartışılmaktadır. Etkiyi tartışmak için kullanılan örnekler, Bölüm'den alınmıştır. 10, şek. 10.1 - 10.11.

Örneğin uzunluk verilerinin, noktalardan oluşan aralıklara bölünmesinin etkisi araştırılır. Tahminlerin oluşturulmasındaki integral kök-ortalama-kare hataları Tablo 12.1'de gösterilmektedir.

Tablo 12.1

İntegral ortalama kare hataları

çeşitli uzunluklardaki bölümleme aralıkları için

Tablodan da görülebileceği gibi, integral standart sapma minimum değerine ulaşır. Bu hatanın grafiği Şekil 1 de gösterilmiştir. 12.1.

Bu tür tahminler için tanımlanabilmesi gerçeğine rağmen optimal boyut aralığı, istatistiksel yorumunda çok dikkatli olunmalıdır. Gerçek şu ki, verileri aralıklara bölmek, genellikle teoride dikkate alınmayan bir tür ön düzeltmedir. Açıkçası, bölüm aralıklarının sayısı arttıkça, hızlı algoritmanın hesaplama verimliliğinin çoğu kaybolur. Şekil l'deki RMS değerlerini gösteren noktalar. 12.1, tahmini hesaplama hızı ile ön yumuşatma kalitesi arasında bir uzlaşmayı temsil eder.

Dalgacık tahminlerinin yaklaşık yapısı

İnşaat Amaçlı Ayrık Dalgacık Dönüşümünü Uygulamaya Yönelik Algoritma istatistiksel tahminler(12.6) - (12.8) şöyle görünür:

S8 sembolü için oluşturulmuş Integral RMS

Bu noktada yukarıdaki algoritma hakkında birkaç açıklama yapalım. İlk olarak, ayrı bir dönüşümün tanımı, algoritmanın her adımında periyodik olarak güncellenen verilerin kullanımını ifade eder. Başka bir deyişle, veriler, orijinal verilerin periyodik olarak aşağıdakilerle tamamlandığı ikili toplamın sonucudur: Z yani .

İkincisi, daha önce belirtildiği gibi, Üst düzey ayrışma verilen algoritmaya dahil değildir: pratikte olduğu varsayılır ve eşikleme prosedürleri seviye hariç tüm seviyelerin genişleme katsayılarına uygulanır. K, yalnızca yaklaşık katsayıları içerir. Bununla birlikte, doğrusal bir dalgacık tahmini ile örnekte yapıldığı gibi, 'den daha yüksek seviyelerin genişleme katsayılarını hariç tutması gerekiyorsa, tanım (12.6) şu koşulla tamamlanır:

.

(12.3) gibi, algoritmanın 1 - 3. adımları matris formunda gösterilebilir. Bu amaçla, incelenen verilerin vektörü şu şekilde gösterilecektir: . Daha sonra doğrudan dönüşüm şu şekli alacaktır:

burada bir boyut operatörüdür. bunu göstermek kolay verilen operatör ortogonaldir, çünkü Mull algoritmasının farklı adımlarına karşılık gelen sonlu sayıda ortogonal matris operatörlerinin ürünlerini içerir.

Operatörün vektörü atma prosedürünü göstermesine izin verin:

ters dönüştürme operatörü ise , veya ortogonallik sayesinde. Bu nedenle, vektörle ifade edilen 1 - 3 eylemlerinin sıralı uygulamasının sonucu , aşağıdaki gibi elde edilebilir:

Çözülecek problemin doğrusal bir dalgacık kestiriminin inşası olması ve seviyenin seviye olarak alınması durumunda, thrashholding sonuçta sağlayan bir özdeş dönüşüme indirgenir. Gerçek şu ki, bu durumda seviyelerin her birinde genişleme katsayılarının korunması, nihai değerlendirmenin yalnızca orijinal verileri tekrarlamasına izin verir.

Ayrıca, 1 - 3 arasındaki adımlarla temsil edilen algoritma şu şekildedir: Genel kural dalgacık tahminlerinin oluşturulması. Yalnızca işlemler gerektirdiğinden, bu algoritmanın FFT'den daha hızlı olduğunu unutmayın. Genel olarak konuşursak, algoritma, verilerin tahmini yerine yaklaşık bir tahminini oluşturmanıza izin verir. Buradaki bir istisna, verilerin Haar bazına ayrıştırılmasıdır. Maalesef, verilen gerçek literatürde tartışılmaz.

duralım bu konu biraz daha. Bu amaçla, herhangi biri için ayarlanan doğrusal bir tahmin düşünelim ve k. Orijinal verilerin gereksinimi karşıladığını da varsayalım:

.

(12.18)

Yinelemelerin (12.9), (12.10) katsayıların tahminlerini hesaplamayı mümkün kıldığı, yineleme ifadelerinin (12.12), (12.13) ise yineleme için ilk verilerin olduğu varsayımı altında yaklaşık olarak aynı katsayılar olduğu bilinmektedir. tam olarak aynı. Bununla birlikte, gereksinim (12.18) karşılanırsa, algoritmanın 3. adımındaki (12.12), (12.13) için başlangıç ​​verileri, benzer ters yineleme verilerinden (12.9), (12.10) bazı faktörler kadar farklı hale gelir. Bu nedenle, algoritmanın doğrusallığı, doğrudan dönüşüme bir düzeltme getirme ihtiyacını gerektirir:

,

.

Ayrıca, doğrudan dönüşüm için ana ifade düzeltildi:

operatörün şu formu aldığı yer:

(12.17) ve (12.19) ifadelerini birleştirerek, bunu şimdi yazabiliriz.

Ders Dalgacık dönüşümleri.

Dersler 6-8

ölçeklendirme işlevleri Ortogonal, sürekli ve ayrık dalgacık dönüşümü.

Tahmin ve tahmin problemleri. İki boyutlu ve çok boyutlu dalgacık dönüşümleri ve görüntü işleme (gürültü giderme, raster görüntü işleme).

Dalgacık analizi için yüzeylerin çok ölçekli gösterimi. Sinyallerin, görüntülerin, video görüntülerinin dalgacık sıkıştırması.

Sinyallerin dalgacık dönüşümü, tipik bir temsilcisi klasik Fourier dönüşümü olan spektral analizin bir genellemesidir. İngilizce'den tercüme edilen "dalgacık" (dalgacık) terimi "küçük (kısa) dalga" anlamına gelir. Dalgacıklar, zaman ve frekans açısından yerel olan ve tüm işlevlerin zaman ekseni boyunca kaymaları ve uzantıları aracılığıyla tek bir temel (üreten) fonksiyondan elde edildiği belirli bir biçimdeki matematiksel işlev ailelerinin genelleştirilmiş bir adıdır. Dalgacık dönüşümleri, analiz edilen zaman fonksiyonlarını, zaman ve frekansta yerelleştirilmiş salınımlar açısından dikkate alır. Kural olarak, dalgacık dönüşümleri (WT) ayrık (DWT) ve sürekli (CWT) olarak ayrılır.

DWT, sinyal dönüştürme ve kodlama için, CWT ise sinyal analizi için kullanılır. Dalgacık dönüşümleri şu anda çok çeşitli uygulamalar için benimsenmekte ve genellikle geleneksel Fourier dönüşümünün yerini almaktadır. Bu, moleküler dinamik, kuantum mekaniği, astrofizik, jeofizik, optik, bilgisayar grafikleri ve görüntü işleme, DNA analizi, protein araştırması, iklim araştırması, genel sinyal işleme ve konuşma tanıma gibi birçok alanda görülmektedir.

Dalgacık analizi, sinyallerin ve fiziksel verilerin özel bir doğrusal dönüşüm türüdür. Sinyallerin dalgacık ayrışımının gerçekleştirildiği özfonksiyonların temeli, birçok özel özellik ve yeteneğe sahiptir. Temelin dalgacık fonksiyonları, analiz edilen süreçlerin geleneksel Fourier ve Laplace dönüşümleri kullanılarak ortaya çıkarılamayan belirli yerel özelliklerine odaklanmayı mümkün kılar. Jeofizikteki bu tür işlemler, doğal ortamın çeşitli fiziksel parametrelerinin alanlarını içerir. Her şeyden önce bu, sıcaklık, basınç, sismik iz profilleri ve diğer fiziksel nicelikler alanlarıyla ilgilidir.

Dalgacıklar, bağımsız değişkenler ekseni (bağımsız değişkenler) boyunca lokalize, kaydırmaya karşı değişmez ve ölçekleme işlemine (sıkıştırma/germe) doğrusal olan sıfır ortalamalı kısa dalga paketleri biçimine sahiptir. Zaman ve frekans temsilindeki yerelleştirme açısından, dalgacıklar, frekansta yerelleştirilmiş harmonik fonksiyonlar ile zamanda yerelleştirilmiş Dirac işlevi arasında bir ara konum işgal eder.

