Tabulka převodu na desítkovou číselnou soustavu. Rychlý převod čísla z desítkové do dvojkové soustavy

Cíle lekce:

• opakovat probranou látku na číselné soustavě tématu;
• naučit se překládat číslo z desítkové soustavy do jakékoli jiné poziční číselné soustavy a naopak;
• osvojit si principy přenosu čísel z jednoho systému do druhého;
• rozvíjet logické myšlení.

Během vyučování

Na začátku lekce krátké zopakování a kontrola domácího úkolu.

Jak se informace ukládají do paměti počítače?

K čemu slouží číselné soustavy?

Jaké typy číselných soustav znáte? Uveďte své příklady.

Jaký je rozdíl mezi polohovými systémy a nepolohovými systémy?

Cílem naší lekce je naučit se překládat číslo z desítková soustava do jakékoli jiné poziční číselné soustavy a naopak. Nejprve se však podíváme na to, jak můžete

představují libovolné nezáporné celé číslo:

V poziční systémy hodnota celočíselného záznamu je určena následujícím pravidlem: nechť a n a n-1 a n-2 …a 1 a 0 je záznam čísla A a i jsou číslice, pak

kde p je celé číslo větší než 1, které se nazývá základ číselné soustavy

Aby bylo možné pro dané p zapsat libovolné nezáporné celé číslo pomocí vzorce (1) a navíc jedinečným způsobem, musí být číselné hodnoty různých číslic různá celá čísla patřící segmentu od 0 do p- 1.

1) Desetinná soustava

číslice: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

číslo 5735 = 5 10 3 +7 10 2 +3 10 1 +8 10 0

2) Ternární systém

číslice: 0,1,2

číslo 201 3 = 2 3 2 +0 3 1 +1 3 0

Poznámka: dolní index v zápisu čísla označuje základ číselné soustavy, ve které je číslo zapsáno. U desítkové číselné soustavy lze index vynechat.

Znázornění záporných a zlomkových čísel:

Ve všech polohových soustavách se znaménko '–' používá k zápisu záporných čísel, stejně jako v desítkové soustavě. Čárkou se odděluje celá část čísla od zlomkové části. Hodnota záznamu a n a n-1 a n-2 …a 1 a 0 , a -1 a -2 …a m-2 a m-1 a m čísla A je určena vzorcem, který je zobecněním formule 1):

75,6 = 7 10 1 +5 10 0 +6 10 –1

–2,314 5 = –(2 5 0 +3 5 –1 +1 5 –2 +4 5 –3)

Převod čísel z libovolné číselné soustavy na desítkovou:

Je třeba si uvědomit, že při překladu čísla z jedné číselné soustavy do druhé se kvantitativní hodnota čísla nemění, ale mění se pouze forma zápisu čísla, stejně jako při překladu názvu čísla např. z ruštinu do angličtiny.

Převod čísel z libovolné číselné soustavy na desítkovou se provádí přímým výpočtem pomocí vzorce (1) pro celá čísla a vzorce (2) pro zlomková čísla.

Převod čísel z desítkové na libovolná.

Převod čísla z desítkové soustavy do soustavy se základem p znamená nalezení koeficientů ve vzorci (2). Někdy je to snadné udělat jednoduchým výběrem. Řekněme například, že potřebujete převést číslo 23,5 na osmičkový systém. Je snadné vidět, že 23,5 = 16+7+0,5 = 2 8+7+4/8 = 2 8 1 +7 8 0 +4 8 –1 = 27,48. Je jasné, že odpověď není vždy tak jednoznačná. V obecném případě se metoda překladu celé a zlomkové části čísla používá samostatně.

K překladu celých čísel se používá následující algoritmus (získaný na základě vzorce (1)):

1. Najděte podíl a zbytek po dělení čísla p. Zbytek bude další číslice ai (j=0,1,2 ...) nový systém zúčtování.

2. Pokud je podíl nula, pak je překlad čísla dokončen, v opačném případě aplikujeme odstavec 1 na podíl.

Poznámka 1. Číslice ai v zápisu čísla jsou číslovány zprava doleva.

Poznámka 2. Pokud p>10, pak je nutné zavést zápis pro číslice s číselnými hodnotami většími nebo rovnými 10.

Převeďte číslo 165 na septimální číselnou soustavu.

165:7 = 23 (zbytek 4) => a 0 = 4

23:7 = 3 (zbytek 2) => a 1 = 2

3:7 = 0 (zbytek 3) => a 2 = 3

Výsledek zapíšeme: a 2 a 1 a 0 , tzn. 3247.

Po kontrole podle vzorce (1) se ujistíme, že překlad je správný:

3247=3 7 2 +2 7 1 +4 7 0 =3 49+2 7+4 = 147+14+4 = 165.

