střední filtr. Algoritmus rychlého středního filtrování

Mediánové filtrování je technika nelineárního zpracování signálu vyvinutá Tukeyem. Tato metoda je užitečná pro redukci šumu v obraze. jednorozměrný střední filtr je posuvné okno pokrývající lichý počet obrazových prvků. Středový prvek je nahrazen mediánem všech prvků v okně. Medián diskrétní posloupnosti pro liché N je prvek, pro který existují prvky menší nebo rovné jeho velikosti a prvky větší nebo rovné této velikosti.

Nechte do okna vstoupit obrazové prvky s úrovněmi 80, 90, 200, 110 a 120; v tomto případě by měl být středový prvek nahrazen hodnotou 110, což je medián uspořádané sekvence 80, 90, 110, 200. Pokud je v tomto příkladu hodnota 200 špička šumu v monotónně rostoucí sekvenci, pak medián filtrování zajistí výrazné zlepšení. Naopak, pokud hodnota 200 odpovídá užitečnému signálovému pulzu (při použití širokopásmových snímačů), pak zpracování povede ke ztrátě jasnosti reprodukovaného obrazu. Mediánový filtr tedy v některých případech zajišťuje potlačení šumu, v jiných způsobuje nežádoucí potlačení signálu.

Zvažte vliv mediánových a průměrovacích (vyhlazovacích) filtrů s pětiprvkovým oknem na stupňovitý, pilový, impulsní a trojúhelníkový diskrétní signály(obr. 4.23). Z těchto grafů je vidět, že mediánový filtr neovlivňuje krokové nebo pilové funkce, což je obvykle žádoucí vlastnost. Tento filtr však potlačuje impulsní signály, jejichž trvání

je menší než polovina šířky okna. Filtr také zplošťuje horní část trojúhelníkové funkce.

Možnosti analýzy působení mediánového filtru jsou omezené. Lze ukázat, že medián součinu konstanty a posloupnosti je:

Kromě,

Medián součtu dvou libovolných sekvencí se však nerovná součtu jejich mediánů:

Tuto nerovnost lze ověřit pomocí příkladu sekvencí 80, 90, 100, 110, 120 a 80, 90, 100, 90, 80.

Jsou možné různé strategie pro použití mediánového filtru k potlačení šumu. Jeden z nich doporučuje začít s mediánovým filtrem, jehož okno pokrývá tři obrazové prvky. Pokud je útlum signálu nevýznamný, rozšíří se okno filtru na pět prvků. To se provádí, dokud střední filtrování nezačne dělat více škody než užitku.

Další možností je implementace kaskádové mediánové filtrace signálu pomocí pevné nebo proměnné šířky okna. Obecně

Například oblasti, které zůstanou nezměněny po jediném ošetření filtrem, se nezmění ani po opakovaném zpracování. Oblasti, ve kterých je trvání pulzních signálů menší než polovina šířky okna, budou předmětem změn po každém cyklu zpracování.

Koncept středního filtru lze snadno zobecnit na dva rozměry použitím 2D okna požadovaného tvaru, jako je obdélníkový nebo téměř kruhový. Je jasné, že dvourozměrný mediánový filtr s oknem velikosti poskytuje efektivnější potlačení šumu než sekvenčně aplikované horizontální a vertikální jednorozměrné mediánové filtry s oknem velikosti . 2D zpracování má však za následek výraznější útlum signálu.

Mediánový filtr implementuje proceduru nelineární redukce šumu. Mediánový filtr je okno W klouzající přes obrazové pole, pokrývající lichý počet vzorků. Počet středů je nahrazen mediánem všech prvků obrázku, které spadají do okna. Medián diskrétní posloupnosti x1, x2, ..., xL pro liché L je její prvek takový, že existuje (L ≥ 1)/2 prvků menší nebo rovno a (L ≥ 1)/2 prvků větší než nebo stejné velikosti. Jinými slovy, medián je průměrný člen řady vyplývající z uspořádání původní sekvence.

Například med(20, 10, 3, 7, 7) = 7.

Dvourozměrný mediánový filtr s oknem W je definován takto:

Mediánový filtr se používá k potlačení aditivního a impulzního šumu v obraze. charakteristický rys Mediánový filtr má zachovat rozdíly v jasu (hrany). Mediánový filtr je zvláště účinný v případě impulsního šumu. Vliv vyhlazovacího a mediánového filtru s tříprvkovým oknem na jasový gradient zašuměný s aditivním šumem pro jednorozměrný signál ukazuje Obr.

Pokud jde o impulsní šum, střední filtr s okénkem 3 x 3 zcela potlačuje jednotlivé špičky na jednotném pozadí, stejně jako skupiny dvou, tří a čtyř impulzních špiček. Obecně platí, že pro potlačení skupiny impulzních šumů by velikost okna měla být alespoň dvojnásobná více velikostí interferenční skupiny.

Mezi středními filtry s oknem 3x3 jsou nejběžnější tyto:

Souřadnice prezentovaných masek znamenají, kolikrát je odpovídající pixel zahrnut ve výše popsané uspořádané sekvenci.

Jedním z účinných způsobů, jak eliminovat impulsní šum v obrázku, je použití mediánového filtru.