Dalgacık teorisi temel bir fiziksel teori değildir, ancak birçok pratik problemi çözmek için uygun ve verimli bir araç sağlar. Dalgacık dönüşümlerinin ana uygulama alanı, analiz sonuçlarının yalnızca sinyalin frekans yanıtını (dağılımı) içermemesi gerektiğinde, zamanda durağan olmayan veya uzayda tekdüze olmayan sinyallerin ve fonksiyonların analizi ve işlenmesidir. frekans bileşenleri üzerinden sinyal enerjisi), aynı zamanda belirli frekans bileşenleri gruplarının veya üzerinde bulundukları yerel koordinatlar hakkında bilgi hızlı değişim sinyalin frekans bileşenleri. Sinyallerin Fourier serisine ayrışmasıyla karşılaştırıldığında, dalgacıklar, 1. tür süreksizliklere (sıçramalar) kadar, sinyallerin yerel özelliklerini çok daha yüksek doğrulukla temsil edebilir. Fourier dönüşümlerinden farklı olarak, tek boyutlu sinyallerin dalgacık dönüşümü, iki boyutlu bir tarama sağlarken, frekans ve koordinat bağımsız değişkenler olarak kabul edilir, bu da sinyalleri aynı anda iki uzayda analiz etmeyi mümkün kılar.

Farklı ayrıştırma (ayrışma) seviyelerinde sinyallerin dalgacık temsilinin ana ve özellikle verimli fikirlerinden biri, sinyale yaklaşma işlevlerini iki gruba ayırmaktır: yaklaşık - kaba, oldukça yavaş bir zamansal değişim dinamikleri ile ve detaylandırma - arka plan yumuşak dinamiklerine karşı yerel ve hızlı değişim dinamikleri, sonraki parçalanmaları ve diğer sinyal ayrışma seviyelerinde detaylandırma ile. Bu, dalgacıklarla sinyal temsilinin hem zaman hem de frekans alanlarında mümkündür.

Spektral analizin tarihi, trigonometrik serilere genişleyen fonksiyonlar teorisini ilk kez inşa eden I. Bernoulli, Euler ve Fourier'ye kadar uzanır. Ancak bu ayrıştırma uzun süre matematiksel bir teknik olarak kullanıldı ve herhangi bir fiziksel kavramla ilişkilendirilmedi. Spektral temsiller, nispeten dar bir teorik fizikçiler çevresi tarafından kullanıldı ve geliştirildi. Ancak 1920'lerden itibaren radyo mühendisliği ve akustiğin hızlı gelişimi nedeniyle spektral genişlemeler fiziksel bir anlam kazandı ve pratik kullanım. Harmonik analiz, gerçek fiziksel süreçleri analiz etmek için ana araç haline geldi ve matematiksel temel analiz - Fourier dönüşümü. Fourier dönüşümü keyfi bir süreci farklı frekanslara sahip temel harmonik salınımlara ayrıştırır ve tüm gerekli özellikler ve formüller bir temel fonksiyon exp(jt) veya iki gerçek fonksiyon sin(t) ve cos(t) kullanılarak ifade edilir. Harmonik salınımlar doğada yaygındır ve bu nedenle Fourier dönüşümünün anlamı, matematiksel analitikten bağımsız olarak sezgiseldir.

Fourier dönüşümü bir dizi dikkate değer özelliğe sahiptir. Dönüşümün tanım alanı, kare-integrallenebilir fonksiyonların L2 uzayıdır ve doğadaki birçok fiziksel süreç bu uzaya ait fonksiyonlar olarak düşünülebilir. Dönüşümü uygulamak için, hızlı Fourier dönüşümü (FFT) gibi verimli hesaplama prosedürleri geliştirilmiştir. Bu prosedürler, uygulamalı matematiksel programların tüm paketlerinde bulunur ve sinyal işlemcilerindeki donanımda uygulanır.

Ayrıca fonksiyonların sadece sinüs ve kosinüs cinsinden değil, aynı zamanda diğer ortogonal temel sistemler, örneğin Legendre ve Chebyshev polinomları, Laguerre ve Hermite fonksiyonları cinsinden de genişletilebileceği bulundu. Bununla birlikte, bilgisayar teknolojisinin gelişmesi ve dijital doğrusal veri işleme sistemlerini sentezleme yöntemleri nedeniyle yalnızca 20. yüzyılın son on yıllarında pratik uygulama aldılar. Doğrudan spektral analiz amaçları için, bu tür ortogonal fonksiyonlar, elde edilen sonuçların yorumlanmasındaki zorluklar nedeniyle geniş uygulama alanı bulmamıştır. Aynı nedenlerle Walsh, Rademacher, vb.'nin "kare dalga" tipi fonksiyonları spektral analizde geliştirilmemiştir.

Temel sistemlerin teorik çalışmaları, genelleştirilmiş spektral analiz teorisinin yaratılmasına yol açtı; bu, Fourier spektral analizinin pratik uygulamasının sınırlarını, oluşturulan yöntemleri ve ortogonal temel sistemlerin sentezi için kriterleri tahmin etmeyi mümkün kıldı. Bu, 1980'lerin başından beri aktif olarak gelişen temel fonksiyonların dalgacık teorisi ile gösterilmektedir. Analiz sonuçlarının fiziksel yorumunun şeffaflığı nedeniyle, Fourier dönüşümündeki "frekans" yaklaşımına benzer şekilde, dalgacık ortogonal temeli, akustik, sismik, tıp ve diğer alanlardaki sinyalleri ve görüntüleri analiz etmek için popüler ve etkili bir araç haline geldi. bilim ve teknoloji alanları.

Dalgacık analizi, basit salınımların rolünü dalgacıklar adı verilen özel bir tür fonksiyon tarafından oynanan bir tür spektral analizdir. Dalgacık temel işlevi, bazı "kısa" salınımlardır, ancak yalnızca değildir. Spektral analiz frekansı kavramı burada ölçekle değiştirilir ve tüm zaman eksenini "kısa dalgalar" ile kaplamak için zaman içinde bir fonksiyon kayması getirilir. Dalgacıkların temeli, b'nin kaydırma ve ölçek olduğu ((t-b)/a) tipindeki fonksiyonlardır. (t) fonksiyonunun alanı sıfır olmalı ve daha da iyisi birinci, ikinci ve diğer momentler sıfıra eşit olmalıdır. Bu tür fonksiyonların Fourier dönüşümü =0'da sıfıra eşittir ve bir bant geçiren filtre biçimine sahiptir. "a" ölçeklendirme parametresinin farklı değerleri ile bu, bir dizi bant geçiren filtre olacaktır. Zaman veya frekans alanındaki dalgacık aileleri, sinyalleri temsil etmek için kullanılır ve sinyal ayrışmasının farklı ölçek seviyelerinde dalgacıkların üst üste binmesi olarak işlev görür.

Bu tür işlevlerin (dalgacıklar olarak adlandırılmayan) ilk sözü, geçen yüzyılın başında Haar'ın çalışmalarında ortaya çıktı. Haar dalgacığı, Şekil 1'de gösterilen aralıkta kısa bir kare dalgadır. 1.1.1. Bununla birlikte, teorik olarak daha ilginçtir, çünkü sürekli türevlenebilen bir fonksiyon değildir ve frekans alanında uzun "kuyruklara" sahiptir. 1930'larda fizikçi Paul Levy, Brown hareketini incelerken, Brown hareketinin ayrıntılarını incelemek için Haar bazının Fourier tabanından daha iyi olduğunu buldu.

"Dalgacık" terimi, kavram olarak J. Morlet ve A. Grossman'ın (J. Morlet, A. Grossman) 1984 yılında yayınlanan makalelerinde tanıtıldı. Dalgacık adını verdikleri temeli kullanarak sismik sinyalleri incelediler. . CWT'nin temellerini formüle eden Guppilaude, Grossman ve Morlet, ortogonal dalgacıkları geliştiren Ingrid Daubechies (1988), CWT'nin zaman-frekans yorumunu yaratan Natalie Delpra (1991) tarafından dalgacık teorisine önemli bir katkı yapılmıştır. , Ve bircok digerleri. Bu ve diğer yazarların çalışmalarında dalgacıkların matematiksel olarak biçimlendirilmesi, çok çözünürlüklü (çoklu ölçekli) analiz olarak adlandırılan dalgacık analizinin teorik temellerinin oluşturulmasına yol açtı.

Halihazırda, bilgisayar matematiğinin ana sistemlerinde (Matlab, Mathematica, Mathcad, vb.) Pek çok araştırmacı, homojen olmayan sinyallerin ve fonksiyonların iç bileşimini ve yapılarını doğru bir şekilde incelemek için dalgacık analizini "matematiksel mikroskop" olarak adlandırır.

