مبانی نظریه تبدیل موجک. تبدیل موجک گسسته

در عمل، DTWS باید برای سیگنال های با طول محدود اعمال شود. بنابراین، برای به دست آوردن دنباله ای از ضرایب با طول یکسان از یک سیگنال با طول، باید اصلاح شود. تبدیل حاصل، تبدیل موجک گسسته (DWT) نامیده می شود.

ابتدا DWT را به صورت ماتریسی توصیف می کنیم و سپس بر اساس بانک های فیلتر که بیشتر در پردازش سیگنال استفاده می شود.

در هر دو مورد، ما فرض می کنیم که اساس توابع و
به طور فشرده تعریف شده است. این به طور خودکار تضمین می کند که دنباله ها محدود هستند. و . علاوه بر این، فرض کنید سیگنالی که باید تبدیل شود دارای طول باشد
.

1. توضیحات ماتریس dwt

با بردار مشخص کنید دنباله طول محدود برای برخی . این بردار به بردار تبدیل می شود
، حاوی دنباله ها است
و
هر نیم طول. تبدیل را می توان به صورت ضرب ماتریس نوشت
، جایی که ماتریس
- مربع و از صفر و عناصر تشکیل شده است ضربدر
. به دلیل خواص به دست آمده در بخش 2.3، ماتریس
متعامد است و ماتریس معکوس آن برابر با جابجایی است. به عنوان مثال، مثال زیر را در نظر بگیرید. بیایید یک فیلتر از طول را در نظر بگیریم
، دنباله ای از طول
و به عنوان مقدار اولیه -
. دنباله دریافت از با فرمول (2.35)، که در آن
. سپس عملیات ضرب ماتریس-بردار به صورت نمایش داده می شود

. (2.52)

تبدیل معکوس ضرب است
به ماتریس معکوس
:

. (2.53)

بنابراین، بیان (2.51) یک مرحله DWT است. DWT کامل برای ضرب مکرر نیمه بالایی بردار است
به یک ماتریس مربع
، اندازه آن
. این روش قابل تکرار است دبار تا زمانی که طول بردار 1 شود.

در ردیف های چهارم و هشتم ماتریس (2.51) دنباله به صورت دایره ای جابجا شده: ضرایبی که خارج از ماتریس سمت راست هستند در همان ردیف سمت چپ قرار می گیرند. این بدان معنی است که DWT دقیقاً یک دوره طول دارد نسیگنال DTWS با تداوم دوره ای بی نهایت به دست می آید . بنابراین DWT، زمانی که به این شکل تعریف شود، از تناوب سیگنال استفاده می کند، مانند مورد DFT.

شرح ماتریس DWT کوتاه و واضح است. با این حال، در پردازش سیگنال، DWT اغلب با استفاده از یک بلوک دیاگرام شبیه به سیستم تجزیه و تحلیل سنتز توصیف می شود (شکل 1.1 را ببینید).

1. شرح dwt با استفاده از بلوک های فیلتر

با در نظر گرفتن تبدیل‌های زیر باند در فصل 1، ما برابری‌های مشابه (2.45) و (2.46) را به‌عنوان فیلتر و به دنبال آن کاهش با ضریب دو تفسیر کردیم. از آنجایی که در این مورددو فیلتر وجود دارد و ، سپس بانک فیلتر دو بانده است و می توان آن را همانطور که در شکل 2.5 نشان داده شده است نشان داد.

فیلترها افو Eبه معنای فیلتر کردن توسط فیلتر است و
، به ترتیب. در شاخه پایین مدار فیلترینگ پایین گذر انجام می شود. نتیجه مقداری تقریب سیگنال است، یک زیر باند فرکانس پایین (LF) فاقد جزئیات است. یک زیر باند فرکانس بالا (HF) در بالای مدار اختصاص داده شده است. توجه داشته باشید که هنگام پردازش سیگنال ها، ثابت است
همیشه از بانک فیلتر خارج می شود و سیگنال در 2 ضرب می شود (شکل 3.2، فصل 3 را ببینید).

بنابراین، مدار در شکل 2.5 سیگنال سطح را تقسیم می کند
برای سیگنال های دو سطح
. علاوه بر این، تبدیل موجک با اعمال بازگشتی این طرح به قسمت LF به دست می‌آید. هنگام انجام تبدیل موجک یک تصویر، هر تکرار الگوریتم ابتدا به ردیف ها و سپس به ستون های تصویر انجام می شود (به اصطلاح هرم مالات ساخته می شود). در کدک‌های ویدیویی ADV6xx، از هرم Mallat اصلاح‌شده استفاده می‌شود، زمانی که در هر تکرار لزوماً تغییر در ردیف‌ها و ستون‌ها انجام نمی‌شود. این کار برای در نظر گرفتن بهتر ادراک بصری یک فرد انجام می شود.

تبدیل حاصل مشابه (2.51) است. با این حال، چند تفاوت وجود دارد. هنگام فیلتر کردن سیگنالی با طول محدود، با مشکل ادامه آن در مرز مواجه می شویم. اجرای ماتریس DWT معادل ادامه دوره ای سیگنال در مرز است. این نوع ادامه برای فیلترهای متعامد اجباری است. در مورد فیلترهای دو طرفه، برخی احتمالات دیگر به دلیل تقارن ویژگی های آنها ظاهر می شود. این موضوع در فصل 3 با جزئیات بیشتر مورد بحث قرار خواهد گرفت.

مداری که DWT را انجام می دهد نیز می تواند همانطور که در شکل 2.6 نشان داده شده است نشان داده شود. در اینجا، فیلتر بازگشتی و حذف با یک عملیات فیلتر کردن و یک عملیات حذف در هر زیر باند جایگزین می‌شوند. تعریف فیلترهای تکرار شونده و در حوزه فرکانس ساده ترین است.

12.3 الگوریتم تبدیل موجک گسسته

به منظور ساخت الگوریتمی برای تبدیل موجک گسسته، تعدادی را معرفی می کنیم تبدیل های خطی. اول از همه، ما برای همه مجموع اعداد مدول مشخص می کنیم سبه صورت زیر: ، و همچنین فرض کنید که برداری وجود دارد که در آن سزوج. سپس تبدیل های معرفی شده را به صورت زیر قرار می دهیم:

,

برای همه . بدیهی است که این عبارات آنالوگ فیلترهای فرکانس بالا و فرکانس پایین (12.1)، (12.2)، با در نظر گرفتن جمع دوره ای داده ها با استفاده از جمع مدول هستند. واضح است که تبدیل ها، تقسیم بردار اصلی طول را انجام می دهند سبه دو بردار نیمه طول.

بنابراین، الگوریتم تبدیل موجک به اجرای یک رویه تکرار شونده از تبدیل - و - که در بردار اعمال می شود کاهش می یابد. نتیجه چنین تبدیلی بردارها هستند , ضرایب تقریب و جزئیات.

به عبارت دیگر، به صورت بازگشتی، این الگوریتم به شکل زیر است:

توجه داشته باشید که نماد معرفی شده برای ضرایب بسط بسیار شبیه به نماد ضرایب است، در حالی که بازگشت‌های (12.12)، (12.13) با الگوریتم آبشار هستند. نکته این است که ساخت الگوریتم تبدیل گسستهکاملاً بر اساس تئوری تبدیل گسسته بر اساس توابع موجک است (به پاراگراف قبلی مراجعه کنید). تفاوت اصلی اینجاست که در کاربردهای آماریضرایب فقط تقریباً با ضرایب بسط مطابقت دارد.

توجه داشته باشید که بازگشت های (12.12)، (12.13) را می توان با موفقیت در محاسبه ضرایب تقریب و پالایش نیز برای موارد استفاده کرد: واقعیت این است که دنباله های تکمیل شده دوره ای هستند، و

,

.

الگوریتم تبدیل دیسکت معکوس به اجرای عبارت (12.11) نیز تحت شرایط دوره‌بندی داده کاهش می‌یابد. الگوریتم با بازیابی بردارها شروع می شود

,

و تا بازیابی وکتور ادامه می یابد تا تبدیل شود . عبارت بازگشتی برای بازیابی اطلاعات در این مورد به صورت زیر است:

12.4 تجزیه و تحلیل موجک گسسته آماری

پارتیشن بندی داده ها

بنابراین، محاسبه تخمین موجک بر اساس تبدیل موجک گسسته است که در بالا توضیح داده شد. همانطور که نشان داده شد، چنین تحلیلی شامل کار با داده‌هایی است که طول آن‌ها کجاست به- مقداری کامل با این حال، در عمل، طول داده های مورد مطالعه اغلب با توان 2 برابر نیست، و بنابراین لازم است که چنین داده هایی در یک شبکه مساوی با تعداد گره ها کشیده شوند. آنچه گفته شد هم برای مشکلات تخمین چگالی توزیع و هم برای مشکلات هموارسازی داده های رگرسیونی صادق است.

رویه های تقسیم داده ها به فواصل برای تخمین چگالی و تجزیه و تحلیل رگرسیونبه ترتیب در بندهای 10.2، 10.8 معرفی شده است. که در این مکانتأثیر چنین تقسیم‌بندی بر کیفیت تخمین‌های سنتز شده مورد بحث قرار می‌گیرد. مثال هایی که برای بحث در مورد اثر استفاده می شود از فصل گرفته شده است. 10، شکل. 10.1 - 10.11.

به عنوان مثال داده های طول، اثر تقسیم به فواصل متشکل از نقاط بررسی می شود. خطاهای مجذور ریشه میانگین مربع در ساخت تخمین ها در جدول 12.1 نشان داده شده است.

جدول 12.1

میانگین مربعات خطاهای انتگرالی

برای پارتیشن بندی فواصل با طول های مختلف

همانطور که از جدول مشاهده می شود، انحراف استاندارد انتگرال به حداقل خود در . نمودار این خطا در شکل نشان داده شده است. 12.1.