Pro každý pixel v některém z jeho prostředí (okně) je vyhledána hodnota mediánu a přiřazena tomuto pixelu. Definice střední hodnoty: pokud je pole pixelů seřazeno podle jejich hodnoty, bude medián prostředním prvkem tohoto pole. Velikost okna musí být proto lichá, aby tento prostřední prvek existoval.

Medián lze také určit podle vzorce:

kde W je množina pixelů, mezi nimiž se hledá medián, a fi jsou hodnoty jasu těchto pixelů.

Pro barevné obrázky se používá vektorový mediánový filtr (VMF):

kde Fi jsou hodnoty pixelů ve 3D barevném prostoru a d je libovolná metrika (např. euklidovská).

Mediánový filtr však ve své čisté podobě rozmazává drobné detaily, jejichž hodnota je menší než velikost středního vyhledávacího okna, takže se v praxi prakticky nepoužívá.

Zpracování digitálních signálů

Téma 16. Mediánové filtry

Kdo by neznal neustálý rozpor mezi tím, co člověk hledá, a tím, co nachází?

Niccolo Machiavelli. Italský politik, historik. 1469-1527

Při řešení střední orientace buďte dvojnásob opatrní. Socialismus také tvrdil, že je průměrným rájem pro všechny a nakonec dostal mizerný barák.

Ernst Trubov. Uralský geofyzik. 20. století

Úvod.

1. Mediánové filtrování jednorozměrných signálů. Princip filtrace. Jednorozměrné filtry. Potlačení statistického šumu. Impulzní a bodové zvuky. Pokles plus hluk. kovarianční funkce. Transformace statistiky hluku. Frekvenční vlastnosti filtru. Odrůdy středních filtrů. Výhody mediánových filtrů. Nevýhody mediánových filtrů.

2. Mediánové filtrování obrázků. Šum v obrazech. dvourozměrné filtry. Adaptivní dvourozměrné filtry. Filtry založené na statistikách hodnocení.

Úvod

Mediánové filtry se v praxi často používají jako prostředek předzpracování digitálních dat. Specifikem filtrů je výrazná selektivita vzhledem k prvkům pole, které jsou nemonotonickou složkou sekvence čísel v okně filtru (apertury) a ostře vystupují na pozadí sousedních vzorků. Mediánový filtr přitom neovlivňuje monotónní složku sekvence a ponechává ji nezměněnou. Díky této vlastnosti mohou mediánové filtry s optimálně zvolenou clonou například zachovat ostré hrany objektů bez zkreslení a účinně potlačit nekorelovaný nebo slabě korelovaný šum a malé detaily. Tato vlastnost vám umožňuje použít mediánové filtrování k odstranění anomálních hodnot v datových polích, snížení odlehlých hodnot a impulsního šumu. Charakteristickým znakem mediánového filtru je jeho nelinearita. V mnoha případech je použití mediánového filtru účinnější než lineární filtry, protože lineární postupy zpracování jsou optimální s rovnoměrným nebo Gaussovým rozložením šumu, které v skutečné signály může být daleko od toho. V případech, kdy jsou rozdíly v hodnotách signálu velké ve srovnání s rozptylem aditivního bílého šumu, poskytuje střední filtr nižší střední čtvercovou chybu ve srovnání s optimálními lineárními filtry. Mediánový filtr se ukazuje jako zvláště účinný při čištění signálů od impulzního šumu při zpracování obrazu, akustických signálů, přenosu kódového signálu atd. Detailní studie vlastností mediánových filtrů jako prostředku pro filtrování signálů různých typů jsou však poměrně vzácné.

16.1. Mediánové filtrování jednorozměrných signálů.

Princip filtrace. Mediány byly dlouho používány a studovány ve statistice jako alternativa k aritmetickým průměrům vzorků při odhadování průměrů vzorků. Medián číselné posloupnosti x 1, x 2, ..., x n pro liché n je průměrná hodnota členu řady získaná seřazením této posloupnosti vzestupně (nebo sestupně). Pro sudé n je medián obvykle definován jako aritmetický průměr dvou průměrných vzorků uspořádané sekvence.

Mediánový filtr je okénkový filtr, který se postupně posouvá po poli signálů a v každém kroku vrací jeden z prvků, který spadl do okénka (apertury) filtru. Výstupní signál y k pohyblivého mediánového filtru o šířce 2n+1 pro aktuální vzorek k je tvořen ze vstupní časové řady …, x k -1 , x k , x k +1 ,… podle vzorce:

y k = med(x k - n, x k - n +1,…, x k -1, x k, x k +1,…, x k + n -1, x k + n), (16.1.1)

kde med(x 1 , …, x m , …, x 2n+1) = x n+1, x m jsou prvky variační řady, tzn. hodnoty x m seřazené vzestupně: x 1 = min(x 1, x 2,…, x 2n+1) ≤ x (2) ≤ x (3) ≤ … ≤ x 2n+1 = max(x 1, x 2,…, x 2n+1).

Mediánové filtrování tedy nahradí hodnoty vzorků ve středu apertury střední hodnotou původních vzorků uvnitř apertury filtru. V praxi je apertura filtru pro zjednodušení algoritmů zpracování dat obvykle nastavena na lichý počet vzorků, což bude akceptováno v diskusi níže bez dalšího vysvětlení.