Dalgacık sinyal işleme ve analiz yöntemleri, herhangi bir sorunu çözmek için yeni bir evrensel teknoloji olarak görülmemelidir. Dalgacıkların yetenekleri henüz tam olarak açıklanmamıştır, ancak bu, onların geliştirilmesinin, iyi kurulmuş ve zaman içinde test edilmiş geleneksel bilgi işleme ve analiz etme araçlarının tamamen değiştirilmesine yol açacağı anlamına gelmez. Dalgacıklar, veri işleme için bilgi teknolojilerinin araçsal tabanını genişletmeyi mümkün kılar.

Dalgacık sinyal dönüşümlerinin analitiği, Fourier dönüşümlerine benzer olan sinyal ayrışmasının matematiksel temeli tarafından belirlenir. Dalgacık dönüşümlerinin ana ayırt edici özelliği, sinyallerin ayrıştırılması için yeni bir temel - dalgacık fonksiyonlarıdır. Dalgacıkların özellikleri, hem sinyalleri birim dalgacık fonksiyonları açısından ayrıştırma olasılığı hem de işlenmiş dalgacık spektrumlarından sinyallerin müteakip rekonstrüksiyonu da dahil olmak üzere dalgacık sinyal spektrumları üzerindeki amaçlı eylemler için temel olarak önemlidir.

Dalgacıklar ortogonal, yarı ortogonal, biortogonal olabilir. Dalgacık fonksiyonları, kompakt bir tanım alanı olsun veya olmasın simetrik, asimetrik ve asimetrik olabilir ve ayrıca farklı düzgünlük derecelerine sahip olabilir. Bazı fonksiyonların analitik bir ifadesi vardır, diğerleri ise dalgacık dönüşümünü hesaplamak için hızlı bir algoritmaya sahiptir. Uygulamada, ortogonal simetrik ve asimetrik dalgacıkların olması arzu edilir, ancak bu tür ideal dalgacıklar yoktur. En büyük uygulama biortogonal dalgacıklar tarafından bulunur.

Dalgacık dönüşümlerinin temel fonksiyonları en çok çeşitli işlevler kompakt bir taşıyıcı ile - darbelerle modüle edilen sinüzoidler, seviye atlamalı işlevler, vb. Sıçramalar, süreksizlikler ve dik değerler dahil olmak üzere yerel özelliklere sahip sinyallerin iyi bir şekilde görüntülenmesini ve analiz edilmesini sağlarlar.

Sinyallerin dalgacık spektrumunun zamansal temsiline ve belirsiz olmayan ayrışmasına - sinyallerin yeniden inşasına tam bilgi denkliği sağlayacak olan sinyallerin böyle bir dalgacık dönüşümüne sahip olunması arzu edilir. Ancak, bu sadece ortogonal ve biortogonal dalgacıklar kullanıldığında mümkündür. Sinyallerin kalitatif analizi ve sinyallerdeki yerel özellikler için, sinyalin yeniden yapılandırılmasını sağlamasalar da sinyallerin bilgi içeriğini ve bu bilgilerdeki değişikliklerin dinamiklerini değerlendirmeyi mümkün kılan daha geniş bir dalgacık fonksiyonları aralığı kullanılabilir. .

Dalgacık tanımı. Dalgacıklar, bağımsız değişkende kaydırma (b) ve ölçekleme (a) ile bir üst dalgacıktan (t) (veya başka herhangi bir bağımsız değişkenden) oluşturulan yerelleştirilmiş işlevleri içerir:

 ab (t) = (1/) ((t-b)/a), (a, b)R, (t)L 2 (R).

burada faktör (1/), fonksiyonların normunun "a" ölçek sayısından bağımsız olmasını sağlar.

Niteliksel zaman-frekans analizi için kullanılan s(t)L 2 (R) sinyalinin sürekli dalgacık dönüşümü, anlam olarak, exp(-jt) harmonik tabanının yerine geçen Fourier dönüşümüne karşılık gelir. dalgacık tarafından ((t-b)/a ):

С(a, b) = s(t),  ab (t) = (1/)s(t)((t-b)/a) dt, (a, b)R, a 0.

Dalgacık zaman ölçeği spektrumu C(a,b), Fourier spektrumunun aksine, iki argümanın bir fonksiyonudur: "a" dalgacık ölçeği (frekansın karşılıklı birimlerinde) ve dalgacığın zaman kayması dalgacık "b" sinyaliyle (zaman birimi olarak), "a" ve "b" parametreleri ise tanımları kapsamında herhangi bir değer alabilir.

Pirinç. 24.1.1. Dalgacıklar Mhat ve Dalga.

Kantitatif analiz yöntemleri için, onlar için ikiz fonksiyonlar  # (t) varsa, herhangi bir yerelleştirilmiş fonksiyon (t) dalgacık tabanı olarak kullanılabilir, öyle ki ( ab (t)) ve (  ab () aileleri t) ) L 2 (R) fonksiyon uzayının eşleştirilmiş tabanlarını oluşturabilir. Bu şekilde tanımlanan dalgacıklar, L 2 (R) uzayındaki herhangi bir rasgele fonksiyonu bir dizi olarak temsil etmemizi sağlar:

s(t) = С(a,b)  ab (t), (a, b)I,

C(a,b) katsayıları, sinyalin uzayın dalgacık bazındaki izdüşümleridir:

С(a,b) = s(t),  ab (t) =s(t) ab (t) dt.

Eğer (t) dalgacığı diklik özelliğine sahipse, o zaman   (t) ≡ (t) ve dalgacık tabanı ortogonaldir. Bir dalgacık ortogonal olmayabilir, ancak bir ikizi varsa ve ((t),   (t)) çifti ( mk (t)) ve (  zp (t)) aileleri oluşturmayı mümkün kılarsa )), I tamsayılarında biortogonallik koşulunu sağlayan:

 mk (t),   zp (t) =  mz  kp , m,k,z,p О ben,

daha sonra ters yeniden yapılandırma formülü ile sinyalleri dalgacık serilerine ayrıştırmak mümkündür.

Dalgacık Özellikleri ,

Yerelleştirme. Dalgacık sürekli, entegre edilebilir, kompakt bir desteğe sahip olmalı ve hem zaman (uzayda) hem de frekans olarak yerelleştirilmelidir. Dalgacık uzayda daralırsa, "ortalama" frekansı artar, dalgacık spektrumu daha büyük bir bölgeye hareket eder. yüksek frekanslar ve genişler. Bu süreç doğrusal olmalıdır - dalgacığın yarı yarıya daraltılması, "ortalama" frekansını ve spektrum genişliğini de iki kat artırmalıdır.

Sıfır anlam , yani sıfır anı için koşulun yerine getirilmesi:

sinyallerin sabit bileşeninin sıfır amplifikasyonunu, dalgacık frekans spektrumunun =0'da sıfır değerini ve dalgacık spektrumunun belirli (baskın) bir frekansta ( 0) merkezlenmiş bir bant geçiren filtre biçiminde lokalizasyonunu sağlayan.

sınırlama. Gerekli ve yeterli koşul:

||(t)|| 2 =|(t)| 2dt< 

Temel kendine benzerlik veya kendine benzerlik. Tüm temel dalgacıkların  ab (t) şekli ana dalgacığa (t) benzer olmalıdır, yani kaymalar ve ölçekleme (esneme/sıkıştırma) sırasında aynı kalmalı, aynı sayıda salınıma sahip olmalıdır.

Eşlemeyi dönüştür . Tek boyutlu bir sayısal serinin (sinyal) dalgacık dönüşümünün sonucu iki boyutlu diziС(a,b) katsayılarının değerleri. Bu değerlerin uzaydaki dağılımı (a, b) - zaman ölçeği, zaman lokalizasyonu, farklı ölçeklerdeki dalgacık bileşenlerinin sinyale nispi katkısının zamandaki değişimi hakkında bilgi verir ve spektrum olarak adlandırılır. dalgacık dönüşüm katsayıları, ölçek-zaman (frekans-zaman) spektrumu veya basitçe dalgacık spektrumu.

Tek boyutlu bir sinyalin spektrumu C(a,b), üç boyutlu uzayda bir yüzeydir. Spektrum görselleştirme yöntemleri çok farklı olabilir. En yaygın yol, bir düzlem üzerine izdüşümdür. ab farklı zaman ölçeklerinde katsayılardaki değişiklikleri izlemeyi ve ayrıca bu yüzeylerin ("tepeler" ve "çukurlar") yerel ekstremum modelini ortaya çıkarmayı mümkün kılan izolinler (izolitler) ile " analiz edilen sürecin yapısının iskeleti" (iskelet). Çok çeşitli ölçekler için, logaritmik koordinatlar (log A, B). Mhat dalgacığı tarafından ayrıştırıldığında en basit sinyalin dalgacık spektrumunun bir örneği şekil 2'de gösterilmektedir. 24.1.2.

Pirinç. 24.1.2. Sinyal, dalgacık Mhat - spektrum ve spektrumun ölçek bölümleri.

