تصویر گسسته چیست؟ و وضوح سخت افزار چیست؟ پردازش فوریه تصاویر دیجیتال

عکاسی دیجیتالیا درغیر این صورت بیت مپآرایه ای از اعداد است که توسط حسگرهای سطح روشنایی در یک صفحه دو بعدی گرفته شده است. با علم به اینکه از نقطه نظر ریاضی، یک لنز نازک تبدیل فوریه تصاویر قرار گرفته در صفحات کانونی را انجام می دهد، می توان الگوریتم های پردازش تصویر مشابه پردازش تصویر در یک سیستم نوری کلاسیک را ایجاد کرد.

فرمول چنین الگوریتم هایی به صورت زیر خواهد بود:

Z=FFT(X) – تبدیل فوریه دو بعدی مستقیم
Z′=T(Z) – اعمال یک تابع یا شفافیت در تصویر فوریه تصویر
Y=BFT(Z') – تبدیل فوریه دو بعدی معکوس

برای محاسبه تبدیل فوریه از الگوریتم های سریع استفاده می شود. تبدیل گسستهفوریه. اگرچه سیستم نوری عدسی ها تبدیل فوریه را بر روی محدوده پیوسته آرگومان و برای طیف پیوسته انجام می دهد، اما هنگام عبور از پردازش دیجیتالداده ها، فرمول های تبدیل فوریه را می توان با فرمول های تبدیل فوریه گسسته جایگزین کرد.

نمونه های پیاده سازی

الگوریتم تاری تصویر

الگوریتم های پیاده سازی شده بخشی از یک کتابخانه منبع باز هستند. کد منبعابزارهای FFTT آدرس اینترنتی: github.com/dprotopopov/FFTTools

الگوریتم تاری تصویر

در سیستم های نوری، دیافراگم واقع در صفحه کانونی یک سوراخ ساده در صفحه نمایش است. در نتیجه عبور شار نورانیاز طریق دیافراگم، امواج فرکانس بالا (با طول موج کوتاهتر) از مانع عبور می کنند و امواج فرکانس های پایین(با طول موج های بلندتر) توسط صفحه نمایش قطع می شوند. این امر وضوح تصویر حاصل را بهبود می بخشد. اگر سوراخ صفحه را با مانعی در صفحه جایگزین کنیم، نتیجه آن خواهد بود تصویر تار، زیرا از فرکانس امواج با طول های بزرگ تشکیل می شود.

الگوریتم:

آرایه Z′=T(Z) را محاسبه کنید، جایی که T صفر کردن سطرها و ستون های واقع در نواحی داخلی داده شده آرگومان ماتریس مربوط به فرکانس های بالا 5 است. (یعنی صفر شدن ضرایب بسط فوریه مربوطه به فرکانس های بالا)

الگوریتم وضوح تصویر

در سیستم های نوری، دیافراگم واقع در صفحه کانونی یک سوراخ ساده در صفحه نمایش است. در نتیجه عبور شار نور از دیافراگم، امواج فرکانس بالا (با طول موج کوتاهتر) از مانع عبور می کنند و امواج فرکانس پایین (با طول موج بلندتر) توسط صفحه قطع می شوند. این امر وضوح تصویر حاصل را بهبود می بخشد.

الگوریتم:

اجازه دهید X(N1,N2) آرایه ای از روشنایی پیکسل های تصویر باشد.
Px = میانگین (rms) روشنایی پیکسل ها در آرایه X را محاسبه کنید
محاسبه آرایه Z=FT(X) - تبدیل فوریه گسسته دو بعدی مستقیم
مقدار L=Z(0,0) را ذخیره کنید - مربوط به میانگین روشنایی پیکسل ها در تصویر اصلی
آرایه Z′=T(Z) را محاسبه کنید، جایی که T صفر کردن سطرها و ستون های واقع در نواحی بیرونی داده شده ماتریس آرگومان مربوط به فرکانس های کم 6 است (یعنی صفر شدن ضرایب بسط فوریه مربوط به فرکانس های پایین)
بازیابی مقدار Z'(0,0)=L - مربوط به میانگین روشنایی پیکسل های تصویر اصلی
محاسبه آرایه Y=RFT(Z') – تبدیل فوریه گسسته 2 بعدی معکوس
Py = میانگین (rms) روشنایی پیکسل ها در آرایه Y را محاسبه کنید
آرایه Y(N1,N2) را با میانگین سطح روشنایی Px/Py عادی کنید

الگوریتم مقیاس بندی تصویر

در سیستم های نوری، شار نور در صفحه کانونی سیستم تبدیل فوریه تصویر اصلی است. اندازه خروجی سیستم نوریتصویر با نسبت فاصله کانونی لنز و چشمی تعیین می شود.