K překladu zlomkových částí čísel se používá algoritmus získaný na základě vzorce (2):

1. Vynásobte zlomkovou část čísla číslem p.

2. Celočíselná část výsledku bude další číslice am (m = -1, -2, -3 ...) čísla v nové číselné soustavě. Pokud je zlomková část výsledku rovna nule, pak je překlad čísla dokončen, jinak na něj aplikujeme odstavec 1.

Poznámka 1. Číslice a m v ​​zápisu čísla jsou uspořádány zleva doprava ve vzestupném pořadí absolutní hodnoty m.

Poznámka 2. Obvykle počet desetinných číslic v nový rekord počet je předem omezen. To vám umožní provést přibližný překlad s danou přesností. V případě nekonečných zlomků takové omezení zajišťuje konečnost algoritmu.

Převeďte číslo 0,625 na binární číselnou soustavu.

0,625 2 = 1,25 (celá část 1) => a -1 =1

0,25 2 = 0,5 (celá část 0) => a- 2 = 0

0,5 2 = 1,00 (celá část 1) => a- 3 = 1

Takže 0,62510 = 0,1012

Po kontrole podle vzorce (2) se ujistíme, že překlad je správný:

0,1012=12-1+02-2+12-3 =1/2+1/8 = 0,5+0,125 = 0,625.

Převeďte číslo 0,165 do kvartérního číselného systému a omezte se na čtyři kvartérní číslice.

0,165 4 = 0,66 (celá část 0) => a -1 = 0

0,66 4 = 2,64 (celá část 2) => a -2 = 2

0,64 4 = 2,56 (celá část 2) => a -3 = 2

0,56 4 = 2,24 (celá část 2) => a -4 = 2

Takže 0,16510 ” 0,02224

Proveďme zpětný překlad, abychom se ujistili, že absolutní chyba nepřekročí 4–4:

0,02224 = 0 4 -1 +2 4 -2 +2 4 -3 +2 4 -4 = 2/16+2/64+2/256 = 1/8+1/32+1/ 128 = 21/128 = 0,1640625

|0,1640625–0,165| = 0,00094 < 4–4 = 0,00390625

Překlad čísel z jednoho libovolného systému do druhého

V tomto případě musíte nejprve převést číslo do desítkové soustavy a poté z desítkové soustavy na požadovanou.

Speciálním způsobem se provádí překlad čísel pro systémy s více bázemi.

Nechť p a q jsou základy dvou číselných soustav. Tyto soustavy budeme nazývat číselné soustavy s více bázemi, pokud p = qn nebo q = pn, kde n je přirozené číslo. Takže například číselné soustavy se základy 2 a 8 jsou číselné soustavy s více základy.

Nechť p = qn a je potřeba převést číslo z číselné soustavy se základem q do číselné soustavy se základem p. Rozdělme celou a zlomkovou část čísla do skupin n postupně zapsaných číslic vlevo a vpravo od desetinné čárky. Pokud počet číslic v záznamu celočíselné části čísla není násobkem n, pak je třeba vlevo přidat odpovídající počet nul. Pokud počet číslic v záznamu zlomkové části čísla není násobkem n, pak se vpravo přidávají nuly. Každá taková skupina číslic v starý systémčíslo bude odpovídat jedné číslici čísla v nové číselné soustavě.

Přeložme 1100001.111 2 do kvartérní číselné soustavy.

Sečtením nul a zvýrazněním dvojic číslic dostaneme 01100001.11102.

Nyní přeložme každou dvojici číslic zvlášť pomocí položky Překlad čísel z jednoho libovolného systému do druhého.

Takže 1100001,1112 = 01100001,11102 = 1201,324.

Předpokládejme nyní, že je třeba provést převod ze soustavy s velkou bází q do soustavy s menší bází p, tzn. q = pn. V tomto případě jedna číslice čísla ve staré číselné soustavě odpovídá n číslicím čísla v nové číselné soustavě.

Příklad: Zkontrolujeme předchozí překlad čísla.

1201,324 = 1100001,11102=1100001,1112

V hexadecimální soustavě jsou číslice s číselnými hodnotami 10,11,12, 13,14,15. Pro jejich označení se používá prvních šest písmen latinské abecedy A, B, C, D, E, F.

Zde je tabulka čísel od 0 do 16 zapsaná v číselných soustavách se základy 10, 2, 8 a 16.

K zápisu hexadecimálních číslic můžete také použít malá písmena. písmena a-f.

Příklad: Převeďte číslo 110101001010101010100.11 2 na hexadecimální soustava zúčtování.

Využijme násobnost základů číselných soustav (16=2 4). Seskupujeme čísla po čtyřech a přidáváme nalevo a napravo požadovaný počet nul

000110101001010101010100,1100 2

a s odkazem na tabulku dostaneme: 1A9554,C 16

Závěr:

V jaké číselné soustavě je lepší čísla psát, je věcí pohodlnosti a tradice. Z technického hlediska je výhodné použít v počítači binární systém, protože používá pouze dvě číslice 0 a 1 k zápisu čísla, které lze reprezentovat dvěma snadno odlišitelnými stavy „žádný signál“ a „existuje signál“.