Dikey bölümlere göre (kesme bölümleri B) dalgacık spektrumu, her akım anında (belirli bir dalgacık setinden) sinyalin bileşen bileşimini yansıtır. Dönüşüm anlamında, dalgacıklı bir sinyalin skaler bir ürünü olarak, ölçek bölümleri boyunca her bir akım zaman noktasındaki katsayıların değerlerinin ne kadar büyük olduğu, dalgacık arasındaki korelasyon o kadar güçlü olduğu açıktır. belirli bir ölçek ve sinyalin bu nokta civarındaki davranışı. Buna göre "a" parametresi için enine kesitler, belirli bir "a" ölçeğinin bileşeninin sinyalindeki zamanla değişiklikleri gösterir.

Spektrumunun bölümlerindeki sinyalin dalgacık bileşenlerinin sinüzoidlerle hiçbir ilgisi yoktur ve genellikle oldukça karmaşık ve her zaman net olmayan bir biçimdeki sinyallerle temsil edilirler, bu da onları görselleştirmeyi ve anlamayı zorlaştırabilir.

Dalgacık işlevleri . Analiz dalgacığı seçimi, sinyalden hangi bilgilerin çıkarılması gerektiğine göre belirlenir. Çeşitli dalgacıkların zaman ve frekans uzayındaki karakteristik özellikleri göz önünde bulundurularak, analiz edilen sinyallerde özellikle gürültü varlığında sinyal grafiklerinde görünmeyen bazı özellik ve özelliklerin belirlenmesi mümkündür. Bu durumda, ortogonal olmayanlar da dahil olmak üzere kullanılan düzenli dalgacık fonksiyonları ailesini genişleten sinyal yeniden oluşturma sorunu ortaya çıkmayabilir. Dahası, dalgacık, şekli önceden biliniyorsa, çıkarılacak veya algılanacak olan sinyaldeki yerel özellik için doğrudan tasarlanabilir.

Sinyalleri çift tipteki (simetrik veya simetriğe yakın) dalgacıklarla analiz ederken, harmonik sinyaller genellikle sinyal harmoniklerinin frekansıyla çakışan baskın dalgacık frekanslarında dalgacık tepe noktalarının ve çukurlarının parlak yatay bantlarına karşılık gelir. Sinyallerin düzgünlüğünün ihlali dikey çizgilerle sabitlenir, sinyallerdeki tepe noktaları maksimumlarla vurgulanır ve çukurlar dalgacık katsayılarının minimumlarıdır. Aksine, tek tip dalgacıklar, sinyallerdeki sıçramalara ve hızlı değişikliklere daha keskin tepki verir ve bunları diferansiyellerin işaretine bağlı olarak maksimum veya minimum olarak işaretler. Sinyallerin özellikleri ne kadar belirgin olursa, spektrogramlarda o kadar güçlü bir şekilde öne çıkarlar.

Bu tür dalgacıkları oluşturmak için, hem zaman hem de frekans alanlarında en iyi lokalizasyona sahip olan Gauss türevleri sıklıkla kullanılır. Genel formda, temel dalgacık denklemi şöyledir:

 n (x) = (-1) n +1 d n /dx n , n ≥ 1, (24.1.1)

DALGA dalgacık birinci türev (n=1) ile hesaplanır ve şekil 2'de gösterilir. 24.1.3 "a" ölçeklendirme faktörlerinin üç değeri için zaman ve frekans alanında. Dalgacık şekli tek fonksiyonları ifade eder ve buna göre dalgacık spektrumu sanaldır. Birim normlu (24.1.1)'e göre dalgacık denklemi:

Pirinç. 24.1.3. Dalgacık Dalgası.

MNAT dalgacığı (Meksika şapkası - Meksika şapkası) ikinci türevden (n=2) hesaplanır ve şekil 2'de gösterilir. 24.1.5. Dalgacık simetriktir, dalgacık spektrumu sadece gerçek kısım tarafından temsil edilir ve frekansta iyi lokalize edilmiştir, dalgacığın sıfır ve ilk anları sıfıra eşittir. Karmaşık sinyalleri analiz etmek için kullanılır. (24.1.1)'e göre dalgacık denklemi:

Pirinç. 24.1.5. Dalgacık MHAT.

Şek. 24.1.6, karmaşık bir y(t) sinyalini analiz etmek için bir dalgacık kullanmanın bir örneğini gösterir. Sinyal modeli, farklı yapıdaki sinyallerin toplamından oluşur. Sinyaller y1-y2, farklı ölçek seviyelerinin Gauss fonksiyonlarıdır, sinyal y3 - kare dalgası y4 sinyali, diferansiyelin sabit bir değeri ile bir trend olarak verilir. Dalgacık katsayılarının kontur çiziminde, trendin tamamen hariç tutulduğu üç ana sinyal yapısının tümünün seçimi görülebilir. Dikdörtgen bir yapının atlamalarının sınırları özellikle açıkça ayırt edilir. Şeklin sağ tarafında, dalgacık dönüşümünün tam bir üç boyutlu resmi gösterilmektedir.

Dalgacık, izotropik alanların analizi için iki boyutlu versiyonda yaygın olarak kullanılır. Temelinde, kaymalara eklerken ve dönüş dalgacığını ölçeklendirirken iyi açısal seçiciliğe sahip iki boyutlu izotropik olmayan bir temel oluşturmak da mümkündür.

Pirinç. 24.1.7.

Frekans alanındaki dalgacıkların lokalizasyon derecesini artırmanın pratik sonucu, Şekil 1'de açıkça görülmektedir. 24.1.8 Şek. 24.1.6. Şekillerin karşılaştırılması, küçük ölçekli faktörlerde sinyalin yüksek frekanslı bileşenlerine dalgacığın duyarlılığında önemli bir artış olduğunu göstermektedir.

Dalgacık Dönüşümü Özellikleri

Dalgacık dönüşümünün sonuçları, dalgacık ve sinyal fonksiyonunun skaler ürünü olarak, analiz edilen sinyal ve dalgacığın kendisi hakkında birleşik bilgiler içerir. Sinyal hakkında nesnel bilgilerin elde edilmesi, tüm dalgacık türlerinde ortak olan dalgacık dönüşümünün özelliklerine dayanır. Bu özelliklerin anasını ele alalım. Rastgele s(t) fonksiyonlarının dalgacık dönüşümünün işleyişini belirtmek için TW indeksini kullanacağız.

doğrusallık .

TW[·s 1 (t)+·s 2 (t)] = ·TW+·TW. (24.2.1)

Kesme değişmezliği . Sinyalin zaman içinde t 0 kadar kayması, dalgacık spektrumunun da t 0 kadar kaymasına yol açar:

TW = C(a, b-t o). (24.2.2)

Ölçekleme Değişmezliği . Sinyalin gerilmesi (sıkıştırılması), sinyalin dalgacık spektrumunun sıkışmasına (gerilmesine) yol açar:

TW = (1/a o) C(a/a o, b/a o). (24.2.3)

farklılaşma .

d n (TW)/dt n = TW. (24.2.4)

TW = (-1)n s(t) dt. (24.2.5)

Analiz dalgacığı bir formülle verilirse, sinyal analizi için çok yararlı olabilir. Sinyal s(t)'nin yüksek dereceli özellikleri veya küçük ölçekli varyasyonları, dalgacık veya sinyalin kendisinin gerekli sayıda farklılaştırılmasıyla analiz edilebilir.

Parseval teoreminin bir benzeri ortogonal ve biortogonal dalgacıklar için.

s 1 (t) s 2 *(t) \u003d C   a -2 C (a, b) C * (a, b) da db. (24.2.6)

Bundan, sinyal enerjisinin dalgacık dönüşüm katsayıları cinsinden hesaplanabileceği sonucu çıkar.

Tek boyutlu sürekli dalgacık dönüşümünün tanımları ve özellikleri, çok boyutlu ve ayrık durumlara genelleştirilir.

24.3. Basit sinyallerin dalgacık dönüşümü.

Sinyaller analiz edilirken içlerindeki herhangi bir özelliği ve konumlarını tersten yeniden oluşturma olmadan gerçekleştirilen dalgacık dönüşümü, hem ortogonal hem de ortogonal olmayan her tür dalgacığın kullanımına izin verir. Çoğu zaman, bu amaçlar için simetrik dalgacıklar kullanılır. Basit dalga biçimlerini analiz etmek için Mhat dalgacık uygulamasının sonuçları aşağıdadır. Hesaplamalar dalgacık (24.1.3) ile aşağıdaki formüle göre yapılır:

с(a,b) =s(t)(t,a,b), (24.3.1)

Toplama, etki açısının çözümünde (güven bölgesi üzerinden) t = b = a = 1 adımıyla gerçekleştirilir. Sürekli genişlemede ölçekleme işlevi kullanılmadığından, değerlerin sayılması ​​"a" 1'den başlar ve c( 0,b) katsayı dizisi sıfır olarak bırakılır ve spektrum kontur çizimlerinin sıfır arka planını tanımlar.