با وجود این واقعیت که برای چنین برآوردهایی می توان تعریف کرد اندازه بهینهفاصله زمانی، باید در تفسیر آماری آن بسیار دقت کرد. واقعیت این است که تقسیم داده ها به فواصل یک نوع هموارسازی اولیه است که اغلب در تئوری مورد توجه قرار نمی گیرد. بدیهی است که با افزایش تعداد بازه های پارتیشن، بیشتر بازده محاسباتی الگوریتم سریع از بین می رود. نقاط نشان دهنده مقادیر RMS در شکل. 12.1 نشان دهنده سازش بین سرعت محاسبه برآورد و کیفیت پیش هموارسازی است.

ساخت تقریبی تخمین موجک

الگوریتم پیاده سازی تبدیل موجک گسسته برای اهداف ساخت و ساز برآوردهای آماری(12.6) - (12.8) به نظر می رسد:

RMS یکپارچه ساخته شده برای نماد S8

اجازه دهید در این مرحله چند نکته در مورد الگوریتم بالا بیان کنیم. اول، تعریف تبدیل گسسته به استفاده از داده هایی اشاره دارد که به طور دوره ای در هر مرحله از الگوریتم به روز می شوند. به عبارت دیگر، داده‌ها حاصل جمع‌بندی دوتایی است که در آن داده‌های اصلی به صورت دوره‌ای با تکمیل می‌شوند زبه طوری که برای .

دوم، همانطور که قبلا ذکر شد، سطح بالاتجزیه در الگوریتم داده شده دخیل نیست: در عمل فرض می شود و رویه های آستانه برای ضرایب بسط همه سطوح به جز سطح اعمال می شود. ک، فقط حاوی ضرایب تقریبی است. با این حال، اگر قرار باشد ضرایب بسط سطوح بالاتر از را حذف کند، همانطور که در مثال با تخمین موجک خطی انجام می شود، تعریف (12.6) با شرط تکمیل می شود:

.

مانند (12.3)، مراحل 1 - 3 الگوریتم را می توان به صورت ماتریسی نشان داد. برای این منظور بردار داده های مورد مطالعه با نشان داده می شود . سپس تبدیل مستقیم به شکل زیر خواهد بود:

که در آن عملگر بعد است. نشان دادن آن آسان است اپراتور داده شدهمتعامد است زیرا شامل محصولات تعداد محدودی از ماتریس-عملگرهای متعامد مربوط به مراحل مختلف الگوریتم مول است.

اجازه دهید عملگر رویه کوبیدن بردار را نشان دهد:

در حالی که عملگر تبدیل معکوس، یا به دلیل متعامد بودن است. بنابراین، نتیجه اعمال متوالی اعمال 1 - 3، توسط بردار بیان می شود را می توان به صورت زیر بدست آورد:

در صورتی که مشکلی که باید حل شود ساخت یک تخمین موجک خطی باشد و سطح به عنوان سطح در نظر گرفته شود، threshholding به یک تبدیل هویت کاهش می یابد که در نهایت فراهم می کند. واقعیت این است که حفظ ضرایب گسترش در هر یک از سطوح در این مورد اجازه می دهد تا ارزیابی نهایی فقط داده های اصلی را تکرار کند.

علاوه بر این، الگوریتم نشان داده شده توسط مراحل 1 - 3 است قانون کلیساخت تخمین موجک توجه داشته باشید که این الگوریتم سریعتر از FFT است، زیرا فقط به عملیات نیاز دارد. به طور کلی، الگوریتم به شما اجازه می دهد تا به جای تخمین داده ها، تقریبی از داده ها بسازید. یک استثنا در اینجا تجزیه داده ها به اساس هار است. متاسفانه، واقعیت داده شدهدر ادبیات بحث نشده است.

بیایید در این مسالهکمی بیشتر. برای این منظور، اجازه دهید یک تخمین خطی، تنظیم برای هر و را در نظر بگیریم ک. اجازه دهید همچنین فرض کنیم که داده های اصلی این نیاز را برآورده می کنند:

.

(12.18)

مشخص است که بازگشت (12.9)، (12.10) محاسبه تخمین ضرایب را ممکن می کند، در حالی که عبارات بازگشتی (12.12)، (12.13) تقریباً ضرایب مشابهی هستند با این فرض که داده های اولیه برای بازگشت هستند. دقیقا همینطور با این حال، اگر نیاز (12.18) برآورده شود، داده های اولیه برای (12.12)، (12.13) در مرحله 3 از الگوریتم متفاوت از داده های مشابه بازگشت معکوس (12.9)، (12.10) توسط فاکتوری است. بنابراین، خطی بودن الگوریتم مستلزم نیاز به وارد کردن یک اصلاح در تبدیل مستقیم است:

,

.

علاوه بر این، عبارت اصلی برای تبدیل مستقیم تصحیح شده است:

جایی که اپراتور به شکل زیر در می آید:

با ترکیب عبارات (12.17) و (12.19)، اکنون می توانیم آن را بنویسیم

موضوع تبدیل موجک

سخنرانی 6-8

توابع مقیاس بندی تبدیل موجک متعامد، پیوسته و گسسته.

مشکلات تخمین و تقریب. تبدیل موجک دو بعدی و چند بعدی و پردازش تصویر (حذف نویز، پردازش تصویر شطرنجی).

نمایش چند مقیاسی سطوح برای تجزیه و تحلیل موجک. فشرده سازی موجک سیگنال ها، تصاویر، تصاویر ویدئویی.

تبدیل موجک سیگنال ها تعمیم تحلیل طیفی است که یک نماینده معمولی آن تبدیل فوریه کلاسیک است. اصطلاح "موجک" (موجک) در ترجمه انگلیسی به معنای "موج کوچک (کوتاه)" است. موجک ها نامی تعمیم یافته برای خانواده هایی از توابع ریاضی با فرم معینی هستند که از نظر زمان و فرکانس محلی هستند و در آنها همه توابع از یک پایه (تولیدکننده) با استفاده از جابجایی ها و کشش های آن در امتداد محور زمان به دست می آیند. تبدیل موجک، توابع زمانی تحلیل شده را بر حسب نوسانات محلی در زمان و فرکانس در نظر می گیرد. به عنوان یک قاعده، تبدیل موجک (WT) به گسسته (DWT) و پیوسته (CWT) تقسیم می شود.

DWT برای تبدیل سیگنال و کدگذاری، CWT برای تجزیه و تحلیل سیگنال استفاده می شود. تبدیل موجک در حال حاضر برای طیف گسترده ای از کاربردها استفاده می شود و اغلب جایگزین تبدیل فوریه معمولی می شود. این در بسیاری از زمینه ها، از جمله دینامیک مولکولی، مکانیک کوانتومی، اخترفیزیک، ژئوفیزیک، اپتیک، گرافیک کامپیوتری و پردازش تصویر، تجزیه و تحلیل DNA، تحقیقات پروتئین، تحقیقات آب و هوا، پردازش سیگنال عمومی، و تشخیص گفتار دیده می شود.

تحلیل موجک نوع خاصی از تبدیل خطی سیگنال ها و داده های فیزیکی است. اساس توابع ویژه، که بر اساس آن تجزیه موجک سیگنال ها انجام می شود، دارای خواص و قابلیت های خاص بسیاری است. توابع موجک پایه این امکان را فراهم می کند تا بر روی ویژگی های محلی خاصی از فرآیندهای تجزیه و تحلیل شده تمرکز کنیم که با استفاده از تبدیل های فوریه و لاپلاس سنتی نمی توان آنها را آشکار کرد. چنین فرآیندهایی در ژئوفیزیک شامل زمینه هایی از پارامترهای فیزیکی مختلف محیط طبیعی است. اول از همه، این به زمینه های دما، فشار، پروفیل های ردیابی لرزه ای و سایر کمیت های فیزیکی مربوط می شود.

موجک‌ها به شکل بسته‌های موج کوتاه با میانگین صفر هستند که در امتداد محور آرگومان‌ها (متغیرهای مستقل) موضعی هستند، تغییرناپذیر به شیفت و خطی نسبت به عملیات مقیاس‌بندی (فشرده‌سازی/کشش) هستند. از نظر محلی سازی در زمان و نمایش فرکانس، موجک ها یک موقعیت میانی بین توابع هارمونیک بومی سازی شده در فرکانس و تابع دیراک محلی شده در زمان را اشغال می کنند.

نظریه موجک یک نظریه فیزیکی بنیادی نیست، اما ابزاری مناسب و کارآمد برای حل بسیاری از مسائل عملی فراهم می‌کند. زمینه اصلی کاربرد تبدیل های موجک، تجزیه و تحلیل و پردازش سیگنال ها و توابع غیر ساکن در زمان یا غیریکنواخت در فضا است، زمانی که نتایج تجزیه و تحلیل نه تنها شامل پاسخ فرکانسی سیگنال (توزیع انرژی سیگنال بر روی مولفه های فرکانس)، بلکه اطلاعاتی در مورد مختصات محلی که گروه های خاصی از مولفه های فرکانس بر روی آنها قرار دارند. تغییر سریعاجزای فرکانس سیگنال در مقایسه با تجزیه سیگنال‌ها به سری فوریه، موجک‌ها می‌توانند ویژگی‌های محلی سیگنال‌ها را با دقت بسیار بالاتر تا ناپیوستگی‌های نوع اول (پرش) نشان دهند. بر خلاف تبدیل فوریه، تبدیل موجک سیگنال های یک بعدی یک جابجایی دو بعدی را فراهم می کند، در حالی که فرکانس و مختصات به عنوان متغیرهای مستقل در نظر گرفته می شوند که امکان تجزیه و تحلیل سیگنال ها را در دو فضا به طور همزمان ممکن می کند.

یکی از ایده‌های اصلی و به ویژه پربار نمایش موجک سیگنال‌ها در سطوح مختلف تجزیه (تجزیه) این است که عملکردهای نزدیک شدن به سیگنال را به دو گروه تقسیم کنیم: تقریبی - خشن، با دینامیک زمانی نسبتاً آهسته تغییرات، و جزئیات. - با پویایی محلی و سریع تغییرات در برابر دینامیک صاف پس زمینه، با تکه تکه شدن و جزئیات بعدی آنها در سطوح دیگر تجزیه سیگنال. این هم در حوزه زمان و هم در حوزه فرکانس نمایش سیگنال توسط موجک امکان پذیر است.