Jednorozměrné filtry. Mediánové filtrování je implementováno jako postup pro lokální zpracování vzorků v posuvném okně, které zahrnuje určitý počet vzorků signálu. Pro každou pozici okna jsou vzorky v něm vybrané seřazeny vzestupně nebo sestupně podle hodnot. Průměrná zpráva na své pozici v hodnoceném seznamu se nazývá medián uvažované skupiny vzorků. Tento vzorek nahradí centrální vzorek v okně pro zpracovaný signál. Z tohoto důvodu je mediánový filtr jedním z lineární filtry, který nahrazuje střední hodnotu pro anomální body a odlehlé hodnoty bez ohledu na jejich hodnoty amplitudy a je z definice stabilní, schopný zrušit i nekonečně velké odečty.

Algoritmus středního filtrování má výraznou selektivitu pro prvky pole s nemonotonickou složkou posloupnosti čísel v otvoru a nejúčinněji vylučuje jednotlivé odlehlé hodnoty, negativní a pozitivní, spadající na okraje seřazeného seznamu ze signálů. Mediánové filtry s ohledem na pořadí v seznamu dobře potlačují šum a rušení, jejichž délka je menší než polovina okna. Stabilní bod je sekvence (v jednorozměrném případě) nebo pole (v dvourozměrném případě), které se nemění během filtrování mediánu. V jednorozměrném případě jsou stabilními body mediánových filtrů „lokálně monotónní“ sekvence, které mediánový filtr ponechává nezměněné. Výjimkou jsou některé periodické binární posloupnosti.

Díky této vlastnosti mohou mediánové filtry s optimálně zvolenou clonou zachovat ostré hrany objektů bez zkreslení, potlačit nekorelovaný a slabě korelovaný šum a malé detaily. Za podobných podmínek jsou algoritmy lineární filtrování nevyhnutelně „maže“ ostré hranice a obrysy objektů. Na Obr. 16.1.1 ukazuje příklad zpracování signálu s mediánem impulsního šumu a trojúhelníkovými filtry se stejnou velikostí okna N=3. Výhoda mediánového filtru je zřejmá.

Jako počáteční a konečné podmínky filtrování se obvykle berou koncové hodnoty signálů nebo se medián najde pouze pro ty body, které se vejdou do mezí clony.

Statistická redukce šumu mediánové filtry jsou vzhledem k jejich nelinearitě obvykle uvažovány pouze na kvalitativní úrovni. Je také nemožné jasně rozlišit mezi vlivem mediánových filtrů na signál a šum.

Pokud jsou hodnoty prvků posloupnosti čísel (xi) v aperturě filtru nezávislé identicky rozdělené (IED) náhodné proměnné s průměrnou hodnotou m

pak očekávání M(z) = 0 a následně M(x)=m.

Nechť F (x) af (x) \u003d F "(x) označují distribuční funkce a funkce hustoty pravděpodobnosti x. Podle teorie pravděpodobnosti distribuce y \u003d med (x 1, ..., x n) pro velké n je přibližně normální N(m t,  n), kde m t je teoretický medián určený z podmínky F(m t) = 0,5, přičemž rozptyl rozdělení je:

 n 2 \u003d 1 / (n 4f 2 (m t)). (16.1.2)

Prezentované výsledky jsou platné pro jednorozměrné i dvourozměrné filtrování, pokud je zvoleno n rovné počtu bodů v otvoru filtru. Pokud je f(x) symetrické vzhledem k m, pak rozdělení mediánů bude také symetrické vzhledem k m, a proto platí vzorec:

M(med(xi, ..., xn)) = M(xi) = m.

Pokud jsou náhodné proměnné x NOR a rovnoměrně rozložené na intervalu, pak přesnou hodnotu středního rozptylu zjistíte pomocí vzorce:

 n 2 \u003d 1 / (4 (n + 2)) \u003d 3 x / (n + 2).

Pokud jsou náhodné veličiny x nezávislé, rovnoměrně rozdělené s normálním rozdělením N(m, ), pak m t = m. Upravený vzorec středního rozptylu pro malé liché n hodnoty:

 g    2 /(2n-2+). (16.1.2")

Hodnota rozptylu šumu pro náhodné veličiny v posuvném n-okně aritmetického průměrování (filtr LSM 1. řádu) je  2 /n. To znamená, že pro normální bílý šum se stejnými hodnotami n oken středního filtru a filtru klouzavého průměru je rozptyl šumu na výstupu středního filtru přibližně o 57 % větší než u filtru klouzavého průměru. Aby mediánový filtr dával stejný rozptyl jako klouzavý průměr, musí být jeho clona o 57 % větší. Zároveň je třeba mít na paměti, že zkreslení užitečných signálů, zejména za přítomnosti skoků a strmých poklesů v nich, i při větší aperturě středního filtru, se může ukázat jako menší než zkreslení pohybujících se průměrné filtry.

Pozice se změní, pokud se hustota distribuce náhodných proměnných výrazně liší od normální a má dlouhé ocasy, které jsou eliminovány mediánovým filtrem, který poskytuje optimální a nejvěrohodnější odhad aktuálních hodnot signálu z minima kořene. -aproximace střední hodnoty. Tedy s exponenciálním (modulo) rozdělením hustoty šumu

f(x) = (
/exp(-
|x-m| /)

rozptyl šumu po mediánovém filtru je o 50 % menší než po filtru klouzavého průměru.