A naopak pro člověka je nepohodlné zabývat se binárními záznamy čísel z toho důvodu, že jsou delší než desetinné a mají hodně opakovaných číslic. Pokud je tedy nutné pracovat se strojovými reprezentacemi čísel, používají se osmičkové nebo hexadecimální číselné soustavy. Základy těchto soustav jsou celočíselné mocniny dvou, a proto se čísla z těchto soustav snadno převádějí na binární a naopak.

Doma si zapíšeme úkol:

a) Zapište si datum narození všech členů vaší rodiny v různé systémy zúčtování.

b) Převeďte čísla z binárních na osmičkové a šestnáctkové a poté zkontrolujte výsledky převodem zpět:

a) 1001111110111.011 2;

Pravidlo. Chcete-li převést číslo z jedné číselné soustavy do druhé, musíte původní číslo vydělit základem nové číselné soustavy. Výsledný podíl opět vydělte základem nové číselné soustavy a pokračujte v dělení do té doby. dokud nebude podíl menší než základ nové číselné soustavy. Výsledné zbytky dělení, počínaje posledním, se zapisují v opačném pořadí. Toto bude záznam čísla v novém číselném systému.

Příklad.Číslo 135 se převádí z 10-árové SS do 2-árové, 8-árné a 16-té číselné soustavy.

Úkol 2.

Převeďte na binární, osmičkové a šestnáctkové SS následující čísla 1275.973, 172

Zpětný převod čísel z libovolného RZ na 10.

1) Chcete-li přeložit číslo z libovolného SS do původního SS (obrácený překlad), musíte vynásobit každou číslici tohoto čísla základem původního SS. počínaje nulovou číslicí zprava doleva a přidat produkty. Pokud překládáte desetinný zlomek, měli byste použít pravidlo pro zápis celého čísla a zlomkové části čísla.

2) Zpětný překlad čísel se provádí podle vzorce:

kde A je dané číslo,

g je základ SS daného čísla (=2 pro 2-ciferné číslo SS, pro ostatní RZ - podobné),

m je počet číslic v celé části čísla.

n je počet číslic ve zlomkové části čísla,

a - hodnota číslic daného čísla (záznam zlomkové části čísla je zvýrazněn modře).

110110 2 = 1*2 5 +1*2 4 +0*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +0*2 0 =54 10

66 8 =6*8 1 +6*8 0 =48+6=54 10 9A 16 =9*16 1 +10*16 0 =144+10=154 10

13,4 8 =1*8 1 +3*8 0 +4*8 -1 =8+3+0,5=11,5 10 (toto číslo je desetinný zlomek)

Úkol 3.

Převeďte následující čísla na desítkové SS:

101,11 2 =5,75 10 1011001 2 1011,101 2

125,7 8 =86 10 1253 8 175,132 8

A19BA 16 =2585726… 10 16A3 16 2BAFD 16

Překlad čísel se základem, který je mocninou 2 a obrácený překlad. Tyto SS zahrnují binární, osmičkové a hexadecimální číselné soustavy.

Pravidlo. Převod z binární SS na osmičkovou SS. Binární číslo je rozděleno do skupin po 3 číslicích od konce (zprava doleva) a každá skupina je převedena na číslo v novém SS

10.000.101 2 =205 8

111.000.101.100 2 =7054 8

1.011.001.101 2 =1315 8

Pravidlo. Pro obrácený převod je každá osmičková číslice zapsána jako trojice.

Pravidlo. Od binární SS k hexadecimální SS: podobné, ale oddělené 4 číslicemi

0110.0110.1011 2 = 66B 16

1011.1111.0111 2 = BF7 16

10.1010.0111.0001 2 = 2A71 16

Pravidlo. Pro zpětnou transformaci každý hexadecimální číslice psaný ve formě sešitu.

Překlad vlastních a nevlastních zlomků v různých SS. Pokud potřebujete převést běžný zlomek, musíte jej nejprve převést na desetinný zlomek a poté použít pravidla pro převod desetinných zlomků.

Pravidlo. Převeďte desetinné zlomky menší než jedna (správné zlomky).

1) je nutné oddělit zlomkovou část svislou čarou;

2) vynásobte zlomkovou část na základě nového číselného systému;

3) zapište výsledek přesně pod původní číslo, počínaje nejméně významnou číslicí; pokud dostanete převod na celou část, napište jej nalevo od řádku;

4) násobení zlomkové části se provádí, dokud není získáno číslo s danou přesností, nebo dokud není napravo od řádku nula.

0,728 10 =0,564 8

Úkol 4. Převeďte z desítkové SS na binární, osmičkovou, hexadecimální SS následující správné zlomky: .

