Enterpolasyon ver. Lineer enterpolasyon ile bir ara değerin belirlenmesi

Bilinen değerler dizisinde ara sonuçlar bulmanız gereken bir durum vardır. Matematikte buna enterpolasyon denir. Excel'de Bu method hem tablo verileri hem de grafik çizmek için kullanılabilir. Bu yöntemlerin her birine bir göz atalım.

Enterpolasyonun uygulanabilmesi için temel koşul, istenen değerin veri dizisi içinde olması ve sınırını aşmamasıdır. Örneğin, 15, 21 ve 29 numaralı bağımsız değişkenlerimiz varsa, 25 numaralı bağımsız değişken için bir işlev bulurken enterpolasyonu kullanabiliriz. Ve 30 argümanına karşılık gelen değeri bulmak artık mümkün değil. Bu prosedür ile ekstrapolasyon arasındaki temel fark budur.

Yöntem 1: Tablo verileri için enterpolasyon

Her şeyden önce, bir tabloda yer alan veriler için enterpolasyon kullanmayı düşünün. Örneğin, oranı açıklanabilecek bir dizi argüman ve bunlara karşılık gelen fonksiyon değerlerini alalım. Doğrusal Denklem. Bu veriler aşağıdaki tabloya yerleştirilmiştir. Argüman için karşılık gelen işlevi bulmamız gerekiyor. 28 . Bunu yapmanın en kolay yolu operatör ile TAHMİN ETMEK.

Yöntem 2: ayarlarını kullanarak bir grafiği enterpolasyon

Enterpolasyon prosedürü, bir fonksiyon çizilirken de kullanılabilir. Aşağıdaki resimde olduğu gibi, grafiğin dayandığı tablonun bağımsız değişkenlerden biri için karşılık gelen işlev değerini belirtmemesi önemlidir.

Gördüğünüz gibi, grafik düzeltildi ve enterpolasyon kullanılarak boşluk kaldırıldı.

Yöntem 3: Bir işlevle grafik enterpolasyonu

Grafiği kullanarak da enterpolasyon yapabilirsiniz. özel fonksiyon ND. Belirtilen hücrede boş değerler döndürür.

Koşmadan daha da kolaylaştırabilirsin İşlev Sihirbazı, ancak boş bir hücreye bir değer sürmek için sadece klavyeyi kullanın "#YOK" tırnak işareti olmadan. Ancak bu, hangi kullanıcı için nasıl daha uygun olduğuna bağlı.

Gördüğünüz gibi, Excel programında, işlevi kullanarak tablo verileri gibi enterpolasyon yapabilirsiniz. TAHMİN ETMEK grafiklerin yanı sıra. İkinci durumda, bu, grafik ayarları kullanılarak veya işlev kullanılarak yapılabilir. ND, bir hataya neden oluyor "#YOK". Hangi yöntemin kullanılacağı, kullanıcının kişisel tercihlerinin yanı sıra sorun bildirimine de bağlıdır.

Bu terimin başka anlamları vardır, bkz. Enterpolasyon. İşlev hakkında bkz: Interpolant.

İnterpolasyon, interpolasyon (itibaren lat. interpolis - « düzeltildi, yenilendi, yenilendi; dönüştürülmüş"") - hesaplama matematiğinde, mevcut bir ayrık bilinen değerler kümesinden bir niceliğin ara değerlerini bulma yöntemi. "İnterpolasyon" terimi ilk olarak John Vallis tarafından The Aritmetic of the Infinite (1656) adlı incelemesinde kullanılmıştır.

İşlevsel analizde enterpolasyon lineer operatörler Banach uzaylarını belirli bir kategorinin elemanları olarak kabul eden bir bölümdür.

Bilimsel ve mühendislik hesaplamalarıyla uğraşanların çoğu, genellikle ampirik olarak veya rastgele örnekleme yoluyla elde edilen değer kümeleriyle çalışmak zorundadır. Kural olarak, bu kümeler temelinde, elde edilen diğer değerlerin yüksek doğrulukla düşebileceği bir fonksiyon oluşturmak gerekir. Böyle bir göreve yaklaşım denir. İnterpolasyon, oluşturulan fonksiyonun eğrisinin tam olarak mevcut veri noktalarından geçtiği bir yaklaşım türüdür.

Ayrıca enterpolasyona yakın bir problem vardır ki bu problem bazı değerlerin yaklaşık olarak tahmin edilmesini içerir. karmaşık fonksiyon başka, daha basit bir işlev. Belirli bir işlev, üretken hesaplamalar için çok karmaşıksa, değerini birkaç noktada hesaplamayı deneyebilir ve bunlardan inşa edebilirsiniz, yani enterpolasyon, daha fazlası basit bir fonksiyon. Elbette, basitleştirilmiş bir işlev kullanmak, orijinal işlevin vereceği kesin sonuçları almanıza izin vermez. Ancak bazı problem sınıflarında, hesaplamaların basitliği ve hızındaki kazanç, sonuçlarda ortaya çıkan hatadan daha ağır basabilir.

"Operatör enterpolasyonu" olarak bilinen tamamen farklı bir matematiksel enterpolasyondan da bahsetmeliyiz. Operatör enterpolasyonu üzerine klasik çalışmalar, diğer birçok çalışmanın temeli olan Riesz-Thorin teoremi ve Marcinkiewicz teoremini içerir.