Limitujícím případem takových distribucí je impulsní šum, náhodný v amplitudě a místě výskytu, který je potlačován mediánovými filtry s největší účinností.

Impulzní a bodový šum . Při registraci, zpracování a výměně dat v moderních měřících a výpočetních a informační systémy signálové toky kromě užitečného signálu s(t- 0) a fluktuačního šumu q(t) zpravidla obsahují impulzní toky g(t)=
(t- k) různé intenzity s pravidelnou nebo chaotickou strukturou

x(t) = s(t- 0) + g(t) + q(t). (16.1.3)

Impulzní šum je zkreslení signálů velkými impulsními rázy libovolné polarity a krátkého trvání. Důvodem vzniku impulsních toků může být jak vnější impulsní elektromagnetické rušení, tak rušení, poruchy a rušení v provozu samotných systémů. Kombinace statisticky rozloženého šumu a proudu kvazideterministických impulsů je kombinovaný šum. Radikální metodou boje proti kombinované interferenci je použití kódů pro opravu chyb. To však vede ke snížení rychlosti a komplikacím systémů přenosu a příjmu dat. Jednoduchou, ale poměrně účinnou alternativní metodou čištění signálu za takových podmínek je dvoustupňový algoritmus zpracování signálu x(t), kde v první fázi jsou z proudu x(t) eliminovány šumové impulsy a ve druhé fázi signál je vyčištěn frekvenční filtry od statistického šumu.Pro signály zkreslené působením impulsního šumu neexistuje žádná matematicky přesná formulace a řešení problému filtrování. Jsou známy pouze heuristické algoritmy, z nichž nejpřijatelnější je algoritmus mediánového filtrování.

Předpokládejme, že šum q(t) je statistický proces s nulovým matematickým očekáváním, užitečný signál s(t- 0) má neznámou časovou polohu  0  a tok šumových impulzů g(t) má formulář:

g(t) =  k a k g(t- k), (16.1.4)

kde a k je amplituda pulsů v proudu,  k je neznámá časová poloha pulsů,  k =1 s pravděpodobností p k a  k =0 s pravděpodobností 1-p k . Takové nastavení impulsního šumu odpovídá Bernoulliho průtoku /44/.

Při aplikaci na průtok x(t) posuvné střední filtrování s oknem N vzorků (N je liché), střední filtr zcela eliminuje jednotlivé pulzy, které jsou od sebe vzdáleny alespoň polovinu apertury filtru, a potlačuje pulzní šum, pokud počet pulzů uvnitř otvoru nepřesahuje (N-1)/2. V tomto případě, kdy p k = p pro všechny rušivé impulsy, lze pravděpodobnost potlačení rušení určit výrazem /3i/:

R(p) =
pm(1-p) N-p. (16.1.5)

Není-li pravděpodobnost chyby příliš vysoká, pak střední filtrace, i při dostatečně malé apertuře, výrazně sníží počet chyb. Účinnost eliminace šumových pulzů se zvyšuje s nárůstem clony filtru, ale současně se může zvyšovat i zkreslení užitečného signálu.

Pokles plus hluk. Uvažujme filtrování přechodů za přítomnosti aditivního bílého šumu, tj. filtrování sekvencí nebo obrázků, s

Na Obr. Obrázek 16.1.4 ukazuje sekvenci hodnot matematického očekávání mediánů a klouzavého průměru poblíž poklesu s výškou h = 5 pro n = 3. Hodnoty klouzavého průměru sledují šikmou čáru, což znamená, že kapka je rozmazaná. Chování středních hodnot mediánu také naznačuje určité rozmazání, i když mnohem menší než u klouzavého průměru.

Pokud použijeme míru střední kvadratické chyby (RMS) zprůměrovanou přes N bodů poblíž poklesu a vypočítáme hodnoty RMS v závislosti na hodnotách h, pak je snadné to opravit pro malé hodnoty z h<2 СКО для скользящего среднего немного меньше, чем для медианы, но при h>3 RMSE mediánu je výrazně nižší než RMSE průměru. Tento výsledek ukazuje, že klouzavý medián je výrazně lepší než klouzavý průměr pro změny ve vysoké nadmořské výšce. Podobné výsledky lze získat pro clonu n=5 a pro dvourozměrné filtrování s clonami 3x3 a 5x5. Očekávání mediánu pro malé h se tedy blíží očekávání pro odpovídající průměry, ale pro velké h jsou asymptoticky ohraničené. To se vysvětluje tím, že pro velké h (řekněme h>4) bude x proměnných se střední hodnotou 0 (pro tento příklad) ostře odděleno od x proměnných se střední hodnotou h.

Použitá míra přesnosti může charakterizovat pouze ostrost přes okraj a nevypovídá nic o plynulosti filtrovaného obrazu podél okraje. Pohyblivé průměrování poskytuje signály, které jsou podél okraje hladké, zatímco při zpracování pomocí mediánového filtru jsou rozšířené okraje mírně zubaté.

Kovarianční funkce s bílým šumem na vstupu. Normalizované autokorelační funkce výstupních signálů mediánových a průměrovacích filtrů jsou si navzájem podobné. Podobnost korelačních funkcí je do jisté míry vysvětlována poměrně vysokou korelací mezi mediánem a průměrem, která u velkého n dosahuje 0,8.