Když zakládáte sítě různého měřítka a každý den se potýkáte s výpočty, pak není nutné zakládat takové cheaty, vše se stejně dělá na nepodmíněný reflex. Ale když se v sítích pohráváte velmi zřídka, ne vždy si pamatujete, jaký druh masky existuje v desítkovém tvaru pro předponu 21 nebo jaká síťová adresa má stejnou předponu. V tomto ohledu jsem se rozhodl napsat několik malých cheatů o převodu čísel do různých číselných soustav, síťové adresy, masky atd. V tomto díle budeme hovořit o převodu čísel do různých číselných soustav.

1. Číselné soustavy

Když děláte něco souvisejícího počítačové sítě a IT, s tímto pojmem se stejně setkáte. A jako inteligentní IT specialista tomu musíte alespoň trochu rozumět, i když v praxi to využijete velmi zřídka.
Zvažte překlad každé číslice z adresy IP 98.251.16.138 PROTI následující systémyúčtování:

• Binární
• osmičkový
• Desetinný
• Hexadecimální

1.1 Desetinné

Vzhledem k tomu, že se čísla píší v desítkové soustavě, přeskočíme převod z desítkové soustavy na desítkovou 🙂

1.1.1 Desetinné → Binární

Jak víme, binární číselná soustava se používá téměř ve všech moderní počítače a mnoho dalších výpočetních zařízení. Systém je velmi jednoduchý – máme pouze 0 a 1.
Pro převod čísla s desítkou do binárního tvaru je potřeba použít modulo 2 (tedy celočíselné dělení 2), v důsledku čehož budeme mít ve zbytku vždy buď 1 nebo 0. V tomto případě zapíšeme výsledek zprava doleva. Příklad dá vše na své místo:

Obrázek 1.1 - Převod čísel z desítkové na binární

Obrázek 1.2 - Převod čísel z desítkové na binární

Popíšu dělení čísla 98. Dělíme 98 2, ve výsledku máme 49 a zbytek 0. Pak pokračujeme v dělení a 49 dělíme 2, ve výsledku máme 24 se zbytkem 1. A stejným způsobem se dostaneme k 1 nebo 0 v dělitelné. Výsledek se pak zapisuje zprava doleva.

1.1.2 Desetinná → Osmičková

Osmičková soustava je celočíselná číselná soustava se základem 8. Tj. všechna čísla v něm jsou reprezentována rozsahem 0 - 7 a pro převod z desítkové soustavy musíte použít modulo 8.

Obrázek 1.3 - Převod čísel z desítkové do osmičkové soustavy

Dělení je podobné jako u 2-arového systému.

1.1.3 Desetinné → Hexadecimální

Hexadecimální soustava téměř úplně nahradila soustavu osmičkovou. Má základ 16, ale používá desetinné číslice od 0 do 9 + latinská písmena od A (číslo 10) do F (číslo 15). Setkáte se s tím pokaždé, když kontrolujete svá nastavení. síťový adaptér je MAC adresa. To samé při použití IPv6.

Obrázek 1.4 - Převod čísel z desítkové do šestnáctkové soustavy

1.2 Binární

V předchozím příkladu jsme všechna desetinná čísla převedli do jiných číselných soustav, z nichž jedna je binární. Nyní přeložme každé číslo z binárního tvaru.

1.2.1 Binární → Desítková

Chcete-li převést čísla z binárních na desítkové, musíte znát dvě nuance. Za prvé, každá nula a jedna má násobitel 2 palce n-tý stupeň, při kterém n roste zprava doleva přesně o jednu. Druhý - po vynásobení je třeba sečíst všechna čísla a dostaneme číslo v desítkovém tvaru. V důsledku toho budeme mít vzorec, jako je tento:

D = (a n × p n-1) + (a n-1 × p n-2) + (a n-2 × p n-3) +…, (1.2.1)

Kde,
D je desetinné číslo, které hledáme;
n je počet znaků v binárním čísle;
a je číslo v binárním tvaru na n-tá pozice(tj. první znak, druhý atd.);
p je koeficient rovný 2,8 nebo 16 k mocnině n(v závislosti na číselném systému)

Například vezměte číslo 110102. Podíváme se na vzorec a zapíšeme:

• Číslo se skládá z 5 znaků ( n=5)

a 5 = 1, a 4 = 1, a 3 = 0, a 2 = 1, a 1 = 0

• p = 2 (protože převádíme z binárního na desítkové)

V důsledku toho máme:

D = (1 × 2 5-1) + (1 × 2 5-2) + (0 × 2 5-3) + (1 × 2 5-4) + (0 × 2 5-5) = 16 + 8 + 0 + 2 + 0 = 26 10

Kdo je zvyklý psát zprava doleva, bude formulář vypadat takto:

D = (0 × 2 5-5) + (1 × 2 5-4) + (0 × 2 5-3) + (1 × 2 5-2) + (1 × 2 5-1) = 0 + 2 + 0 + 8 + 16 = 26 10

Jak ale víme, součet se přeskupením podmínek nemění. Nyní převedeme naše čísla na desítkové.