Tanımlar

Bir D () alanından x i (\displaystyle x_(i)) (i ∈ 0 , 1 , … , N (\displaystyle i\in (0,1,\dots ,N))) çakışmayan noktalardan oluşan bir sistem düşünün. \görüntü stili D) . f (\displaystyle f) fonksiyonunun değerleri sadece şu noktalarda bilinsin:

Y ben = f (x ben) , ben = 1 , … , N . (\displaystyle y_(i)=f(x_(i)),\quad i=1,\ldots ,N.)

Enterpolasyon sorunu, belirli bir işlev sınıfından bir F (\displaystyle F) işlevi bulmaktır, öyle ki

F (x ben) = y ben , ben = 1 , … , N . (\displaystyle F(x_(i))=y_(i),\quad i=1,\ldots ,N.)

x i (\displaystyle x_(i)) noktalarına denir enterpolasyon düğümleri ve bunların toplamı enterpolasyon ızgarası.
(x ben , y i) (\displaystyle (x_(i),y_(i))) çiftleri çağrılır Veri noktaları veya taban puanları.
"Bitişik" değerler arasındaki fark Δ x ben = x ben − x ben − 1 (\displaystyle \Delta x_(i)=x_(i)-x_(i-1)) - enterpolasyon ızgara adımı. Hem değişken hem de sabit olabilir.
F (x) işlevi (\displaystyle F(x)) - enterpolasyon işlevi veya interpolant.

Örnek

1. Diyelim ki aşağıdaki gibi bir tablo fonksiyonumuz var, x'in birden fazla değeri (\displaystyle x) için karşılık gelen f (\displaystyle f) değerlerini belirler:

X (\displaystyle x) f (x) (\displaystyle f(x))


0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

İnterpolasyon, böyle bir fonksiyonun belirtilen noktalardan farklı bir noktada hangi değere sahip olabileceğini bilmemize yardımcı olur (örneğin, X = 2,5).

Bugüne kadar birçok çeşitli yollar interpolasyon. En uygun algoritmanın seçimi, seçilen yöntemin ne kadar doğru olduğu, kullanım maliyetinin ne kadar olduğu, interpolasyon fonksiyonunun ne kadar sorunsuz olduğu, kaç veri noktası gerektirdiği vb. soruların cevaplarına bağlıdır.

2. Bir ara değer bulun (kullanarak doğrusal enterpolasyon).

6000	15.5
6378	?
8000	19.2

15,5 + (6378 − 6000) 8000 − 6000 ∗ (19,2 − 15,5) 1 = 16,1993 (\displaystyle ?=15,5+(\frac ((6378-6000))(8000-6000))*(\frac ((19,2-) 15.5)(1)=16.1993)

programlama dillerinde

y = 3 x + x 2 (\displaystyle y=3x+x^(2)) işlevi için bir doğrusal enterpolasyon örneği. Kullanıcı 1 ile 10 arasında bir sayı girebilir.

Fortran

program interpol tamsayı i gerçek x, y, xv, yv, yv2 boyut x(10) boyut y(10) çağır prisv(x, i) çağır func(x, y, i) yaz(*,*) "sayı gir: " oku(*,*) xv if ((xv >= 1).and.(xv xv)) o zaman yv2 = ((xv - x(i)) * (y(i+1) - y(i)) / (x(i+1) - x(i))) + y(i) end if end do end altyordam

C++

int main() ( system("COLOR 0A"); double ob, x1, x2, y1, y2, p1, p2, pi, skolko, durum; system("echo Interpolate X1 - X2 "); system("echo Enter sayı: "); cin >> ob; system("echo Örneğin 62, C1 = 60, L1 = 1.31, C2 = 80, L2 = 1.29"); cout > x1; cout > x2; cout > y1; cout > y2 ; p1 = y1 - x1; p2 = y2 - x2; pi = p2 / p1; skolko = ob - x1; durum = x2 + (pi * skolko); cout

enterpolasyon yöntemleri

En yakın komşu enterpolasyonu

En basit enterpolasyon yöntemi en yakın komşu enterpolasyonudur.

polinomlarla enterpolasyon

Uygulamada, polinomlarla enterpolasyon en sık kullanılır. Bunun başlıca nedeni, polinomların hesaplanmasının kolay olması, türevlerini analitik olarak bulmanın kolay olması ve polinomlar kümesinin sürekli fonksiyonlar uzayında yoğun olmasıdır (Weierstrass teoremi).

Doğrusal enterpolasyon
Newton'un enterpolasyon formülü
sonlu fark yöntemi
IMN-1 ve IMN-2
Lagrange polinomu (interpolasyon polinomu)
Aitken'in planı
spline işlevi
kübik spline

Ters enterpolasyon (y verilen x hesaplama)

Lagrange polinomu
Newton formülü ile ters enterpolasyon
Ters Gauss İnterpolasyonu

Çok Değişkenli Fonksiyon İnterpolasyonu

Çift Doğrusal Enterpolasyon
Bikübik Enterpolasyon

Diğer enterpolasyon yöntemleri

Rasyonel enterpolasyon
Trigonometrik enterpolasyon

Ilgili kavramlar

Ekstrapolasyon - belirli bir aralığın dışındaki noktaları bulma yöntemleri (eğri uzantısı)
Yaklaşım - yaklaşık eğriler oluşturma yöntemleri

Ters Enterpolasyon

grafikleri dizinin (xi, yi) noktalarından geçen C2 uzayındaki fonksiyonların sınıfında, i = 0, 1, . . . , M.