Přibližný vzorec pro autokovarianční funkci pro sekvenci podrobenou mediánové filtraci je dán vztahem:

K() =  2 /(n+(/2)-1))
(1-|j|/n) arcsin((j+)). (16.1.6)

Pohyblivý medián téměř nevyhlazuje procesy, které se chovají ve velkých intervalech, jako funkce tvaru x i = (-1) i y. Forma vstupní sekvence x i = (-1) i y zůstane mediánovým filtrem nezměněna, i když pro některé hodnoty n se posune o jeden krok. Klouzavý průměr má na takový proces velký vyhlazující účinek, protože pravidelné kolísání hodnot x jsou zcela eliminovány. Obecně lze očekávat, že přibližné vzorce pro pohyblivé mediánové kovarianční funkce budou užitečné pouze pro sekvence, na které mediánové filtry působí stejným způsobem jako klouzavý průměr. V případě vysoce oscilačních sekvencí a sekvencí kapek by se od nich nemělo očekávat příliš mnoho přínosů.

Transformace statistiky hluku. Mediánové filtrování je nelineární operace na vstupním procesu, která spolu s vyloučením impulsního šumu také mění rozložení statistického šumu q(t), což může být nežádoucí pro konstrukci následných filtrů. Analytický výpočet transformace šumové statistiky je obtížný kvůli špatnému vývoji odpovídajícího matematického aparátu.

Rýže. 16.1.5. Histogramy šumových signálů.

Snížení počtu velkých šumových odchylek od průměrné hodnoty hluku vede také ke změně spektra šumu a k určitému potlačení jeho vysokofrekvenčních složek, které jsou spíše na „ocáscích“ rozložení šumu. To je vidět na Obr. 16.1.7 na spektrech hustoty výkonu vstupních a výstupních signálů.

Frekvenční vlastnosti filtru . Lineární filtry jsou popsány pomocí impulsní odezvy na jeden impuls, na krokovou funkci a funkce přenosu frekvence v hlavním frekvenčním rozsahu. Protože střední filtr eliminuje jednotlivé impulsy a zachovává rozdíly, můžeme říci, že impulsní odezva filtru je nulová a odezva na krokovou funkci je 1. Pokud jde o frekvenční odezvu filtru, vzhledem k nelinearitě filtru, nemůže být reprezentován žádnou deterministickou funkcí clony a frekvence. Do jisté míry lze hovořit o reakci filtru na kosinusové funkce, která se také výrazně liší pro nízké a vysoké frekvence hlavní frekvenční rozsah a fáze harmonických v aperturě filtru, což je vidět na Obr. 16.1.9.

Rýže. 16.1.9.

Jak ukazuje simulace, pro nízké frekvence, když je perioda harmonické mnohem větší než okno apertury filtru, klouzavý medián a klouzavý průměr mají podobné charakteristiky, koeficient přenosu K p jednotónových signálů je 1. Jak se frekvence harmonické zvyšuje a v závislosti na fáze signálu v cloně filtru, zkreslení signálu začíná na extrémních hodnotách (podhodnocení extrémních hodnot) a hodnota Kp začíná klesat. Když se střední hodnota apertury filtru stane úměrnou periodě signálu, objeví se ve spektru výstupního signálu „falešné“ harmonické, způsobené frekvenčním rušením. vstupní signál s jeho vzorkovací frekvencí (spodní grafy na obrázku 16.1.9).

Rýže. 16.1.10. Mediánové filtrování vícetónových signálů

Vzor frekvenčního rušení závisí také na fázi harmonických, což zvyšuje nepravidelnost konečných výsledků a je jasně vidět na obr. 16.1.11 pro různé náhodné realizace fáze harmonických. S rostoucí velikostí apertury filtru se zvyšuje nepravidelnost přenosu filtru.

Rýže. 16.1.11.

Filtry váženého mediánu používá se, pokud je žádoucí dát centrálním bodům větší váhu. Toho je dosaženo opakováním k i-krát každé sady vzorků v otvoru filtru. Takže například když n=3 a k -1 =k 1 =2, k 0 =3, vážený medián vstupní číselné řady se vypočítá pomocí vzorce:

y i \u003d med (x i - 1, x i - 1, x 0, x 0, x 0, x 1, x 1).

Takto natažená sekvence také zachovává signálové přechody a za určitých podmínek může zvýšit potlačení rozptylu statistického šumu v signálu. Žádný z váhových faktorů k i by neměl být výrazně větší než všechny ostatní.

Iterativní střední filtry se provádějí postupným opakováním střední filtrace. Pokud jednotková mediánová filtrační apertura zachovává rozdíly v signálu, pak přetrvávají během iterativní aplikace filtru, dokud se změny ve filtrovaném signálu nezastaví, a konečný výsledek se výrazně liší od iterativní aplikace klouzavého průměru, kde je konstantní numerická hodnota posloupnost se získá v limitu. Při použití iteračních filtrů je možné měnit clonu filtru v každém kroku iterace.

Výhody mediánových filtrů.

Jednoduchá struktura filtrů pro hardwarovou i softwarovou implementaci.

Filtr nemění krokové a pilové funkce.

Filtr dobře potlačuje jednotlivé impulsní šumy a náhodné šumové špičky ve vzorcích.

Nevýhody mediánových filtrů.