Obrázek 1.5 - Převod čísel z dvojkové do desítkové soustavy

1.2.2 Binární → Osmičková

Při překladu potřebujeme rozdělit binární číslo do skupin po třech znacích zprava doleva. Pokud se poslední skupina neskládá ze tří znaků, pak chybějící bity jednoduše nahradíme nulami. Např:

10101001 = 0 10 101 001

1011100 = 00 1 011 100

Každá skupina bitů je jednou z osmičková čísla. Chcete-li zjistit, který z nich, musíte použít vzorec 1.2.1 napsaný výše pro každou skupinu bitů. V důsledku toho dostaneme.

Obrázek 1.6 - Převod čísel z dvojkové do osmičkové soustavy

1.2.3 Binární → Hexadecimální

Zde musíme binární číslo rozdělit do skupin po čtyřech znacích zprava doleva a následně doplnit chybějící bity skupiny s nulami, jak je popsáno výše. Pokud se poslední skupina skládá z nul, měly by být ignorovány.

110101011 = 000 1 1010 1011

1011100 = 0 101 1100

001010000 = 00 0101 0000 = 0101 0000

Každá skupina bitů je jedním z hexadecimálních čísel. Pro každou skupinu bitů použijeme vzorec 1.2.1.

Obrázek 1.7 - Převod čísel z dvojkové do šestnáctkové soustavy

1.3 Osmičková

V tomto systému můžeme mít potíže pouze při převodu do šestnáctkové soustavy, protože zbytek překladu běží hladce.

1.3.1 Osmičková → Binární

Každé číslo v osmičkové soustavě je skupina tří bitů v binární soustavě, jak je popsáno výše. K překladu potřebujeme použít cheat sheet:

Obrázek 1.8 - Ostruha pro překlad čísel z osmičkové soustavy

Převedeme naše čísla na binární pomocí této tabulky.

Obrázek 1.9 - Převod čísel z osmičkové na binární

Dovolte mi trochu popsat výstup. První číslo, které máme, je 142, což znamená, že budou tři skupiny po třech bitech. Použijeme ostruhu a vidíme, že číslo 1 je 001, číslo 4 je 100 a číslo 2 je 010. Výsledkem je číslo 001100010.

1.3.2 Osmičková → Desítková

Zde použijeme vzorec 1.2.1 pouze s faktorem 8 (tj. p=8). V důsledku toho máme

Obrázek 1.10 - Převod čísel z osmičkové do desítkové soustavy

• Číslo se skládá ze 3 znaků ( n=3)

a 3 = 1, a 2 = 4, a 1 = 2

• p = 8 (protože převádíme z osmičkové na desítkové)

V důsledku toho máme:

D = (1 × 8 3-1) + (4 × 8 3-2) + (2 × 8 3-3) = 64 + 32 + 2 = 98 10

1.3.3 Osmičková → Hexadecimální

Jak již bylo napsáno dříve, k překladu potřebujeme nejprve převést čísla do dvojkové soustavy, poté z dvojkové do šestnáctkové soustavy, dělením do skupin po 4 bitech. Můžete použít následující ostruhu.

Obrázek 1.11 - Spur pro převod čísel z hexadecimální soustavy

Tato tabulka vám pomůže převést z binárního na hexadecimální. Nyní přeložíme naše čísla.

Obrázek 1.12 - Převod čísel z osmičkové do šestnáctkové soustavy

1.4 Hexadecimální

V tomto systému je stejný problém, když je přeložen do osmičky. Ale o tom později.

1.4.1 Hexadecimální → Binární

Každé číslo v hexadecimální soustavě je skupina čtyř bitů v binární soustavě, jak je popsáno výše. Pro překlad můžeme použít cheat sheet, který je umístěn výše. Jako výsledek:

Obrázek 1.13 - Převod čísel z hexadecimálních na binární

Vezměme si první číslo - 62. Pomocí destičky (obr. 1.11) vidíme, že 6 je 0110, 2 je 0010, ve výsledku máme číslo 01100010.

1.4.2 Hexadecimální → Desetinné

Zde použijeme vzorec 1.2.1 pouze s faktorem 16 (tj. p=16). V důsledku toho máme

Obrázek 1.14 - Převod čísel z šestnáctkové do desítkové soustavy

Vezměme první číslo. Na základě vzorce 1.2.1:

• Číslo se skládá ze 2 znaků ( n=2)

a 2 = 6, a 1 = 2

• p = 16 (protože převádíme z hexadecimálního na desítkové)

V důsledku toho máme

D = (6 × 16 2-1) + (2 × 16 2-2) = 96 + 2 = 98 10

1.4.3 Hexadecimální → Osmičková

Pro převod do osmičkové soustavy je nutné nejprve převést na binární, poté rozdělit do skupin po 3 bitech a použít tabulku (obr. 1.8). Jako výsledek:

Obrázek 1.15 - Převod čísel z šestnáctkové do osmičkové soustavy

V řeči o IP-adresách, maskách a sítích půjde.