Çözüm. Referans noktalarından (xi, f(xi)) geçen ve bahsedilen uzaya ait olan tüm fonksiyonlar arasında, S00(a) = S00(b) = 0 sınır koşullarını sağlayan S(x) kübik spline'dır. bu, ekstremum (minimum) işlevsel I(f)'yi sağlar.

Genellikle pratikte, argümanın değerinin işlevinin verilen değerini arama sorunu vardır. Bu problem ters enterpolasyon yöntemleri ile çözülmektedir. Verilen işlev tekdüze ise, geriye dönük enterpolasyon gerçekleştirmenin en kolay yolu, işlevi bir bağımsız değişkenle değiştirmek ve bunun tersini yapmak ve ardından enterpolasyon yapmaktır. Verilen fonksiyon monoton değilse, bu teknik kullanılamaz. Ardından, işlevin ve bağımsız değişkenin rollerini değiştirmeden, şu veya bu enterpolasyon formülünü yazıyoruz; argümanın bilinen değerlerini kullanarak ve fonksiyonun bilindiğini varsayarak, ortaya çıkan denklemi argümana göre çözeriz.

İlk numarayı kullanırken kalan terimin tahmini, doğrudan enterpolasyonla aynı olacaktır, yalnızca doğrudan fonksiyonun türevleri, ters fonksiyon. İkinci yöntemin hatasını tahmin edelim. Bize bir f(x) ve Ln(x) fonksiyonu verilirse, bu fonksiyon için x0, x1, x2, düğümleri üzerinden oluşturulan Lagrange enterpolasyon polinomudur. . . , xn, sonra

f (x) - Ln (x) =(n + 1)! (x - x0) . . . (x - xn) .

Diyelim ki f (¯x) = y¯ (y¯ veriliyor) olacak şekilde bir x¯ değeri bulmamız gerekiyor. Ln (x) = y¯ denklemini çözeceğiz. Bir x¯ değeri bulalım. Önceki denklemde yerine koyarsak, şunu elde ederiz:

Mn+1


f (x¯) - Ln (x¯) = f (x¯) - y¯ = f (x¯) - f (¯x) =
f (x¯) - Ln (x¯) = f (x¯) - y¯ = f (x¯) - f (¯x) =
Langrange formülünü uygularsak,
(x¯ - x¯) f0 (η) =


burada η, x¯ ve x¯ arasındadır. If, x¯ ve x¯ ve min içeren bir aralıktır.

son ifadeden aşağıdaki gibidir:

|x¯ - x¯| 6m1(n + 1)! |$n (x¯)| .

Bu durumda elbette Ln(x)=y¯ denklemini tam olarak çözdüğümüz varsayılmaktadır.

Tablolama için enterpolasyon kullanma

Enterpolasyon teorisi, fonksiyon tablolarının derlenmesinde uygulamalara sahiptir. Böyle bir problemle karşılaşan matematikçi, hesaplamalara başlamadan önce bir takım soruları çözmelidir. Hesaplamaların yapılacağı formül seçilmelidir. Bu formül siteden siteye değişiklik gösterebilir. Genellikle, fonksiyon değerlerini hesaplamak için formüller kullanışsızdır ve bu nedenle bazı referans değerleri elde etmek için kullanılırlar ve ardından alt tablolama yoluyla tabloyu kalınlaştırırlar. Fonksiyonun referans değerlerini veren formül, aşağıdaki alt tablo dikkate alınarak tabloların gerekli doğruluğunu sağlamalıdır. Tabloları sabit bir adımla derlemek istiyorsanız, önce adımını belirlemeniz gerekir.

Geri İlk Önceki Sonraki Son Atlama İndeks

Çoğu zaman, fonksiyon tabloları, doğrusal enterpolasyon (yani, Taylor formülünün ilk iki terimi kullanılarak enterpolasyon) mümkün olacak şekilde derlenir. Bu durumda, kalan terim şöyle görünecektir:

R1 (x) =f00 (ξ)h2t(t − 1).

Burada ξ, x'in bulunduğu bağımsız değişkenin iki bitişik tablo değeri arasındaki aralığa aittir ve t, 0 ile 1 arasındadır. t(t − 1) ürünü en büyük moduloyu alır

t = 12'deki değer. Bu değer 14'e eşittir. Bu yüzden,

Unutulmamalıdır ki, bu hatanın yanında - yöntem hatası, ara değerlerin pratik hesaplanmasında yine de kurtarılamaz bir hata ve yuvarlama hatası olacaktır. Daha önce gördüğümüz gibi, doğrusal enterpolasyondaki ölümcül hata, işlevin tablolaştırılmış değerlerinin hatasına eşit olacaktır. Yuvarlama hatası, hesaplama araçlarına ve hesaplama programına bağlı olacaktır.