الگوریتم:

اجازه دهید X(N1,N2) آرایه ای از روشنایی پیکسل های تصویر باشد.
Px = میانگین (rms) روشنایی پیکسل ها در آرایه X را محاسبه کنید
محاسبه آرایه Z=FT(X) - تبدیل فوریه گسسته دو بعدی مستقیم
آرایه Z′=T(Z) را محاسبه کنید، جایی که T یا صفر ردیف و ستون ماتریس مربوط به فرکانس‌های بالا را اضافه می‌کند، یا ردیف‌ها و ستون‌های ماتریس مربوط به فرکانس‌های بالا را حذف می‌کند تا اندازه مورد نیاز تصویر نهایی به دست آید.
محاسبه آرایه Y=RFT(Z') – تبدیل فوریه گسسته 2 بعدی معکوس
Py = میانگین (rms) روشنایی پیکسل ها در آرایه Y را محاسبه کنید
آرایه Y(M1,M2) را با میانگین سطح روشنایی Px/Py عادی کنید

نرم افزار استفاده شده

مایکروسافت استودیوی تصویری 2013 سی شارپ - محیط و زبان برنامه نویسی
EmguCV/OpenCV - کتابخانه C++ از ساختارها و الگوریتم‌ها برای پردازش تصویر
FFTWSharp/FFTW – کتابخانه C++ پیاده‌سازی الگوریتم‌های سریع تبدیل فوریه گسسته

الگوریتم تاری تصویر

کد الگوریتم

///

/// پاک کردن ناحیه داخلی آرایه ///

/// آرایه ای از مقادیر /// اندازه ناحیه کور داخلیخصوصی استاتیک void Blind(Complex[,] data, Size size) (int n0 = data.GetLength(0)؛ int n1 = data.GetLength(1)؛ int n2 = data.GetLength(2)؛ int s0 = Math. Max(0، (n0 - size.Height)/2); int s1 = Math.Max(0، (n1 - size.Width)/2); int e0 = Math.Min((n0 + size.Height)/ 2، n0؛ int e1 = ریاضی. حداقل ((n1 + اندازه. عرض)/2، n1)؛ برای (int i = s0؛ i< e0; i++) { Array.Clear(data, i*n1*n2, n1*n2); } for (int i = 0; i < s0; i++) { Array.Clear(data, i*n1*n2 + s1*n2, (e1 - s1)*n2); } for (int i = e0; i < n0; i++) { Array.Clear(data, i*n1*n2 + s1*n2, (e1 - s1)*n2); } } ///

/// تار کردن بیت مپ با سریعترین تبدیل فوریه ///

/// بیت مپ تار شدهعمومی Bitmap Blur (Bitmap bitmap) ( با استفاده از (var image = new image (bitmap)) ( int length = image.Data.Length؛ int n0 = image.Data.GetLength(0)؛ int n1 = image.Data.GetLength(1); int n2 = image.Data.GetLength(2); var doubles = new double;Buffer.BlockCopy(image.Data, 0, doubles, 0, length*sizeof (دو برابر)); توان دو برابر = Math.Sqrt(doubles.Average(x => x*x));var ورودی = fftw_complexarray new(doubles.Select(x => new Complex(x, 0)).ToArray())؛ var output = new fftw_complexarray(طول)؛ fftw_plan.dft_3d(n0، n1، n2، ورودی، خروجی، fftw_direction. Forward, fftw_flags.Estimate).Execute(); مجتمع پیچیده= output.GetData_Complex(); var data = new Complex; varbuffer = new double; GCHandle complexHandle = GCHandle.Alloc(complex، GCHandleType.Pinned); GCHandle dataHandle = GCHandle.Alloc(data, GCHandleType.Pinned); IntPtr complexPtr = complexHandle.AddrOfPinnedObject(); IntPtr dataPtr = dataHandle.AddrOfPinnedObject(); Marshal.Copy(complexPtr, buffer, 0, buffer.Length); Marshal.Copy (بافر، 0، dataPtr، بافر. طول)؛ Blind(data, _blinderSize); Marshal.Copy(dataPtr, buffer, 0, buffer.Length); Marshal.Copy(buffer, 0, complexPtr, buffer.Length); ComplexHandle.Free(); dataHandle.Free(); input.SetData(complex); fftw_plan.dft_3d(n0، n1، n2، ورودی، خروجی، fftw_direction.Backward، fftw_flags.Estimate).Execute(); double array2 = output.GetData_Complex().Select(x => x.Magnitude).ToArray(); double power2 = Math.Sqrt(array2.Average(x => x*x)); doubles = array2.Select(x =>

الگوریتم وضوح تصویر

کد الگوریتم

///

/// پاک کردن ناحیه خارجی آرایه ///

/// آرایه ای از مقادیر /// اندازه ناحیه کور خارجیخصوصی استاتیک void Blind(Complex[,] data, Size size) (int n0 = data.GetLength(0)؛ int n1 = data.GetLength(1)؛ int n2 = data.GetLength(2)؛ int s0 = Math. Max(0، (n0 - size.Height)/2); int s1 = Math.Max(0، (n1 - size.Width)/2); int e0 = Math.Min((n0 + size.Height)/ 2، n0؛ int e1 = ریاضی. حداقل ((n1 + اندازه. عرض)/2، n1)؛ برای (int i = 0؛ i< s0; i++) { Array.Clear(data, i*n1*n2, s1*n2); Array.Clear(data, i*n1*n2 + e1*n2, (n1 - e1)*n2); } for (int i = e0; i < n0; i++) { Array.Clear(data, i*n1*n2, s1*n2); Array.Clear(data, i*n1*n2 + e1*n2, (n1 - e1)*n2); } } ///