2.3. Převod čísel z jedné číselné soustavy do druhé

2.3.1. Převod celých čísel z jedné číselné soustavy do druhé

Je možné formulovat algoritmus pro převod celých čísel ze systému se základem p do systému se základnou q :

1. Vyjádřete základ nové číselné soustavy pomocí původní číselné soustavy a proveďte všechny následné akce v původní číselné soustavě.

2. Důsledně provádějte dělení daného čísla a výsledných celočíselných podílů základem nové číselné soustavy, dokud nedostaneme podíl menší než je dělitel.

3. Výsledné zbytky, které jsou číslicemi čísla v novém číselném systému, musí být uvedeny do souladu s abecedou nového číselného systému.

4. Složte číslo v nové číselné soustavě a zapisujte jej od posledního zbytku.

Příklad 2.12. Převeďte desetinné číslo 173 10 na osmičkovou číselnou soustavu:

Dostaneme: 173 10 \u003d 255 8

Příklad 2.13. Převeďte desítkové číslo 173 10 na hexadecimální číselnou soustavu:

Dostaneme: 173 10 = AD 16 .

Příklad 2.14. Převeďte desítkové číslo 11 10 na binární číselnou soustavu. Posloupnost akcí zvažovaných výše (algoritmus překladu) je pohodlněji znázorněna takto:

Dostáváme: 11 10 \u003d 1011 2.

Příklad 2.15. Někdy je vhodnější napsat překladový algoritmus ve formě tabulky. Přeložme desetinné číslo 363 10 na binární číslo.

Dostáváme: 363 10 \u003d 101101011 2

2.3.2. Překlad zlomkových čísel z jedné číselné soustavy do druhé

Je možné sestavit algoritmus pro převod vlastního zlomku se základem p do zlomku se zákl q:

1. Vyjádřete základ nové číselné soustavy pomocí původní číselné soustavy a proveďte všechny následné akce v původní číselné soustavě.

2. Postupně násobte dané číslo a výsledné zlomkové části součinů základem nového systému, dokud se zlomková část součinu nerovná nule nebo dokud není dosaženo požadované přesnosti vyjádření čísla.

3. Výsledné celočíselné části součinů, kterými jsou číslice čísla v nové číselné soustavě, jsou uvedeny do souladu s abecedou nové číselné soustavy.

4. Sestavte zlomkovou část čísla v nové číselné soustavě, počínaje celočíselnou částí prvního součinu.

Příklad 2.17. Převeďte číslo 0,65625 10 na osmičkovou číselnou soustavu.

Dostaneme: 0,65625 10 \u003d 0,52 8

Příklad 2.17. Převeďte číslo 0,65625 10 na hexadecimální číselnou soustavu.

Dostaneme: 0,65625 10 \u003d 0,A8 1

Příklad 2.18. Převeďte desítkové 0,5625 10 na binární číselnou soustavu.

Dostaneme: 0,5625 10 \u003d 0,1001 2

Příklad 2.19. Převést na binární desítkovou 0,7 10 .

Je zřejmé, že tento proces může pokračovat donekonečna a dává stále více znaků v obrazu binárního ekvivalentu čísla 0,7 10 . Takže ve čtyřech krocích dostaneme číslo 0,1011 2 a v sedmi krocích číslo 0,1011001 2, což je přesnější vyjádření čísla 0,7 10 v binárním číselný systém a atd. Takový nekonečný proces je v určitém kroku přerušen, když se má za to, že byla dosažena požadovaná přesnost zobrazení čísla.

2.3.3. Překlad libovolných čísel

Překlad libovolných čísel, tzn. čísla obsahující celočíselnou a zlomkovou část se provádějí ve dvou fázích: celočíselná část se překládá samostatně a zlomková část se překládá zvlášť. V konečném záznamu výsledného čísla je část celého čísla oddělena od zlomkové čárky (tečky).

Příklad 2.20. Převeďte číslo 17,25 10 na binární číselnou soustavu.

Dostáváme: 17,25 10 \u003d 1001,01 2

Příklad 2.21. Převeďte číslo 124,25 10 na osmičkovou soustavu.

Dostaneme: 124,25 10 \u003d 174,2 8

2.3.4. Převod čísel z číselné soustavy se základem 2 na číselnou soustavu se základem 2 n a naopak

Překlad celých čísel. Pokud je základem q-ární číselné soustavy mocnina 2, pak převod čísel z q-ární číselné soustavy do 2-ární číselné soustavy a naopak lze provést za více než jednoduchá pravidla. Abyste mohli napsat binární celé číslo v číselné soustavě se základem q=2 n, potřebujete:

1. Rozdělte binární číslo zprava doleva do skupin po n číslicích.

2. Pokud je v poslední levé skupině méně než n číslic, pak je třeba ji doplnit zleva nulami až do správné číslo výboje.

Příklad 2.22. Přeložme číslo 101100001000110010 2 do osmičkové číselné soustavy.