Geri İlk Önceki Sonraki Son Atlama İndeks

konu dizini

ikinci mertebeden bölünmüş farklar, birinci mertebeden 8, 8

eğri, 15

enterpolasyon düğümleri, 4

Geri İlk Önceki Sonraki Son Atlama İndeks

/ Material_studentam_po_RGR_BZhD / Enterpolasyon nasıl yapılır?

Tablo verilerini enterpolasyon için formül

2. eylemde, koşuldan NXR miktarı (Q, t) olduğunda kullanılır. arasında orta düzeydedir 100 ton ve 300 ton.

(İstisna: koşula göre Q 100 veya 300'e eşitse enterpolasyon gerekmez).

y Ö- Koşuldaki ilk NHR miktarınız, ton cinsinden

(Q harfine karşılık gelir)

y 1 – daha az

(Tablo 11-16'dan, genellikle 100).

y 2 – Daha ton cinsinden NCR miktarının değerinize en yakın

(Tablo 11-16'dan, genellikle 300).

X 1 y 1 (X 1 karşısında bulunan y 1 ), km.

X 2 – tablo değeri sırasıyla kirli hava bulutunun yayılma derinliği (G t), y 2 (X 2 karşısında bulunan y 2 ), km.

X 0 - istenen değer G T karşılık gelen y Ö(formüle göre).

Örnek.

NCR - klor; S = 120 t;

SVSP tipi (dikey hava direnci derecesi) - ters çevirme.

Bulmak G T- kirli hava bulutunun yayılma derinliğinin tablo değeri.

Tablo 11-16'ya bakar ve durumunuza (klor, inversiyon) uyan verileri buluruz.

Uygun tablo 11.

değerleri seçmek y 1 , y 2, X 1 , X 2 . Önemli - rüzgar hızını 1 m / s alıyoruz, sıcaklığı - 20 ° C alıyoruz.

Formülde seçilen değerleri değiştirin ve bulun X 0 .

Önemli - eğer hesaplama doğru ise X 0 arasında bir değere sahip olacaktır. X 1 , X 2 .

1.4. Lagrange interpolasyon formülü

Enterpolasyon oluşturmak için Lagrange tarafından önerilen algoritma

tablolara (1) göre fonksiyonlar, enterpolasyon polinomu Ln(x)'in şu şekilde oluşturulmasını sağlar:

Açıkçası, (10) için koşulların (11) karşılanması enterpolasyon probleminin ifadesinin koşullarının (2) karşılanmasını belirler.

li(x) polinomları aşağıdaki gibi yazılır

Formül (14)'ün paydasındaki tek bir faktörün sıfıra eşit olmadığına dikkat edin. Ci sabitlerinin değerlerini hesapladıktan sonra, bunları verilen noktalarda enterpolasyonlu fonksiyonun değerlerini hesaplamak için kullanabilirsiniz.

Lagrange interpolasyon polinom formülü (11), formüller (13) ve (14) dikkate alınarak şu şekilde yazılabilir:

qi (x − x0)(x − x1) K (x − xi −1)(x − xi +1) K (x − xn)

1.4.1.Lagrange formülüne göre manuel hesaplamaların organizasyonu

Lagrange formülünün doğrudan uygulanması, aynı türden çok sayıda hesaplamaya yol açar. Küçük boyutlu tablolar için bu hesaplamalar hem manuel olarak hem de yazılım ortamında yapılabilir.

İlk aşamada, manuel olarak yapılan hesaplamaların algoritmasını ele alıyoruz. Gelecekte, aynı hesaplamalar ortamda tekrarlanmalıdır.

Microsoft Excel veya OpenOffice.org Calc.

Şek. Şekil 6, dört düğüm tarafından tanımlanan enterpolasyonlu bir fonksiyonun kaynak tablosunun bir örneğini göstermektedir.

Şekil 6. Enterpolasyonlu işlevin dört düğümü için ilk verileri içeren tablo

Tablonun üçüncü sütununda, formüller (14) ile hesaplanan qi katsayılarının değerlerini yazıyoruz. Aşağıda n=3 için bu formüllerin bir kaydı bulunmaktadır.

q0=Y0/(x0-x1)/(x0-x2)/(x0-x3)q1=Y1/(x1-x0)/(x1-x2)/(x1-x3)(16) q2=Y2/( x2-x0)/(x2-x1)/(x2-x3)q3=Y3/(x3-x0)/(x3-x1)/(x3-x2)

Manuel hesaplamaların uygulanmasındaki bir sonraki adım, formüller (13) tarafından gerçekleştirilen li(x) (j=0,1,2,3) değerlerinin hesaplanmasıdır.

Düşündüğümüz tablonun dört düğümlü versiyonu için şu formülleri yazalım:

l0(x)=q0(x-x1) (x-x2) (x-x3),

l1(x)=q1(x-x0) (x-x2) (x-x3),

l2(x)=q2(x-x0)(x-x1)(x-x3),(17) l3(x)=q3(x-x0)(x-x1)(x-x2) .

li(xj) (j=0,1,2,3) polinomlarının değerlerini hesaplayalım ve tablonun hücrelerine yazalım. Formül (11)'e göre Ycalc(x) fonksiyonunun değerleri, li(xj) değerlerinin satırlar halinde toplanması sonucunda elde edilecektir.

Hesaplanan li(xj) değerlerinin sütunlarını ve Ycalc(x) değerlerinin bir sütununu içeren tablonun formatı Şekil 8'de gösterilmektedir.