تاریخچه تحلیل طیفی به آی. برنولی، اویلر و فوریه برمی گردد که برای اولین بار تئوری بسط توابع را در سری های مثلثاتی ایجاد کردند. با این حال، این تجزیه برای مدت طولانی به عنوان یک تکنیک ریاضی مورد استفاده قرار گرفت و با هیچ مفهوم فیزیکی مرتبط نبود. بازنمایی های طیفی توسط دایره نسبتاً باریکی از فیزیکدانان نظری مورد استفاده و توسعه قرار گرفت. با این حال، از دهه 1920، به دلیل توسعه سریع مهندسی رادیو و آکوستیک، گسترش طیفی معنای فیزیکی پیدا کرد و استفاده عملی. تجزیه و تحلیل هارمونیک به ابزار اصلی برای تجزیه و تحلیل فرآیندهای فیزیکی واقعی تبدیل شده است مبنای ریاضیتجزیه و تحلیل - تبدیل فوریه. تبدیل فوریه یک فرآیند دلخواه را به نوسانات هارمونیک ابتدایی با فرکانس های مختلف تجزیه می کند و تمام خواص و فرمول های لازم با استفاده از یک تابع پایه exp(jt) یا دو تابع واقعی sin(t) و cos(t) بیان می شود. نوسانات هارمونیک در طبیعت گسترده هستند، و بنابراین معنای تبدیل فوریه، بدون توجه به تحلیل های ریاضی، شهودی است.

تبدیل فوریه دارای تعدادی ویژگی قابل توجه است. حوزه تعریف تبدیل، فضای L2 توابع انتگرال پذیر مربع است و بسیاری از فرآیندهای فیزیکی در طبیعت را می توان به عنوان توابع متعلق به این فضا در نظر گرفت. برای اعمال تبدیل، رویه‌های محاسباتی کارآمد مانند تبدیل فوریه سریع (FFT) توسعه یافته‌اند. این رویه ها در تمام بسته های برنامه های کاربردی ریاضی گنجانده شده و در سخت افزار در پردازنده های سیگنال پیاده سازی می شوند.

همچنین مشخص شد که توابع را می توان نه تنها از نظر سینوس ها و کسینوس ها، بلکه از نظر سایر سیستم های پایه متعامد، به عنوان مثال، چند جمله ای های لژاندر و چبیشف، توابع لاگر و هرمیت گسترش داد. با این حال، آنها تنها در دهه های پایانی قرن بیستم به دلیل توسعه فناوری رایانه و روش های سنتز سیستم های پردازش داده های خطی دیجیتال، کاربرد عملی دریافت کردند. به طور مستقیم برای اهداف تجزیه و تحلیل طیفی، چنین توابع متعامد به دلیل مشکلات در تفسیر نتایج به دست آمده، کاربرد گسترده ای پیدا نکرده اند. به همین دلایل، توابعی از نوع "موج مربع" والش، رادماچر و غیره در تحلیل طیفی توسعه نیافته اند.

مطالعات نظری سیستم‌های پایه منجر به ایجاد نظریه تحلیل طیفی تعمیم‌یافته شد که امکان برآورد محدودیت‌های کاربرد عملی تحلیل طیفی فوریه را فراهم کرد، روش‌ها و معیارهایی را برای سنتز سیستم‌های پایه متعامد ایجاد کرد. این توسط نظریه موجک توابع پایه، که از اوایل دهه 1980 به طور فعال در حال توسعه بوده است، نشان داده شده است. با توجه به شفافیت تفسیر فیزیکی نتایج تحلیل، مشابه رویکرد «فرکانس» در تبدیل فوریه، مبنای متعامد موجک به ابزاری محبوب و مؤثر برای تجزیه و تحلیل سیگنال‌ها و تصاویر در آکوستیک، لرزه‌نگاری، پزشکی و غیره تبدیل شده است. زمینه های علم و فناوری

آنالیز موجک نوعی تحلیل طیفی است که در آن نقش نوسانات ساده توسط نوع خاصی از توابع به نام موجک ایفا می شود. تابع پایه موجک یک نوسان "کوتاه" است، اما نه تنها. مفهوم فرکانس تحلیل طیفی در اینجا با مقیاس جایگزین می شود و به منظور پوشش کل محور زمانی با "امواج کوتاه"، یک جابجایی توابع در زمان معرفی می شود. اساس موجک ها توابعی از نوع ((t-b)/a) هستند که b جابجایی و مقیاس است. تابع (t) باید مساحت صفر و حتی بهتر از آن، گشتاورهای اول، دوم و سایر ممان‌ها برابر با صفر باشد. تبدیل فوریه چنین توابعی برابر با صفر در =0 است و به شکل فیلتر باند گذر است. با مقادیر مختلف پارامتر مقیاس بندی "a"، این مجموعه ای از فیلترهای باند گذر خواهد بود. خانواده‌های موجک در حوزه زمان یا فرکانس برای نشان دادن سیگنال‌ها و توابع به عنوان برهم‌نهی موجک‌ها در سطوح مختلف تجزیه سیگنال استفاده می‌شوند.

اولین ذکر چنین توابعی (که موجک نامیده نمی شدند) در آثار هار در آغاز قرن گذشته ظاهر شد. موجک هار یک موج مربعی کوتاه در فاصله زمانی است که در شکل 1 نشان داده شده است. 1.1.1. با این حال، از نظر تئوری جالب تر است، زیرا تابعی به طور پیوسته قابل تمایز نیست و دارای "دم" های طولانی در حوزه فرکانس است. در دهه 1930، پل لوی فیزیکدان، هنگام مطالعه حرکت براونی، دریافت که اساس هار برای مطالعه جزئیات حرکت براونی بهتر از مبنای فوریه است.

اصطلاح "موجک" به عنوان یک مفهوم، در مقاله خود توسط J. Morlet و A. Grossman (J. Morlet, A. Grossman) که در سال 1984 منتشر شد، معرفی شد. . سهم قابل توجهی در نظریه موجک ها توسط گوپیلود، گروسمن و مورلت، که پایه های CWT را فرموله کردند، اینگرید داوبچیز، که موجک های متعامد را توسعه داد (1988)، ناتالی دلپرا، که تفسیر زمان-فرکانس CWT را ایجاد کرد، انجام شد (1991). ، و خیلی های دیگر. رسمی شدن ریاضی موجک ها در آثار این نویسندگان و سایر نویسندگان منجر به ایجاد مبانی نظری تجزیه و تحلیل موجک شد که به آن تحلیل چند وضوحی (چند مقیاسی) می گویند.

در حال حاضر پکیج های الحاقی ویژه موجک ها در سیستم های اصلی ریاضیات کامپیوتری (Matlab، Mathematica، Mathcad و ...) وجود دارد و تبدیل موجک و تحلیل موجک در بسیاری از حوزه های علم و فناوری برای کارهای مختلف مورد استفاده قرار می گیرد. بسیاری از محققان آنالیز موجک را "میکروسکوپ ریاضی" برای مطالعه دقیق ترکیب داخلی و ساختار سیگنال ها و توابع ناهمگن می نامند.

روش های موجک پردازش و تجزیه و تحلیل سیگنال نباید به عنوان یک فناوری جهانی جدید برای حل هر مشکلی در نظر گرفته شود. قابلیت های موجک ها هنوز به طور کامل افشا نشده است، اما این بدان معنا نیست که توسعه آنها به جایگزینی کامل ابزارهای سنتی پردازش و تجزیه و تحلیل اطلاعات، به خوبی تثبیت شده و آزمایش شده منجر شود. موجک ها امکان گسترش پایگاه ابزاری فناوری اطلاعات برای پردازش داده ها را فراهم می کنند.

تجزیه و تحلیل تبدیل سیگنال موجک توسط پایه ریاضی تجزیه سیگنال، که شبیه تبدیل فوریه است، تعیین می شود. اصلی ترین ویژگی متمایز تبدیل موجک مبنای جدیدی برای تجزیه سیگنال ها - توابع موجک است. خواص موجک ها هم برای امکان تجزیه سیگنال ها از نظر توابع موجک واحد و هم برای اقدامات هدفمند بر روی طیف سیگنال موجک، از جمله بازسازی بعدی سیگنال ها از طیف موجک های پردازش شده، اهمیت اساسی دارند.

موجک ها می توانند متعامد، نیمه متعامد، دو ضلعی باشند. توابع موجک می توانند متقارن، نامتقارن و نامتقارن، با و بدون دامنه تعریف فشرده باشند و همچنین دارای درجات صافی متفاوتی باشند. برخی از توابع دارای یک عبارت تحلیلی هستند، برخی دیگر دارای یک الگوریتم سریع برای محاسبه تبدیل موجک هستند. در عمل، داشتن موجک های متقارن و نامتقارن متعامد مطلوب است، اما چنین موجک های ایده آلی وجود ندارند. بیشترین کاربرد توسط موجک های دو طرفه یافت می شود.

توابع پایه تبدیل موجک می تواند بیشترین باشد توابع مختلفبا یک حامل فشرده - سینوسی های مدوله شده توسط پالس ها، عملکردهایی با جهش سطح و غیره. آنها نمایش و تجزیه و تحلیل خوبی از سیگنال ها با ویژگی های محلی، از جمله پرش ها، ناپیوستگی ها و مقادیر شیب دار ارائه می دهند.

مطلوب است که چنین تبدیل موجک سیگنال هایی وجود داشته باشد که معادل اطلاعاتی کامل طیف موجک سیگنال ها را به نمایش موقت و تجزیه بدون ابهام - بازسازی سیگنال ها ارائه دهد. با این حال، این تنها در صورت استفاده از موجک های متعامد و دو ضلعی امکان پذیر است. برای تجزیه و تحلیل کیفی سیگنال‌ها و ویژگی‌های محلی در سیگنال‌ها، می‌توان از طیف وسیع‌تری از توابع موجک استفاده کرد، که اگرچه بازسازی سیگنال را ارائه نمی‌دهند، اما ارزیابی محتوای اطلاعاتی سیگنال‌ها و پویایی تغییرات در این اطلاعات را ممکن می‌سازند. .