Číslo rozdělíme zprava doleva na trojice a pod každou z nich napíšeme odpovídající osmičkovou číslici:

Získáme osmičkovou reprezentaci původního čísla: 541062 8 .

Příklad 2.23.Číslo 1000000000111110000111 2 bude převedeno na hexadecimální číselnou soustavu.

Číslo rozdělíme zprava doleva na tetrády a pod každou zapíšeme odpovídající hexadecimální číslici:

Dostaneme hexadecimální znázornění původního čísla: 200F87 16 .

Překlad zlomkových čísel. Abyste mohli zapsat zlomkové binární číslo v číselné soustavě se základem q=2 n, potřebujete:

1. Rozdělte binární číslo zleva doprava do skupin po n číslicích.

2. Pokud je v poslední pravé skupině méně než n číslic, pak je třeba ji zprava doplnit nulami na požadovaný počet číslic.

3. Každou skupinu považujte za n-bitové binární číslo a zapište je s odpovídající číslicí v číselné soustavě se základem q=2 n .

Příklad 2.24. Přeložme číslo 0,10110001 2 do osmičkové číselné soustavy.

Číslo rozdělíme zleva doprava na trojice a pod každou zapíšeme odpovídající osmičkovou číslici:

Dostaneme osmičkovou reprezentaci původního čísla: 0,542 8 .

Příklad 2.25. Přeložme číslo 0,100000000011 2 do hexadecimální číselné soustavy. Číslo rozdělíme zleva doprava na tetrády a pod každou zapíšeme odpovídající hexadecimální číslici:

Získáme hexadecimální vyjádření původního čísla: 0,803 16

Překlad libovolných čísel. Abyste mohli napsat libovolné binární číslo v číselné soustavě se základem q=2 n, potřebujete:

1. Rozdělte celočíselnou část tohoto binárního čísla zprava doleva a zlomkovou část zleva doprava na skupiny po n číslicích.

2. Pokud je v poslední levé a/nebo pravé skupině méně než n číslic, pak je třeba je vlevo a/nebo vpravo doplnit nulami až do požadovaného počtu číslic;

3. Každou skupinu považujte za n-bitové binární číslo a zapište je jako odpovídající číslici v číselné soustavě se základem q=2 n

Příklad 2.26. Přeložme číslo 111100101.0111 2 do osmičkové číselné soustavy.

Celou a zlomkovou část čísla rozdělíme na trojice a pod každou zapíšeme odpovídající osmičkovou číslici:

Dostaneme osmičkovou reprezentaci původního čísla: 745,34 8 .

Příklad 2.27.Číslo 11101001000,11010010 2 bude převedeno do hexadecimální číselné soustavy.

Celou a zlomkovou část čísla rozdělíme do sešitů a pod každý z nich zapíšeme odpovídající hexadecimální číslici:

Dostaneme hexadecimální reprezentaci původního čísla: 748,D2 16 .

Překlad čísel z číselných soustav se základem q=2n na binární. Chcete-li převést libovolné číslo zapsané v číselné soustavě se základem q=2 n na binární číselnou soustavu, musíte každou číslici tohoto čísla nahradit jejím n-ciferným ekvivalentem v binární číselné soustavě.

Příklad 2.28.Přeložit hexadecimální číslo 4AC35 16 binární číselná soustava.

Podle algoritmu:

Dostaneme: 1001010110000110101 2 .

Úkoly k seberealizaci (odpovědi)

2.38. Doplňte tabulku, v jejímž každém řádku musí být zapsáno stejné celé číslo v různých číselných soustavách.

2.39. Doplňte tabulku, v jejímž každém řádku musí být zapsáno stejné zlomkové číslo v různých číselných soustavách.

2,40. Doplňte tabulku, v jejímž každém řádku musí být zapsáno stejné libovolné číslo (číslo může obsahovat celé číslo i zlomkovou část) v různých číselných soustavách.

Pojďme analyzovat jedno z nejdůležitějších témat v informatice -. V školní osnovy odhaluje se spíše „skromně“, nejspíše kvůli nedostatku hodin na to určených. Znalosti na toto téma, zejména na překlad číselných soustav, jsou předpoklad za úspěšné složení zkoušky a přijetí na vysoké školy příslušných fakult. Níže podrobně pojmy jako např poziční a nepoziční číselné soustavy, jsou uvedeny příklady těchto číselných soustav, pravidla pro překlad celých čísel desetinná čísla, opravovat desetinné zlomky a smíšená desetinná čísla do jakékoli jiné číselné soustavy, převod čísel z libovolné číselné soustavy do desítkové, převod z osmičkové a šestnáctkové číselné soustavy do dvojkové číselné soustavy. Na zkouškách v ve velkém počtu na toto téma jsou úkoly. Schopnost je řešit je jedním z požadavků na uchazeče. Již brzy: Pro každé téma sekce, kromě podrobných teoretický materiál, téměř všechny možné možnosti úkoly Pro samostudium. Navíc budete mít možnost stáhnout si hotové soubory ze služby sdílení souborů zcela zdarma. detailní řešení k těmto úkolům, ilustrující různé cesty dostat správnou odpověď.

poziční číselné soustavy.