Mediánové filtrování je nelineární, protože medián součtu dvou libovolných sekvencí není roven součtu jejich mediánů, což v některých případech může komplikovat matematická analýza signály.

Filtr způsobí zploštění vrcholů trojúhelníkových funkcí.

Potlačení bílého a Gaussova šumu je méně účinné než lineární filtry. Slabá účinnost je také pozorována, když je filtrován fluktuační šum.

Jak se zvětšuje velikost okna filtru, ostré změny signálu a skoky jsou rozmazané.

Nevýhody metody lze snížit použitím mediánové filtrace s adaptivní změnou velikosti filtračního okna v závislosti na dynamice signálu a povaze šumu (adaptivní mediánové filtrování). Jako kritérium pro velikost okna můžete použít například velikost odchylky hodnot sousedních vzorků vzhledem k centrálnímu hodnocenému vzorku /1i/. Když tato hodnota klesne pod určitou prahovou hodnotu, velikost okna se zvětší.

Šum v obrazech. Žádný registrační systém neposkytuje ideální kvalitu obrazu studovaných objektů. Obrazy v procesu utváření svými systémy (fotografickými, holografickými, televizními) jsou obvykle vystaveny různým náhodným interferencím nebo šumu. Zásadním problémem v oblasti zpracování obrazu je účinné odstranění šumu při zachování detailů obrazu, které jsou důležité pro následné rozpoznání. Složitost řešení tohoto problému v podstatě závisí na povaze hluku. Na rozdíl od deterministických zkreslení, které jsou popsány funkčními transformacemi původního obrazu, se k popisu náhodných efektů používají aditivní, impulsní a multiplikativní modely šumu.

Nejběžnějším typem rušení je náhodný aditivní šum, který je statisticky nezávislý na signálu. Model aditivního šumu se používá, když signál na výstupu systému nebo v libovolné fázi transformace lze považovat za součet užitečného signálu a nějakého náhodného signálu. Model aditivního šumu dobře popisuje vliv zrnitosti filmu, fluktuačního šumu v radiotechnických systémech, kvantizační šum v analogově-digitální převodníky a tak dále.

Aditivní gaussovský šum se vyznačuje přidáváním hodnot s normálním rozdělením a nulovým průměrem ke každému pixelu v obrázku. Takový šum se obvykle objevuje ve fázi digitálního zobrazování. Obrysy objektů nesou hlavní informace v obrazech. Klasické lineární filtry dokážou efektivně odstranit statistický šum, ale míra rozmazání jemných detailů v obraze může překročit povolené hodnoty. K řešení tohoto problému se používají nelineární metody, například anizotropní difúzní algoritmy Perron a Malick, bilaterální a trilaterální filtry. Podstata těchto metod spočívá v použití lokálních odhadů, které jsou adekvátní pro určení obrysu v obraze, a vyhlazení takových oblastí v co nejmenší míře.

Impulzní šum je charakterizován nahrazením některého z pixelů v obraze pevným popř náhodná proměnná. Na obrázku se taková interference jeví jako izolované kontrastní body. Impulzní šum je typický pro zařízení pro vkládání obrazu z televizní kamery, systémy pro přenos obrazu přes rádiové kanály a také pro digitální systémy přenos a ukládání obrázků. K odstranění impulzního šumu se používá speciální třída nelineárních filtrů postavená na základě statistiky pořadí. Obecnou myšlenkou takových filtrů je detekovat polohu pulsu a nahradit ji odhadovanou hodnotou, přičemž zbytek obrazových pixelů zůstane nezměněn.

dvourozměrné filtry. Mediánové filtrování obrazu je nejúčinnější, pokud má obrazový šum impulzivní charakter a je omezenou sadou špičkových hodnot na pozadí nul. V důsledku použití středního filtru se nemění šikmé oblasti a ostré změny hodnot jasu na snímcích. To je velmi užitečná vlastnost pro obrázky, kde obrysy nesou hlavní informace.

Při střední filtraci zašuměných snímků závisí stupeň vyhlazení kontur objektu přímo na velikosti otvoru filtru a tvaru masky. Příklady tvaru masek s minimální aperturou jsou na Obr. 16.2.1. Při malých velikostech clony jsou kontrastní detaily obrazu lépe zachovány, ale impulsní šum je potlačen v menší míře. U velkých otvorů je pozorován opak. Optimální volba tvaru vyhlazovacího otvoru závisí na specifikách řešeného problému a tvaru objektů. To je zvláště důležité pro problém zachování rozdílů (ostré hranice jasu) v obrazech.

Pod obrázkem kapky rozumíme obrázek, ve kterém mají body na jedné straně určité úsečky stejnou hodnotu A a všechny body na druhé straně této čáry jsou hodnotou b, b A. Pokud je otvor filtru symetrický podle počátku, pak střední filtr zachová jakýkoli okrajový obraz. To se provádí u všech clon s lichým počtem vzorků, tzn. kromě otvorů (čtvercové rámečky, prstence), které neobsahují počátek. Čtvercové rámečky a prsteny však pokles změní jen nepatrně.

w(n) = . (16.2.1)

V tomto případě hodnoty x i odpovídají mapování okna 3×3 zleva doprava a shora dolů do jednorozměrného vektoru, jak je znázorněno na obr. 16.2.2.