Pirinç. 8. xi bağımsız değişkeninin tüm değerleri için formüller (16), (17) ve (11) ile yapılan manuel hesaplamaların sonuçlarını içeren tablo

Şekil l'de gösterilen tablonun oluşumunu tamamladıktan sonra. 8, formüller (17) ve (11) ile, X argümanının herhangi bir değeri için enterpolasyonlu fonksiyonun değerini hesaplamak mümkündür. Örneğin, X=1 için li(1) (i=) değerlerini hesaplıyoruz. 0,1,2,3):

10(1)=0.7763; l1(1)= 3.5889; l2(1)=-1.5155;l3(1)=0.2966.

li(1) değerlerini toplayarak Yinterp(1)=3.1463 değerini elde ederiz.

1.4.2. Microsoft Excel programı ortamında Lagrange formülleri ile enterpolasyon algoritmasının uygulanması

Enterpolasyon algoritmasının uygulanması, manuel hesaplamalarda olduğu gibi, qi katsayılarını hesaplamak için formüller yazarak başlar. 9 ile tablonun sütunlarını gösterir. verilen değerler argüman, enterpolasyonlu fonksiyon ve katsayılar qi. Bu tablonun sağında, qi katsayılarının değerlerini hesaplamak için C sütununun hücrelerine yazılan formüller bulunur.

ВС2: "=B2/((A2-A3)*(A2-A4)*(A2-A5))" Æ q0

c3: "=B3/((A3-A4)*(A3-A5)*(A3-A2))" Æ q1

c4: "=B4/((A4-A5)*(A4-A2)*(A4-A3))" Æ q2

vС5: "=B5/((A5-A2)*(A5-A3)*(A5-A4))" Æ q3

Pirinç. 9 qi katsayıları tablosu ve hesaplama formülleri

C2 hücresine q0 formülünü girdikten sonra, C3'ten C5'e hücrelerden çekilir. Bundan sonra, bu hücrelerdeki formüller (16)'ya göre Şekil 1'de gösterilen forma göre düzeltilir. 9.

Ycalc(xi),

Formülleri (17) uygulayarak, D, E, F ve G sütunlarının hücrelerinde li(x) (i=0,1,2,3) değerlerini hesaplamak için formüller yazıyoruz. Değeri hesaplamak için D2 hücresinde l0(x0), formülü yazıyoruz:

=$C$2*($A2-$A$3)*($A2-$A$4)*($A2-$A$5),

l0(xi)(i=0,1,2,3) değerlerini elde ederiz.

$A2 bağlantı biçimi, li(x0) (i=1,2,3) hesaplamak için hesaplama formülleri oluşturmak üzere formülü E, F, G sütunları boyunca genişletmenize olanak tanır. Bir formülü bir satırın üzerine sürüklemek bağımsız değişkenlerin sütun dizinini değiştirmez. l0(x0) formülünü çizdikten sonra li(x0) (i=1,2,3) hesaplamak için bunları (17) formüllerine göre düzeltmek gerekir.

H sütununa koy excel formülleri li(x)'i formülle toplamak için

(11) algoritması.

Şek. 10, ortamda uygulanan bir tabloyu gösterir Microsoft programları Excel. Tablonun hücrelerine yazılan formüllerin ve gerçekleştirilen hesaplama işlemlerinin doğruluğunun bir işareti, ortaya çıkan köşegen matris li(xj) (i=0,1,2,3),(j=0,1,2, 3), Şekil l'de gösterilen sonuçların tekrarlanması. 8 ve orijinal tablonun düğümlerindeki enterpolasyonlu fonksiyonun değerleriyle eşleşen bir değer sütunu.

Pirinç. 10. li(xj) (j=0,1,2,3) ve Ycalc(xj) değerleri tablosu

Bazı ara noktalardaki değerleri hesaplamak için yeterlidir

A sütununun hücrelerinde, A6 hücresinden başlayarak, enterpolasyonlu işlevin değerlerini belirlemek istediğiniz X bağımsız değişkeninin değerlerini girin. Vurgulamak

hücre tablosunun son (5.) satırında l0(xn)'den Ycalc(xn)'e kadar ve seçilen hücrelerde yazılan formülleri son satırı içeren satıra uzatın

x bağımsız değişkeninin verilen değeri.

Şek. Şekil 11, fonksiyonun değerinin üç noktada hesaplandığı bir tabloyu göstermektedir: x=1, x=2 ve x=3. Tabloya, kaynak veri tablosunun satır numaralarını içeren ek bir sütun eklenmiştir.

Pirinç. 11. Lagrange formüllerini kullanarak enterpolasyonlu fonksiyonların değerlerinin hesaplanması

Enterpolasyon sonuçlarının daha net görüntülenmesi için, artan sırada sıralanan X bağımsız değişkeninin değerlerinin bir sütununu, Y(X) işlevinin ilk değerlerinin bir sütununu ve bir sütunu içeren bir tablo oluşturacağız.