Nepoziční číselné soustavy- číselné soustavy, ve kterých kvantitativní hodnota číslice nezávisí na jejím umístění v čísle.

Mezi nepoziční číselné soustavy patří například římská, kde jsou místo číslic latinská písmena.

Zde písmeno V znamená 5, bez ohledu na jeho umístění. Za zmínku však stojí, že ačkoli je římská číselná soustava klasickým příkladem nepoziční číselné soustavy, není zcela nepoziční, protože. menší číslo před větším se od něj odečte:

poziční číselné soustavy.

Poziční číselné soustavy- číselné soustavy, ve kterých kvantitativní hodnota číslice závisí na jejím umístění v čísle.

Například, pokud mluvíme o desítkové soustavě čísel, pak v čísle 700 číslo 7 znamená „sedm set“, ale stejné číslo v čísle 71 znamená „sedm desítek“ a v čísle 7020 - „sedm tisíc“ .

Každý poziční číselný systém má vlastní základna. Základem je přirozené číslo větší nebo rovné dvěma. Rovná se počtu číslic použitých v této číselné soustavě.

Například:
• Binární- poziční číselný systém se základem 2.
• Kvartérní- poziční číselný systém se základem 4.
• pětinásobný- poziční číselný systém se základem 5.
• osmičkový- poziční číselný systém se základem 8.
• Hexadecimální- poziční číselný systém se základem 16.

Pro úspěšné řešení úloh na téma „Číselné soustavy“ musí student znát nazpaměť korespondenci binárních, desítkových, osmičkových a šestnáctkových čísel do 16 10:

Je užitečné vědět, jak se v těchto číselných soustavách získávají čísla. Můžete hádat, že v osmičkové, šestnáctkové, trojkové a další poziční číselné soustavy vše se děje podobně jako v nám známé desítkové soustavě:

K číslu se přidá jedna a získá se nové číslo. Pokud se místo jednotek rovná základu číselné soustavy, zvýšíme počet desítek o 1 a tak dále.

Tento „přechod jednoho“ je přesně to, co většinu studentů děsí. Ve skutečnosti je vše docela jednoduché. K přechodu dojde, pokud se číslice jednotky rovná základ číselné soustavy, zvýšíme počet desítek o 1. Mnozí, vzpomenouce na starou dobrou desítkovou soustavu, se ve vybití a v tomto přechodu okamžitě zapletou, protože desítkové a např. dvojkové desítky jsou různé věci.

Vynalézaví studenti tak mají „své metody“ (překvapivě ... fungující) při vyplňování například pravdivostních tabulek, jejichž první sloupce (proměnné hodnoty) jsou ve skutečnosti vyplněny binární čísla ve vzestupném pořadí.

Podívejme se například na zadávání čísel osmičkový systém: K prvnímu číslu (0) přičteme 1, dostaneme 1. Poté přičteme 1 k 1, dostaneme 2 atd. až 7. Přičteme-li k 7 jedničku, dostaneme číslo rovné základu číselné soustavy, tzn. 8. Potom je třeba zvětšit cifru desítek o jednu (dostaneme osmičkovou desítku - 10). Další, samozřejmě, jsou čísla 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101 ...

pravidla pro převod z jedné číselné soustavy do druhé.

1 Převeďte celočíselná desetinná čísla na jakoukoli jinou číselnou soustavu.

Číslo musí být děleno nový číselný základ. První zbytek dělení je první nejméně platná číslice nového čísla. Pokud je podíl dělení menší nebo roven novému základu, pak se musí (podíl) znovu dělit novým základem. Dělení musí pokračovat, dokud nedostaneme kvocient menší než nový základ. Toto je nejvyšší číslice nového čísla (je třeba si uvědomit, že například v šestnáctkové soustavě následují písmena po 9, to znamená, že pokud máte ve zbytku 11, musíte to napsat jako B).

Příklad („dělení rohem“): Přeložme číslo 173 10 do osmičkové číselné soustavy.

Tedy 173 10 \u003d 255 8

2 Převod správných desetinných zlomků do jakékoli jiné číselné soustavy.

Číslo je nutné vynásobit novým základem číselné soustavy. Číslice, která přešla do celočíselné části, je nejvyšší číslicí zlomkové části nového čísla. pro získání další číslice se musí zlomková část výsledného součinu opět vynásobit novým základem číselné soustavy, dokud nenastane přechod na celočíselnou část. Pokračujeme v násobení, dokud se zlomková část nerovná nule, nebo dokud nedosáhneme přesnosti uvedené v úloze („... počítejte s přesností např. na dvě desetinná místa“).

Příklad: Přeložme číslo 0,65625 10 do osmičkové číselné soustavy.