Kronecker darbeleri (pozitif ve negatif), darbelerin dalgacık spektrumu ve "a" parametresinin üç değerindeki spektrumun enine kesitleri Şekil 1'de gösterilmektedir. 24.3.1. Spektrumun burada ve gelecekte renk aralığı, kırmızıdan (büyük değerler) mora (katsayıların küçük değerleri) kadar doğal renk aralığına karşılık gelir.

Pirinç. 24.3.1. Kronecker impulslarının dönüşümü.

Spektrum kesitlerinden, farklı ölçeklerdeki dalgacıklara sahip tek darbelerin evrişiminin, evrişim işleminde olması gerektiği gibi dalgacıkların şeklini tekrarladığı görülmektedir. Buna bağlı olarak, bölümlerdeki maksimum ekstremum çizgileri (polariteye bağlı olarak “sırtlar” ve “vadiler”) darbelerin zaman konumunu belirler ve zıt polaritenin yan ekstremumları, açı konisinde karakteristik loblar oluşturur. iyi ifade edilen etki.

Pirinç. 24.3.2. Laplace fonksiyonlarının dönüşümü.

Spektrumun benzer bir karakteri, с(a,b) katsayılarının maksimumlarında (minimumlarında) değerlerden bir kayma ile tepe noktaları (Şekil 24.3.2) şeklindeki sinyaller üzerindeki herhangi bir yerel homojensizlik için de korunur. a=1'den büyük "a" değerlerinin bulunduğu bölgeye (etkili tepe genişliğine bağlı olarak).

Pirinç. 24.3.3. Gauss fonksiyonlarının dönüşümü.

Şek. 24.3.3, Gauss fonksiyonlarının spektrumunu gösterir. Doruk homojensizliklerin üst kısımları yumuşatıldığında, renk konilerinin şekli de yumuşatılır, ancak "sırt" ("vadi") çizgileri, yerel homojensizlik merkezlerinin zaman ekseni üzerindeki konumunu oldukça doğru bir şekilde sabitler.

Pirinç. 24.3.4. Fonksiyonların sabit değer farkının dönüşümü.

Şek. 24.3.4, fonksiyonun sabit değerlerinde iki farklı diklik farkının spektrumunu göstermektedir. Damlaların merkezleri, c(a,b) katsayılarının değerlerinin sıfır kesişmesiyle sabitlenir ve damlaların dikliği esas olarak c(a,b) fonksiyonunun değerlerine şu anda yansır: "a" parametresinin küçük değerleri.

Fonksiyonlardaki kırılmalarda, spektrogramlar, Şekil 1'de gösterildiği gibi c(a,b) katsayılarının değerlerinin maksimumlarına (minimumlarına) göre kırılmaların yerini güvenle sabitler. 24.3.5. Bu tür fonksiyonlara gürültü uygulandığında, "a" parametresinin küçük değerlerinde ölçek bölümlerindeki kırılmaların yerini doğru bir şekilde belirlemek imkansız hale gelir, ancak "a" parametresinin büyük değerlerinde bu olasılık kalır. , doğal olarak, yerelleştirmenin doğruluğunda bir azalma ile.

Pirinç. 24.3.5. Fonksiyonların kıvrımlarının dönüşümü.

Gürültünün diğer yerel sinyaller üzerindeki etkisi de benzer bir karaktere sahiptir (Şekil 24.3.1-24.3.4). Sinyallerin spektral özellikleri "a" parametresinin değer aralığına kadar uzanıyorsa, bu sinyalleri ve zaman eksenindeki yerlerini belirlemek mümkündür.

Pirinç. 24.3.6. Harmonik fonksiyonların dönüşümü.

Güçlü gürültü süreçlerinin üst üste bindirilmesi dahil olmak üzere, spektrumların ölçek ekseni üzerindeki harmonik fonksiyonların ayrılması, Şekiller 1 ve 2'deki örneklerde gösterilmektedir. 24.3.6. Verilen örnek, kullanılması uygun olduğu için tamamen açıklayıcıdır. Spektral analiz ve frekans bant geçiren filtreler. Bununla birlikte, modüle edilmiş harmonikler gibi yerel sinyaller için dalgacık spektrumları, yerelleştirmelerinin zaman ekseni üzerindeki yerini oldukça iyi gösterir.

Pirinç. 24.3.7. Harmonik bir sinyalin fazını değiştirmek.

Şek. 24.3.7, bir harmonik sinyalin başka bir karakteristik özelliğinin bir örneğidir - tüm dalgacık ölçeklerinde iyi bir şekilde sabitlenen ve bu nedenle, güçlü gürültü sinyallerinin varlığında bile oldukça kolay bir şekilde belirlenen, fazındaki 180 o'luk bir değişiklik.

Sinüzoidal sinyaller trendin üzerine bindirildiğinde, büyük ölçeklerdeki dalgacık dönüşümü, trendin karakteristik özelliklerini oldukça güvenli bir şekilde tanımlamayı sağlar. Trend kırılmalarını vurgulamanın bir örneği, Şek. 24.3.8.

Pirinç. 24.3.8. Üç sinyalin toplamının dönüşümü.

Dalgacığın şekli (çift veya tek), baskın frekansı ve lokalizasyon derecesi, analiz edilen sinyallerin dalgacık spektrumunu ve yerel özelliklerini belirleme olasılığını önemli ölçüde etkiler. Aşağıdaki şekiller Wave (tek, Şekil 24.1.3), Mhat (çift, Şekil 24.1.5) ve 8. Gauss türevi (Şekil 24.3.9-24.3) dalgacıklarını kullanırken basit sinyallerin karşılaştırmalı spektrumlarını göstermektedir. .16 ), bu da çifttir ve Mhat dalgacığından 4 kat daha yüksek bir baskın frekansa sahiptir.

Pirinç. 24.3.9. Kronecker impulsları.

Pirinç. 24.3.10. Laplace'ın Zirveleri.

Pirinç. 24.3.11. Gauss fonksiyonları.

Pirinç. 24.3.12. Serin atlar.

Pirinç. 24.3.13. Pürüzsüz atlar.

Pirinç. 24.3.14. Fonksiyon sonları

Pirinç. 24.3.15. Harmoniklerin faz atlamaları.

Pirinç. 24.3.16. Modüle edilmiş iki sinüsoidin toplamı.

Rastgele sinyalleri analiz ederken, farklı tipteki dalgacıkların kullanılması, sinyallerin yerel özelliklerini tanımlamanın güvenilirliğini artırmayı mümkün kılar.

Dalgacık dönüşümü ilkesi. Fourier dönüşümünün harmonik temel fonksiyonları, frekans alanında (T'daki Dirac impuls fonksiyonlarına kadar) son derece lokalizedir ve zaman bölgesinde lokalize değildir (-to arasındaki tüm zaman aralığı boyunca tanımlanır). Bunların tersi, zaman alanında son derece yerelleştirilmiş ve tüm frekans aralığı boyunca "bulanık" olan Kronecker tipi momentum tabanlı fonksiyonlardır. Bu iki temsildeki lokalizasyon açısından dalgacıklar, harmonik ve impuls fonksiyonları arasında bir ara konum işgal eden fonksiyonlar olarak düşünülebilir. Hem zaman alanında hem de temsilin frekans alanında yerelleştirilmelidirler. Bununla birlikte, bu tür fonksiyonları tasarlarken, kaçınılmaz olarak, fonksiyonların sürelerinin etkin değerleri ve spektrumlarının genişliği ile ilgili belirsizlik ilkesiyle karşılaşacağız. Bir fonksiyonun zaman konumunu ne kadar doğru lokalize edersek, spektrumu o kadar genişleyecektir ve bunun tersi de Şekil 2'de açıkça görülmektedir. 1.1.5.

Dalgacık analizinin ayırt edici bir özelliği, belirsizlik ilişkisinin çeşitli varyantlarını uygulayan fonksiyon ailelerini kullanabilmesidir. Buna göre, araştırmacı, görevleri en etkili şekilde çözen dalgacık işlevlerinin kullanımı ile bunlar arasında esnek bir seçim yapma olanağına sahiptir.

L 2 (R), R(-,) uzayının dalgacık tabanının, aynı uzaya ait olan ve sonsuzda sıfıra eğilimli olması gereken sonlu fonksiyonlardan oluşturulması tavsiye edilir. Bu işlevler sıfıra ne kadar hızlı yönelirse, analizde dönüşüm temeli olarak kullanmak o kadar uygun olur. gerçek sinyaller. Böyle bir işlevin psi olduğunu varsayalım - bir t işlevi, sonlu bir aralığın dışında sıfıra eşit ve görev aralığı boyunca sıfır ortalama değere sahip. İkincisi, frekans alanında dalgacık spektrumunun lokalizasyonunu belirtmek için gereklidir. Bu fonksiyona dayanarak, bağımsız değişkenin ölçeklendirme dönüşümlerini kullanarak L 2 (R) uzayında bir temel oluşturuyoruz.