تعریف موجک موجک ها شامل توابع محلی هستند که از یک موجک والد (t) (یا از هر متغیر مستقل دیگری) با تغییر در آرگومان (b) و مقیاس بندی (a) ساخته می شوند:

 ab (t) = (1/) ((t-b)/a)، (a, b)R, (t)L 2 (R).

که در آن ضریب (1/) تضمین می کند که هنجار توابع مستقل از مقیاس عدد "a" است.

تبدیل موجک پیوسته سیگنال s(t)L 2 (R) که برای تحلیل کیفی زمان-فرکانس استفاده می‌شود، در معنای خود با تبدیل فوریه با جایگزینی مبنای هارمونیک exp(-jt) مطابقت دارد. توسط موجک ((t-b)/a):

С(a, b) = s(t),  ab (t) = (1/)s(t)((t-b)/a) dt, (a, b)R, a 0.

طیف مقیاس زمانی موجک C(a,b)، بر خلاف طیف فوریه، تابعی از دو آرگومان است: مقیاس موجک "a" (در واحدهای متقابل فرکانس)، و تغییر زمانی موجک توسط سیگنال "b" (بر حسب واحد زمان)، در حالی که پارامترهای "a" و "b" می توانند هر مقداری را در محدوده تعریف خود بگیرند.

برنج. 24.1.1. موجک Mhat و Wave.

برای روش های کمی تجزیه و تحلیل، هر تابع محلی (t) را می توان به عنوان پایه موجک استفاده کرد، اگر توابع دوگانه  # (t) برای آنها وجود داشته باشد، به طوری که خانواده های ( ab (t)) و (  ab ( t) ) می تواند پایه های زوجی از فضای تابع L 2 (R) را تشکیل دهد. موجک های تعریف شده به این ترتیب به ما اجازه می دهند هر تابع دلخواه را در فضای L 2 (R) به صورت یک سری نمایش دهیم:

s(t) = С(a,b)  ab (t), (a, b)I,

که در آن ضرایب C(a,b) پیش بینی سیگنال بر اساس موجک فضا هستند:

С(a,b) = s(t)،  ab (t) =s(t) ab (t) dt.

اگر موجک (t) خاصیت متعامد بودن را داشته باشد،   (t) ≡ (t) و مبنای موجک متعامد است. موجک می تواند غیر متعامد باشد، اما اگر دارای یک دوقلو باشد، و جفت ((t)،   (t)) تشکیل خانواده ( mk (t)) و (  zp (t) را ممکن می کند. ))، شرایط دو ضلعی در اعداد صحیح I را برآورده می کند:

 mk (t)،   zp (t) =  mz  kp , m,k,z,p О I,

سپس می توان سیگنال ها را به سری موجک با فرمول بازسازی معکوس تجزیه کرد.

ویژگی های موجک ,

بومی سازی. موجک باید پیوسته، یکپارچه، دارای پشتیبانی فشرده باشد و هم در زمان (در مکان) و هم از نظر فرکانس محلی باشد. اگر موجک در فضا باریک شود، آنگاه فرکانس "متوسط" آن افزایش می یابد، طیف موجک به ناحیه ای بیشتر می رود. فرکانس های بالاو گسترش می یابد. این فرآیند باید خطی باشد - باریک کردن موجک به نصف باید فرکانس "متوسط" و عرض طیف آن را نیز دو برابر افزایش دهد.

میانگین صفر ، یعنی تحقق شرط لحظه صفر:

که تقویت صفر مولفه ثابت سیگنال ها، مقدار صفر طیف فرکانس موجک در =0، و محلی سازی طیف موجک را به شکل فیلتر باند گذر در مرکز فرکانس معین (غالب)  0 فراهم می کند.

محدودیت. شرط لازم و کافی:

||(t)|| 2 =|(t)| 2dt< 

اساس خود شباهت یا خود تشابهی شکل همه موجک های اصلی  ab (t) باید شبیه موجک والد (t) باشد، یعنی. باید در حین جابجایی و پوسته پوسته شدن (کشش/فشردگی) ثابت بماند، تعداد نوسانات یکسانی داشته باشد.

تبدیل نقشه . حاصل تبدیل موجک یک سری عددی یک بعدی (سیگنال) است آرایه دو بعدیمقادیر ضرایب С(a,b). توزیع این مقادیر در فضا (a، b) - مقیاس زمانی، محلی سازی زمانی، اطلاعاتی در مورد تغییر در زمان سهم نسبی اجزای موجک مقیاس های مختلف به سیگنال می دهد و طیف سیگنال نامیده می شود. ضرایب تبدیل موجک، طیف مقیاس-زمان (فرکانس-زمان) یا صرفاً طیف موجک.

طیف C(a,b) یک سیگنال یک بعدی، سطحی در فضای سه بعدی است. روش های تجسم طیف می تواند بسیار متفاوت باشد. رایج ترین راه، طرح ریزی بر روی هواپیما است. abبا خطوط ایزوله (ایزوله)، که امکان ردیابی تغییرات ضرایب را در مقیاس های زمانی مختلف و همچنین آشکارسازی الگوی منتهی الیه موضعی این سطوح ("تپه ها" و "تغارها")، به اصطلاح " اسکلت" (اسکلت) ساختار فرآیند تحلیل شده. برای طیف وسیعی از مقیاس ها، مختصات لگاریتمی (log آ, ب). نمونه ای از طیف موجک ساده ترین سیگنال زمانی که توسط موجک Mhat تجزیه می شود در شکل نشان داده شده است. 24.1.2.

برنج. 24.1.2. سیگنال، موجک Mhat - بخش های طیف و مقیاس طیف.

توسط مقاطع عمودی (قطعات برشی ب) طیف موجک ترکیب اجزای سیگنال (از مجموعه ای معین از موجک ها) را در هر لحظه جاری منعکس می کند. با مفهوم تبدیل، به عنوان یک محصول اسکالر سیگنال با یک موجک، واضح است که مقادیر ضرایب در هر نقطه زمانی جاری در امتداد مقاطع مقیاس بیشتر باشد، همبستگی بین موجک قوی‌تر است. یک مقیاس داده شده و رفتار سیگنال در مجاورت این نقطه. بر این اساس، مقاطع عرضی برای پارامتر "a" تغییرات در سیگنال جزء یک مقیاس معین "a" را با زمان نشان می دهد.

اجزای موجک سیگنال در بخش‌های طیف آن هیچ ارتباطی با سینوسی‌ها ندارند و معمولاً با سیگنال‌هایی با شکل نسبتاً پیچیده و نه همیشه واضح نشان داده می‌شوند که می‌تواند تجسم و درک آنها را دشوار کند.

توابع موجک . انتخاب موجک تحلیلگر با توجه به اطلاعاتی که باید از سیگنال استخراج شود تعیین می شود. با در نظر گرفتن ویژگی‌های مشخصه موجک‌های مختلف در زمان و فضای فرکانسی، می‌توان ویژگی‌ها و ویژگی‌های خاصی را در سیگنال‌های تحلیل‌شده شناسایی کرد که روی نمودارهای سیگنال، به‌ویژه در حضور نویز، نامرئی هستند. در این مورد، مشکل بازسازی سیگنال ممکن است مطرح نشود، که خانواده توابع موجک معمولی استفاده شده، از جمله توابع غیر متعامد را گسترش می دهد. علاوه بر این، موجک را می توان مستقیماً برای آن ویژگی محلی در سیگنال طراحی کرد که باید استخراج یا شناسایی شود، اگر شکل آن از قبل مشخص باشد.

هنگام تجزیه و تحلیل سیگنال‌ها توسط موجک‌هایی از نوع زوج (متقارن یا نزدیک به متقارن)، سیگنال‌های هارمونیک معمولاً با باندهای افقی روشن قله‌ها و فرورفتگی‌های موجک در فرکانس‌های موجک غالب که با فرکانس هارمونیک‌های سیگنال منطبق هستند، مطابقت دارند. نقض نرمی سیگنال ها با نوارهای عمودی ثابت می شود، قله ها در سیگنال ها با حداکثر برجسته می شوند و فرورفتگی ها حداقل ضرایب موجک هستند. برعکس، موجک‌های نوع عجیب‌تر به جهش‌ها و تغییرات سریع سیگنال‌ها واکنش نشان می‌دهند و بسته به علامت دیفرانسیل، آنها را با حداکثر یا حداقل علامت‌گذاری می‌کنند. هرچه ویژگی‌های سیگنال‌ها بارزتر باشد، در طیف‌نگارها قوی‌تر ظاهر می‌شوند.

برای ساخت چنین موجک‌هایی، اغلب از مشتقات گاوسی استفاده می‌شود که بهترین مکان‌یابی را در حوزه زمان و فرکانس دارند. به طور کلی، معادله موجک اصلی به صورت زیر است:

 n (x) = (-1) n +1 d n / dx n، n ≥ 1، (24.1.1)

موجک WAVE با اولین مشتق (n=1) محاسبه می شود و در شکل نشان داده شده است. 24.1.3 در حوزه زمان و فرکانس برای سه مقدار از فاکتورهای مقیاس بندی "a". شکل موجک به توابع فرد اشاره دارد و بر این اساس، طیف موجک خیالی است. معادله موجک مطابق (24.1.1) با هنجار واحد:

برنج. 24.1.3. موج موجک.

موجک MNAT (کلاه مکزیکی - کلاه مکزیکی) از مشتق دوم (n=2) محاسبه شده و در شکل نشان داده شده است. 24.1.5. موجک متقارن است، طیف موجک فقط با قسمت واقعی نمایش داده می شود و از نظر فرکانس به خوبی محلی است، ممان صفر و اول موجک برابر با صفر است. برای تجزیه و تحلیل سیگنال های پیچیده استفاده می شود. معادله موجک مطابق (24.1.1):

برنج. 24.1.5. موجک MHAT.