Bana enterpolasyon formülünü nasıl kullanacağımı ve termodinamikteki (ısı mühendisliği) problemlerin çözümünde hangisinin kullanılacağını söyle

Ivan Shestakovich

En basit, ama çoğu zaman yeterli değil kesin enterpolasyon- doğrusaldır. Halihazırda bilinen iki noktanız (X1 Y1) ve (X2 Y2) olduğunda ve X1 ile X2 arasında kalan bazı X'lerin günün Y değerlerini bulmanız gerekir. O zaman formül basit.
Y \u003d (Y2-Y1) * (X-X1) / (X2-X1) + Y1
Bu arada bu formül X1..X2 aralığı dışındaki X değerleri için de işe yarıyor ama buna zaten ekstropolasyon deniyor ve bu aralıktan önemli bir mesafede çok büyük hata veriyor.
Başka birçok paspas var. enterpolasyon yöntemleri - Ders kitabını okumanızı veya internette araştırma yapmanızı tavsiye ederim.
Grafik enterpolasyon yöntemi de göz ardı edilmez - bilinen noktalardan manuel olarak bir grafik çizin ve gerekli X için grafikten Y'yi bulun. ;)

Roman

Senin iki anlamın var. Ve yaklaşık olarak bağımlılık (doğrusal, ikinci dereceden, ..)
Bu fonksiyonun grafiği iki noktanızdan geçer. Arada bir değere ihtiyacınız var. Peki, ifade et!
Örneğin. Tabloda, 22 derece sıcaklıkta doymuş buhar basıncı 120.000 Pa ve 26.124.000 Pa'dır. Daha sonra 23 derece 121000 Pa sıcaklıkta.

Enterpolasyon (koordinatlar)

Haritada bir koordinat ızgarası var (resim).
İki ile iyi bilinen bazı referans noktalarına (n>3) sahiptir. x,y değerleri- piksel cinsinden koordinatlar ve metre cinsinden koordinatlar.
Piksel cinsinden koordinatları bilerek, koordinatların ara değerlerini metre cinsinden bulmak gerekir.
Doğrusal enterpolasyon uygun değil - çizgi dışında çok fazla hata var.
Bunun gibi: (Xc - x ile metre cinsinden koordinat, Xp - x ile piksel cinsinden koordinat, Xc3 - x ile istenen değer)
Xc3= (Xc1-Xc2)/(Xp1-Xp2)*(Xp3-Xp2)+Xc2
Yc3= (Ec1-Yc2)/(Yp1-Yp2)*(Yp3-Yp2)+Yc2

İki (buradaki gibi) değil, bilinen N referans noktası verildiğinde, Xc ve Yc'yi bulmak için aynı formülü nasıl bulabilirim?

Joka eğrelti otu

Yazılı formüllere bakılırsa, koordinat sistemlerinin piksel ve metre cinsinden eksenleri çakışıyor mu?
Yani, Xp -> Xc bağımsız enterpolasyonludur ve Yp -> Yc bağımsız enterpolasyonludur. Değilse, görevi biraz karmaşıklaştıran iki boyutlu enterpolasyon Xp,Yp->Xc ve Xp,Yp->Yc kullanmanız gerekir.
Ayrıca, Xp ve Xc koordinatlarının bazı bağımlılıklarla ilişkili olduğu varsayılır.
Bağımlılığın doğası biliniyorsa (veya varsayılırsa, örneğin, Xc=a*Xp^2+b*Xp+c olduğunu varsayıyoruz), o zaman bu bağımlılığın parametrelerini elde edebilirsiniz (verilen bağımlılık için a , b, c) kullanarak regresyon analizi(En küçük kareler yöntemi) . Bu yöntemde, belirli bir Xc(Xp) bağımlılığı belirtirseniz, referans verilere bağımlılığın parametreleri için bir formül elde edebilirsiniz. Bu yöntem, özellikle bulmayı ve doğrusal bağımlılık, en iyi yol doyurucu bu set veri.
Dezavantaj: Bu yöntemde Xp kontrol noktalarının verilerinden elde edilen Xc koordinatları verilenlerden farklı olabilir. Örneğin, deneysel noktalardan çizilen yaklaşım düz çizgisi, bu noktalardan tam olarak geçmez.
Tam bir eşleşme gerekliyse ve bağımlılığın doğası bilinmiyorsa enterpolasyon yöntemleri kullanılmalıdır. Matematiksel olarak en basiti, tam olarak referans noktalarından geçen Lagrange interpolasyon polinomudur. Bununla birlikte, bu polinomun derecesinin yüksek olması nedeniyle, çok sayıda referans noktası ve Kötü kalite enterpolasyon, kullanmamak daha iyidir. Avantaj, nispeten basit formüldür.
Spline enterpolasyonunu kullanmak daha iyidir. Bu yöntemin özü, iki komşu nokta arasındaki her bölümde, incelenen bağımlılığın bir polinomla interpole edilmesi ve düzgünlük koşullarının iki aralığın birleşim noktalarında yazılmasıdır. Bu yöntemin avantajı enterpolasyonun kalitesidir. Dezavantajlar - genel bir formül türetmek neredeyse imkansızdır, her bölümdeki polinomun katsayılarını algoritmik olarak bulmanız gerekir. Diğer bir dezavantaj, 2B enterpolasyona genelleştirmenin zorluğudur.

Bilinen alan dışındaki bir fonksiyonun değerlendirilmesinin sonuçlarının bilinmesinin gerekli olduğu durumlar vardır. Özellikle ilgili bu soru tahmin prosedürü için. Excel'de yapabileceğiniz birkaç yol vardır. bu operasyon. Onlara belirli örneklerle bakalım.