Sinyallerin spektral gösteriminde frekanstan bağımsız değişkeni değiştirme işlevi, zaman gösteriminde sinyali uzatarak/sıkıştırarak görüntülenir. Dalgacık bazında bu, (t) =>(a m t), a = const, m = 0, 1, … , M gibi bir fonksiyonla yapılabilir, yani. fonksiyonun farklı temsil ölçeklerinde kendine benzerliğini sağlayan doğrusal bir uzatma/sıkıştırma işlemi aracılığıyla. Bununla birlikte, (t) işlevinin zaman ekseni üzerindeki konumu, (t) =>(t+k) gibi, (t) işlevinin eksen boyunca ardışık kaydırmalarının ek bir bağımsız değişkenini gerektirir: R(-, ) uzayının tüm sayısal eksenini kapsar. Her iki koşul aynı anda dikkate alındığında, temel fonksiyonun yapısı aşağıdaki gibi alınabilir:

(t) => (a m t+k). (1.1.10)

Daha fazla hesaplamayı basitleştirmek için, m ve k değişkenlerinin değerleri tamsayı olarak alınacaktır. Fonksiyonu (1.1.10) birim norma indirgediğimizde şunu elde ederiz:

 mk (t) = bir m/2 (bir m t+k). (1.1.11)

 mk (t) fonksiyon ailesi diklik koşulunu sağlıyorsa:

 nk (t), lm (t)= nk (t) * lm (t) dt = nl  km , (1.1.12)

o zaman  mk (t) ailesi, L 2 (R) uzayının ortonormal temeli olarak kullanılabilir. Bu uzayın rastgele bir fonksiyonu,  mk (t) bazında bir seriye genişletilebilir:

s(t) =S mk  mk (t), (1.1.13)

S m k katsayılarının, sinyalin Fourier dönüşümünde olduğu gibi fonksiyonların yeni bir ortogonal temeline izdüşümleri olduğu yerde, skaler çarpım tarafından belirlenir

S mk = s(t),  mk (t) =s(t) mk (t) dt, (1.1.14)

seri düzgün bir şekilde yakınsarken:

||s(t) –S mk  mk (t),|| = 0.

Bu koşullar sağlandığında, temel dönüşüm fonksiyonu (t) ortogonal dalgacık olarak adlandırılır.

Bu türden bir ortogonal fonksiyon sisteminin en basit örneği Haar fonksiyonlarıdır. Temel Haar fonksiyonu ilişki ile tanımlanır

(t) = (1.1.15)

a = 2, m = 0, 1, 2, ..., k = 0, 1,2, ... için, bu temel dalgacık kullanılarak elde edilen herhangi iki fonksiyonun ölçekleme ve çevirilerle birim norma sahip olduğunu kontrol etmek kolaydır. ve ortogonal. Şek. 1.1.6, m ve b'nin ilk üç değeri için çeşitli kombinasyonlarıyla birlikte, fonksiyonların ortogonalliğinin açıkça görülebildiği fonksiyon örnekleri verir.

Pirinç. 1.1.6. Har fonksiyonları

Dalgacık Spektrumu Fourier dönüşümünün aksine, iki boyutludur ve m ve k değişkenlerinin uzayında iki boyutlu bir yüzeyi tanımlar. Grafik gösterimde, spektrum genişletme/sıkıştırma parametresi m apsis ekseni boyunca çizilmiştir ve ordinat ekseni boyunca yerelleştirme parametresi k, sinyalin bağımsız değişkeninin eksenidir. Basitleştirilmiş bir biçimde bir sinyalin dalgacık ayrışımı sürecinin matematiği, a=2 parametresiyle m ölçeğinde ardışık üç dalgacık fonksiyonuna sahip bir Haar dalgacığı tarafından bir sinyalin s(t) ayrıştırılması örneği kullanılarak ele alınacaktır. s(t)'nin kendisi, Şekil 1'de gösterildiği gibi sıfırdan farklı ofsetlerle aynı genliğe sahip aynı dalgacık fonksiyonlarının toplanmasıyla oluşturulur. 1.1.7.

Pirinç. 1.1.7. Dalgacıklı sinyalin nokta çarpımları.

Ölçeklendirme faktörü m'nin başlangıç ​​değeri için, dalgacık fonksiyonu belirlenir (Şekil 1.1.7'de 1(t)) ve dalgacık 1(t), s(t+) ile sinyalin skaler çarpımı k)kaydırma bağımsız değişkeni k ile. Anlaşılır olması için, Şekil l'deki skaler ürünlerin hesaplanmasının sonuçları. 1.1.7, dalgacık fonksiyonlarının merkezleri üzerine inşa edilmiştir (yani, dalgacık fonksiyonunun uzunluğunun yarısı kadar kayma ile sıfırdan k argümanı üzerine). Beklendiği gibi, aynı dalgacık fonksiyonunun lokalize olduğu yerde skaler çarpımın maksimum değerleri not edilir.

Ayrıştırmanın ilk ölçek çizgisini oluşturduktan sonra, dalgacık fonksiyonunun ölçeği değişir (Şekil 1.1.7'de 2) ve spektrumun ikinci ölçek çizgisinin hesaplanması yapılır ve bu böyle devam eder.

Şek. Şekil 1.1.7'de, sinyalin yerel özelliği karşılık gelen dalgacık fonksiyonuyla ne kadar doğru bir şekilde örtüşürse, dalgacık spektrumunun karşılık gelen ölçek çizgisinde bu özelliğin seçilmesi o kadar etkili olur. Yüksek oranda sıkıştırılmış bir Haar dalgacığı için, iyi tanımlanmış karakteristik bir yerel özelliğin bir sinyal sıçraması olduğu ve sadece fonksiyonun atlamasının değil, aynı zamanda atlamanın yönünün de ayırt edildiği görülebilir.

Şek. 1.1.8, gerçek bir fiziksel işlemin /4/ dalgacık yüzeyinin grafik görüntüsünün bir örneğini gösterir. Yüzey tipi, farklı ölçeklerdeki spektral bileşenlerin zaman içindeki değişimlerini belirler ve zaman-frekans spektrumu olarak adlandırılır. Yüzey, şekillerde, kural olarak, izolinler veya koşullu renkler şeklinde tasvir edilmiştir. Ölçek aralığını genişletmek için logaritmik bir ölçek kullanılabilir.

Ucuzun ortaya çıkışı dijital kameralar gezegenimizin sakinlerinin önemli bir bölümünün, yaşı ve cinsiyeti ne olursa olsun, her adımlarını kaydetme ve ortaya çıkan görüntüleri halka teşhir etme alışkanlığı kazanmasına yol açtı. sosyal ağlarda. Ayrıca, daha önce bir aile fotoğraf arşivi bir albüme yerleştirildiyse, bugün yüzlerce fotoğraftan oluşuyor. Ağlar üzerinden depolama ve iletimlerini kolaylaştırmak için dijital görüntünün ağırlığında bir azalma gereklidir. Bu amaçla dalgacık dönüşümü de dahil olmak üzere çeşitli algoritmalara dayalı yöntemler kullanılmaktadır. Bu nedir, makalemiz anlatacak.

dijital görüntü nedir

Bir bilgisayardaki görsel bilgiler sayı biçiminde temsil edilir. konuşmak sade dil, dijital bir cihaz tarafından çekilmiş bir fotoğraf, hücrelerinde piksellerinin her birinin renk değerlerinin girildiği bir tablodur. Tek renkli bir görüntüden bahsediyorsak, o zaman 0'ın siyahı ve 1'in beyazı belirtmek için kullanıldığı segmentten parlaklık değerleri ile değiştirilirler. Kalan gölgeler kesirli sayılar olarak ayarlanmıştır ancak bunlarla çalışmak sakıncalıdır, bu nedenle aralık genişletilir ve değerler 0 ile 255 arasındaki aralıktan seçilir. Neden bundan? Her şey basit! İkili gösterimdeki bu seçimle, her pikselin parlaklığını kodlamak için tam olarak 1 bayt gerekir. Açıkçası, küçük bir görüntüyü bile depolamak oldukça fazla bellek gerektirir. Örneğin 256 x 256 piksel boyutunda bir fotoğraf 8 KB yer kaplar.

Görüntü sıkıştırma yöntemleri hakkında birkaç söz

Fotoğrafları kesinlikle herkes görmüştür. Kötü kalite, genellikle eserler olarak adlandırılan, aynı renkteki dikdörtgenler şeklinde bozulmaların olduğu yer. Sözde kayıplı sıkıştırmadan kaynaklanırlar. Görüntünün ağırlığını önemli ölçüde azaltmanıza izin verir, ancak kaçınılmaz olarak kalitesini etkiler.