روی انجیر 24.1.6 نمونه ای از استفاده از یک موجک برای تجزیه و تحلیل سیگنال پیچیده y(t) را نشان می دهد. مدل سیگنال از مجموع سیگنال های ساختارهای مختلف تشکیل می شود. سیگنال های y1-y2 توابع گاوسی در سطوح مختلف مقیاس هستند، سیگنال y3 - موج مربع، سیگنال y4 به عنوان روند با مقدار ثابت دیفرانسیل داده می شود. در نمودار کانتور ضرایب موجک، می توان انتخاب هر سه ساختار سیگنال اصلی را با حذف کامل روند مشاهده کرد. مرزهای پرش های یک ساختار مستطیلی به ویژه به وضوح مشخص می شود. در سمت راست در شکل، یک تصویر سه بعدی کامل از تبدیل موجک نشان داده شده است.

موجک به طور گسترده در نسخه دو بعدی برای تجزیه و تحلیل میدان های همسانگرد استفاده می شود. بر اساس آن، می توان یک پایه غیر همسانگرد دو بعدی با انتخاب زاویه ای خوب در هنگام اضافه کردن به جابجایی ها و مقیاس بندی موجک چرخش آن ساخت.

برنج. 24.1.7.

پیامد عملی افزایش درجه محلی سازی موجک ها در حوزه فرکانس به وضوح در شکل 1 دیده می شود. 24.1.8 در مثالی از تبدیل تابع مشابه در شکل. 24.1.6. مقایسه شکل ها افزایش قابل توجهی در حساسیت موجک به اجزای فرکانس بالای سیگنال در فاکتورهای مقیاس کوچک نشان می دهد.

ویژگی های تبدیل موجک

نتایج تبدیل موجک، به عنوان حاصل ضرب اسکالر موجک و تابع سیگنال، حاوی اطلاعات ترکیبی در مورد سیگنال تحلیل شده و خود موجک است. به دست آوردن اطلاعات عینی در مورد سیگنال بر اساس ویژگی های تبدیل موجک است که در انواع موجک ها مشترک است. بیایید اصلی ترین این خواص را در نظر بگیریم. برای نشان دادن عملیات تبدیل موجک توابع دلخواه s(t)، از شاخص TW استفاده می کنیم.

خطی بودن .

TW[·s 1 (t)+·s 2 (t)] = ·TW+·TW. (24.2.1)

عدم تغییر برشی . جابجایی سیگنال در زمان توسط t 0 منجر به جابجایی طیف موجک نیز با t 0 می شود:

TW = C(a, b-t o). (24.2.2)

مقیاس ناپذیری . کشش (فشرده سازی) سیگنال منجر به فشرده سازی (کشش) طیف موجک سیگنال می شود:

TW = (1/a o) C(a/a o، b/a o). (24.2.3)

تفکیک .

d n (TW)/dt n = TW. (24.2.4)

TW = (-1)n s(t) dt. (24.2.5)

اگر موجک آنالیز با فرمول داده شود، می تواند برای تجزیه و تحلیل سیگنال بسیار مفید باشد. ویژگی های مرتبه بالا یا تغییرات در مقیاس کوچک سیگنال s(t) را می توان با تمایز تعداد دفعات مورد نیاز موجک یا خود سیگنال تجزیه و تحلیل کرد.

قیاسی از قضیه پارسوال برای موجک های متعامد و دو ضلعی.

s 1 (t) s 2 *(t) \u003d C   a -2 C (a, b) C * (a, b) da db. (24.2.6)

نتیجه این است که انرژی سیگنال را می توان بر حسب ضرایب تبدیل موجک محاسبه کرد.

تعاریف و خواص تبدیل موجک پیوسته یک بعدی به موارد چند بعدی و گسسته تعمیم داده شده است.

24.3. تبدیل موجک سیگنال های ساده

تبدیل موجک که هنگام تجزیه و تحلیل سیگنال ها برای شناسایی هر ویژگی در آنها و مکان آنها بدون بازسازی معکوس انجام می شود، امکان استفاده از هر نوع موجک اعم از متعامد و غیر متعامد را فراهم می کند. اغلب برای این اهداف از موجک های متقارن استفاده می شود. در زیر نتایج استفاده از موجک Mhat برای تجزیه و تحلیل شکل موج های ساده آورده شده است. محاسبات با موجک (24.1.3) طبق فرمول انجام می شود:

с(a,b) =s(t)(t,a,b), (24.3.1)

که در آن جمع در محلول زاویه نفوذ (بر روی منطقه اطمینان) با یک گام t = b = a = 1 انجام می شود. از آنجایی که تابع مقیاس بندی در بسط پیوسته استفاده نمی شود، شمارش مقادیر "a" از 1 شروع می شود و سری ضرایب c(0,b) صفر می ماند و پس زمینه صفر نمودارهای کانتور طیف را مشخص می کند.

پالس های کرونکر (مثبت و منفی)، طیف موجک پالس ها و مقاطع عرضی طیف در سه مقدار از پارامتر "a" در شکل نشان داده شده است. 24.3.1. محدوده رنگ طیف در اینجا و در آینده با محدوده رنگ طبیعی از قرمز (مقادیر بزرگ) تا بنفش (مقادیر کوچک ضرایب) مطابقت دارد.

برنج. 24.3.1. تبدیل تکانه های کرونکر.

از بخش‌های طیف می‌توان دریافت که پیچش تک پالس‌ها با موجک‌هایی در مقیاس‌های مختلف، شکل موجک‌ها را همان‌طور که باید در عمل کانولوشن انجام می‌دهد، تکرار می‌کند. به همین ترتیب، خطوط حداکثر انتهایی در بخش ها ("برآمدگی ها" و "دره ها"، بسته به قطبیت) موقعیت زمانی پالس ها را تعیین می کنند، و انتهاهای جانبی قطب مخالف، لوب های مشخصه ای را در مخروط زاویه تشکیل می دهند. تاثیری که به خوبی بیان شده است.

برنج. 24.3.2. تبدیل توابع لاپلاس.

یک ویژگی مشابه از طیف نیز برای هرگونه ناهمگنی محلی در سیگنال ها به شکل پیک ها (شکل 24.3.2) با تغییر در حداکثر (حداقل) ضرایب с(a,b) از مقادیر حفظ می شود. a=1 به ناحیه مقادیر بزرگ "a" (بسته به عرض پیک موثر).

برنج. 24.3.3. تبدیل توابع گاوسی

روی انجیر 24.3.3 طیف توابع گاوسی را نشان می دهد. هنگامی که نوک ناهمگونی های اوج صاف می شود، شکل مخروط های رنگ نیز صاف می شود، اما خطوط "برآمدگی" ("دره") کاملاً موقعیت مراکز ناهمگونی های محلی را در محور زمان ثابت می کنند.

برنج. 24.3.4. تبدیل اختلاف مقدار ثابت توابع.

روی انجیر 24.3.4 طیف دو تفاوت شیب متفاوت در مقادیر ثابت تابع را نشان می دهد. مراکز قطره ها با تلاقی صفر مقادیر ضرایب c(a,b) ثابت می شوند و شیب افت ها عمدتاً بر روی مقادیر تابع c(a,b) در منعکس می شود. مقادیر کوچک پارامتر "a".

در شکست توابع، طیف‌نگارها با اطمینان مکان شکست را با حداکثر (حداقل) مقادیر ضرایب c(a,b) ثابت می‌کنند، همانطور که در شکل نشان داده شده است. 24.3.5. هنگامی که نویز به چنین عملکردهایی اعمال می شود، تعیین دقیق محل شکست در مقاطع مقیاس در مقادیر کوچک پارامتر "a" غیرممکن می شود، اما در مقادیر زیاد پارامتر "a" این امکان باقی می ماند. ، طبیعتاً با کاهش دقت محلی سازی.

برنج. 24.3.5. تبدیل پیچ خوردگی توابع.

اثر نویز بر روی سایر سیگنال های محلی دارای ویژگی مشابهی است (شکل 24.3.1-24.3.4). اگر ویژگی های طیفی سیگنال ها به محدوده مقادیر پارامتر "a" گسترش یابد، می توان این سیگنال ها و مکان آنها را در محور زمان شناسایی کرد.

برنج. 24.3.6. تبدیل توابع هارمونیک

جداسازی توابع هارمونیک در محور مقیاس طیف ها، از جمله برهم نهی فرآیندهای نویز قوی، در مثال های شکل نشان داده شده است. 24.3.6. مثال ارائه شده صرفاً گویا است، زیرا استفاده از آن مصلحت است تحلیل طیفیو فیلترهای باند فرکانس. با این وجود، برای سیگنال‌های محلی، مانند هارمونیک‌های مدوله‌شده، طیف موجک به خوبی مکان محلی‌سازی خود را در محور زمان نشان می‌دهد.

برنج. 24.3.7. تغییر فاز یک سیگنال هارمونیک

روی انجیر 24.3.7 نمونه ای از یکی دیگر از ویژگی های مشخصه یک سیگنال هارمونیک است - تغییر فاز آن با 180 درجه، که به خوبی در تمام مقیاس های موجک ثابت شده است، و بنابراین، حتی در حضور سیگنال های نویز قوی به راحتی قابل تشخیص است.

هنگامی که سیگنال های سینوسی روی روند قرار می گیرند، تبدیل موجک در مقیاس های بزرگ به فرد اجازه می دهد تا با اطمینان کامل ویژگی های مشخصه روند را شناسایی کند. نمونه ای از برجسته کردن شکست های روند در شکل نشان داده شده است. 24.3.8.

برنج. 24.3.8. تبدیل مجموع سه سیگنال.

شکل موجک (زوج یا فرد)، فرکانس غالب و درجه محلی سازی آن به طور قابل توجهی بر طیف موجک سیگنال های تحلیل شده و امکان شناسایی ویژگی های محلی آن تأثیر می گذارد. شکل‌های زیر طیف مقایسه‌ای سیگنال‌های ساده را هنگام استفاده از موجک‌های Wave (فرد، شکل 24.1.3)، Mhat (زوج، شکل 24.1.5) و موجک توسط مشتق گاوسی 8 نشان می‌دهند (شکل 24.3.9-24.3). 0.16) که همچنین یکنواخت است و دارای فرکانس غالب 4 برابر بیشتر از موجک Mhat است.