/// بیت مپ شارپ با سریعترین تبدیل فوریه ///

/// بیت مپ تیز شدهعمومی Bitmap Sharp (Bitmap bitmap) ( با استفاده از (var image = new image (bitmap)) ( int length = image.Data.Length؛ int n0 = image.Data.GetLength(0)؛ int n1 = image.Data.GetLength(1); int n2 = image.Data.GetLength(2); var doubles = new double;Buffer.BlockCopy(image.Data, 0, doubles, 0, length*sizeof (دو برابر)); توان دو برابر = Math.Sqrt(doubles.Average(x => x*x));var ورودی = fftw_complexarray new(doubles.Select(x => new Complex(x, 0)).ToArray())؛ var output = new fftw_complexarray(طول)؛ fftw_plan.dft_3d(n0، n1، n2، ورودی، خروجی، fftw_direction. Forward, fftw_flags.Estimate).Execute(); Complex Complex = output.GetData_Complex(); Complex level = پیچیده؛ var data = new Complex؛ var buffer = new double؛ GCHandle complexHandle = GCHandle.Alloc(complex, GCHandleType.Pinned) ؛ GCHandle dataHandle = GCHandle.Alloc (داده، GCHandleType.Pinned)؛ IntPtr complexPtr = complexHandle.AddrOfPinnedObject()؛ IntPtr dataPtr = dataHandle.AddrOfPinnedObject();Marshal.complexTr. کپی (بافر، 0، dataPtr، بافر. طول)؛ Blind(data, _blinderSize); Marshal.Copy(dataPtr, buffer, 0, buffer.Length); Marshal.Copy(buffer, 0, complexPtr, buffer.Length); ComplexHandle.Free(); dataHandle.Free(); مجتمع = سطح input.SetData(complex); fftw_plan.dft_3d(n0، n1، n2، ورودی، خروجی، fftw_direction.Backward، fftw_flags.Estimate).Execute(); double array2 = output.GetData_Complex().Select(x => x.Magnitude).ToArray(); double power2 = Math.Sqrt(array2.Average(x => x*x)); doubles = array2.Select(x => x*power/power2).ToArray(); Buffer.BlockCopy (دو برابر، 0، تصویر. داده، 0، طول*اندازه (دو برابر)); بازگشت تصویر.بیت مپ; ))

الگوریتم مقیاس بندی تصویر

کد الگوریتم

///

/// کپی آرایه ها ///

/// آرایه ورودی /// آرایه خروجیخصوصی استاتیک کپی (Complex[,] ورودی، Complex[،] خروجی) (int n0 = input.GetLength(0)؛ int n1 = input.GetLength(1); int n2 = input.GetLength(2); int m0 = output.GetLength(0);int m1 = output.GetLength(1);int m2 = output.GetLength(2);int ex0 = Math.Min(n0, m0)/2;int ex1 = Math.Min(n1 , m1)/2;int ex2 = Math.Min(n2, m2);Debug.Assert(n2 == m2);for (int k = 0;k< ex2; k++) { for (int i = 0; i <= ex0; i++) { for (int j = 0; j <= ex1; j++) { int ni = n0 - i - 1; int nj = n1 - j - 1; int mi = m0 - i - 1; int mj = m1 - j - 1; output = input; output = input; output = input; output = input; } } } } ///

/// تغییر اندازه بیت مپ با سریعترین تبدیل فوریه ///

/// تغییر اندازه بیت مپعمومی Bitmap Stretch (Bitmap bitmap) ( با استفاده از (var image = new image (bitmap)) ( int length = image.Data.Length؛ int n0 = image.Data.GetLength(0)؛ int n1 = image.Data.GetLength(1); int n2 = image.Data.GetLength(2); var doubles = new double;Buffer.BlockCopy(image.Data, 0, doubles, 0, length*sizeof (دو برابر)); توان دو برابر = Math.Sqrt(doubles.Average(x => x*x));var ورودی = fftw_complexarray new(doubles.Select(x => new Complex(x, 0)).ToArray())؛ var output = new fftw_complexarray(طول)؛ fftw_plan.dft_3d(n0، n1، n2، ورودی، خروجی، fftw_direction. Forward, fftw_flags.Estimate).Execute()؛ Complex Complex = output.GetData_Complex()؛ با استفاده از (var image2 = new Image (_newSize)) ( int length2 = image2.Data.Length؛ int m0 = image2.Data.GetLength(0); int m1 = image2.Data.GetLength(1); int m2 = image2.Data.GetLength(2 var complex2 = جدید Complex؛ var data = New Complex؛ var data2 = New Complex؛ var buffer = new double؛ GCHandle complexHandle = GCHandle.Alloc(complex, GCHandleType.Pinned)؛ GCHandle dataHandle = GCHandle.Alloc(داده، GCHandleType .Pinned)؛ IntPtr complexPtr = complexHandle.AddrOfPinnedObject()؛ IntPtr dataPtr = dataHandle.AddrOfPinnedObject()؛ Marshal.Copy(complexPtr، بافر، 0، بافر. طول)؛ Marshal,P.Copy. ComplexHandle.Free(); dataHandle.Free()؛ Copy(data, data2)؛ بافر = new double؛ complexHandle = GCHandle.Alloc(complex2، GCHandleType.Pinned)؛ dataHandle = GCHandle.Alloc(data2، GCHandleType.P.in ComplexPtr = complexHandle.AddrOfPinnedObject(); dataPtr = dataHandle.AddrOfPinnedObject(); Marshal.Copy(dataPtr, buffer, 0, buffer.Length); Marshal.Copy(buffer, 0, complex Ptr, buffer.Leng); ComplexHandle.Free(); dataHandle.Free(); var input2 = new fftw_complexarray(complex2); var output2 = new fftw_complexarray(length2); fftw_plan.dft_3d(m0, m1, m2, input2, output2, fftw_direction.Backward, fftw_flags.Estimate).Execute(); double array2 = output2.GetData_Complex().Select(x => x.Magnitude).ToArray(); double power2 = Math.Sqrt(array2.Average(x => x*x)); double doubles2 = array2.Select(x => x*power/power2).ToArray(); Buffer.BlockCopy(doubles2, 0, image2.Data, 0, length2*sizeof (double)); بازگشت تصویر2.بیت مپ. ))))