Kayıplar şunları içerir:

• JPEG. Açık şu an en popüler algoritmalardan biridir. Ayrık kosinüs dönüşümünün uygulanmasına dayanır. Adil olmak gerekirse, kayıpsız sıkıştırma gerçekleştiren JPEG varyantları olduğuna dikkat edilmelidir. Bunlara Kayıpsız JPEG ve JPEG-LS dahildir.
• JPEG 2000. Algoritma, mobil platformlar ve ayrı bir dalgacık dönüşümünün kullanımına dayanmaktadır.
• Fraktal sıkıştırma algoritması. Bazı durumlarda, yüksek sıkıştırmada bile mükemmel kalitede görüntüler elde etmenizi sağlar. Ancak, patent sorunları nedeniyle bu yöntem egzotik olmaya devam ediyor.

Kayıpsız sıkıştırma, algoritmalar kullanılarak gerçekleştirilir:

• RLE (TIFF, BMP, TGA formatlarında ana metot olarak kullanılır).
• LZW (GIF formatında kullanılır).
• LZ-Huffman (PNG formatı için kullanılır).

Fourier dönüşümü

Dalgacıkların değerlendirilmesine geçmeden önce, ilk bilgilerin temel bileşenlere ayrışmasındaki katsayıları, yani farklı frekanslara sahip harmonik salınımları tanımlayan, bunlarla ilişkili işlevi incelemek mantıklıdır. Başka bir deyişle, Fourier dönüşümü ayrık ve sürekli dünyaları birbirine bağlayan benzersiz bir araçtır.

Şuna benziyor:

Tersine çevirme formülü aşağıdaki gibi yazılır:

dalgacık nedir

Bu ad, incelenmekte olan verilerin çeşitli frekans bileşenlerini analiz etmenize izin veren matematiksel bir işlevi gizler. Grafiği, genliği orijinden 0'a düşen dalga benzeri bir salınımdır. Genel durumda, sinyalin integral dönüşümü ile belirlenen dalgacık katsayıları ilgi çekicidir.

Dalgacık spektrogramları, spektrumu birleştirmeleri bakımından geleneksel Fourier spektrumlarından farklıdır. çeşitli özellikler zaman bileşenleri ile sinyaller.

Dalgacık dönüşümü

Bir sinyali (işlevi) dönüştürmenin bu yöntemi, onu zamandan zaman-frekans gösterimine çevirmenize olanak tanır.

Dalgacık dönüşümünün mümkün olabilmesi için ilgili dalgacık fonksiyonu için aşağıdaki koşulların sağlanması gerekir:

• Bazı ψ (t) fonksiyonları için Fourier dönüşümü şu şekle sahipse:

o zaman aşağıdaki koşul karşılanmalıdır:

Ayrıca:

• dalgacık sonlu enerjiye sahip olmalıdır;
• entegre edilebilir, sürekli ve kompakt desteğe sahip olmalıdır;
• dalgacık hem frekansta hem de zamanda (uzayda) yerelleştirilmelidir.

Çeşit

Karşılık gelen sinyaller için sürekli bir dalgacık dönüşümü kullanılır. Çok daha ilginç olanı, ayrık muadili. Sonuçta, bilgisayarlardaki bilgileri işlemek için kullanılabilir. Ancak bu, ayrık DWT formüllerinin karşılık gelen DWT formüllerinin basit şekilde ayrıklaştırılmasıyla elde edilemeyeceği gerçeğiyle ilgili bir sorunu ortaya çıkarır.

Bu sorunun çözümü, her biri sonlu sayıda katsayı ile belirlenen bu tür ortogonal dalgacıklardan oluşan bir dizi oluşturmaya izin veren bir yöntem bulan I. Daubechies tarafından bulundu. daha sonra oluşturuldu hızlı algoritmalar, örneğin Mull'un algoritması. Ayrıştırma veya restorasyon için kullanıldığında, N örneğin uzunluğu ve c katsayı sayısı olmak üzere yaklaşık cN işlemleri gerçekleştirmek gerekir.

Dalgacık Haara

Verileri arasında belirli bir model bulmak için ve hatta bunlar uzun sıfır dizileriyse daha da iyisi. Dalgacık dönüşümü algoritmasının kullanışlı olabileceği yer burasıdır. Ancak, sırayla yöntemin değerlendirilmesine devam edelim.

Öncelikle, fotoğraflarda komşu piksellerin parlaklığının kural olarak küçük bir miktar farklı olduğunu hatırlamanız gerekir. Gerçek görüntüler keskin, zıt parlaklık değişimlerine sahip alanlar içerse bile, bunlar görüntünün yalnızca küçük bir bölümünü kaplar. Örnek olarak, Lenna'nın iyi bilinen gri tonlamalı test görüntüsünü ele alalım. Piksellerinin parlaklık matrisini alırsak, ilk satırın bir kısmı 154, 155, 156, 157, 157, 157, 158, 156 sayı dizisi gibi görünecektir.

Sıfırları elde etmek için, sözde delta yöntemini uygulayabilirsiniz. Bunun için sadece ilk numara kaydedilir, geri kalanı için sadece her numaranın bir öncekinden farkı “+” veya “-” işareti ile alınır.

Sonuç bir dizidir: 154,1,1,1,0,0,1,-2.

Delta kodlamanın dezavantajı yerel olmamasıdır. Başka bir deyişle, ondan önceki tüm değerlerin kodu çözülmediyse, dizinin yalnızca bir parçasını alıp içinde hangi parlaklıkların kodlandığını bulmak imkansızdır.

Bu dezavantajın üstesinden gelmek için, sayılar çiftlere ayrılır ve her biri için yarım toplamı (rev. a) ve yarı farkı (rev. d) bulurlar, yani (154.155), (156.157), (157.157), (158.156) elimizde (154.5, 0.5),(156.5,0.5),(157,0.0),(157,-1.0) var. Bu durumda, herhangi bir zamanda çiftteki her iki sayının değerini bulabilirsiniz.

Genel durumda, S sinyalinin ayrık dalgacık dönüşümü için şuna sahibiz:

Çok ayrık yöntem Haar dalgacık dönüşümünün sürekli durumunu takip eder ve çeşitli bilgi işleme ve sıkıştırma alanlarında yaygın olarak kullanılır.

Sıkıştırma

Daha önce bahsedildiği gibi, dalgacık dönüşümünün uygulama alanlarından biri de jpeg algoritması 2000. Haar yöntemini kullanan sıkıştırma, iki piksel X ve Y vektörünün bir (X + Y)/2 ve (X - Y)/2 vektörüne dönüştürülmesine dayanır. Bunu yapmak için, orijinal vektörü aşağıdaki matrisle çarpmanız yeterlidir.

Daha fazla nokta varsa, köşegen boyunca H matrislerinin bulunduğu daha büyük bir matris alınır, böylece orijinal vektör, uzunluğundan bağımsız olarak çiftler halinde işlenir.

Filtreler

Ortaya çıkan "yarım toplamlar", piksel çiftleri cinsinden ortalama parlaklık değerleridir. Yani, bir görüntüye dönüştürüldüğünde değerler, 2 kat azaltılmış bir kopyasını vermelidir. Bu durumda, yarı toplamlar parlaklıkların ortalamasını alır, yani değerlerinin rastgele patlamalarını "filtreler" ve frekans filtrelerinin rolünü oynar.

Şimdi farklılıkların neyi gösterdiğine bakalım. Sabit bileşeni, yani düşük frekanslı değerleri "filtreleyerek" ortadan kaldırarak pikseller arası "patlamaları" "seçerler".

Aptallar için yukarıdaki Haar dalgacık dönüşümünden bile, sinyali iki bileşene ayıran bir çift filtre olduğu açıktır: yüksek frekans ve düşük frekans. Orijinal sinyali elde etmek için bu bileşenleri yeniden birleştirmeniz yeterlidir.

Örnek

Diyelim ki bir fotoğraf portresini (Lenna'nın test görüntüsü) sıkıştırmak istiyoruz. Piksel parlaklık matrisinin bir dalgacık dönüşümü örneğini ele alalım. Görüntünün yüksek frekans bileşeni, ince detayların gösterilmesinden sorumludur ve gürültüyü tanımlar. Düşük frekansa gelince, yüzün şekli ve parlaklıktaki pürüzsüz değişiklikler hakkında bilgi taşır.

İnsanın fotoğraf algısının özellikleri öyledir ki, son bileşen daha önemlidir. Bu, sıkıştırma sırasında yüksek frekanslı verilerin belirli bir kısmının atılabileceği anlamına gelir. Üstelik daha küçük değerlere sahiptir ve daha kompakt bir şekilde kodlanmıştır.

Sıkıştırma oranını artırmak için düşük frekanslı verilere Haar dönüşümünü birden çok kez uygulayabilirsiniz.

İki boyutlu dizilere uygulama

Daha önce de söylendiği gibi Dijital görüntü bir bilgisayarda, piksellerinin yoğunluk matrisi olarak temsil edilirler. Bu nedenle, Haar iki boyutlu dalgacık dönüşümü ile ilgilenmeliyiz. Bunu uygulamak için, görüntü piksel yoğunluğu matrisinin her satırı ve her sütunu için tek boyutlu dönüşümünü gerçekleştirmeniz yeterlidir.