برنج. 24.3.9. تکانه های کرونکر

برنج. 24.3.10. قله های لاپلاس

برنج. 24.3.11. توابع گاوسی

برنج. 24.3.12. پرش های باحال

برنج. 24.3.13. پرش های صاف.

برنج. 24.3.14. عملکرد خراب می شود

برنج. 24.3.15. پرش فاز هارمونیک ها

برنج. 24.3.16. مجموع دو سینوسی مدوله شده.

هنگام تجزیه و تحلیل سیگنال های دلخواه، استفاده از موجک های مختلف امکان افزایش قابلیت اطمینان شناسایی ویژگی های محلی سیگنال ها را فراهم می کند.

اصل تبدیل موجک توابع پایه هارمونیک تبدیل فوریه به شدت در حوزه فرکانس (تا توابع ضربه دیراک در T) محلی هستند و در حوزه زمانی (در کل بازه زمانی از - تا تعریف شده) محلی نیستند. متضاد آنها توابع پایه تکانه از نوع کرونکر است که به شدت در حوزه زمانی موضعی شده و در کل محدوده فرکانس "تار" هستند. موجک ها را از نظر محلی سازی در این دو نمایش می توان توابعی در نظر گرفت که بین توابع هارمونیک و ضربه ای جایگاه میانی را اشغال می کنند. آنها باید هم در حوزه زمان و هم در حوزه فرکانس نمایش محلی شوند. با این حال، هنگام طراحی چنین توابعی، ناگزیر با اصل عدم قطعیت مربوط به مقادیر موثر مدت زمان توابع و عرض طیف آنها مواجه خواهیم شد. هرچه موقعیت زمانی یک تابع را با دقت بیشتری بومی سازی کنیم، طیف آن گسترده تر می شود و بالعکس، که به وضوح در شکل 1 مشاهده می شود. 1.1.5.

یکی از ویژگی‌های متمایز تحلیل موجک این است که می‌تواند از خانواده‌هایی از توابع استفاده کند که انواع مختلفی از رابطه عدم قطعیت را پیاده‌سازی می‌کنند. بر این اساس، محقق امکان انتخاب انعطاف‌پذیری بین آنها و استفاده از آن دسته از توابع موجک را دارد که کارها را به بهترین نحو حل می‌کنند.

اساس موجک فضای L 2 (R)، R(-،)، توصیه می شود که از توابع محدود متعلق به همان فضا ساخته شود، که باید در بی نهایت به صفر تمایل داشته باشد. هرچه این توابع سریعتر به صفر تمایل داشته باشند، استفاده از آنها به عنوان مبنای تبدیل در تحلیل راحت تر است سیگنال های واقعی. فرض کنید که چنین تابعی psi است - یک تابع t، برابر با صفر در خارج از یک بازه محدود و دارای یک مقدار متوسط ​​صفر در بازه کار. مورد دوم برای تعیین محلی سازی طیف موجک در حوزه فرکانس ضروری است. بر اساس این تابع، ما یک پایه در فضای L 2 (R) با استفاده از تبدیل های مقیاس بندی متغیر مستقل ایجاد می کنیم.

تابع تغییر متغیر مستقل فرکانس در نمایش طیفی سیگنال ها در نمایش زمانی با کشش/فشرده کردن سیگنال نمایش داده می شود. برای یک موجک، این را می توان با تابعی مانند (t) =>(a m t)، a = const، m = 0، 1، …، M، یعنی. با استفاده از یک عملیات کشش/فشردگی خطی، که شباهت خود تابع را در مقیاس های مختلف نمایش تضمین می کند. با این حال، موقعیت تابع(t) در محور زمان نیازمند یک متغیر مستقل اضافی از جابجایی های متوالی تابع(t) در امتداد محور است، مانند(t) =>(t+k)، به کل محور عددی فضای R(-,) را پوشش می دهد. با در نظر گرفتن هر دو شرایط به طور همزمان، ساختار تابع پایه را می توان به صورت زیر در نظر گرفت:

(t) => (a m t+k). (1.1.10)

برای ساده کردن محاسبات بیشتر، مقادیر متغیرهای m و k به صورت اعداد صحیح در نظر گرفته می شوند. هنگام کاهش تابع (1.1.10) به هنجار واحد، به دست می آوریم:

 mk (t) = a m/2 (a m t+k). (1.1.11)

اگر خانواده توابع  mk (t) شرط متعامد بودن را برآورده کند:

 nk (t)، lm (t)= nk (t) * lm (t) dt = nl  km , (1.1.12)

سپس خانواده  mk (t) را می توان به عنوان پایه متعارف فضای L 2 (R) استفاده کرد. یک تابع دلخواه از این فضا را می توان به یک سری از نظر مبنای  mk (t) گسترش داد:

s(t) =S mk  mk (t)، (1.1.13)

که در آن ضرایب S m k پیش بینی سیگنال بر روی یک پایه متعامد توابع جدید است، مانند تبدیل فوریه، توسط حاصل ضرب اسکالر تعیین می شود.

S mk = s(t)،  mk (t) =s(t) mk (t) dt، (1.1.14)

در حالی که سری به طور یکنواخت همگرا می شوند:

||s(t) –S mk  mk (t)،|| = 0.

هنگامی که این شرایط برآورده شود، تابع تبدیل پایه (t) موجک متعامد نامیده می شود.

ساده ترین مثال از یک سیستم متعامد از توابع از این نوع، توابع هار هستند. تابع هار پایه با رابطه تعریف می شود

(t) = (1.1.15)

به راحتی می توان بررسی کرد که برای a = 2، m = 0، 1، 2، ...، k = 0، 1،2، ...، هر دو تابعی که با استفاده از این موجک پایه با مقیاس گذاری و ترجمه به دست می آیند، دارای هنجار واحد هستند. و متعامد. روی انجیر 1.1.6 نمونه هایی از توابع را برای سه مقدار اول m و b با ترکیبات مختلف آنها ارائه می دهد، که در آنها متعامد بودن توابع به وضوح قابل مشاهده است.

برنج. 1.1.6. توابع هار

طیف موجک بر خلاف تبدیل فوریه، دو بعدی است و سطحی دو بعدی را در فضای متغیرهای m و k تعریف می کند. در نمایش گرافیکی، پارامتر کشش/فشردگی طیف m در امتداد محور آبسیسا رسم می‌شود و پارامتر محلی‌سازی k در امتداد محور ارتین، محور متغیر مستقل سیگنال است. ریاضیات فرآیند تجزیه موجک یک سیگنال به شکل ساده شده با استفاده از مثال تجزیه سیگنال s(t) توسط موجک هار با سه تابع موجک متوالی در مقیاس m با پارامتر a=2 در نظر گرفته می شود، در حالی که سیگنال همانطور که در شکل نشان داده شده است، s(t) با جمع کردن توابع موجک مشابه با دامنه یکسان با جابجایی های متفاوت از صفر تشکیل می شود. 1.1.7.

برنج. 1.1.7. محصولات نقطه ای سیگنال با موجک.

برای مقدار اولیه ضریب مقیاس بندی m، تابع موجک (1(t) در شکل 1.1.7)، و حاصل ضرب اسکالر سیگنال با موجک1(t)، s(t+) تعیین می شود. k)با آرگومان shift k . برای وضوح، نتایج محاسبه محصولات اسکالر در شکل 1. 1.1.7 بر روی مراکز توابع موجک ساخته شده است (یعنی بر روی آرگومان k از صفر با جابجایی نصف طول تابع موجک). همانطور که انتظار می رود، حداکثر مقادیر حاصلضرب اسکالر در جایی که همان تابع موجک محلی است، ذکر می شود.

پس از ساخت اولین خط مقیاس تجزیه، مقیاس تابع موجک تغییر می کند (2 در شکل 1.1.7) و محاسبه خط مقیاس دوم طیف انجام می شود و به همین ترتیب.

همانطور که در شکل مشاهده می شود. 1.1.7، هر چه ویژگی محلی سیگنال با تابع موجک مربوطه مطابقت داشته باشد، انتخاب این ویژگی در خط مقیاس مربوط به طیف موجک مؤثرتر است. مشاهده می شود که برای یک موجک هار بسیار فشرده، یک ویژگی محلی مشخص و مشخص یک پرش سیگنال است و نه تنها پرش تابع، بلکه جهت پرش نیز مشخص می شود.

روی انجیر 1.1.8 نمونه ای از نمایش گرافیکی سطح موجک یک فرآیند فیزیکی واقعی /4/ را نشان می دهد. نوع سطح تعیین کننده تغییرات زمانی مولفه های طیفی مقیاس های مختلف است و به آن طیف زمان-فرکانس می گویند. سطح در شکل ها، به عنوان یک قاعده، به صورت خطوط ایزوله یا رنگ های شرطی به تصویر کشیده می شود. برای گسترش دامنه مقیاس ها می توان از مقیاس لگاریتمی استفاده کرد.

ظهور ارزان قیمت دوربین های دیجیتالمنجر به این واقعیت شد که بخش قابل توجهی از ساکنان سیاره ما، بدون در نظر گرفتن سن و جنسیت، عادت به گرفتن هر قدم خود و قرار دادن تصاویر حاصل در نمایش عمومی در در شبکه های اجتماعی. علاوه بر این، اگر قبلاً یک آرشیو عکس خانوادگی در یک آلبوم قرار می گرفت، امروز از صدها عکس تشکیل شده است. به منظور تسهیل ذخیره سازی و انتقال آنها از طریق شبکه، کاهش وزن تصویر دیجیتال مورد نیاز است. برای این منظور از روش های مبتنی بر الگوریتم های مختلف از جمله تبدیل موجک استفاده می شود. این چیست، مقاله ما به شما خواهد گفت.