Prvky tohoto vektoru, stejně jako pro jednorozměrný mediánový filtr, mohou být také seřazeny v řadě ve vzestupném nebo sestupném pořadí jejich hodnot:

r(n) = , (16.2.2)

střední hodnota je definována y(n) = med(r(n)) a střední vzorek masky je nahrazen střední hodnotou. Pokud typ masky nezahrnuje centrální vzorek v sérii 16.2.1, pak střední hodnota je průměrem dvou centrálních vzorků série 16.2.2.

Výše uvedené výrazy nevysvětlují, jak se výstupní signál nachází v blízkosti koncových a hraničních bodů v konečných sekvencích a obrazech. Jedním jednoduchým trikem je najít medián pouze těch bodů v obraze, které spadají do otvoru. Proto pro body blízko hranic budou mediány určeny z menšího počtu bodů.

Na Obr. 16.2.3 ukazuje příklad vymazání zašuměného obrazu pomocí mediánového Černěnkova filtru /2i/. Obrazový šum v oblasti byl 15 %, pro čištění byl filtr aplikován postupně 3x.

Adaptivní dvourozměrné filtry. Rozpor v závislosti míry potlačení šumu a zkreslení signálu na cloně filtru se do určité míry vyhlazuje při použití filtrů s velikostí dynamické masky s přizpůsobením velikosti clony povaze obrazu. V adaptivních filtrech se používají velké apertury v monotónních oblastech zpracovávaného signálu (lepší potlačení šumu) a malé apertury se používají v blízkosti nehomogenit, zachovávají jejich vlastnosti, přičemž velikost posuvného okna filtru je nastavena v závislosti na rozložení jasu pixelů. ve filtrační masce. Jsou založeny zpravidla na analýze jasu okolí centrálního bodu masky filtru.

Nejjednodušší algoritmy pro dynamickou změnu apertury filtru, který je symetrický podél obou os, obvykle pracují podle prahového jasového koeficientu S prah = , nastaveného na základě empirických dat. V každé aktuální poloze masky na obrázku začíná iterační proces od minimální velikosti otvoru. Odchylky jasu sousedních pixelů A(r, n), které spadají do okna o velikosti (n x n) vzhledem k jasu centrálního vzorku A(r), se vypočítají podle vzorce:

S n (r) = |A(r,n)/A(r) – 1|. (16.2.3)

Kritérium, podle kterého se velikost masky zvětšuje s centrálním vzorkem r a provádí se další iterace, má tvar:

max< S порог. (16.2.4)

Maximální velikost masky (počet iterací) je obvykle omezena. U nečtvercových masek s rozměry (n ​​x m) lze iterace vypočítat se samostatným zvýšením parametrů n a m a také se změnou tvaru masek během iterací.

Filtry založené na statistikách hodnocení . V posledních dvou dekádách byly v digitálním zpracování obrazu aktivně vyvíjeny nelineární algoritmy založené na statistikách pořadí, aby se obnovily obrazy poškozené různými modely šumu. Takové algoritmy umožňují vyhnout se dodatečnému zkreslení obrazu při odstraňování šumu a také výrazně zlepšit výsledky filtrů na snímcích s vysokým stupněm šumu.

Podstata statistiky pořadí obvykle spočívá v tom, že řádek 16.2.1 nezahrnuje centrální vzorek masky filtru a hodnota m(n) se počítá z řádku 16.2.2. Při N=3 podle Obr. 16.2.2:

m(n) = (x 4 (n) + x 5 (n))/2. (16.2.5)

Výpočet výstupní hodnoty filtru, který nahrazuje centrální vzorek, se provádí podle vzorce:

y(n) =  x(n) + (1-) m(n). (16.2.6)

Hodnota koeficientu spolehlivosti  je spojena s určitým vztahem se statistikou vzorků v okně filtru (například celkový rozptyl vzorků, rozptyl rozdílů x(n)-x i (n) nebo m(n) )-x i (n), rozptyl kladných a záporných rozdílů x(n )-x i (n) nebo m(n)-x i (n) atd.). Hodnota koeficientu  by v podstatě měla specifikovat míru poškození centrálního vzorku a podle toho i míru vypůjčení pro jeho korekční hodnoty ze vzorků m(n). Volba statistické funkce a povaha závislosti koeficientu  na ní může být značně různorodá a závisí jak na velikosti apertury filtru, tak na povaze obrazů a šumu.

Lineární prostorově invariantní (STI) filtry jsou užitečné pro obnovu a zlepšení vizuální kvality snímků. Lze je použít například při implementaci Wienerových filtrů pro snížení úrovně šumu v obrazech. Pro potlačení šumu a zároveň zachování obrysové části snímků je však nutné použít nelineární nebo lineární prostorově neinvariantní (SPNI) filtry. Omezení použití LPI filtrů v úlohách obnovy obrazu jsou diskutována v .

Mnoho nelineárních a LPNI filtrů pro obnovu obrazu je popsáno v . V kap. Kapitola 5 předchozího dílu, věnovaná lineárním filtrům, popisuje Kalmanovy LPNI filtry používané pro potlačení šumu při restaurování obrazu. V kap. Části 5 a 6 tohoto svazku pojednávají o speciálním nelineárním postupu – mediánovém filtrování. Bylo zjištěno, že použití mediánových filtrů je účinné při potlačování určitých typů šumu a periodického rušení bez současného zkreslení signálu. Tyto filtry se staly velmi populární při zpracování obrazu a řeči.