تصاویر متشکل از عناصر گسسته، که هر یک می توانند فقط تعداد محدودی از مقادیر قابل تشخیص را که در یک زمان محدود تغییر می کنند، بگیرند، گسسته نامیده می شوند. لازم به تاکید است که عناصر یک تصویر گسسته، به طور کلی، ممکن است دارای مساحت نابرابر و هر یک از آنها دارای تعداد نامساوی درجه بندی های قابل تشخیص باشند.

همانطور که در فصل اول نشان داده شد، شبکیه تصاویر مجزا را به قسمت های بالاتر تحلیلگر بصری منتقل می کند.

تداوم ظاهری آنها تنها یکی از توهمات چشم است. این "کوانتیزاسیون" تصاویر اولیه پیوسته نه با محدودیت های مرتبط با وضوح سیستم نوری چشم، و نه حتی توسط عناصر ساختاری مورفولوژیکی سیستم بینایی، بلکه توسط سازماندهی عملکردی شبکه های عصبی تعیین می شود.

تصویر توسط میدان‌های گیرنده به عناصر مجزا تقسیم می‌شود که تعدادی از گیرنده‌های نوری را ترکیب می‌کنند. زمینه های پذیرنده انتخاب اولیه مفید را تولید می کنند سیگنال نوربا جمع بندی مکانی و زمانی

قسمت مرکزی شبکیه (فووا) فقط توسط مخروط ها اشغال می شود ، در حاشیه خارج از فووئا هم مخروط ها و هم میله ها وجود دارد. در شرایط دید در شب، میدان های مخروطی در قسمت مرکزی شبکیه تقریباً به یک اندازه (حدود 5 "در اندازه زاویه ای)" هستند. حدود 200. نقش اصلی در شرایط دید در شب توسط میدان های میله ای ایفا می شود که بقیه سطح شبکیه را اشغال می کند. آنها دارای اندازه زاویه ای در حدود 1 درجه در کل سطح شبکیه هستند. تعداد چنین میدان هایی در شبکیه حدود 3000 است. نه تنها تشخیص، بلکه بررسی اجسام با نور کم در این شرایط توسط نواحی محیطی شبکیه انجام می شود.

با افزایش روشنایی، سیستم دیگری از سلول های ذخیره سازی، میدان های گیرنده مخروطی، شروع به ایفای نقش اصلی می کند. در fovea، افزایش روشنایی باعث کاهش تدریجی قدرت میدان موثر می شود تا زمانی که در روشنایی حدود 100 asb، به یک مخروط کاهش می یابد. در حاشیه، با افزایش روشنایی، میدان های میله ای به تدریج خاموش می شوند (آهسته می شوند) و میدان های مخروطی وارد عمل می شوند. میدان‌های مخروطی در حاشیه، مانند میدان‌های فووئال، بسته به انرژی نوری که روی آنها فرو می‌رود، توانایی کاهش دارند. بیشترین تعدادمخروط هایی که میدان های گیرنده مخروطی می توانند با افزایش روشنایی داشته باشند، از مرکز تا لبه های شبکیه رشد می کنند و در فاصله زاویه ای 50-60 درجه از مرکز تقریباً به 90 می رسد.

می توان محاسبه کرد که در شرایط نور خوب روز، تعداد میدان های پذیرنده به حدود 800 هزار می رسد. این مقدار تقریباً با تعداد فیبرهای عصب بینایی انسان مطابقت دارد. تمایز (رزولوشن) اشیاء در دید در روز عمدتاً در فووئا انجام می شود ، جایی که میدان گیرنده را می توان به یک مخروط کاهش داد و خود مخروط ها متراکم ترین قرار دارند.

در حالی که می‌توان تعداد سلول‌های ذخیره‌سازی در شبکیه چشم را به یک تقریب رضایت‌بخش تعیین کرد، هنوز داده‌های کافی برای تعیین تعداد حالت‌های احتمالی میدان‌های پذیرنده وجود ندارد. فقط برخی تخمین ها را می توان بر اساس مطالعه آستانه های تفاضلی میدان های پذیرنده انجام داد. کنتراست آستانه در میدان‌های گیرنده فووئال در محدوده عملیاتی مشخصی از روشنایی از مرتبه 1 است. در این مورد، تعداد درجه‌بندی‌های قابل تشخیص کم است. در کل محدوده بازآرایی میدان پذیرای فووئال مخروطی، 8-9 درجه بندی متفاوت است.

دوره انباشتگی در میدان پذیرنده - به اصطلاح مدت زمان بحرانی - به طور متوسط با مقداری از مرتبه 0.1 ثانیه تعیین می شود، اما در سطوح بالاروشنایی ظاهراً می تواند به میزان قابل توجهی کاهش یابد.