تصویر دیجیتال چیست؟

اطلاعات بصری در رایانه به صورت اعداد نمایش داده می شود. صحبت کردن زبان ساده، عکس گرفته شده توسط یک دستگاه دیجیتال جدولی است که در سلول های آن مقادیر رنگی هر یک از پیکسل های آن وارد شده است. اگر در مورد یک تصویر تک رنگ صحبت می کنیم، آنها با مقادیر روشنایی از بخش جایگزین می شوند، جایی که 0 برای نشان دادن سیاهی استفاده می شود و 1 سفید است. سایه‌های باقی‌مانده به‌عنوان اعداد کسری تنظیم می‌شوند، اما کار کردن با آنها ناخوشایند است، بنابراین دامنه گسترش می‌یابد و مقادیر از فاصله بین 0 تا 255 انتخاب می‌شوند. چرا از این؟ همه چیز ساده است! با این انتخاب در نمایش باینری، دقیقاً 1 بایت برای رمزگذاری روشنایی هر پیکسل مورد نیاز است. بدیهی است که ذخیره حتی یک تصویر کوچک به حافظه بسیار زیادی نیاز دارد. به عنوان مثال، یک عکس با ابعاد 256 در 256 پیکسل 8 کیلوبایت می گیرد.

چند کلمه در مورد روش های فشرده سازی تصویر

مطمئنا همه عکس ها را دیده اند کیفیت بد، که در آن اعوجاج هایی به شکل مستطیل های همرنگ وجود دارد که معمولاً به آنها مصنوعات می گویند. آنها از فشرده سازی به اصطلاح با اتلاف ناشی می شوند. این به شما امکان می دهد تا وزن تصویر را به میزان قابل توجهی کاهش دهید، اما به طور اجتناب ناپذیری بر کیفیت آن تأثیر می گذارد.

ضررها عبارتند از:

• JPEG. بر این لحظهیکی از محبوب ترین الگوریتم ها است. این مبتنی بر کاربرد تبدیل کسینوس گسسته است. انصافاً باید توجه داشت که انواع JPEG وجود دارد که فشرده سازی بدون تلفات را انجام می دهند. از جمله این موارد می توان به JPEG و JPEG-LS بدون اتلاف اشاره کرد.
• JPEG 2000. الگوریتم در استفاده می شود پلتفرم های موبایلو مبتنی بر استفاده از تبدیل موجک گسسته است.
• الگوریتم فشرده سازی فراکتال در برخی موارد، این امکان را به شما می دهد که حتی با فشرده سازی بالا، تصاویری با کیفیت عالی دریافت کنید. با این حال، به دلیل مشکلات ثبت اختراع، این روش همچنان عجیب و غریب است.

فشرده سازی بدون تلفات با استفاده از الگوریتم های زیر انجام می شود:

• RLE (به عنوان روش اصلی در فرمت های TIFF، BMP، TGA استفاده می شود).
• LZW (در قالب GIF استفاده می شود).
• LZ-Huffman (برای فرمت PNG استفاده می شود).

تبدیل فوریه

قبل از اینکه به بررسی موجک ها بپردازیم، منطقی است که تابع مربوط به آنها را مطالعه کنیم، که ضرایب تجزیه اطلاعات اولیه را به اجزای اصلی، یعنی نوسانات هارمونیک با فرکانس های مختلف توصیف می کند. به عبارت دیگر، تبدیل فوریه ابزار منحصر به فردی است که جهان های گسسته و پیوسته را به هم متصل می کند.

به نظر می رسد این است:

فرمول وارونگی به صورت زیر نوشته می شود:

موجک چیست

این نام یک تابع ریاضی را پنهان می کند که به شما امکان می دهد مولفه های فرکانس مختلف داده های مورد مطالعه را تجزیه و تحلیل کنید. نمودار آن یک نوسان موج مانند است که دامنه آن تا 0 دور از مبدا کاهش می یابد. در حالت کلی، ضرایب موجک تعیین شده توسط تبدیل یکپارچه سیگنال مورد توجه است.

طیف‌نگارهای موجک با طیف‌های فوریه معمولی تفاوت دارند زیرا طیف را جفت می‌کنند. ویژگی های مختلفسیگنال ها با مولفه زمان خود

تبدیل موجک

این روش تبدیل سیگنال (تابع) به شما امکان می دهد آن را از زمان به نمایش فرکانس زمان ترجمه کنید.

برای اینکه تبدیل موجک ممکن باشد، باید شرایط زیر برای تابع موجک مربوطه برآورده شود:

• اگر برای برخی از تابع ψ (t) تبدیل فوریه شکل داشته باشد

پس شرط زیر باید رعایت شود:

بعلاوه:

• موجک باید انرژی محدودی داشته باشد.
• باید یکپارچه، پیوسته و دارای پشتیبانی فشرده باشد.
• موجک باید هم از نظر فرکانس و هم در زمان (در مکان) محلی باشد.

انواع

یک تبدیل موجک پیوسته برای سیگنال های مربوطه استفاده می شود. خیلی جالب تر همتای گسسته آن است. پس از همه، می توان از آن برای پردازش اطلاعات در رایانه استفاده کرد. با این حال، این یک مشکل مربوط به این واقعیت را ایجاد می کند که فرمول های DWT گسسته را نمی توان با گسسته سازی ساده فرمول های DWT مربوطه به دست آورد.

راه حل این مشکل توسط I. Daubechies پیدا شد، که توانست روشی را بیابد که به فرد اجازه می دهد مجموعه ای از چنین موجک های متعامد را بسازد، که هر کدام توسط تعداد محدودی از ضرایب تعیین می شوند. بعدها ایجاد شدند الگوریتم های سریعبرای مثال الگوریتم مول. هنگامی که از آن برای تجزیه یا ترمیم استفاده می شود، باید حدوداً عملیات cN انجام شود، که در آن N طول نمونه و c تعداد ضرایب است.

موجک هارا

به منظور یافتن الگوی خاصی در میان داده های او، و حتی بهتر از آن، اگر اینها رشته های طولانی صفر باشند. اینجاست که الگوریتم تبدیل موجک می تواند مفید واقع شود. با این حال، بیایید بررسی روش را به ترتیب ادامه دهیم.

ابتدا باید به یاد داشته باشید که در عکس ها، روشنایی پیکسل های همسایه، به طور معمول، مقدار کمی متفاوت است. حتی اگر تصاویر واقعی دارای مناطقی با تغییرات روشنایی واضح و متضاد باشند، تنها بخش کوچکی از تصویر را اشغال می کنند. به عنوان مثال، بیایید تصویر آزمایشی معروف Lenna را در مقیاس خاکستری در نظر بگیریم. اگر ماتریس روشنایی پیکسل های آن را در نظر بگیریم، بخشی از ردیف اول مانند دنباله ای از اعداد 154، 155، 156، 157، 157، 157، 158، 156 خواهد بود.

برای به دست آوردن صفرها می توانید روش به اصطلاح دلتا را روی آن اعمال کنید. برای این کار فقط عدد اول ذخیره می شود و برای بقیه فقط تفاوت هر عدد با عدد قبلی با علامت "+" یا "-" گرفته می شود.

نتیجه یک دنباله است: 154،1،1،1،0،0،1،-2.

نقطه ضعف کدگذاری دلتا عدم محلی بودن آن است. به عبارت دیگر، اگر تمام مقادیر قبل از آن رمزگشایی نشده باشند، نمی توان فقط یک قطعه از دنباله را گرفت و فهمید که چه روشنایی در آن رمزگذاری شده است.

برای غلبه بر این اشکال، اعداد به جفت تقسیم می‌شوند و برای هر کدام، نیم‌مجموع (مرجع الف) و نیم‌تفاوت (مرجع d)، یعنی برای (154.155)، (156.157)، (157.157) را پیدا می‌کنند. (158.156) ما (154.5، 0.5)، (156.5،0.5)، (157،0.0)، (157،-1.0) داریم. در این حالت، در هر زمان می توانید مقدار هر دو عدد را در جفت پیدا کنید.

در حالت کلی، برای تبدیل موجک گسسته سیگنال S، داریم:

چنین روش گسستهاز حالت پیوسته تبدیل موجک هار ناشی می شود و به طور گسترده در زمینه های مختلف پردازش و فشرده سازی اطلاعات استفاده می شود.

فشرده سازی

همانطور که قبلا ذکر شد، یکی از زمینه های کاربرد تبدیل موجک است الگوریتم jpeg 2000. فشرده سازی با استفاده از روش هار بر اساس ترجمه یک بردار از دو پیکسل X و Y به بردار (X + Y)/2 و (X - Y)/2 است. برای این کار کافیست بردار اصلی را در ماتریس زیر ضرب کنید.

اگر نقاط بیشتری وجود داشته باشد، یک ماتریس بزرگتر گرفته می شود که در امتداد قطر آن ماتریس های H قرار دارد. بنابراین، بردار اصلی، صرف نظر از طول آن، به صورت جفت پردازش می شود.

فیلترها

"نیم حاصل" مقادیر متوسط ​​روشنایی در جفت پیکسل است. یعنی مقادیری که به یک تصویر تبدیل می شوند باید یک کپی از آن به دست بیاورند که 2 برابر کاهش یابد. در این حالت، مجموع نیمی از روشنایی ها را به طور متوسط ​​​​فیلتر می کند، به عنوان مثال، انفجارهای تصادفی مقادیر آنها را "فیلتر" می کند و نقش فیلترهای فرکانس را بازی می کند.

حال بیایید ببینیم که تفاوت ها چه چیزی را نشان می دهند. آنها انفجارهای بین پیکسلی را "انتخاب می کنند"، مولفه ثابت را حذف می کنند، یعنی مقادیر "فیلتر کردن" را با فرکانس های پایین حذف می کنند.

حتی از تبدیل موجک هار بالا برای ساختگی ها، آشکار می شود که یک جفت فیلتر است که سیگنال را به دو جزء تقسیم می کند: فرکانس بالا و فرکانس پایین. برای به دست آوردن سیگنال اصلی، به سادگی این اجزا را دوباره ترکیب کنید.

مثال

فرض کنید می خواهیم یک عکس پرتره (تصویر آزمایشی لنا) را فشرده کنیم. مثالی از تبدیل موجک ماتریس روشنایی پیکسل آن را در نظر بگیرید. جزء فرکانس بالا تصویر وظیفه نمایش جزئیات دقیق را بر عهده دارد و نویز را توصیف می کند. در مورد فرکانس پایین، اطلاعاتی در مورد شکل صورت و تغییرات صاف در روشنایی دارد.