Protože teoretická analýza chování mediánových filtrů je velmi obtížná, bylo na toto téma publikováno velmi málo výsledků. Dvě kapitoly naší knihy obsahují především nové výsledky, které dosud nebyly v otevřené literatuře objasněny. V kap. 5 jsou zvažovány statistické vlastnosti střední filtry. Prezentovány jsou zejména různé vlastnosti výstupního signálu mediánového filtru s gaussovským šumem nebo součtem skokové funkce a gaussovského šumu na vstupu.

Kapitola 6 se zaměřuje na deterministické vlastnosti mediánových filtrů. Zvláště zajímavé jsou výsledky týkající se tzv. stabilních bodů mediánových filtrů. Stabilní bod je sekvence (v jednorozměrném případě) nebo pole (v dvourozměrném případě), které se nemění během filtrování mediánu. V kap. 6 Tian ukázal, že v jednorozměrném případě jsou stabilní body mediánových filtrů „lokálně monotónní“ sekvence. Výjimkou jsou některé periodické binární posloupnosti. V Nedávno Gallagherovi a Weissovi se podařilo tuto výjimku odstranit omezením délky sekvencí.

V kap. 6 stručně popisuje účinný mediánový filtrační algoritmus založený na modifikaci histogramu. V hardwarové implementaci je diskutována mediánová filtrace v reálném čase na základě digitálních vzorkovacích schémat. Metoda pro zjištění mediánu, založená na binární reprezentaci obrazových prvků v apertuře filtru, je navržena v , kde je porovnávána hardwarová implementace této metody, algoritmus transformace histogramu a metoda digitálních selektivních obvodů ve složitosti a rychlosti. . Je diskutována implementace mediánových filtrů na binárním maticovém procesoru. Byl vyvinut způsob implementace mediánových filtrů v zřetězeném procesoru pracujícím synchronně s video signálem.

V kap. 5 a 6 je materiál převážně teoretického charakteru. Jako doplněk zde uvádíme některé experimentální výsledky. Na Obr. 1.1 ukazuje příklady stabilních středních filtračních bodů. Je uveden původní obrázek (a) a výsledky šestinásobného použití tří různých středních filtrů (b). Další aplikace filtrů výsledky výrazně nemění. Obrázky na Obr. 1.1b-d jsou stabilní body tří mediánových filtrů.

Mediánové filtry jsou zvláště užitečné pro řešení impulsního (tečkového) šumu. Tato skutečnost je znázorněna na Obr. 1.2. Na Obr. 1.2, a ukazuje výsledek přenosu obrazu 1.1, a na binárním symetrickém kanálu se šumem při použití pulzní kódové modulace. V tomto případě se v obraze objeví impulsní šum. Použití středního filtru umožňuje potlačit většinu emisí hluku (obr. 1.2, b),

(kliknutím zobrazíte sken)

zatímco lineární vyhlazování se ukazuje jako zcela neefektivní (obr. 1.2, c).

Ačkoli v kap. 5 a 6 pojednávají o 2D (prostorových) filtrech, je zřejmé, že 3D mediánové (časoprostorové) filtry lze aplikovat na pohyblivé obrazy, jako je televize, tj. apertura filtru může být 3D. Střední časové filtrování je zvláště užitečné pro potlačení návalů šumových špiček, včetně výpadků linek. Při zachování pohybu je také mnohem lepší než časové průměrování (lineární vyhlazování). V tomto článku je popsáno několik experimentů s časovou filtrací (včetně filtrování kompenzovaného pohybem). V jednom z filtračních experimentů byla sekvence posouvaných snímků obsahujících bílý gaussovský šum a náhodné výpadky řádků podrobena střednímu filtrování a lineárnímu vyhlazování. Snímková frekvence sekvence byla 30 snímků/s, každý snímek obsahoval přibližně 200 řádků po 256 prvcích, každý s 8 bity/vzorek. Posouvání bylo prováděno horizontálně rychlostí asi 5 pixelů na snímek. Výsledky pro jeden snímek jsou uvedeny na Obr. 1.3: zašuměný původní snímek (a), stejný snímek po lineárním vyhlazení (b) a snímek zpracovaný mediánovým filtrem (c). Je třeba poznamenat, že střední filtr dává

Rýže. 1.3. (viz sken) Časové filtrování sekvence snímků posouvání: a - zašuměný originál; b - lineární vyhlazování přes tři snímky; c - střední filtrování přes tři snímky

hodně nejlepší skóre ve vztahu ke snížení počtu výpadků čar a zachování ostrosti kontur. Pro potlačení Gaussova šumu je však účinnější lineární vyhlazování. Uvedené údaje jsou v souladu s teoretickými (viz kapitoly 5 a 6).

Ačkoli se pro zlepšení subjektivní kvality obrazu používá jak střední filtrace, tak lineární vyhlazování, není zatím jasné, zda přispívají k další strojové analýze snímků – rozpoznávání vzorů nebo měření na snímku. Byly provedeny pečlivé studie vlivu lineárního a středního filtrování na účinnost detekce hran, analýzy tvaru a analýzy textury. Některé výsledky jsou uvedeny v .