در واقع مدلی که ساختار گسسته را توصیف می کند تصاویر منتقل شده، باید حتی سخت تر باشد. لازم است رابطه بین ابعاد میدان پذیرنده، آستانه ها و مدت زمان بحرانی و همچنین ماهیت آماری آستانه های دیداری در نظر گرفته شود. اما در حال حاضر، این ضروری نیست. کافی است به عنوان یک مدل تصویر مجموعه‌ای از عناصر را از نظر مساحت یکسان تصور کنیم که ابعاد زاویه‌ای آن‌ها کوچک‌تر از ابعاد زاویه‌ای کوچک‌ترین جزئیات قابل تفکیک با چشم است و تعداد حالت‌های قابل تشخیص آن‌ها از حداکثر تعداد بیشتر است. درجه بندی روشنایی قابل تشخیص و زمان تغییر گسسته آن کمتر از دوره سوسو زدن در فرکانس همجوشی فلیکر بحرانی است.

اگر تصاویر اجسام پیوسته واقعی دنیای خارج با چنین تصاویر گسسته ای جایگزین شوند، چشم متوجه این جایگزینی نخواهد شد. **

* تصاویر رنگی و حجمی را نیز می توان با یک مدل گسسته جایگزین کرد.
** مشکل جایگزینی تصاویر پیوسته با تصاویر گسسته از اهمیت بالایی برای فناوری فیلم و تلویزیون برخوردار است. کوانتیزاسیون زمان در قلب این تکنیک قرار دارد. در سیستم های تلویزیونی با کد پالس، تصویر نیز به عناصر گسسته تقسیم می شود و با روشنایی کوانتیزه می شود.

در فصل قبل، سیستم‌های فضایی خطی را در یک حوزه دو بعدی پیوسته مطالعه کردیم. در عمل با تصاویری سروکار داریم که ابعاد محدودی دارند و در عین حال در مجموعه ای گسسته از نقاط شمارش می شوند. بنابراین، روش‌های توسعه‌یافته تا کنون نیاز به تطبیق، گسترش و اصلاح دارند تا بتوان در این زمینه به کار رفت. چندین نکته جدید نیز وجود دارد که نیاز به بررسی دقیق دارد.

قضیه نمونه‌برداری می‌گوید تحت چه شرایطی می‌توان یک تصویر پیوسته را با دقت از مجموعه‌ای از مقادیر گسسته بازیابی کرد. همچنین خواهیم آموخت که وقتی شرایط کاربردی آن برآورده نشود چه اتفاقی می افتد. همه اینها به طور مستقیم با توسعه سیستم های بصری مرتبط است.

تکنیک هایی که نیاز به رفتن به حوزه فرکانس دارند تا حدی به دلیل الگوریتم هایی برای محاسبه سریع تبدیل فوریه گسسته محبوب شده اند. با این حال، با توجه به این روش ها باید مراقب بود سیگنال دوره ای. ما در مورد چگونگی برآورده شدن این الزام و عواقب نقض آن بحث خواهیم کرد.

7.1. محدودیت اندازه تصویر

در عمل، تصاویر همیشه دارای ابعاد محدود هستند. یک تصویر مستطیل شکل با عرض و ارتفاع R را در نظر بگیرید. حالا دیگر نیازی به گرفتن انتگرال در تبدیل فوریه در حد نامتناهی نیست.

عجیب است، برای بازیابی عملکرد، ما نیازی به دانستن همه فرکانس ها نداریم. دانستن اینکه چه چیزی یک محدودیت سخت است. به عبارت دیگر، تابعی که فقط در ناحیه محدودی از صفحه تصویر غیرصفر است، نسبت به تابعی که این ویژگی را ندارد، حاوی اطلاعات بسیار کمتری است.

برای تأیید این موضوع، تصور کنید که صفحه نمایش با کپی پوشانده شده است تصویر داده شده. به عبارت دیگر، تصویر خود را به تابعی گسترش می دهیم که در هر دو جهت تناوبی است

در اینجا بزرگترین عدد صحیح کوچکتر از x است. تبدیل فوریه چنین تصویر ضرب شده ای شکل دارد

با استفاده از مناسبعوامل همگرایی انتخاب شده در حالت قبلی 7.1 ثابت شده است که

از این رو،

از آنجا می بینیم که در همه جا به جز مجموعه ای گسسته از فرکانس ها برابر با صفر است بنابراین، برای یافتن آن کافی است که در این نقاط بدانیم. با این حال، تابع از یک برش ساده از بخش که برای آن به دست می آید. بنابراین، برای بازیابی کافی است که ما فقط برای همه بدانیم. این مجموعه ای از اعداد قابل شمارش است.

توجه داشته باشید که تبدیل تابع تناوبی گسسته است. تبدیل معکوس را می توان به عنوان یک سری نشان داد، زیرا

جایگزینی یک تصویر پیوسته با یک تصویر گسسته می تواند انجام شود راه های مختلف. به عنوان مثال می توان سیستمی از توابع متعامد را انتخاب کرد و با محاسبه ضرایب نمایش تصویر برای این سیستم (برای این اساس) تصویر را با آنها جایگزین کرد. تنوع پایه ها امکان تشکیل نمایش های گسسته مختلف از یک تصویر پیوسته را فراهم می کند. با این حال، رایج ترین مورد استفاده، نمونه برداری دوره ای است، به ویژه، همانطور که در بالا ذکر شد، نمونه برداری شطرنجی مستطیلی. این روش گسسته‌سازی را می‌توان یکی از گزینه‌های استفاده از مبنای متعامد دانست که از توابع تغییر یافته به عنوان عناصر خود استفاده می‌کند. علاوه بر این، در ادامه به طور عمده، ویژگی های اصلی گسسته سازی مستطیلی را با جزئیات در نظر خواهیم گرفت.