Yöntem 2: grafik için ekstrapolasyon

Bir trend çizgisi çizerek bir grafik için ekstrapolasyon prosedürünü gerçekleştirebilirsiniz.

Her şeyden önce, grafiğin kendisini oluşturuyoruz. Bunu yapmak için, farenin sol düğmesini basılı tutarken imleç ile, işlevin bağımsız değişkenleri ve karşılık gelen değerleri dahil olmak üzere tablonun tüm alanını seçin. Ardından, sekmeye geçmek "Sokmak", düğmesine tıklayın "Takvim". Bu simge blokta bulunur "Diyagramlar" araç çubuğunda. Kullanılabilir grafik seçeneklerinin bir listesi görünür. Kendi takdirimize bağlı olarak bunlardan en uygun olanı seçiyoruz.

Grafik oluşturulduktan sonra, argümanın ek satırını seçip düğmesine tıklayarak ondan kaldırın. Silmek bir bilgisayar klavyesinde.

Daha sonra, ihtiyacımız olduğu gibi argümanların değerlerini göstermediği için yatay ölçeğin bölümlerini değiştirmemiz gerekiyor. Bunu yapmak için diyagrama sağ tıklayın ve beliren listede değerde durun "Veri seç".

Açılan veri kaynağı seçim penceresinde düğmesine tıklayın "Değiştirmek" yatay eksenin etiketini düzenlemek için blokta.

Eksen etiketi ayar penceresi açılır. İmleci bu pencerenin alanına getiriyoruz ve ardından sütundaki tüm verileri seçiyoruz. "X" onun adı olmadan Ardından düğmeye tıklayın TAMAM.

Veri kaynağı seçim penceresine döndükten sonra aynı işlemi tekrarlayın, yani düğmesine tıklayın. TAMAM.

Şimdi grafiğimiz hazırlandı ve doğrudan bir trend çizgisi oluşturmaya başlayabilirsiniz. Grafiğe tıklıyoruz, ardından şeritte etkinleştiriliyor ek set sekmeler - "Grafiklerle çalışma". Sekmeye taşınıyor "Düzen" ve düğmeye tıklayın "Trend Çizgisi" blokta "Analiz". bir öğeye tıklayın "Doğrusal yaklaşım" veya "Üstel Yaklaşım".

Trend çizgisi eklenir, ancak çabalaması gereken argümanın değerini belirtmediğimiz için grafiğin çizgisinin tamamen altındadır. Bunu yapmak için, tekrar düğmesine tıklayın "Trend Çizgisi", ancak şimdi öğeyi seçin « Ekstra seçenekler trend çizgileri".

Trendline Format penceresi açılır. Bölümde "Trend Çizgisi Seçenekleri" ayar bloğu var "Tahmin etmek". Önceki yöntemde olduğu gibi, ekstrapolasyon için argümanı ele alalım. 55 . Gördüğünüz gibi, şimdiye kadar grafiğin uzunluğu argümana kadar 50 dahil. Bir başkası için uzatmamız gerekeceği ortaya çıktı. 5 birimler. Yatay eksende 5 birimin bir bölmeye eşit olduğunu görebilirsiniz. Yani bu bir dönem. sahada "İleri" değeri girin "1". butona tıklayın "Kapalı" pencerenin sağ alt köşesinde.

Gördüğünüz gibi grafik, trend çizgisi kullanılarak belirtilen uzunlukta uzatıldı.

Bu nedenle, tablolar ve grafikler için en basit tahmin örneklerini ele aldık. İlk durumda, işlev kullanılır TAHMİN ETMEK ve ikincisi - trend çizgisi. Ancak bu örnekler temelinde çok daha karmaşık tahmin sorunları da çözülebilir.

Yerel interpolasyonun en basit ve en sık kullanılan biçimi, doğrusal enterpolasyon. Verilen noktaların ( X Ben , y Ben) de ( ben = 0. 1, ..., n) düz çizgi parçalarıyla bağlanır ve işlev F(X) verilen noktalarda köşeleri olan bir çoklu çizgi ile yaklaşılır.

Kesik çizginin her bölümünün denklemleri genellikle farklıdır. n aralık olduğundan ( X Ben - 1, X Ben), daha sonra her biri için iki noktadan geçen düz bir çizginin denklemi enterpolasyon polinomunun denklemi olarak kullanılır. Özellikle i'inci aralık için noktalardan geçen bir doğrunun denklemi yazılabilir ( X Ben -1, y Ben -1 ) Ve ( X Ben , y Ben), gibi

y=a ben x+b ben , x ben-1 xx ben

bir ben =

Bu nedenle, doğrusal enterpolasyon kullanırken, önce x bağımsız değişkeninin değerinin düştüğü aralığı belirlemeniz ve ardından bunu formül (*) yerine koymanız ve bu noktada işlevin yaklaşık değerini bulmanız gerekir.

Şekil 3-3 Lineer Enterpolasyon Bağımlılık Grafiği.