ویژگی های ادراک انسان از عکس ها به گونه ای است که مولفه آخر اهمیت بیشتری دارد. این بدان معنی است که در طول فشرده سازی، ممکن است قسمت خاصی از داده های فرکانس بالا دور ریخته شود. علاوه بر این، مقادیر کوچک‌تری دارد و فشرده‌تر کدگذاری می‌شود.

برای افزایش نسبت فشرده سازی، می توانید تبدیل هار را چندین بار روی داده های فرکانس پایین اعمال کنید.

کاربرد در آرایه های دو بعدی

همانطور که قبلاً گفته شد، تصویر دیجیتالدر یک کامپیوتر، آنها به صورت ماتریسی از شدت پیکسل های آن نمایش داده می شوند. بنابراین، ما باید به تبدیل موجک دو بعدی هار علاقه مند باشیم. برای پیاده سازی آن، فقط باید تبدیل تک بعدی آن را برای هر سطر و هر ستون از ماتریس شدت پیکسل تصویر انجام دهید.

مقادیر نزدیک به صفر را می توان بدون آسیب قابل توجهی به الگوی رمزگشایی دور انداخت. این فرآیند به عنوان کوانتیزاسیون شناخته می شود. و در این مرحله است که برخی از اطلاعات از بین می رود. به هر حال، تعداد ضرایب صفر را می توان تغییر داد و در نتیجه نسبت تراکم را تنظیم کرد.

تمام اقدامات توصیف شده منجر به این واقعیت می شود که ماتریسی به دست می آید که حاوی تعداد زیادی 0 است. باید خط به خط در آن نوشته شود. فایل متنیو با هر بایگانی فشرده کنید.

رمزگشایی

تبدیل معکوس به تصویر طبق الگوریتم زیر انجام می شود:

• آرشیو بسته بندی نشده است.
• تبدیل معکوس هار اعمال می شود.
• ماتریس رمزگشایی شده به یک تصویر تبدیل می شود.

مزایای بیش از JPEG

هنگام در نظر گرفتن الگوریتم گروه مشترک کارشناسان عکاسی گفته شد که بر اساس DCT است. چنین تبدیلی بلوک به بلوک (8×8 پیکسل) انجام می شود. در نتیجه، اگر فشرده سازی قوی باشد، ساختار بلوکی در تصویر بازسازی شده قابل توجه می شود. با فشرده سازی موجک، چنین مشکلی وجود ندارد. با این حال، نوع دیگری از اعوجاج ممکن است ظاهر شود، که ظاهر موج‌هایی در نزدیکی لبه‌های تیز دارد. اعتقاد بر این است که چنین مصنوعاتی به طور متوسط ​​کمتر از "مربع"هایی هستند که هنگام اعمال الگوریتم JPEG ایجاد می شوند.

اکنون می دانید که موجک ها چیست، چیست و چه کاربرد عملی در زمینه پردازش و فشرده سازی تصویر دیجیتال پیدا کرده اند.

موجک ها(از انگلیسی. موجک), می ترکد- این توابع ریاضی، به شما امکان می دهد مولفه های فرکانس مختلف داده ها را تجزیه و تحلیل کنید. ضرایب موجک با تبدیل یکپارچه سیگنال تعیین می شود. طیف‌نگارهای موجک به‌دست‌آمده از این نظر که اتصال واضحی از طیف ویژگی‌های سیگنال مختلف به زمان ارائه می‌دهند، اساساً با طیف‌های فوریه معمولی متفاوت هستند.

برای پردازش سیگنال های گسستهتبدیل موجک گسسته (DWT، DWT) استفاده می شود.

اولین DWT توسط ریاضیدان مجارستانی آلفرد هار پیشنهاد شد. برای سیگنال ورودیتبدیل موجک هار که با آرایه ای از 2 n عدد نشان داده می شود، به سادگی عناصر را با 2 گروه بندی می کند و مجموع و تفاوت هایی را از آنها تشکیل می دهد. گروه بندی مجموع به صورت بازگشتی انجام می شود تا سطح بعدی تجزیه را تشکیل دهد. در نتیجه 2 n-1 اختلاف و 1 بدست می آوریم مبلغ کل. ما با یک آرایه داده یک بعدی شروع می کنیم که از نعناصر. در اصل، این عناصر می توانند پیکسل های تصویر همسایه یا قطعات صوتی متوالی باشند. یک مثال می تواند آرایه ای از اعداد (2،9،12،10،9،8، 8،7) باشد. ابتدا چهار مقدار میانگین را محاسبه می کنیم (شکل 40)

واضح است که دانستن این چهار نیم حاصل برای بازیابی کل آرایه کافی نیست، بنابراین ما همچنان چهار نیم تفاوت را محاسبه می کنیم.

(2 - 9)/2 = - 4,5,

(12 - 10)/2 = 1,

(9 – 8)/2 = 0,5,

(8 – 7)/2 = 0,5,

که آن را ضرایب جزئیات می نامیم. میانگین ها را می توان به عنوان وضوح تصویر اصلی در مقیاس بزرگ در نظر گرفت و برای بازیابی جزئیات دقیق یا اصلاحات به جزئیات نیاز است. اگر داده های اصلی با هم مرتبط باشند، وضوح تصویر اصلی را در مقیاس بزرگ تکرار می کند و جزئیات کوچک خواهند بود.

برای بازیابی آرایه اصلی اعداد، می توان از آرایه ای متشکل از چهار نیم حاصل و چهار نیم تفاوت استفاده کرد. آرایه جدید نیز دارای هشت عدد است، اما چهار جزء آخر آن، نیمه‌تفاوت‌ها، کوچک‌تر می‌شوند که برای فشرده‌سازی خوب است.

بیایید روش خود را برای چهار جزء اول (بزرگ) آرایه جدیدمان تکرار کنیم. آنها به دو میانگین و دو نیمه اختلاف تبدیل می شوند. چهار جزء باقی مانده بدون تغییر باقی می ماند. تکرار بعدی و نهایی فرآیند ما دو جزء اول این آرایه را به یک میانگین (که در واقع میانگین هر 8 عنصر آرایه اصلی است) و یک نیمه تفاوت تبدیل می‌کند.

شکل 3.18. تصویری از عملکرد تبدیل موجک یک بعدی.

در نتیجه آرایه ای از اعداد به دست می آید که فراخوانی می شود تبدیل موجک هارآرایه داده اصلی

تبدیل موجک هار یک بعدی به راحتی به حالت دو بعدی منتقل می شود. تجزیه استاندارد (شکل 3.19) با محاسبه تبدیل موجک تمام خطوط تصویر آغاز می شود. تمام تکرارهای فرآیند برای هر ردیف اعمال می شود، تا زمانی که سمت چپ ترین عنصر هر ردیف برابر با مقدار متوسط ​​اعداد در این ردیف شود و همه عناصر دیگر برابر با تفاوت های وزنی شوند. تصویری به دست می آید که در ستون اول آن میانگین ستون های تصویر اصلی وجود دارد. پس از آن، الگوریتم استاندارد تبدیل موجک هر ستون را انجام می دهد. نتیجه یک آرایه دو بعدی است که در آن، سمت چپ ترین عنصر گوشه بالایی برابر با میانگین کل آرایه اصلی است. عناصر دیگر خط بالاییبرابر با اختلاف میانگین وزنی خواهد بود، اختلاف میانگین ها در زیر است و تمام پیکسل های دیگر به تفاوت های مربوطه تبدیل می شوند.

Pyramid Decomposition یک تبدیل موجک را با تکرار متناوب روی سطرها و ستون ها محاسبه می کند. در مرحله اول، نصف مجموع و نیم تفاوت برای همه ردیف ها محاسبه می شود (فقط یک تکرار، نه کل تبدیل موجک). این عمل میانگین ها را در نیمه چپ ماتریس و نیمه تفاوت ها را در نیمه سمت راست تولید می کند. در مرحله دوم، برای تمام ستون‌های ماتریس حاصل، نیم‌مجموع و نیم‌تفاوت محاسبه می‌شود.

شکل 3.19. تبدیل موجک دو بعدی استاندارد

شکل 3.20. تبدیل موجک دوبعدی هرمی

نتیجه تبدیل موجک دو بعدی مجموعه ای از ماتریس های مربوط به اجزای طیفی مختلف تصویر اصلی است. در همان زمان، در سمت چپ گوشه بالاییجزء فرکانس پایین LL4 یافت می شود (شکل 3.21)، که تنها بر اساس مجموع نیم ساخته شده است و یک کپی کاهش یافته از تصویر اصلی است.

شکل 3.21. اجزای تبدیل موجک دو بعدی

از بقیه اجزای تبدیل می توان برای بازیابی تصویر اصلی استفاده کرد. در عین حال، اجزای فرکانس بالا خود را به خوبی برای فشرده سازی استفاده می کنند الگوریتم های RLEو هافمن همچنین باید توجه داشت که در فشرده سازی با اتلاف می توان از کوانتیزاسیون و همچنین رد مستقیم بخشی از اجزاء استفاده کرد. نتیجه چنین عملیاتی نسبت تراکم خوب است. روی انجیر 3.22 نمونه ای از رمزگذاری تصویر با استفاده از تبدیل موجک را نشان می دهد.

لازم به ذکر است که تبدیل موجک دو بعدی به منابع محاسباتی قابل توجهی نیاز دارد که توسط روش های معمولی اجرا شود. روش های نرم افزاری. با این حال، الگوریتم تبدیل موجک شامل تعداد زیادیدگرگونی های ساده ای که به خوبی به موازی سازی کمک می کنند. در نتیجه، در هنگام استفاده از یک پایه المان تخصصی، این تبدیل در سخت افزار به خوبی انجام می شود.

شکل 3.22. نمونه ای از تبدیل موجک یک تصویر.

تبدیل موجک در استاندارد فشرده سازی تصویر JPEG2000 استفاده می شود و همچنین به عنوان ابزاری با فرمت MPEG-4 ارائه می شود.