اجازه دهید یک تصویر پیوسته باشد، و اجازه دهید تصویر گسسته مربوطه باشد، که از تصویر پیوسته با استفاده از گسسته سازی مستطیلی به دست می آید. این بدان معنی است که رابطه بین آنها با عبارت تعیین می شود:

مراحل عمودی و افقی یا فواصل نمونه برداری به ترتیب کجا هستند. شکل 1.1 مکان قرائت ها را در صفحه با گسسته مستطیلی نشان می دهد.

سوال اصلی که وقتی یک تصویر پیوسته با یک تصویر گسسته جایگزین می شود مطرح می شود، تعیین شرایطی است که تحت آن چنین جایگزینی کامل می شود، یعنی. با از دست دادن اطلاعات موجود در سیگنال پیوسته همراه نیست. هیچ ضرری وجود ندارد اگر، داشتن سیگنال گسسته، می توانید پیوسته را بازیابی کنید. بنابراین، از نقطه نظر ریاضی، مسئله بازسازی یک سیگنال پیوسته در شکاف های دو بعدی بین گره هایی است که مقادیر آن مشخص است، یا به عبارت دیگر، انجام درون یابی دو بعدی. این سوال را می توان با تحلیل ویژگی های طیفی تصاویر پیوسته و گسسته پاسخ داد.

طیف فرکانس پیوسته دو بعدی یک سیگنال پیوسته توسط تبدیل فوریه مستقیم دو بعدی تعیین می شود:

که مربوط به معکوس دو بعدی است تبدیل مداومفوریه:

آخرین رابطه برای هر مقدار از جمله در گره های یک شبکه مستطیلی صادق است. . بنابراین، برای مقادیر سیگنال در گره ها، با در نظر گرفتن (1.1)، رابطه (1.3) را می توان به صورت زیر نوشت:

برای اختصار، با یک ناحیه مستطیلی در حوزه فرکانس دو بعدی مشخص کنید. محاسبه انتگرال در (1.4) در کل دامنه فرکانس را می توان با یکپارچه سازی روی جایگزین کرد. بخش های جداگانهو جمع بندی نتایج:

با انجام تغییر متغیرها طبق قانون، به استقلال دامنه ادغام از اعداد و :

در اینجا در نظر گرفته شده است که برای هر عدد صحیح و . این عبارت در شکل خود بسیار نزدیک به تبدیل فوریه معکوس است. تنها تفاوت در شکل اشتباه عامل نمایی است. برای اینکه فرم لازم را به آن بدهیم، فرکانس های نرمال شده را معرفی می کنیم و مطابق با آن تغییر متغیرها را انجام می دهیم. در نتیجه، دریافت می کنیم:

حال عبارت (1.5) به شکل تبدیل فوریه معکوس است، بنابراین تابع زیر علامت انتگرال است.

(1.6)

طیف دو بعدی تصویر گسسته است. در صفحه فرکانس های نرمال نشده، عبارت (1.6) به شکل زیر است:

(1.7)

از (1.7) نتیجه می شود که طیف دو بعدی یک تصویر گسسته به ترتیب مستطیل شکل تناوبی با نقاط و در امتداد محورهای فرکانس و به ترتیب است. طیف یک تصویر گسسته در نتیجه جمع بی نهایت طیف از یک تصویر پیوسته تشکیل می شود که در جابجایی فرکانس و . شکل 1.2 به طور کیفی رابطه بین طیف های دو بعدی تصاویر پیوسته (شکل 1.2.a) و گسسته (شکل 1.2.b) را نشان می دهد.



برنج. 1.2. طیف فرکانستصاویر پیوسته و گسسته

خود نتیجه جمع اساساً به مقادیر این جابه‌جایی فرکانس یا به عبارت دیگر به انتخاب فواصل نمونه‌برداری بستگی دارد. فرض می کنیم که طیف یک تصویر پیوسته با صفر در ناحیه دو بعدی در مجاورت فرکانس صفر متفاوت است، یعنی با یک تابع متناهی دو بعدی توصیف می شود. در صورتی که علاوه بر آن فواصل نمونه گیری به گونه ای انتخاب شود که برای ، ، پس هیچ تداخلی از شاخه های منفرد در تشکیل جمع (1.7) وجود نخواهد داشت. در نتیجه، در هر بخش مستطیلی، تنها یک جمله با صفر متفاوت خواهد بود. به ویژه، زیرا ما داریم:

در , . (1.8)

بنابراین، در حوزه فرکانس، طیف تصاویر پیوسته و گسسته تا یک عامل ثابت منطبق می‌شوند. در این حالت، طیف تصویر گسسته در این حوزه فرکانس شامل اطلاعات کاملدر مورد طیف یک تصویر پیوسته ما تأکید می کنیم که این همزمانی تنها در شرایط مشخصی که با انتخاب مناسب فواصل نمونه گیری تعیین می شود، اتفاق می افتد. توجه داشته باشید که برآورده شدن این شرایط، مطابق با (1.8)، برای مقادیر به اندازه کافی کوچک فواصل نمونه‌برداری حاصل می‌شود که باید شرایط زیر را برآورده کند:

فرکانس های مرزی طیف دو بعدی کجا هستند.