Profesyonel bir sorunu çözme

Deneysel verilerin bakımı

ORIGIN:=0 Veri dizisinin başlangıcı - sıfırdan sayma

Ben:=1..6 Dizideki eleman sayısı

İki vektör halinde düzenlenmiş deneysel veriler

Yerleşik MathCad işlevleriyle enterpolasyon yapalım

Doğrusal enterpolasyon

Lf(x i):=linterp(x,y,x)

Kübik omurga enterpolasyonu

CS:= cspline(x,y)

Deneysel verilere göre kübik bir spline oluşturuyoruz

Lf(x ben):=linterp(x,y,x ben)

B-Spline ile enterpolasyon

Enterpolasyon sırasını ayarlayın. u vektörü, vektörden (n-1) daha az elemana sahip olmalıdır X, burada ilk öğe ilk öğeden küçük veya ona eşit olmalıdır X ve sonuncusu x'in son elemanından büyük veya ona eşittir.

BS:=bspline(x,y,u,n)

Deneysel verilere göre bir B-spline oluşturuyoruz

BSf(x ben):=(BS, x,y,x ben)

Tüm yaklaşım fonksiyonlarının bir grafiğini tek bir koordinat düzleminde oluşturuyoruz.

Şekil 4.1-Tüm yaklaşım fonksiyonlarının tek bir koordinat düzleminde grafiği.

Çözüm

Hesaplamalı matematikte, fonksiyonların enterpolasyonu önemli bir rol oynar, örn. değerleri belirli bir sayıda noktada verilen işlevin değerleriyle çakışan belirli bir işlevin (genellikle daha basit olanın) inşası. Ayrıca enterpolasyonun hem pratik hem de teorik önemi vardır. Uygulamada, sürekli bir fonksiyonu tablo değerlerinden, örneğin bazı deneyler sırasında elde edilenlerden geri yükleme sorunu sıklıkla ortaya çıkar. Pek çok işlevi hesaplamak için, bunları polinomlar veya kesirli rasyonel işlevlerle yaklaşık olarak tahmin etmenin verimli olduğu ortaya çıktı. İnterpolasyon teorisi, diferansiyel ve integral denklemleri çözme yöntemleri elde etmek için sayısal entegrasyon için kareleme formüllerinin yapımında ve incelenmesinde kullanılır. Polinom enterpolasyonunun ana dezavantajı, en uygun ve yaygın olarak kullanılan ızgaralardan biri olan eşit mesafeli düğümlere sahip bir ızgara üzerinde kararsız olmasıdır. Sorun izin veriyorsa, bu sorun Chebyshev düğümleriyle bir ızgara seçilerek çözülebilir. Bununla birlikte, enterpolasyon düğümlerini özgürce seçemiyorsak veya düğümlerin seçiminde çok fazla talepte bulunmayan bir algoritmaya ihtiyacımız varsa, o zaman rasyonel enterpolasyon, polinom enterpolasyonuna uygun bir alternatif olabilir.

Spline enterpolasyonunun avantajları, hesaplama algoritmasının yüksek işlem hızını içerir, çünkü spline parçalı bir polinom fonksiyonudur ve interpolasyon sırasında veriler, aşağıda ele alınan parçaya ait az sayıda ölçüm noktası için eş zamanlı olarak işlenir. şu an. Enterpolasyonlu yüzey, farklı ölçeklerin uzamsal değişkenliğini tanımlar ve aynı zamanda pürüzsüzdür. İkinci durum, analitik prosedürleri kullanarak yüzeyin geometrisini ve topolojisini doğrudan analiz etmeyi mümkün kılar.

İnterpolasyon, oluşturulan fonksiyonun eğrisinin tam olarak mevcut veri noktalarından geçtiği bir yaklaşım türüdür.

Enterpolasyona yakın bir problem de vardır, bu problem bazı karmaşık fonksiyonlara daha basit başka bir fonksiyonla yaklaşmayı içerir. Belirli bir işlev üretken hesaplamalar için çok karmaşıksa, değerini birkaç noktada hesaplamayı deneyebilir ve bunlardan daha basit bir işlev oluşturabilirsiniz. Elbette, basitleştirilmiş bir işlev kullanmak, orijinal işlevin vereceği kesin sonuçları almanıza izin vermez. Ancak bazı problem sınıflarında, hesaplamaların basitliği ve hızındaki kazanç, sonuçlarda ortaya çıkan hatadan daha ağır basabilir.

Tanımlar

Bazı alanlardan çakışmayan noktalar () sistemi düşünün. Fonksiyonun değerleri sadece şu noktalarda bilinsin:

Enterpolasyon problemi, belirli bir fonksiyon sınıfından böyle bir fonksiyon bulmaktır.

Örnek

1. Aşağıda açıklanan gibi, çeşitli değerler için karşılık gelen değerleri belirleyen bir tablo fonksiyonumuz olduğunu varsayalım:


0	0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

Enterpolasyon, böyle bir fonksiyonun belirtilenden farklı bir noktada (örneğin, X = 2,5).

Bugüne kadar, birçok farklı enterpolasyon yöntemi vardır. En uygun algoritmanın seçimi, seçilen yöntemin ne kadar doğru olduğu, kullanım maliyetinin ne kadar olduğu, interpolasyon fonksiyonunun ne kadar sorunsuz olduğu, kaç veri noktası gerektirdiği vb. soruların cevaplarına bağlıdır.

2. Bir ara değer bulun (doğrusal enterpolasyonla).

6000	15.5
6378	?
8000	19.2