Sıfıra yakın değerler, kodu çözülmüş modele önemli bir zarar vermeden atılabilir. Bu süreç niceleme olarak bilinir. Ve bu aşamada bazı bilgiler kaybolur. Bu arada, sıfırlanabilir katsayıların sayısı değiştirilebilir, böylece sıkıştırma oranı ayarlanabilir.

Açıklanan tüm eylemler, çok sayıda 0 içeren bir matrisin elde edilmesine yol açar. Metin dosyası ve herhangi bir arşivleyici ile sıkıştırın.

kod çözme

Bir görüntüye ters dönüştürme, aşağıdaki algoritmaya göre gerçekleştirilir:

• arşiv açıldı;
• ters Haar dönüşümü uygulanır;
• kodu çözülmüş matris bir görüntüye dönüştürülür.

JPEG üzerinden avantajlar

Algoritmayı düşünürken Birleşmiş Fotoğraf Uzmanları Grubu DCT'ye dayandığı söylendi. Böyle bir dönüşüm, blok blok (8 x 8 piksel) gerçekleştirilir. Sonuç olarak, sıkıştırma güçlüyse, yeniden oluşturulan görüntüde bir blok yapı fark edilir hale gelir. Wavelet sıkıştırmada ise böyle bir sorun yok. Ancak, keskin kenarların yakınında dalgacıklar gibi görünen başka bir bozulma türü ortaya çıkabilir. Bu tür eserlerin, JPEG algoritması uygulanırken oluşturulan "kareler" den ortalama olarak daha az fark edilir olduğuna inanılmaktadır.

Artık dalgacıkların ne olduğunu, ne olduklarını ve dijital görüntü işleme ve sıkıştırma alanında hangi pratik uygulamaları bulduklarını biliyorsunuz.

Dalgacıklar(İngilizceden. dalgacık), patlamalar- Bu matematiksel fonksiyonlar, verilerin çeşitli frekans bileşenlerini analiz etmenizi sağlar. Dalgacık katsayıları, sinyalin integral dönüşümü ile belirlenir. Elde edilen dalgacık spektrogramları, çeşitli sinyal özelliklerinin spektrumunun zamana net bir şekilde bağlanmasını sağlamaları bakımından geleneksel Fourier spektrumlarından temel olarak farklıdır.

İşlem için ayrık sinyaller ayrık dalgacık dönüşümü (DWT, DWT) kullanılır.

İlk DWT, Macar matematikçi Alfred Haar tarafından önerildi. İçin Giriş sinyali 2 n sayıdan oluşan bir dizi ile temsil edilen Haar dalgacık dönüşümü, öğeleri 2'ye göre gruplandırır ve bunlardan toplamlar ve farklar oluşturur. Toplamların gruplandırılması, bir sonraki ayrışma seviyesini oluşturmak için yinelemeli olarak gerçekleştirilir. Sonuç olarak 2 n −1 fark ve 1 elde ederiz. toplam tutar. Şunlardan oluşan tek boyutlu bir veri dizisiyle başlayacağız: N elementler. Prensip olarak, bu elemanlar komşu görüntü pikselleri veya ardışık ses parçaları olabilir. Bir örnek, bir sayı dizisi olabilir (2,9,12,10,9,8, 8,7). İlk önce dört ortalama değeri hesaplıyoruz (Şek. 40)

Bu dört yarım toplamı bilmenin tüm diziyi geri yüklemek için yeterli olmadığı açıktır, dolayısıyla yine de dört yarım farkı hesaplıyoruz.

(2 - 9)/2 = - 4,5,

(12 - 10)/2 = 1,

(9 – 8)/2 = 0,5,

(8 – 7)/2 = 0,5,

buna detayların katsayıları diyeceğiz. Ortalamalar, orijinal görüntünün büyük ölçekli çözünürlüğü olarak düşünülebilir ve ince ayrıntıları veya düzeltmeleri eski haline getirmek için ayrıntılara ihtiyaç vardır. Orijinal veriler ilişkilendirilirse, büyük ölçekli çözünürlük orijinal görüntüyü tekrarlar ve ayrıntılar küçük olur.

Orijinal sayı dizisini geri yüklemek için dört yarım toplam ve dört yarım farktan oluşan bir dizi kullanılabilir. Yeni dizide ayrıca sekiz sayı vardır, ancak son dört bileşeni olan yarı farklar küçülme eğilimindedir, bu da sıkıştırma için iyidir.

Yeni dizimizin ilk dört (büyük) bileşeni için prosedürümüzü tekrarlayalım. İki ortalama ve iki yarı farka dönüştürülürler. Kalan dört bileşen değişmeden bırakılacaktır. Sürecimizin bir sonraki ve son yinelemesi, bu dizinin ilk iki bileşenini bir ortalamaya (aslında orijinal dizinin 8 öğesinin hepsinin ortalamasıdır) ve bir yarı farka dönüştürür.

Şekil 3.18. Tek boyutlu bir dalgacık dönüşümünün işleyişinin bir gösterimi.

Sonuç olarak, adı verilen bir sayı dizisi elde ederiz. dalgacık Haar dönüşümü orijinal veri dizisi.

Tek boyutlu Haar dalgacık dönüşümü kolayca iki boyutlu duruma aktarılır. Standart ayrıştırma (Şekil 3.19), tüm görüntü çizgilerinin dalgacık dönüşümlerini hesaplayarak başlar. İşlemin tüm yinelemeleri, her satırın en soldaki öğesi bu satırdaki sayıların ortalama değerine ve diğer tüm öğeler ağırlıklı farklara eşit olana kadar her satıra uygulanır. İlk sütununda orijinal görüntünün sütunlarının ortalaması olan bir görüntü elde edilecektir. Bundan sonra, standart algoritma her sütun için bir dalgacık dönüşümü gerçekleştirir. Sonuç, en soldaki üst köşe öğesinin tüm orijinal dizinin ortalamasına eşit olduğu iki boyutlu bir dizidir. Diğer unsurlar üst çizgi ağırlıklı ortalama farklara eşit olacaktır, ortalama farklar aşağıdadır ve diğer tüm pikseller karşılık gelen farklara dönüştürülür.

Piramit Ayrıştırma, satırlar ve sütunlar üzerinde dönüşümlü olarak yineleyerek bir dalgacık dönüşümü hesaplar. İlk adımda, tüm satırlar için yarı toplamlar ve yarı farklar hesaplanır (dalgacık dönüşümünün tamamı değil, yalnızca bir yineleme). Bu eylem, matrisin sol yarısında ortalamaları ve sağ yarısında yarı farkları üretir. İkinci adımda, elde edilen matrisin tüm sütunları için yarı toplamlar ve yarı farklar hesaplanır.

Şekil 3.19. Standart 2B Dalgacık Dönüşümü

Şekil 3.20. Piramidal 2B Dalgacık Dönüşümü

İki boyutlu dalgacık dönüşümünün sonucu, orijinal görüntünün farklı spektral bileşenlerine karşılık gelen bir dizi matristir. Aynı zamanda solda üst köşe yalnızca yarım toplamlar temelinde oluşturulan ve orijinal görüntünün küçültülmüş bir kopyası olan düşük frekanslı bileşen LL4 bulunur (Şekil 3.21).

Şekil 3.21. İki boyutlu dalgacık dönüşümünün bileşenleri

Dönüştürme bileşenlerinin geri kalanı, orijinal görüntüyü geri yüklemek için kullanılabilir. Aynı zamanda, yüksek frekanslı bileşenler, RLE algoritmaları ve Huffman. Kayıplı sıkıştırmada, bileşenlerin bir kısmının doğrudan reddinin yanı sıra niceleme kullanmanın da mümkün olduğuna dikkat edilmelidir. Bu tür işlemlerin sonucu, iyi bir sıkıştırma oranıdır. Şek. 3.22, dalgacık dönüşümü kullanılarak görüntü kodlamanın bir örneğini gösterir.

İki boyutlu dalgacık dönüşümünün, geleneksel yöntemlerle uygulandığında önemli hesaplama kaynakları gerektirdiğine dikkat edilmelidir. yazılım yöntemleri. Bununla birlikte, dalgacık dönüşümü algoritması şunlardan oluşur: Büyük bir sayı paralelleştirmeye uygun basit dönüşümler. Sonuç olarak, bu dönüşüm, özel bir eleman tabanı kullanıldığında donanımda iyi bir şekilde gerçekleştirilir.

Şekil 3.22. Bir görüntünün dalgacık dönüşümüne bir örnek.

Dalgacık dönüşümü, JPEG2000 görüntü sıkıştırma standardında kullanılır ve ayrıca MPEG-4 formatında bir araç olarak sağlanır.