رابطه (1.8) روش به دست آوردن یک تصویر پیوسته از یک تصویر گسسته را تعیین می کند. برای این کار کافی است یک فیلتر دوبعدی یک تصویر مجزا را با فیلتر پایین گذر انجام دهید. پاسخ فرکانس

طیف تصویر در خروجی آن شامل اجزای غیر صفر فقط در حوزه فرکانس است و طبق (1.8) برابر با طیف تصویر پیوسته است. این بدان معنی است که تصویر خروجی یک فیلتر پایین گذر ایده آل همان است.

بنابراین، بازسازی درون یابی ایده آل یک تصویر پیوسته با استفاده از یک فیلتر دو بعدی با پاسخ فرکانسی مستطیلی (1.10) انجام می شود. به راحتی می توان الگوریتم بازیابی یک تصویر پیوسته را به شکل صریح نوشت. 2 بعدی پاسخ ضربهفیلتر بازیابی، که به راحتی با استفاده از تبدیل فوریه معکوس از (1.10) به دست می آید، به شکل زیر است:

محصول فیلتر را می توان با استفاده از یک پیچش دو بعدی تصویر ورودی و یک پاسخ ضربه ای مشخص تعیین کرد. ارائه تصویر ورودیبه عنوان یک دنباله دو بعدی از توابع

پس از پیچیدگی متوجه می شویم:

رابطه حاصل روشی را برای بازسازی درونیابی دقیق یک تصویر پیوسته از یک دنباله شناخته شده از نمونه های دو بعدی آن نشان می دهد. بر اساس این عبارت، برای بازیابی دقیق، باید از توابع دو بعدی فرم به عنوان توابع درون یابی استفاده شود. رابطه (1.11) یک نسخه دو بعدی از قضیه Kotel'nikov-Nyquist است.

بار دیگر تاکید می کنیم که این نتایج در صورتی معتبر هستند که طیف دو بعدی سیگنال محدود باشد و فواصل نمونه برداری به اندازه کافی کوچک باشند. در صورت عدم رعایت حداقل یکی از این شرایط، اعتبار نتیجه گیری های انجام شده نقض می شود. تصاویر واقعی به ندرت دارای طیف هایی با فرکانس قطع مشخص هستند. یکی از دلایلی که منجر به نامحدود بودن طیف می شود، اندازه محدود تصویر است. به همین دلیل، جمع در (1.7) در هر یک از باندها، عملکرد اصطلاحات از باندهای طیفی همسایه را نشان می دهد. در این حالت، بازیابی دقیق یک تصویر پیوسته به طور کلی غیرممکن می شود. به طور خاص، استفاده از یک فیلتر با پاسخ فرکانسی مستطیلی منجر به ترمیم دقیق نمی شود.

یکی از ویژگی‌های بازسازی تصویر بهینه در فواصل بین نمونه‌ها، استفاده از تمام نمونه‌های یک تصویر گسسته، همانطور که در روش (1.11) تجویز شده است. این همیشه راحت نیست، اغلب نیاز به بازیابی سیگنال در منطقه محلی، بر اساس تعداد کمی از مقادیر گسسته موجود است. در این موارد، استفاده از بازیابی شبه بهینه با استفاده از توابع درونیابی مختلف توصیه می شود. این نوع مشکل، به عنوان مثال، هنگام حل مشکل پیوند دو تصویر، زمانی که به دلیل عدم تطابق هندسی این تصاویر، خوانش های موجود یکی از آنها می تواند با برخی از نقاط واقع در شکاف بین گره های تصویر مطابقت داشته باشد، ایجاد می شود. دیگر. راه حل این مشکل با جزئیات بیشتر در بخش های بعدی این راهنما مورد بحث قرار گرفته است.





برنج. 1.3. اثر فاصله نمونه بر روی بازیابی تصویر "اثر انگشت"

برنج. 1.3 اثر فواصل نمونه برداری بر بازیابی تصویر را نشان می دهد. تصویر اصلی که اثر انگشت است در شکل نشان داده شده است. 1.3، a، و یکی از بخش های طیف نرمال شده آن در شکل نشان داده شده است. 1.3، ب. این تصویر گسسته است و مقدار آن به عنوان فرکانس قطع استفاده می شود. همانطور که از شکل زیر آمده است. 1.3b، مقدار طیف در این فرکانس بسیار ناچیز است، که بازسازی با کیفیت بالا را تضمین می کند. در واقع همانطور که در شکل. 1.3.a، تصویر نتیجه بازیابی یک تصویر پیوسته است و نقش فیلتر بازیابی توسط یک دستگاه تجسم - مانیتور یا چاپگر انجام می شود. از این نظر، تصویر در شکل. 1.3.a را می توان پیوسته در نظر گرفت.

برنج. 1.3، c، d پیامدهای انتخاب اشتباه فواصل نمونه گیری را نشان می دهد. هنگامی که آنها به دست آمدند، "گسسته سازی تصویر پیوسته" (شکل 2) انجام شد. 1.3.a با نازک کردن قرائت آن. برنج. 1.3، c مربوط به افزایش گام نمونه برداری برای هر مختصات به میزان سه است و شکل. 1.3، d - چهار بار. اگر مقادیر فرکانس های قطع به همان تعداد دفعات کمتر باشد، این قابل قبول است. در واقع همانطور که از شکل 1.3، b، الزامات (1.9) نقض می شود، به ویژه زمانی که نمونه ها چهار بار نازک می شوند. بنابراین، تصاویر بازسازی‌شده با استفاده از الگوریتم (1.11) نه تنها فوکوس‌زدایی می‌کنند، بلکه به شدت بافت چاپ را مخدوش می‌کنند.





برنج. 1.4. تأثیر فاصله نمونه برداری در بازیابی تصویر «پرتره».

روی انجیر 1.4 مجموعه مشابهی از نتایج به دست آمده برای یک تصویر از نوع "پرتره" را نشان می دهد. پیامدهای نازک شدن قوی تر (چهار بار در شکل 1.4.c و شش بار در شکل 1.4.d) عمدتاً در از دست دادن شفافیت ظاهر می شود. از نظر ذهنی، از دست دادن کیفیت کمتر از شکل 1 است. 1.3. این با عرض طیف بسیار کوچکتر از یک تصویر اثر انگشت توضیح داده می شود. گسسته شدن تصویر اصلی با فرکانس قطع مطابقت دارد. همانطور که در شکل دیده میشود. 1.4.b، این مقدار بسیار بالاتر از مقدار واقعی است. بنابراین، افزایش فاصله نمونه برداری، که در شکل 1 نشان داده شده است. 1.3، c، d، اگرچه تصویر را بدتر می کند، اما همچنان به چنین پیامدهای ویرانگری مانند مثال قبلی منجر نمی شود.

یک الگوریتم تراکم که بسیار کیفیت بالاتصاویر با نسبت فشرده سازی اطلاعات بیشتر از 25:1. تصویر 24 بیتی تمام رنگی 640 x 480 پیکسل (استاندارد VGA) معمولاً برای ذخیره سازی خود به رم ویدیو نیاز دارد.

تبدیل موجک گسسته- نمونه ای از سطح 1 تبدیل تصویر موجک گسسته. در بالا تصویر تمام رنگی اصلی، در وسط تبدیل موجک به صورت افقی روی تصویر اصلی (فقط کانال روشنایی)، در پایین موجک است ... ... ویکی پدیا

RASTER - شطرنجی- یک تصویر گسسته، که به عنوان یک ماتریس [از] پیکسل نشان داده می شود ... فرهنگ لغت تجارت الکترونیک

گرافیک کامپیوتری- تجسم تصویر اطلاعات روی صفحه نمایش (مانیتور). برخلاف بازتولید یک تصویر بر روی کاغذ یا رسانه های دیگر، تصویر ایجاد شده روی صفحه را می توان تقریباً بلافاصله پاک و/یا تصحیح کرد، کوچک کرد یا کشید. فرهنگ لغت دایره المعارفی

شطرنجی- یک تصویر مجزا که به صورت ماتریسی از پیکسل ها روی صفحه یا کاغذ ارائه می شود. یک شطرنجی با وضوح، تعداد پیکسل در واحد طول، اندازه، عمق رنگ و غیره مشخص می شود. نمونه هایی از ترکیبات: چگالی ... ... کتابچه راهنمای مترجم فنی

جدول- ▲ آرایه جدول دو بعدی آرایه دو بعدی; نمایش گسسته یک تابع از دو متغیر. شبکه اطلاعات ماتریس کارت گزارش. | جدول بندی خط خط ستون ستون ستون نمودار نمودار نمودار ▼ نمودار … فرهنگ لغت ایدئوگرافیک زبان روسی

تبدیل لاپلاس- تبدیل لاپلاس یک تبدیل انتگرالی است که تابعی از یک متغیر مختلط (تصویر) را به تابعی از یک متغیر واقعی (اصلی) متصل می کند. برای کشف خواص استفاده می شود سیستم های دینامیکیو تصمیم بگیرید ... ... ویکی پدیا

تبدیل لاپلاس

تبدیل لاپلاس معکوس- تبدیل لاپلاس یک تبدیل انتگرالی است که تابعی از یک متغیر مختلط (تصویر) را به تابعی از یک متغیر واقعی (اصلی) مرتبط می کند. به کمک آن خواص سیستم های دینامیکی بررسی می شود و دیفرانسیل و ... ویکی پدیا

GOST R 52210-2004: پخش تلویزیون دیجیتال. اصطلاحات و تعاریف- اصطلاحات GOST R 52210 2004: پخش تلویزیون دیجیتال. اصطلاحات و تعاریف سند اصلی: 90 (تلویزیون) دمولتی پلکسر: دستگاهی طراحی شده برای جداسازی جریان های داده تلویزیون دیجیتال ترکیبی ... ... فرهنگ لغت - کتاب مرجع شرایط اسناد هنجاری و فنی

فشرده سازی ویدیو- (eng. فشرده سازی ویدئو) کاهش مقدار داده های مورد استفاده برای نمایش جریان ویدئو. فشرده سازی ویدیو به شما امکان می دهد تا به طور موثر جریان مورد نیاز برای انتقال ویدیو از طریق کانال های پخش را کاهش دهید، فضا را کاهش دهید، ... ... ویکی پدیا